高一数学必修三算法初步

第十一章算法初步与框图一、知识网络二、考纲要求1.程序框图（1）了解算法的含义，了解算法的思想.（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.2.基本算法语句理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.三、复习指南本章是新增内容，多以选择题或填空题形式考查，常与数列、函数等知识联系密切.考查的重点是算法语句与程序框图,以基础知识为主,如给出程序框图或算法语句,求输出结果或说明算法的功能;或写出程序框图的算法语句,判断框内的填空等考查题型.难度层次属中偏低.第一节算法与程序框图※知识回顾1．算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构．4.算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言．5.算法的基本特征：①明确性：算法的每一步执行什么是明确的；②顺序性：算法的“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续；③有限性：算法必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；④通用性：算法应能解决某一类问题.试题提供：典例精析例1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是解析：首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c 三个数之后,接着判断a,b 的大小,若b 小，则把b 赋给a,否则执行下一步，即判断a 与c 的大小，若c 小，则把c 赋给a, 否则执行下一步，这样输出的a 是a,b,c 三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c 三个数中的最小值.评注: 求a,b,c 三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.例2.下列程序框图表示的算法功能是（ ）（1）计算小于100的奇数的连乘积（2）计算从1开始的连续奇数的连乘积（3）计算从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数 （4）计算L ≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下:第一次:13,5S i =⨯=；第二次:135,7S i =⨯⨯=；第三次:1357,9S i =⨯⨯⨯=,此时100S <不成立,输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求使L ≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值. 选D.评注:通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运行的本质所在.本题若要求编写求使L ≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值的程序框图或程序时,很容易弄错输出的结果，应注意.例3.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元，顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，则按九折收费，如果购买10张以上（含10张）唱片，则按八折收费，请设计算法步骤并画出程序框图，要求输入张数x ，输出实际收费y(元).分析:先写出y 与x 之间的函数关系式，有25(5)22.5(510)20(10)x x y x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，再利用条件结构画程序框图．解： 算法步骤如下:第一步，输入购买的张数x ,第二步，判断x 是否小于5，若是，计算25y x =；否则，判断x 是否小于10，若是，计算22.5y x =；否则，计算20y x =.第三步，输出y .例4.画出求222111123100++++L 的值的程序框图. 分析:这是一个有规律的数列求和问题,每次都进行了相同的运算,故应用循环结构进行算法设计.解:程序框图如下:(1)当型循环 (2)直到型循环评注: (1) 解题关键是选择好计数变量i 和累加变量S 的初始值,并写出用i 表示的数列的通项公式是 ；(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和,累乘求积等问题.在循环结构中,要注意根据条件,设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等,特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环.（3）循环结构分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示；另一类是直到型循环结构，如下右图所示.变式训练画出求222111147100++++L 的值的程序框图. 解：程序框图如下:例5.某工厂2005年的生产总值为200万元，技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图，输出预期年生产总值超过300万元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生产总值的和.分析:本例可用循环结构来实现. (1) 确定“循环体”:设a 为某年的年生产总值,n 为年份,S为年产值的总和,则循环体为(2)初始化变量:n 的初始值为2005,a 的初始值为200,S 的初始值为0.(3)设定循环控制条件:300a >解: 程序框图如下:评注:本问题的关健是设计好循环体,注意S S a =+与n 之间的对应关系.本题若将S S a =+放在1n n =+之后,则输出时须重新赋值1n n =-，否则n 的值为超过300万的年份的下一年.本题也可用当型循环结构来表示.变式训练：设计一个程序框图，求使1235000S n =⨯⨯⨯⨯>L 的最小n 的值，并输出此时S 的值.解：程序框图如下：※基础自测一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．算法就是某个问题的解题过程；B ．算法执行后可以产生不同的结果；C ．解决某一个具体问题算法不同结果不同；D ．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．解析：选项A ，算法不能等同于解法；选项B ，例如：判断一个正整数是否为质数，结果为“是质数”和“不是质数”两种；选项C ，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D ，算法可以为很多次，但不可以无限次．选B ．2、如图所示的程序框图中，则第3个输出的数是( )A ．1 B. 3D. 5 3．如图给出的是求201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （ ）>10 <10 >20 <20．解析：通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的, 第一次:11,,42i S n===,第二次:112,,624i S n==+=,…依此可知循环的条件是i>10．选Ａ4.(2007年高考山东卷)阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500B．2550，2550C．2500，2500D．2500，25504.解析：依据框图可得T=++++=.选A.S=++++=，999795 (12500)1009896 (22550)5．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元部分需征税．设全月总收入金额为x元，前三级税率如下左表所示：当工资薪金所得不超过3600元，计算个人所得税的一个算法框图如图.则输出①、输出②分别为( )．A ．0.05;0.1x xB ．0.05;0.1185x x -C ． 0.0580;0.1;x x -D ．0.0580;0.1185x x --5．解析: 设全月总收入金额为x 元, 所得税额为y 元,则y 与x 之间的函数关系为0(01600)(1600)5%(16002100)25(2100)10%(21003600)x y x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪+-<≤⎩g g 选D.二、填空题6．（2008年高考山东卷）执行右边的程序框图，若p =,则输出的n =________..10.82=<，此时n =2；第二次循环后，110.824S =+<，此时n =3；10.88+>，此时4n =，输出，故填4. 某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲解析:由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6.42=故填.8.如果执行右面的程序框图，那么输出的S =8．解析：2461002550S =++++=L三、解答题9．请阅读下面程序框图，说明此程序的功能解：程序功能是求s 的值.26122...2s =++++,并输出s10．已知函数22(2)(0)4(0)(2)(0)x x y x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，请画出程序框图，要求输入自变量x 的值， 输出函数值y .10.解:11．画出一个计算151015100⨯⨯⨯⨯⨯L 的程序框图.11解：程序框图如下12、甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序.两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2.（Ⅰ）根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致当n ＝20时分别求它们输出的结果；（Ⅱ）若希望通过对图2虚框中某一步（或几步）的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n项和”，请你给出修改后虚框部分的流程图.第二节 算法的基本语句及算法案例图2开始 否图1※知识回顾1．任何一种程序设计语言都包含五种基本的算法语句，2.输入语句、 输出语句、 赋值语句基本对应于程序框图中的顺序结构；条件语句、循环语句分别用来表达程序框图中的条件结构和循环结构.3.常用符号4.算法案例（1）辗转相除法和更相减损术.（1）.2(假设进行了k 次)原来约简的2k 即为所求两数的最大公约数. （2）秦九韶算法秦九韶算法是求多项式值的优秀算法. 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ， 改写为如下形式：()f x 设0101,n n v a v v x a -==+21232310n n n n v v x a v v x a v v x a ---=+=+=+L这样求n 次多项式()f x 的值就转化为求n.当多项式中有些项不存在时，可将这几项看做0n x ⨯，补齐后再利用秦九韶算法进行计算.对于一个n 次多项式，只需做次乘法和. （3K 进制数的基数为k ，k将十进制的数转化为k110110(0,0,,)n n n n k a a a a a k a a a k --<<≤<L L 把进制数化为十进制数的方法为※典例精析例1．写出用循环语句描述求111111S =-+-++-L 的值的算法程序.请写出y与m的函数关系，并求排放污水150吨的污水处理费用.解：这个程序反映的是一个分段函数因为150100,y=+-=，故该厂应缴纳污水处理费1400元.m=>所以15025(150100)1400评注: 解决分段函数要用条件语句来处理.本题可画出程序框图帮助理解.例3．求三个数72,120,168的最大公约数.解法1:用辗转相除法先求120,168的最大公约数,因为168120148,12048224,48242=⨯+=⨯+=⨯或例4.用秦九韶算法求多项式5432()23456f x x x x x x =+++++在2x =时的值. 分析：先改写多项式，再由内向外计算.5432:()23456((((2)3)4)5)6f x x x x x x x x x x x =+++++=+++++解010*********,243114265576120v v v x v v x v v x v v x v v x ==+==+==+==+==+= 评注: 用秦九韶算法求多项式值,关健是正确将多项式改写,然后由内向外计算求得. 本题也可简写为下式：12345622822521144112657120例5.完成下列进制的转化解: 420(3)(10)(1)10202132323101=⨯+⨯+⨯=(2)用8反复去除101,直到商为0止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的 8进制表示评注:将k 进制的数转化为k '进制的数的方法是先将k 进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化为k '进制的数.变式训练：下面是把二进制数(2)11111化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是( ).5?.4?.4?.5?A i B i C i D i >≤>≤解: 432(2)11111121212121=⨯+⨯+⨯+⨯+,故判断框内应填入的条件4i >.选C. ※ 基础自测 一、选择题1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A 4M =B M M =-C 3B A ==D 0x y += 1. 解析:赋值语句的功能.选 B2 当2=x 时，下面的程序输出的结果是 ( )A 3B 7C 15D 172解析： 0211,1213,3217,72115⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=. 选 C3．运行下列程序：,0INPUT m nDOr m MOD n m nn rLOOP UNTIL r PRINT m END====10411i s WHILE i s s x i i WEND PRINT I s U xE T N NP D==<==*+=+当输入56，42时，输出的结果是Ａ．56 Ｂ．42 Ｃ．84 Ｄ．143.解析:该程序的功能是用辗转相除法求正整数,()m n m n >的最大公约数，故选D 4下边程序运行后输出的结果为( )A 50B 5C 25D 04.解析:1,1;2,3;3,1;4,0;5,0j a j a j a j a j a ==========.选 D 二、填空题5 三个数324,243,135的最大公约数是_________________ 5 解析:324243181,13581154,8154127,54272=⨯+=⨯+=⨯+=⨯.填27 6.阅读下列程序:15()51a j WHILE j a a j MOD j j WENDPRINT aEND ==<==+=+当程序输入x 值为123时,问运行的结果是_____________.6.解析:算术运算符\和MOD 分别用取商和余数.该程序的功能是把一个三位数各位上的数字颠倒过来.所以运行的结果是321. 7．（2005年高考北京卷理14）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++L ，如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算100()P x 的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算100()P x 的值共需要 次运算.8．解析: 22，-22520033,x y IF x THEN x y ELSE y y END IF PRINT x y y xEND==-<=-=+-- 1001000\100(100)\101010010INPUT xIF x AND x THEN a x b x a c x MOD x c b a PRINT x END IF END><==-*==*+*+三、解答题9.用秦九韶算法求多项式5432()34157678f x x x x x x =+-+++在2x =-时的值.543201021324354:()34157678((((34)15)76)7)83,421511769871898386f x x x x x x x x x x x v v v x v v x v v x v v x v v x =+-+++=+-+++==+=-=-=-=+==+=-=+=9.解10．设计程序，求出满足11111023n+++⋯+>的最小的正整数n.10．解：11若(2)(6)(9)111111,210,85a b c ===,试判断,,a b c 的大小关系，并将c 化为7进制的数. 6.解析: (10)(10)(10)63,78,77a b c b c a ===∴>>3分钟，则收取话费元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t （分钟），通话费用y （元），如何设计一个程序，计算通话的费用. (提示:INT(x)表示不大于x 最大整数,如INT=3)。