关于考研高数同济七版必做课后习题
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(函数与极限 下)【圣才出品】
x0
x0
1 cos x2
lim
x0
sin2 x
lim x0
1 2
x2
2
x2
0
所以当 x→0 时，（1－cosx）2 是比 sin2x 高阶的无穷小。
3．当 x→1 时，无穷小 1－x 和（1）1－x3，（2）（1－x2）/2 是否同阶，是否等价？
x0 x
x0 x
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
；（4）
lim
x0
x
cot
x
；
（5） lim 1 cos 2x x0 x sin x
；（6） lim 2n n
sin
x 2n
（x
为不等于零的常数）。
解：（1）当ω≠0
时， lim x0
sin x x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
sin x x
2 5
lim
x0
sin 2x 2x
lim
x0
5x sin 5x
2 5
（4）
lim
x0
x
cot
x
lim
x0
x sin
x
cos
x
lim
x0
x sin
x
lim x0
cos
x
1
（5） lim 1 cos 2x lim 2sin 2 x 2 lim sin x 2
x0 x sin x x0 x sin x
（4） lim n 1 x 1 x0
（5）
lim
x0
x
1 x
1
证：（1）因1
同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【考研真题+模拟试题】【圣才出品】
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8．设函数
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，则（ ）．[数二 2013 研]
A．x＝π是函数 F（x）的跳跃间断点
B．x＝π是函数 F（x）的可去间断点
C．F（x）在 x＝π处连续但不可导
D．F（x）在 x＝π处可导
【答案】C
【解析】由题意得
ln 1 2x ~ 2xa
1
1 cos x
~
(1
1
x2) a
(
1
)
1 a
2
xa
2
2
由题意可知
2
1
，所以
1
的取值范围是 (1,2)
．
5．设
lim
n
a
n
a
0 ，则当 n
充分大时，下列正确的有（
）.[数三 2014 研]
A． an
a 2
B． an
a 2
C． an
a
1 n
D． an
a
1 n
【答案】A
【解析】因为
f
(
x)
lim
x 1
x(
x x 1 x 1) ln
x
x ln x
lim
x 1
(
x
1)
ln
x
，故 x 1不是函数
f (x) 的可
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去间断点．因此，可去间断点的个数为 2．
11．曲线
y
x2 x2
x 1
lim
n
a
n
a
0 ，所以
0 ，N
，当 n
N
时，有
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(重积分 上)【圣才出品】
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D＝{φ1（θ）≤ρ≤φ2（θ），α≤θ≤β}（图 10-1-3），φ1（θ）、φ2（θ）在
区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为
D
f ( cos , sin )dd
2 1
f
(
cos
,
sin
)
d
d
图 10-1-3
3．利用奇偶性计算二重积分 设二重积分的积分区域为 D，则：
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（1）若积分区域 D 关于 x 轴对称，则
f
(x,
y)d
2
Dy
0
d
D
0
f x, y 关于y为偶函数 f x, y 关于y为奇函数
（2）若积分区域 D 关于 y 轴对称，则
f
(x,
y)d
2 d
Dx 0
域上的二重积分的和；
（3）如果在 D 上，f（x，y）＝1，σ为 D 的面积，则 1d d ；
D
D
（4）如果在 D 上，f（x，y）≤g（x，y），则有 f x, y d g x, y d ；
D
D
特殊地，由于－|f（x，y）|≤f（x，y）≤|f（x，y）|，则
f x，yd f x，yd
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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 10 章 重积分 上
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质
1．二重积分的概念
（1）定义
n
D
f x, yd
lim 0 i1
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的逻辑思维和数学素养的培养起着至关重要的作用。
而《高等数学同济第七版》更是众多高校广泛采用的教材，其课后习题是巩固知识、提升能力的重要途径。
接下来，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
下册的内容主要包括多元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、无穷级数等重要章节。
这些章节的知识点相互关联，构成了一个较为完整的高等数学知识体系。
在多元函数微积分学这一部分，课后习题涵盖了多元函数的概念、偏导数、全微分、多元函数的极值与条件极值等重要知识点。
例如，有这样一道习题：求函数＼（z ＝ x^2 ＋ 2y^2 4x ＋ 8y\）的极值。
解答这道题，首先需要求出函数的偏导数＼（z_x\）和＼（z_y\），分别为＼（2x 4\）和＼（4y ＋ 8\）。
令偏导数等于零，得到方程组＼（2x 4 ＝ 0\），＼（4y ＋ 8 ＝ 0\），解得＼（x ＝ 2\），＼（y ＝－2\）。
然后，计算二阶偏导数＼（z_{xx} ＝ 2\），＼（z_{yy} ＝4\），＼（z_{xy} ＝ 0\）。
由于＼（z_{xx} ＞ 0\），且＼（z_{xx}z_{yy} z_{xy}＾2 ＝ 8 ＞ 0\），所以函数在点＼（（2, －2) ＼）处取得极小值，极小值为＼（ 12\）。
向量代数与空间解析几何这一章节的习题则注重考查学生对向量运算、空间直线和平面方程的理解和掌握。
比如，给定两个向量＼（＼vec{a} ＝（1, 2, －1) ＼）和＼（＼vec{b} ＝（3, 1, 2) ＼），求它们的叉积＼（＼vec{a} ＼times ＼vec{b} ＼）。
首先，根据叉积的计算公式，得到＼（＼vec{a} ＼times ＼vec{b} ＝＼begin{vmatrix} ＼vec{i} ＆＼vec{j} ＆＼vec{k} ＼＼ 1 ＆ 2 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 1 ＆ 2 ＼end{vmatrix} ＝ 5\vec{i} 5\vec{j} 5\vec{k} ＝（5, －5, －5) ＼）。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
台
则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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台
解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
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该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
f (x, y)d
，作乘积
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 A→0 时，这和的极限总存在，且与闭区域 D 的分
法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，y）在闭区域 D 上的二重积分，记作
，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x 与 y 称为
积分变量，D 称为积分区域，
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图 10-1-2
注：积分区域 D 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域时，可以把 D 分成几部分，使每个
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二
在 D 上至少存在一点 ，使得
．
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二、二重积分的计算法
1．利用直角坐标计算二重积分
（1）X 型区域
设积分区域 D 用不等式
其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图 10-1-1），
图 10-1-1 计算步骤： ①求截面面积 过区间[a，b]上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。
然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。
为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。
第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。
2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。
答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。
考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。
根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。
根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。
经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。
观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。
因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。
2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。
根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。
对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。
最新考研一轮复习课本高等数学同济第七版高老师推荐习题
第一节映射与函数一、映射（1-3）不要二、函数（12-15小体字）不要例题6-11习题1-1 13、15第二节例题3习题1-2 2、3、6第三节例题6习题1-3 2、4第四节习题1-4 5,6,7,8第五节例题1-8习题1-5 1（奇数），3,4,5第六节柯西极限存在准则（51-52）不要例题1-4习题1-6 1（4,6），2（2,4），4第七节例题1-5习题1,5第八节例题1-5习题1-8 3,4,5,6,7第九节例题1-8习题1-9 全做第十节例题1习题1-10 不要8总习题一不要4,6,7,8第一节例题7-11习题2-1 6,7,8,11,14,16,17,18,19,20第二节例题1-15习题2-2 9,10,11（奇数），13,14第三节例题1-8习题2-3 4,9,10,11,12第四节习题2-4 1（3），2,3,4（奇数），5（2），7,8,10第五节微分在近似计算中的应用（116-120）不要例题1-6习题2-5 2,3（奇数），4（奇数）第三章第一节例题129例习题3-1 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15第二节例题1-10习题3-2 1（2,3,5,7,10,12,13,15,16），2,3，4第三节例题1-3习题3-3 6,7,10第四节例题1-11习题3-4 4,5,6,7,8,11,12,13,14,15,16第五节例题1-7习题3-5 3,4,5,8,9,12第六节例题1-3习题3-6 2,4第七节（四、曲率中心的计算公式渐曲线与渐伸线（174-175）不要）例题1-3习题3-7 1,4,5第八节（177-181）不要总习题三17不要第四章第一节例题1-15第二节203-204小字内容不要例题1-27第三节例题1-9第四节例题1-8第五节（219-221）不要总习题四全做（本章习题只做总习题）第五章第一节（三、定积分的近似计算（229-232）不要）例题1习题5-1 5，10（偶数），11,12第二节例题1-8习题5-2 2,3,4,6,7,11,12,13,14,15,16第三节例题1-12习题5-3 1（4,7,9,10,17,18,19,21,24,25,26），2,3,4,5,6,7（6,7,10,11,12,13）第四节例题1-7习题5-4 1（偶数），2,3,4第五节（反常积分的审敛法（262-270）不要）总习题五1（3），17不要总习题六全做第七章第一节例题1-4习题7-1 5,7第二节例题1-4习题7-2 6第三节（二、可化为齐次的方程（312-214）不要）例题1-2习题7-3 3第四节例题1-4习题7-4 3第五节例题1-6习题7-5 3第六节例题7-6 3第七节例题7-6 3第八节例题1-4习题7-8 2（偶数），5,6 第九节习题7-9第十节（常系数线性微分方程组解法列举（357-360）不要）总习题7，12不要。
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版更是被广泛使用的经典教材之一。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、深化理解的重要环节。
下面，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
首先，我们来了解一下这本教材下册所涵盖的主要内容。
下册主要包括多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要章节。
每个章节都配有丰富的习题，旨在帮助学生掌握相关的概念、定理和方法。
在多元函数微积分学部分，习题的类型多种多样。
有关于偏导数、全微分的计算，也有涉及多元函数极值和条件极值的问题。
例如，在计算偏导数时，学生需要熟练掌握对各个变量的求导法则，并且要注意函数的复合结构。
对于全微分的习题，需要理解全微分的定义以及其与偏导数的关系，通过练习能够准确地求出给定函数的全微分。
而在极值问题中，学生要学会运用拉格朗日乘数法，通过建立方程组来求解极值点。
无穷级数这一章节的习题则主要集中在级数的收敛性判别、函数展开成幂级数等方面。
对于级数的收敛性判别，需要掌握各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
在函数展开成幂级数的习题中，学生要熟悉常见函数的幂级数展开式，并能够运用相应的方法将给定的函数展开成幂级数。
常微分方程部分的习题包括一阶和二阶常微分方程的求解，以及线性微分方程解的结构等内容。
在求解一阶常微分方程时，要掌握分离变量法、一阶线性方程的求解公式等方法。
对于二阶常微分方程，要能够根据方程的特征根来确定通解的形式，并通过给定的初始条件求出特解。
接下来，我们谈谈如何有效地解答这些课后习题。
第一步，认真审题。
仔细阅读题目，理解题目所考查的知识点和要求。
明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。
第二步，回顾相关知识。
根据题目所涉及的知识点，迅速在脑海中回顾所学的概念、定理和方法。
如果对某些知识点感到模糊，应及时查阅教材进行复习。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章 定积分【圣才出品】
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言《高等数学同济第七版下册》是同济大学数学系编写的一本面向高等数学教育的教材。
本书作为高等数学的下册，涵盖了积分学、无穷级数、多元函数微分学等重要内容。
为了帮助学生更好地理解和学习这些知识点，本文档整理了该教材下册的所有习题及其答案，以供学生参考和练习。
目录•第一章积分学•第二章无穷级数•第三章多元函数微分学第一章积分学积分学是高等数学的重要分支，它研究函数的积分与定积分等相关概念和性质。
本章的习题主要围绕定积分、不定积分和定积分的应用展开。
习题11.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$。
答案：$\\frac{2}{3}$2.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + x - 1) dx$。
答案：$\\frac{1}{4}x^4 - \\frac{2}{3}x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - x + C$习题21.计算定积分 $\\int_1^e \\frac{dx}{x}$。
答案：12.计算不定积分 $\\int \\frac{1}{x} dx$。
答案：$\\ln|x| + C$…第二章无穷级数无穷级数是数列求和的一种常见方法，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
本章的习题主要涉及级数的概念、级数的性质和级数的求和等内容。
习题11.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 的敛散性。
答案：该级数收敛。
2.计算级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$ 的和。
答案：该级数的和为2。
…习题21.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
答案：该级数收敛。
2.计算级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ 的和。
同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册）配套题库【考研真题精选＋章..
目 录第一部分 考研真题精选第8章 向量代数与空间解析几何第9章 多元函数微分法及其应用第10章 重积分第11章 曲线积分与曲面积分第12章 无穷级数第二部分 章节题库第8章 向量代数与空间解析几何第9章 多元函数微分法及应用第10章 重积分第11章 曲线积分与曲面积分第12章 无穷级数第一部分 考研真题精选第8章 向量代数与空间解析几何填空题（把答案填在题中横线上）点（2，1，0）到平面3x＋4y＋5z＝0的距离d＝______。
[数一2006研]【答案】【解析】由点到平面的距离公式第9章 多元函数微分法及其应用一、选择题1设函数f（x，y）在点（0，0）处可微，f（0，0）＝0，，且非零向量→d与→n垂直，则（ ）。
[数一2020研]A．存在B．存在C．存在D．存在A【答案】【解析】∵f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）＝0，∴；即。
∵，∴存在。
∴选A项。
2关于函数给出下列结论①∂f/∂x|（0，0）＝1②∂2f/∂x∂y|（0，0）＝1③④正确的个数为（ ）。
[数二2020研]A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①因，故①正确。
②因，先求f x′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，f x′（0，y）不存在。
故∂2f/∂x∂y|（0，0）不存在，因此②错误。
③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。
④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。
综上，正确个数为3。
故应选B。
3函数f（x，y，z）＝x2y＋z2在点（1，2，0）处沿向量→u＝（1，2，2）的方向导数为（ ）。
[数一2017研]A．12B．6C．4D．2D【答案】计算方向余弦得：cosα＝1/3，cosβ＝cosγ＝2/3。
偏导数f x′＝2xy，f y′＝x2，f z′＝2z。
得∂f/∂u＝f x′cosα＋f y′cosβ＋f z′cosγ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。
高等数学(同济第七版)课后答案解析
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；
同济大学高等数学第7版上册课后习题答案
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笔记和课后习题含考研真题详解同济大学数学系高等数学第7版上册资料来源
同济大学数Байду номын сангаас系《高等数学》（第7版）（上册）
笔记和课后习题（含考研真题）详解
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解-第十章(圣才出品)
（1）若曲面 S 由方程 z＝f（x，y）给出，D 为积分区域，且函数 f（x，y）在 D 上具
有连续偏导数 fx（x，y）和 fy（x，y），则曲面 S 的面积公式为
A
D
1
z x
2
z y
D
顶柱体的体积；
②当 f（x，y）＜0 时， f x, y d 的绝对值等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）
D
为顶的曲顶柱体的体积；
③当 f（x，y）在 D 上有正有负时， f x, y d 等于 xOy 面上方的柱体体积减去 xOy
D
面下方的柱体体积所得之差。
2．二重积分的性质
（1）设α与β为常数，则
sin
z z
其中ρ（0≤ρ＜＋∞），表示以 z 轴为轴的圆柱面；θ（0≤θ≤2π），表示为过 z 轴的半
平面；z（－∞＜z＜＋∞），表示为与 xOy 面平行的平面，则柱面坐标形式的三重积分为
f x, y, z dxdydz F cos , sin , z dd dz
（3）利用球面坐标计算三频学习平台
第 10 章 重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质
1．二重积分的概念
（1）定义
n
D
f x, y d
lim 0 i1
f i ,i i
（2）几何意义
①当 f（x，y）≥0 时， f x, y d 等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）为顶的曲
Dxy＝{（x，y）|y1（x）≤y≤y2（x），a≤x≤b}，则
f x, y, zdv
b
dx
y2 x dy
z2x,y f x, y, z dz
a
y1 x
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图1
【答案】C
【解析】函数 在
内连续，观察知，函数 在除去点
外处处二阶可导．如图1所示，虽然 不存在，但在点 两侧
异号，因此
是
的拐点．
A点处二阶导数为0，且A点两侧 异号，根据拐点的定义知，A 点为曲线的拐点．B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧 都是大 于0，因此，B点不是拐点．
2．设函数 具有二阶导数， （ ）．[数一 2014研]
A．
，则当 充分大时，下列正确的有（ ）.[数三
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，即
，
，所以
， ，当 时，有
，取 ，则知
．
6．设
，则当 时，若
是比 高阶
的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）. [数三 2014研]
A． B．
C． D．
目 录
第一部分 考研真题 第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 第七章 微分方程
第二部分 课后习题 第一章 函数与极限 习题1-1 映射与函数 习题1-2 数列的极限 习题1-3 函数的极限 习题1-4 无穷小与无穷大 习题1-5 极限运算法则
【答案】1
【解析】在方程
两端关于x求导，得
将x＝0代入方程
将
代入
，得
． ，得
则
【答案】 【解析】因为
，
，所以
所以
7．曲线
上对应于t＝1的点处的法线方程为 ______．
[数二2013研]
【答案】
【解析】由题中函数表达式得，曲线上对应于t＝1的点处的切线斜 率为
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(无穷级数 下)【圣才出品】
k∈Z）
2．将下列函数 f（x）展开成傅里叶级数：
（1）f（x）＝2sin（x/3）（－π≤x≤π） ；
（2）
f
(x)
ex ,
1,
x 0 0 x 。
解：（1）设φ（x）是 f（x）经周期延拓而得的函数，φ（x）在（－π，π）内连续，x
＝±π是φ（x）的间断点。又φ（x）满足收敛定理的条件，故在（－π，π）内，它的傅里
cosnxdx
0
n
00
ab n
(1) n1
1 sin n
nx
0
a
n
b
(1) n1(
n 1, 2,
)
f（x）满足收敛定理的条件，而在 x＝（2k＋1）π（k∈z）处不连续，故
f
(x)
4
(a
b)
n1
1
(1)n n2
(b
a)
cos
nx
(1) n 1 (a n
b)
sin
nx
（x≠（2k＋1）π，
an
n(1)n n2
e2 e2 4
(n 1, 2,)
f（x）满足收敛定理的条件，而在 x＝（2k＋1）π（k∈Z）处不连续，故
f
(x)
e2
e2
1
4
n1
(1)n n2 4
(2
cos
nx
n
sin
nx)
（x≠（2k＋1）π，k∈Z）
（
3
）
a0
1
0 bxdx
axdx
(a b)
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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 12 章 无穷级数 下
考研高数同济七版必做课后习题
考研高数同济七版必做课后习题第一章习题1-1：2，5，6，13；习题1-2：2，3，6，7，8；习题1-3：1，2，3，4，7，12；习题1-4：1，5，6；习题1-5：1，2，3，4，5；习题1-6：1：（5），（6），2，4；习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）；习题1-8：2，3，4，5，6；习题1-9：1，2，3，4，5；总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。
第二章习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20；习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14；习题2-3：1，2，3，4，10，12；习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）；习题2-5：3，4；总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。
第三章习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15；习题3-2：1，2，3，4；习题3-3：6，10；习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11；习题3-5：1，3，4，5，6，9；习题3-6：2，3，5；习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5；总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。
第四章习题4-1：1，2，3；习题4-2：1，2；习题4-3：1-24；习题4-4：1-24；习题4-5：1-25；总复习题四：1，2，3，4。
第五章习题5-1：2，3，4，7，11，12，13；习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14；习题5-3：1-7；习题5-4：1，4；总复习题五：1-14。
第六章习题6-2：2，5，12，13，14，15，23（数一、二），24（数一、二），25（数一、二）；习题6-3（数一、二）：1，3，7，8，11；总复习题六：1，2（2），4，5，7，8，10-13（数一、二）。
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目 录第一部分 考研真题精选第1章 函数与极限第2章 导数与微分第3章 微分中值定理与导数的应用第4章 不定积分第5章 定积分第6章 定积分的应用第7章 微分方程第二部分 章节题库第1章 函数与极限第2章 导数与微分第3章 微分中值定理与导数的应用第4章 不定积分第5章 定积分第6章 定积分的应用第7章 微分方程第一部分 考研真题精选第1章 函数与极限一、选择题1若，则f（x）第二类间断点的个数为（ ）。
[数二、数三2020研] A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。
因为存在，故x＝0为可去间断点；因，故x＝1为第2类间断点；因，故x＝－1为第2类间断点；因，故x＝2为第2类间断点；综上，共有3个第二类间断点，故应选C项。
2当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（ ）。
[数一2019研]A．1B．2C．3D．4【答案】Ctanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3），因此当x→0时有x－【解析】tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3，故选C。
3已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（ ）。
[数三2019研] A．（－∞，－4）B．（4，＋∞）C．{－4，4}D．（－4，4）【答案】D【解析】方程x5－5x＋k＝0有3个不同实根等价于曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个不同的交点，因此研究曲线y＝x5－5x的曲线特点即可。
令f（x）＝x5－5x，则f（x）在R上连续，且f′（x）＝5x4－5，再令f′（x）＝0，得x＝±1，通过分析f′（x）在稳定点x＝±1左右两侧的符号，可知当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增。
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考研高数同济七版必做课后习题
第一章
习题1-1：2，5，6，13；
习题1-2：2，3，6，7，8；
习题1-3：1，2，3，4，7，12；
习题1-4：1，5，6；
习题1-5：1，2，3，4，5；
习题1-6：1：（5），（6），2，4；
习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）；
习题1-8：2，3，4，5，6；
习题1-9：1，2，3，4，5；
总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。
第二章
习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20；
习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14；
习题2-3：1，2，3，4，10，12；
习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）；
习题2-5：3，4；
总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。
第三章
习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15；
习题3-2：1，2，3，4；
习题3-3：6，10；
习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11；
习题3-5：1，3，4，5，6，9；
习题3-6：2，3，5；
习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5；
总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。
第四章
习题4-1：1，2，3；
习题4-2：1，2；
习题4-3：1-24；
习题4-4：1-24；
习题4-5：1-25；
总复习题四：1，2，3，4。
第五章
习题5-1：2，3，4，7，11，12，13；
习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14；
习题5-4：1，4；
总复习题五：1-14。
第六章
习题6-2：2，5，12，13，14，15，23（数一、二），24（数一、二），25（数一、二）；
习题6-3（数一、二）：1，3，7，8，11；
总复习题六：1，2（2），4，5，7，8，10-13（数一、二）。
第七章
习题7-1：1，2，4；
习题7-2：1，2；
习题7-3：1，2；
习题7-4：1，2，6，7；
习题7-5（数一、二）：1，2；
习题7-6：4；
习题7-7：1，2；
习题7-8：1，2；
总复习题七：1，2，3，4，5。
第八章（数学一）
习题8-3：4，8，9；
习题8-4：1，2，3，4，5，7，8，9，10，13，15，16；
习题8-5：8，9，10，11，12；
习题8-6：1-8；
总复习题八：1，2，14，15，20，21，22。
第九章
习题9-1：6，7，8，9；
习题9-2：1-8；
习题9-3：1，5；
习题9-4：1-11；
习题9-5：1-7，10；
习题9-6（数一）：4-10；
习题9-7（数一）：1-8；
习题9-8：1-8，11；
总复习题九：1-6，8-12，13-14（数一）。
第十章
习题10-1：2，4，5，6；
习题10-2：1-18；
习题10-3（数学一）：1-9；
习题10-4（数学一）：1，2，3，4，9，12，13；
总复习题十：1，2（1）（数学一），（2），（3），3，4，5，6，8-9（数学一）。
第十一章（数学一）
习题11-1：3；
习题11-2：3，4，7；
习题11-3：3，4，6，7，8；
习题11-4：4，5，6；
习题11-5：3；
习题11-6：1；
习题11-7：2；
总复习题十一：1，2，3，4。
第十二章（数一、三）
习题12-1：2，3；
习题12-2：1-5；
习题12-3：1，2；
习题12-4：6。
1、最困难的事就是认识自己。
20.11.111.1.202015:5615:56:00Nov-2015:56
2、自知之明是最难得的知识。
二〇二〇年十一月一日2020年11月1日星期日
3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。
15:5611.1.202015:5611.1.202015:5615:56:0011.1.202015:5611.1.2020
4、与肝胆人共事，无字句处读书。
11.1.202011.1.202015:5615:5615:56:0015:56:00
5、三军可夺帅也。
Sunday, November 1, 2020November 20Sunday, November 1, 202011/1/2020
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
3时56分3时56分1-Nov-2011.1.2020
7、人生就是学校。
20.11.120.11.120.11.1。
2020年11月1日星期日二〇二〇年十一月一日 亲爱的用户：
烟雨江南，画屏如展。
在那桃花盛开的地方，在这醉
人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。