线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望
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k
果中包含着 k j 个独立任意常数。 （2.2） 的特征方程 L(λ ) = 0 的根 （实根或共轭复根） ， 定理 2.2 设 λ1 , λ2 …，λr 为方程 重数分别为 k1 , … , k r ，则方程（2.2）有通解的积分公式：
( kr ) ( kr −1 ) ( k2 ) ( k1 )
(k )
z1 = e ( λ +iw) x Qm1 ( x), z 2 = e ( λ +iw) x Qm2 ( x) 分别是 L1 ( D) z1 = e ( λ +iw) x p m1 ( x) L1 ( D) z 2 = e ( λ +iw) x p m2 ( x)
的特解，（2.7）和（2.8）都是 n − k 阶微分方程。 积分－比较系数法的计算量较普通的比较系数法大大减少， 因为计算多项式的积分十分 简单，比较系数时方程阶数又较低，k＝0 时只是比较系数，k＝n 时只是积分。 上面的方法可以推广到高阶常系数线性微分方程组 （2.7） （2.8）
在利用积分－比较系数法求特解时，可设原方程具有形如 x* = e t 而 其 中 的 z = Im[ Ae
(1+ i ) t
( 2)
( 2)
∫
( 2)
Im[ Ae i t ] dt 2 的特解，
] 是 又 是 一 阶 方 程 ( D − 2) z = e t sin t 的 特 解 ， 故 由 此 易 得 ：
L( D) y = e λx [ p m1 ( x) cos wx + p m2 ( x) sin wx ]
具 有 形 如 y = Re e
＊ ( λ +iw ) x
（2.6）
∫
(k )
Qm1 ( x)dx k + Im e ( λ +iw) x ∫ Qm2 ( x)dx k 的 实 特 解 ， 其 中
定理 2.1 设 λ1 , … , λl , λl +1 ± iwl +1 , … , λs ± iws 是（2.1）的特征方程 L(λ ) = 0 的根， 重数分别为 k1 ,…，k s ，则方程（2.1）有下列 n 个线性无关的特解：
e λi x x j −1 , 其中i = 1,2, … , l , j＝1,2, … , k i； e λi x x j −1 cos wi x, e λx x j −1 sin wi x, 其中i = l + 1, … , s, j = 1, … , k i 。
-2-
http://www.paper.edu.cn
下面给出将积分和比较系数法结合起来的方法，称为“积分-比较系数法”。 定理 2.3（积分-比较系数法）设 λ 是 L(λ ) 的 K 重根， L( D ) = ( D − λ ) L1 ( D ) ，则
k
L( D) y = e λx pm ( x)
利用以上的引理，我们很容易地得到： 引理 2.2 齐次微分方程 ( D − λ ) y = 0 有 k 个线性无关的特解： e , xe , …, x
k
λx
λx
k −1 λx
e 。
引理 2.3 齐次微分方程 ( D − a ± iβ ) y = 0 有 2K 个线性无关的特解：
k
e ax cos β x, e ax sin β x, e ax x cos β x, e ax x sin β x, …, x k −1e ax cos β x, x k −1e ax sin β x
1 1 z = − e t (sin t + cos t ) ，从而得到原方程的特解为： x* = e t (sin t + cos t ) 。 2 2
3. 初等行变换法[9]
初等行变换法是指利用类似于解线性代数方程组的初等行变换法的思想， 同时结合微分 算子多项式及其逆算子运算的规律来求解高阶常系数线性微分方程组， 因此该方法与解线性 代数方程组的初等行变换法有着明显的区别。 3.1 方法预备 定义 3.1 对于非齐次微分方程（2.2），以
n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：
y ( n ) + a1 y ( n−1) + … + an−1 y ′ + an y = 0
其 中 ai (i = 1,2, … , n) 均 为 常 数 ， D＝
或
L( D) y = 0
（2.1）
d 为一阶微分算子，其算子多项式为： dx
n −1
L( D) = D n + a1 D n −1 + … + a n −1 D + a n 。
3 2 t 2 t
利用通解的积分公式（2.3）和分部积分公式，可得所求微分方程的通解为：
-3-
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x = e t ∫ e ( −1+ 2 )t ∫ e − 2t ⋅ e t sin tdt 3 = ∫ e t ( ∫ e −t sin tdt )dt 2 1 = c1e 2t + (c 2 t + c3 )e t + e t (cos t + sin t ) 2
1. 引 言
微分方程(组)的算子方法是利用微分算子、微分算子的多项式及其逆算子的运算特殊性 来探讨微分方程(组)求解的方法。这种方法最早可见于二十世纪 70 年代末的微分方程教材 中，如[1]。作为微分方程的一种初等特殊解法，“算子解法”这部分内容在《常微分方程》 的教材(包括现行的教材[2])中一般都有简略的介绍，但是，它的一些深层次的重要思想和方 法(比如，微分算子多项式的分解，逆算子的形式幂级数展开等) 只保持在萌芽阶段，并没 有引起人们足够的重视， 因此算子方法潜在的理论发展和应用在相当长的时间内一直未被发 现。二十世纪 80 年代前后，在我国许多学者研究变系数线性微分方程的新可积类型的热潮 中[3-7]， 黎耀善将微分算子的分解思想应用到了二阶变系数线性微分方程， 得到了新的可积 类型[6]。二十世纪 90 年代初，笔者开始系统地研究和发展常系数线性常微分方程(组)的算 子方法，先后给出了算子分解方法[8，10]，初等行变换法[9]，逆算子的形式幂级数展开法 [10]，并把逆算子的形式幂级数展开思想初步应用到了变系数线性微分方程（组）[11]。我 们得到了许多重要的结果和解公式，还给出了一些相关的研究（如常数变易法，待定系数法 等）[9-13]。可以说，我们的研究初步形成了一个关于线性常微分方程（组）算子方法的理 论体系。值得一提的是，差不多与此同时，柯红路等则通过定义“数性算子”，主要地研究 和发展了偏微分方程的新解法—微分算子级数法 （名称上相当于笔者所说的逆算子的形式幂 级数展开法），后来才将其推广应用到常系数线性微分方程[14, 15]，并系统地总结了许多 国内学者的研究成果， 于最近出版了新教材[16]， 但在该教材中并没有包含笔者的研究成果。 近年来，其他学者也开始研究微分方程的算子方法（如最新的文献[17，18]），但是，在文 献[17]中所给出的部分结果笔者早在十年前的 1994 年就已经用算子分解方法得到了（参看 [8]，或者后面的叙述），而在文献[18]中所采用是主要思想方法就是算子分解。 在本文中， 我们将侧重地综合介绍由作者所发展的一系列算子方法及其重要的结果与解 公式（略去详细的证明）。我们展示的是与柯红路的新教材[16]不同的关于线性常微分方程 （组）的算子方法，最后，我们还将提出微分方程算子方法研究的几点展望，以便于今后有
A( D ) x = f (t )
（2.9）
其中 n × n 阶算子多项式矩阵， f (t ) = ( f1 (t ), … , f n (t )) T 。但是，因为算子多项式矩阵的因 式分解并不容易，所以以有关的结果并不理想。不过，利用它却能较好地解决教材[1]所指 出的问题：方程组 A( D ) x = f (t ) 的特解公式 x* = A * ( D) | A( D) |
n 阶常系数非齐次线性微分方程一般形式
y ( n ) + a1 y ( n−1) + … + an−1 y ′ + an y = f ( x) 或 L( D) y = f ( x)
引入记号
（2.2）
∫
(k j )
⋅ dx j ，表示 k j 阶不定积分 ∫
k
(k j )
⋅ dx j = ∫ ( ∫ … ( ∫ ⋅ dx) … dx)dx ，其结
−1
f (t ) （其中 A * ( D) 是
A( D) 的伴随矩阵，下同）是正确的，而 x* =| A( D) |−1 A * ( D) f (t ) 却是错误的。
定理 2.5 方程组（2.9）的解是 | A( D ) | Ex = A ( D ) f (t ) 的解，反之不然；若 A( D ) 非
x = A* ( D) | A( D) |−1 ⋅0 。
例 2.1 求微分方程 x ( 3) − 4 x ′′ + 5 x ′ − 2 x = e t sin t 的通解。 利用积分－比较系数法特解。 解 将方程写成 ( D − 4 D + 5 D − 2) x = e sin t 或( D－2)( D－ 1) x = e sin t 。
方程（1）的特征多项式为 L(λ ) = λ + a1λ
n
+ … + an−1λ + an ，特征方程为 L(λ ) = 0 。
引理 2.1 若 L(λ ) 有因式分解式 L(λ ) = L1 (λ ) L2 (λ ) ，则 L( D ) = L1 ( D ) L2 ( D ) ；又若
y = yi ( x)(i = 1,2) 分别是齐次方程 Li ( D) y = 0 的解，则它们也都是 L( D) y = 0 的解。
http://www.paper.edu.cn
线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望1
化存才
云南师范大学数学学院，昆明，650092
E-mail: cuncai-hua@sohu.com
摘 要：
本文综述了线性微分方程(组)的算子方法，侧重地介绍了作者所发展的一系列方
法和重要的结果与解公式。提出了算子方法研究的几点展望。 关键词：线性微分方程（组），算子方法
y = Re e λr x ∫
e ( − λr +λr −1 ) x ∫
n
…∫
e ( − λ2 +λ1 ) x ∫
e −λ1x f ( x)dx n
（2.3）
其中“Re”表示取实部， dx = dx 1 , … , dx r , k1 + … + k r = n 。
k k
若上述积分中常数特定，则（2.3）表示的就是方程（2.2）的特解。
1
本课题得到云南师范大学数学学院课程建设项目(2004)，云南师范大学科研启动基金(2002)和云南省引进
高层次人才工作经费(2003)资助。 -1-
http://www.paper.edu.cn
更多的学者来进一步关注、研究和发展这种方法。
2. 算子分解方法[8,10]
算子分解方法是指对微分算子多项式进行因式分解，然后在此基础上，研究微分方程 （组） 的求解。 利用算子分解方法可以很容易地直接给出高阶齐次微分方程的特解与非齐次 微分方程解的积分公式，以及非常简便的求非齐次微分方程特解的积分-比较系数法。对于 高阶常系数线性微分方程组，能够正确地给出一个通常教材中容易写错的特解公式。
1 1 称为L(D)百度文库f (t ) 记它的一个解， L( D) L( D)
的逆算子，常记为 L−1 ( D) ，而约定 L−1 ( D) ⋅ 0 为齐次微分方程（2.1）的通解。 引理 3.1[1] （解的结构）方程（2.2）的通解可表示为：
*
奇异，则方程（2.9）的解公式是：
x = A* ( D) | A( D) |−1 f (t )
推论 2.1 与（2.9）相应的齐次线性微分方程组
(2.10) （2.11）
A( D ) x = 0
的 解 是 | A( D ) | Ex = 0 的 解 ， 反 之 不 然 ， 若 A( D ) 非 奇 异 ， 则 方 程 组 （ 2.11 ） 的 解 是
具有形如 y = e
＊
( pm ( x)为x的m次多项式）
（2.4）
λx ( k )
∫
Qm ( x)dx k 的特解，其中 z = e λx Qm ( x) 是 L1 ( D) z = e λx p m ( x)
(2.5)
k
的特解。而方程（2.5）是一个 n − k 阶微分方程(实质上也为一种降阶方法）。 定理 2.4 设 λ ± iw是L(λ ) 的 k 重共轭复根，且有 L( D ) = L1 ( D )( D − λ－iw) ，则
果中包含着 k j 个独立任意常数。 （2.2） 的特征方程 L(λ ) = 0 的根 （实根或共轭复根） ， 定理 2.2 设 λ1 , λ2 …，λr 为方程 重数分别为 k1 , … , k r ，则方程（2.2）有通解的积分公式：
( kr ) ( kr −1 ) ( k2 ) ( k1 )
(k )
z1 = e ( λ +iw) x Qm1 ( x), z 2 = e ( λ +iw) x Qm2 ( x) 分别是 L1 ( D) z1 = e ( λ +iw) x p m1 ( x) L1 ( D) z 2 = e ( λ +iw) x p m2 ( x)
的特解，（2.7）和（2.8）都是 n − k 阶微分方程。 积分－比较系数法的计算量较普通的比较系数法大大减少， 因为计算多项式的积分十分 简单，比较系数时方程阶数又较低，k＝0 时只是比较系数，k＝n 时只是积分。 上面的方法可以推广到高阶常系数线性微分方程组 （2.7） （2.8）
在利用积分－比较系数法求特解时，可设原方程具有形如 x* = e t 而 其 中 的 z = Im[ Ae
(1+ i ) t
( 2)
( 2)
∫
( 2)
Im[ Ae i t ] dt 2 的特解，
] 是 又 是 一 阶 方 程 ( D − 2) z = e t sin t 的 特 解 ， 故 由 此 易 得 ：
L( D) y = e λx [ p m1 ( x) cos wx + p m2 ( x) sin wx ]
具 有 形 如 y = Re e
＊ ( λ +iw ) x
（2.6）
∫
(k )
Qm1 ( x)dx k + Im e ( λ +iw) x ∫ Qm2 ( x)dx k 的 实 特 解 ， 其 中
定理 2.1 设 λ1 , … , λl , λl +1 ± iwl +1 , … , λs ± iws 是（2.1）的特征方程 L(λ ) = 0 的根， 重数分别为 k1 ,…，k s ，则方程（2.1）有下列 n 个线性无关的特解：
e λi x x j −1 , 其中i = 1,2, … , l , j＝1,2, … , k i； e λi x x j −1 cos wi x, e λx x j −1 sin wi x, 其中i = l + 1, … , s, j = 1, … , k i 。
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下面给出将积分和比较系数法结合起来的方法，称为“积分-比较系数法”。 定理 2.3（积分-比较系数法）设 λ 是 L(λ ) 的 K 重根， L( D ) = ( D − λ ) L1 ( D ) ，则
k
L( D) y = e λx pm ( x)
利用以上的引理，我们很容易地得到： 引理 2.2 齐次微分方程 ( D − λ ) y = 0 有 k 个线性无关的特解： e , xe , …, x
k
λx
λx
k −1 λx
e 。
引理 2.3 齐次微分方程 ( D − a ± iβ ) y = 0 有 2K 个线性无关的特解：
k
e ax cos β x, e ax sin β x, e ax x cos β x, e ax x sin β x, …, x k −1e ax cos β x, x k −1e ax sin β x
1 1 z = − e t (sin t + cos t ) ，从而得到原方程的特解为： x* = e t (sin t + cos t ) 。 2 2
3. 初等行变换法[9]
初等行变换法是指利用类似于解线性代数方程组的初等行变换法的思想， 同时结合微分 算子多项式及其逆算子运算的规律来求解高阶常系数线性微分方程组， 因此该方法与解线性 代数方程组的初等行变换法有着明显的区别。 3.1 方法预备 定义 3.1 对于非齐次微分方程（2.2），以
n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：
y ( n ) + a1 y ( n−1) + … + an−1 y ′ + an y = 0
其 中 ai (i = 1,2, … , n) 均 为 常 数 ， D＝
或
L( D) y = 0
（2.1）
d 为一阶微分算子，其算子多项式为： dx
n −1
L( D) = D n + a1 D n −1 + … + a n −1 D + a n 。
3 2 t 2 t
利用通解的积分公式（2.3）和分部积分公式，可得所求微分方程的通解为：
-3-
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x = e t ∫ e ( −1+ 2 )t ∫ e − 2t ⋅ e t sin tdt 3 = ∫ e t ( ∫ e −t sin tdt )dt 2 1 = c1e 2t + (c 2 t + c3 )e t + e t (cos t + sin t ) 2
1. 引 言
微分方程(组)的算子方法是利用微分算子、微分算子的多项式及其逆算子的运算特殊性 来探讨微分方程(组)求解的方法。这种方法最早可见于二十世纪 70 年代末的微分方程教材 中，如[1]。作为微分方程的一种初等特殊解法，“算子解法”这部分内容在《常微分方程》 的教材(包括现行的教材[2])中一般都有简略的介绍，但是，它的一些深层次的重要思想和方 法(比如，微分算子多项式的分解，逆算子的形式幂级数展开等) 只保持在萌芽阶段，并没 有引起人们足够的重视， 因此算子方法潜在的理论发展和应用在相当长的时间内一直未被发 现。二十世纪 80 年代前后，在我国许多学者研究变系数线性微分方程的新可积类型的热潮 中[3-7]， 黎耀善将微分算子的分解思想应用到了二阶变系数线性微分方程， 得到了新的可积 类型[6]。二十世纪 90 年代初，笔者开始系统地研究和发展常系数线性常微分方程(组)的算 子方法，先后给出了算子分解方法[8，10]，初等行变换法[9]，逆算子的形式幂级数展开法 [10]，并把逆算子的形式幂级数展开思想初步应用到了变系数线性微分方程（组）[11]。我 们得到了许多重要的结果和解公式，还给出了一些相关的研究（如常数变易法，待定系数法 等）[9-13]。可以说，我们的研究初步形成了一个关于线性常微分方程（组）算子方法的理 论体系。值得一提的是，差不多与此同时，柯红路等则通过定义“数性算子”，主要地研究 和发展了偏微分方程的新解法—微分算子级数法 （名称上相当于笔者所说的逆算子的形式幂 级数展开法），后来才将其推广应用到常系数线性微分方程[14, 15]，并系统地总结了许多 国内学者的研究成果， 于最近出版了新教材[16]， 但在该教材中并没有包含笔者的研究成果。 近年来，其他学者也开始研究微分方程的算子方法（如最新的文献[17，18]），但是，在文 献[17]中所给出的部分结果笔者早在十年前的 1994 年就已经用算子分解方法得到了（参看 [8]，或者后面的叙述），而在文献[18]中所采用是主要思想方法就是算子分解。 在本文中， 我们将侧重地综合介绍由作者所发展的一系列算子方法及其重要的结果与解 公式（略去详细的证明）。我们展示的是与柯红路的新教材[16]不同的关于线性常微分方程 （组）的算子方法，最后，我们还将提出微分方程算子方法研究的几点展望，以便于今后有
A( D ) x = f (t )
（2.9）
其中 n × n 阶算子多项式矩阵， f (t ) = ( f1 (t ), … , f n (t )) T 。但是，因为算子多项式矩阵的因 式分解并不容易，所以以有关的结果并不理想。不过，利用它却能较好地解决教材[1]所指 出的问题：方程组 A( D ) x = f (t ) 的特解公式 x* = A * ( D) | A( D) |
n 阶常系数非齐次线性微分方程一般形式
y ( n ) + a1 y ( n−1) + … + an−1 y ′ + an y = f ( x) 或 L( D) y = f ( x)
引入记号
（2.2）
∫
(k j )
⋅ dx j ，表示 k j 阶不定积分 ∫
k
(k j )
⋅ dx j = ∫ ( ∫ … ( ∫ ⋅ dx) … dx)dx ，其结
−1
f (t ) （其中 A * ( D) 是
A( D) 的伴随矩阵，下同）是正确的，而 x* =| A( D) |−1 A * ( D) f (t ) 却是错误的。
定理 2.5 方程组（2.9）的解是 | A( D ) | Ex = A ( D ) f (t ) 的解，反之不然；若 A( D ) 非
x = A* ( D) | A( D) |−1 ⋅0 。
例 2.1 求微分方程 x ( 3) − 4 x ′′ + 5 x ′ − 2 x = e t sin t 的通解。 利用积分－比较系数法特解。 解 将方程写成 ( D − 4 D + 5 D − 2) x = e sin t 或( D－2)( D－ 1) x = e sin t 。
方程（1）的特征多项式为 L(λ ) = λ + a1λ
n
+ … + an−1λ + an ，特征方程为 L(λ ) = 0 。
引理 2.1 若 L(λ ) 有因式分解式 L(λ ) = L1 (λ ) L2 (λ ) ，则 L( D ) = L1 ( D ) L2 ( D ) ；又若
y = yi ( x)(i = 1,2) 分别是齐次方程 Li ( D) y = 0 的解，则它们也都是 L( D) y = 0 的解。
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线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望1
化存才
云南师范大学数学学院，昆明，650092
E-mail: cuncai-hua@sohu.com
摘 要：
本文综述了线性微分方程(组)的算子方法，侧重地介绍了作者所发展的一系列方
法和重要的结果与解公式。提出了算子方法研究的几点展望。 关键词：线性微分方程（组），算子方法
y = Re e λr x ∫
e ( − λr +λr −1 ) x ∫
n
…∫
e ( − λ2 +λ1 ) x ∫
e −λ1x f ( x)dx n
（2.3）
其中“Re”表示取实部， dx = dx 1 , … , dx r , k1 + … + k r = n 。
k k
若上述积分中常数特定，则（2.3）表示的就是方程（2.2）的特解。
1
本课题得到云南师范大学数学学院课程建设项目(2004)，云南师范大学科研启动基金(2002)和云南省引进
高层次人才工作经费(2003)资助。 -1-
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更多的学者来进一步关注、研究和发展这种方法。
2. 算子分解方法[8,10]
算子分解方法是指对微分算子多项式进行因式分解，然后在此基础上，研究微分方程 （组） 的求解。 利用算子分解方法可以很容易地直接给出高阶齐次微分方程的特解与非齐次 微分方程解的积分公式，以及非常简便的求非齐次微分方程特解的积分-比较系数法。对于 高阶常系数线性微分方程组，能够正确地给出一个通常教材中容易写错的特解公式。
1 1 称为L(D)百度文库f (t ) 记它的一个解， L( D) L( D)
的逆算子，常记为 L−1 ( D) ，而约定 L−1 ( D) ⋅ 0 为齐次微分方程（2.1）的通解。 引理 3.1[1] （解的结构）方程（2.2）的通解可表示为：
*
奇异，则方程（2.9）的解公式是：
x = A* ( D) | A( D) |−1 f (t )
推论 2.1 与（2.9）相应的齐次线性微分方程组
(2.10) （2.11）
A( D ) x = 0
的 解 是 | A( D ) | Ex = 0 的 解 ， 反 之 不 然 ， 若 A( D ) 非 奇 异 ， 则 方 程 组 （ 2.11 ） 的 解 是
具有形如 y = e
＊
( pm ( x)为x的m次多项式）
（2.4）
λx ( k )
∫
Qm ( x)dx k 的特解，其中 z = e λx Qm ( x) 是 L1 ( D) z = e λx p m ( x)
(2.5)
k
的特解。而方程（2.5）是一个 n − k 阶微分方程(实质上也为一种降阶方法）。 定理 2.4 设 λ ± iw是L(λ ) 的 k 重共轭复根，且有 L( D ) = L1 ( D )( D − λ－iw) ，则