二,微分的几何意义

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主讲人： 苏本堂
导数公式:
微分公式:
′= 1 (loga x) xln a (ln x)′= 1 x ′= 1 (arcsinx) 1−x2 (arccosx)′=− 1 1−x2 (arctanx)′= 1 2 1+ x (arccot x)′=− 1 2 1+ x
1 dx d(loga x)= xln a d(ln x)= 1 dx x 1 dx d(arcsinx)= 1−x2 d(arccosx)=− 1 dx 1− x2 d(arctanx)= 1 2 dx 1+ x d(arccot x)=− 1 2 dx 1+ x
∆y lim = f ′(x0 ) ∆x→0 ∆x ∆y ∴ = f ′(x0 ) +α ( lim α = 0 ) ∆x→0 ∆x
故 ∆y = f ′(x0 )∆x +α∆x = f ′(x0 )∆x + o(∆x) 123 4 4
即 dy = f ′(x0 )∆x
线 主 性 部
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1.函数的近似计算
∆y = f ′(x0 )∆x + o(∆x)
当 ∆x 很小时, 得近似等式:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f ′(x0 )∆x
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x
令 x = x0 + ∆x
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
∆y o(∆x) ∴ lim = lim ( A + )=A ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
故 在点 的可导, 且
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定理 : 函数 在点
在点 x0可微的充要条件 充要条件是 充要条件 处可导, 且 即
dy = f ′(x0 )∆x
“充分性” 已知 充分性” 充分性 在点 的可导, 则
−e = dx −2x 1+ 1+ e
dtan x sec3 x 2. = dsin x
−x
1 3. d( − cos 2 x+ C ) = sin2x d x 2
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4. 设 求
由方程
确定,
解: 方程两边求微分, 得
3x2 d x + 3 y2 d y − 3 cos3xd x + 6 d y = 0 1 当 x = 0 时 y = 0,由上式得 d y x=0 = d x 2
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§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
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二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
x0
2 A= x0
x0∆x
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定义: 定义 若函数
在点 x0 的增量可表示为
= A∆x + o(∆x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 在点 的微分, 记作 微分, 微分 可微, 可微 而 A∆x 称为 即 在点 x0 可微的充要条件 充要条件是 充要条件 即
dy = A∆x
定理: 定理 函数
dy = f ′(x0 )∆x
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定理 : 函数 在点
在点 x0可微的充要条件 充要条件是 充要条件 处可导, 且 即
dy = f ′(x0 )∆x
必要性” 证: “必要性” 必要性 已知 在点 可微 , 则
∆ y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x)
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例5. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) − d(cos(x − y)) = 0 sin x dy + y cos x dx + sin(x− y) (dx − dy) = 0 y cos x + sin(x − y) dy = dx sin(x − y) −sin x
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例10. 设测得圆钢截面的直径 绝对误差限 欲利用公式
测量D 的 计算
圆钢截面积 , 试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为
(mm)
A 的相对误差限约为
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练习
1 1. d(arctane ) = de−x 1+ e−2x
−x
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作业： 习题2-4 作业：p- P123 习题
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ; 9(2)
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若y=f(u), u=ϕ(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
∆y ≈ dy
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y=f(x)在点x0可微⇔∆y=Α∆x+o(∆x). dy= f ′(x0)∆x . 例1 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分. 解 函数y=x2在x=1处的微分为 dy=(x2)′|x=1∆x=2∆x; 函数y=x2在x=3处的微分为 dy=(x2)′|x=3∆x=6∆x. 例2 求函数 y=x3当x=2, ∆x =0.02时的微分. 解 先求函数在任意点x 的微分, dy=(x3)′∆x=3x2∆x. 再求函数当x=2, Dx=0.02时的微分, dy|x=2, ∆x=0.02 =3x2| x=2, ∆x=0.02 =3×22×0.02=0.24.
(1+ x)α ≈1+α x
1 5
π
解:
≈ sin
+ cos ⋅ (− ) 6 180 6 1 3⋅ (−0.0175) = + 2 2
π
π
π
= (243+ 2) 2 1 = 3(1+ )5 243 1 2 ) ≈ 3 (1+ ⋅ 5 243
= 3.0048
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例9. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 用铜多少克 . 解: 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在 时体积的增量
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三、微分的基本公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
导数公式: (xµ)′=µ xµ−1 (sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x (tan x)′=sec2 x (cot x)′=−csc2x (sec x)′=sec x tan x (csc x)′=−csc x cot x (a x)′=ax ln a (e x)=ex 微分公式: d(xµ)=µ xµ−1dx d(sin x)=cos xdx d(cos x)=−sin xdx d(tan x)=sec2xdx d(cot x)=−csc2xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=−csc x cot xdx d(a x)=ax ln adx d(e x)=exdx
例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
1 (2) d( ω sinωt + C) = cosωt dt
(1) d( 1 x2 + C ) = xdx 2
说明: 说明 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
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四、微分在近似计算中的应用
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注:
∆y = f ′(x0 )∆x + o(∆x)
dy = f ′(x0 )∆x
当 f ′(x0 ) ≠ 0 时 , ∆y ∆y lim = lim ∆x→0 f ′(x0 )∆x ∆x→0 dy 1 ∆y = lim =1 f ′(x0 ) ∆x→0 ∆x 所以 ∆x →0 时 ∆y 与 dy 是等价无穷小, 故当 ∆x 很小时, 有近似公式
= 4π R ∆R R =1 R =1 ∆R = 0.01 ∆R = 0.01
2
≈ 0.13 (cm3) 因此每只球需用铜约为 8.9×0.13 =1.16 ( g )
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2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 绝对误差 称为a 的相对误差 相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 相对误差限
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误差传递公式 : 若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 δ x , 按公式 计算 y 值时的误差
≈ dy = f ′(x) ⋅ ∆x
故 y 的绝对误差限约为 δ y ≈ f ′(x) ⋅δ x
f ′(x) ≈ ⋅δ x 相对误差限约为 y f (x)
δy
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2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
得 f (0) =1, f ′(0) =α
∴当 x 很 时 小 ,
x x
1+ x
x
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例7. 求
的近似值 .
例8. 计算
的近似值 .
解: 设 f (x) = sin x , 取 则 dx = − 180 29 o π sin 29 = sin 180
3 = 243
5
使用原则: 使用原则 1) f (x0 ), f ′(x0 ) 好 ; 算
2) x 与x0 靠 . 近
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特别当 x0 = 0 , x 很小时,
f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x
常用近似公式: 常用近似公式 ( x 很小)
1+ α x
f (x) = (1+ x)α 证明: 证明 令