(完整版)同余问题知识点讲解
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(1)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
(2)当0
一个完美的带余除法讲解模型:
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就
可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打
包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打
包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d
本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.【余数的加法定理】
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.【余数的乘法定理】
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.【同余定理】
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、【弃九法原理】：
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
++++=
例如：检验算式1234189818922678967178902889923
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、【中国剩余定理】：
1.中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
巨人的花园读后感100字
巨人的花园读后感100字 今天我读了一篇文章，名叫《巨人的花园》。巨人因为不让孩子在花园玩，所以赶走孩子，砌起围墙，使得花园里天天狂风大作。雪花飞舞，没有春天，让巨人感到苦恼。 这篇文章告诉我：快乐应当与他人分享，不要拒绝他人，这样会使得朋友之间不团结，所以我们有快乐时应该懂得与他人分享，不但自己会快乐，别人也会快乐！ 读了《巨人的花园》有感_450字 巨人的花园第一句，每天下午，孩子们放学后总想到巨人的花园里去玩耍。既点明中心，又点明主题。 一到春天，就开出粉扑扑的花朵，秋天则结满了香甜的蜜桃，运用比喻的修辞手法，形象地描绘了巨人的花园，让我们感到花园的美丽。栖息在树枝上的小鸟唱着欢乐的曲子，歌声是那么优美动听，孩子们的欢笑声也在这里荡漾，这句为后面失去的美景做了铺垫。
具体情况是：巨人原来到他朋友家里去做客了，现在巨人回来了，他把孩子都赶出了花园，此后，孩子们再也没有什么地方可以玩了。不过，巨人的花园也因此变得寒冷，只有雪和霜心里高兴，还把冰雹大爷也请来了。哎，巨人太自私了。直到有一天，巨人被一阵迷人的乐曲惊醒了，起初还以为是皇家乐队经过呢，仔细一看，原来是小朱雀在歌唱，而且还闻到了一阵阵芳香呢，春天总算来啦。他把头伸到外面张望，还看到了更美的景象，原来有一个小孩把墙上挖了一个小洞，其他小孩都爬进来，盼到果树上玩耍，巨人突然意识到自己好自私，正好看到有个小孩因为太小了，实在爬不上来，于是巨人走到他身边小心翼翼地把他抱起来，轻轻的放在树上。小心翼翼、轻轻传神的写出了巨人亲近孩子、呵护孩子。他又抡起斧头把墙拆掉，并宣布，孩子们，花园从现在起归你们了，孩子们都开心地笑了。 从中我们可以体会到：自私自利，终将自食孤独、郁闷的恶果，而宽宏大度必将利人利己、又悦人悦己这一人生的哲理。 观巨人的花园有感_100字
公务员考试行测之余数同余问题解题诀窍
公务员考试 行测之余数同余问题解题诀窍 在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】（江西2009）学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数），但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的（0≤余数＜除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除
数=除数×商＋余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？ A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？ A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。【相关链接】：2013年国家公务员考试备考
盐类的水解知识点总结
1.复习重点 1 ?盐类的水解原理及其应用 2 ?溶液中微粒间的相互关系及守恒原理 2?难点聚焦 盐的水解实质 H 2O H ++OH AB== B n — ” n+ 进水进一步电离. 类的水解程度小得多，故为万逆反应，真正发生水解的离子仅占极小比例。 （二）水解规律 如HPQ 及其三种阴离子随溶液 pH 变化可相互转化： pH 值增大 --------------------------------------- > — 2— 3 — H 『3PQ H 2PQ HPO 4 PQ 4 pH 减小 ③常见酸式盐溶液的酸碱性 碱性：NaHCO NaHS NmHPG 、NaHS. 酸性（很特殊，电离大于水解）： NaHSO NaHPQ 、NaHSO 盐类的水解 简述为：有弱才水解，无弱不水解 具体为：1 ?正盐溶液 ①强酸弱碱盐呈酸性 ③强酸强碱盐呈中性 女口 NH 4CN CH 3CONH 碱性 中性 取决于弱酸弱碱 相对强弱 2 .酸式盐 ①若只有电离而无水解, ②若既有电离又有水解, 电离程度〉水解程度， 呈酸性 呈碱性 越弱越水解，弱弱都水解 ②强碱弱酸盐呈碱性 ④弱酸碱盐不一定 NH 4F 酸性 则呈酸性（如 NaHSC ） 取决于两者相对大小 电离程度v 水解程度， 强碱弱酸式盐的电离和水解： 谁强显谁性，等强显中性 HB (n -1)— 当盐AB 能电离出弱酸阴离 ) A(OH Hr 或弱碱阳离子（A n+），即可与水电离岀的 川或0H 结合成电解质分子，从而促 与中和反应的关系: 盐+水 由此可知, 水解 . 酸+碱（两者至少有一为弱） 中和 盐的水解为中和反应的逆反应，但一般认为中和反应程度大，大多认为是完全以应，但盐
巨人的花园读书心得范文五篇
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非常的生气！愤怒的训斥了他们。孩子们四处逃窜，只有一个小男孩站在树后。用他会说话的小眼睛看着巨人。巨人也让他赶快离开自己的花园。小男孩并没有动，用她的手摸了一下桃花，桃花就立刻绽放了起来。巨人这才明白，没有孩子的地方就没有春天。让他感到寒冷的，是自己那颗任性，冷酷的心。巨人把围墙推到，让孩子们尽情的玩耍。从此巨人生活在漂亮的花园和孩子们中间。感到无比的幸福，温暖！巨人的花园读书心得（二）巨人的花园主要讲了巨人有一座花园，里面开满了美丽的鲜花。绿油油的草地上还有xx棵桃树，每到春天就会开出粉色的花朵，每到秋天就会结出沉甸甸的果实。小鸟们飞到桃树上栖息，还唱着动听的歌儿。一天巨人回来了。原来前些天他是到自己的妖怪朋友科尼西家串门去了，这一走就是x年，孩子们也在这里玩了x年。巨人回到家，一眼就看到在花园里玩耍的孩子们。巨人粗鲁的喊了起来。他还筑起一道道高高的围墙，把花园围起来，不准孩子们进入。春天来了，到处开满了美丽的花朵，而巨人的花园里却是寒冬。霜和雪在花园里肆虐，到处一片白茫茫。一个清晨，巨人耳边传来阵阵美妙的声音。他一跃而起，打开窗子，原来是孩子从小洞里钻进来玩了。每一棵树上都坐着一个孩子。树木们终于迎来了孩子，正忙着用鲜花打扮自己。巨人拿来斧子，把围墙全部砍倒，从此巨人再也不自私了，春天也和孩子一起来
数论之同余问题
数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c
的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除
高考专题盐类的水解知识点和经典习题
第２5讲盐类的水解 基础考点梳理 最新考纲 1.理解盐类水解的原理，掌握盐类水解的规律和应用。 ２.了解盐溶液的酸碱性,会比较盐溶液中离子浓度的大小。 自主复习 一、盐类水解的定义和实质 １．盐类水解的定义 在溶液中盐电离出来的离子跟水所电离出来的H+或ＯH-结合生成弱电解质的反应，叫做盐类的水解。 2.盐类水解的实质 盐类的水解是盐跟水之间的化学反应,水解(反应)的实质是生成难电离的物质,使水的电离平衡被破坏而建立起了新的平衡。 3．盐类水解反应离子方程式的书写 盐类水解一般程度很小,水解产物也很少，通常不生成沉淀或气体，书写水解方程式时,一般不用“↑”或“↓”。盐类水解是可逆反应，除发生强烈双水解的盐外，一般离子方程式中不写＝＝＝号,而写号。 4.盐类的水解与溶液的酸碱性 ①NａCl②NH4Cl ③Na２ＣO3④CH３COOＮa ⑤AlCl3 五种溶液中呈酸性的有:②⑤。 呈碱性的有：③④。 呈中性的有：①。 二、盐类水解的影响因素及应用 1．内因：盐本身的性质 (1)弱碱越弱，其阳离子的水解程度就越大，溶液酸性越强。 (2)弱酸越弱,其阴离子的水解程度就越大,溶液碱性越强。 ２.外因 (1)温度：升高温度,水解平衡正向移动,水解程度增大。 (2)浓度 ①增大盐溶液的浓度，水解平衡正向移动,水解程度减小,但水解产生的离子浓度增大，加水稀释，水解平衡正向移动,水解程度增大，但水解产生的离子浓度减小。 ②增大ｃ(H+)，促进强碱弱酸盐的水解,抑制强酸弱碱盐的水解；增大c（OH-)，促进强酸弱碱盐的水解,抑制强碱弱酸盐的水解。 3.盐类水解的应用（写离子方程式) （１)明矾净水：Ａl3+＋3H2O Al(OＨ)3+3H＋。 (2)制备Fe(ＯH)３胶体：Fｅ3+＋3H2O错误!Fe（OH)３（胶体)+3H＋。 (3)制泡沫灭火剂:Al3+＋3HCO错误!＝＝=Al(OH）３↓＋３CO2↑。 (4)草木灰与铵态氮肥混施：ＮH错误!+CO错误!＋H２O NH3·H2Ｏ+HCO - 。 3 网络构建
部编本四年级语文下册第八单元第26课《巨人的花园》课后作业题及答案(含三套题)
部编本四年级语文下册第八单元第26课 《巨人的花园》课后作业题及答案 班级姓名分数 一、读句子，用“_____”给加点字选择正确的读音，根据拼音写词语。 当巨人叱责了孩子们，并赶走了玩耍的孩子们后，他砌．（qī q ì）起了围墙，竖起了“禁．（jìn jīn）止入内”的pái（）子，不允．（rǔn yǔn）许人们进来。后来，那些fēng shuò（）的果实都掉落了，冰雪渐渐覆．（fǔ fù）盖了整个花园。正是z ì sī（）的巨人的冷酷才让花园变成了北风 hū xiào （）的隆冬，搂．（lóu lǒu）抱着毯子的他已经冻得瑟瑟发抖了。而花园外面已经春暖花开，孩子们的脸上洋溢着笑容。 二、根据课文内容将下列词语补充完整，然后选词填空。 四处逃（）（）出绿芽树叶飘（） 狂风大（）雪花飞（）草（）花开 1. 春天来了，到处__________________________________________，景色美极了！ 2. 冬天到了，空中______________________，大地一片银白，让人感到非常寒冷。 三、括号里的词语不是画线词语的近义词的一项是（） A.巨人的花园里仍然是冬天。（果然） B.小男孩用他那会说话的眼睛凝视着巨人。（注视）
C.巨人被喧闹声吵醒了。（吵闹） D.巨人第一次感到了温暖和愉快。（快乐） 四、根据要求完成句子。 1.巨人的花园里仍然是冬天的真实原因是（） A.当时的季节是冬季，所以他家花园里仍然是冬天。 B.因为巨人的内心是冷酷的，他自私地想要保护自己的花园而不让孩子们进去。 C.本来已经是春天了，可是天气变化无常，还是很冷，经常下雪。 2.他见到孩子们在花园里玩耍，很生气：“谁允许你们到这儿来玩的！都滚出去！” （1）这是对巨人的_____________、_____________描写，我们看到了一个_______________________________________________的巨人。（2）此时此刻，巨人心里会有怎样的想法呢？ ___________________________________________________________ 3.孩子们的欢笑使花园增添了春意。（仿写句子） 妈妈的笑容使_______________________________________________。 4 .A.那里，春天鲜花盛开，夏天绿树成荫，秋天鲜果飘香，冬天白雪一片。 B.与此同时，鲜花凋谢，树叶飘落，花园又被冰雪覆盖了。 A句从_______、________、________、_______（季节）的景色写出了花园的_____________________。B句中“______________”“________________”两个词写出了花园景色的变化。这两句话运用
《巨人的花园》读后感
《巨人的花园》读后感 《巨人的花园》读后感 当看完一本著作后，相信你一定有很多值得分享的收获，此时需要认真思考读后感如何写了哦。到底应如何写读后感呢？以下是为大家收集的《巨人的花园》读后感，仅供参考，大家一起来看看吧。 《巨人的花园》读后感1 星期三，我读了英国作家王尔德写的《巨人的花园》。 《巨人的花园》里讲了一个花园。那里，春天鲜花盛开，夏天绿树成荫，秋天鲜果飘香，冬天白雪一片。很多孩子喜欢到花园里玩耍。花园的主人巨人外出许久，有一天他突然回来了，看到满园子的孩子，他一点也不喜欢，就把孩子们都赶走了。 赶走孩子以后，他在花园四处造起围墙，还竖起一块儿“禁止入内”的告示牌。春天来了，有许多孩子从墙破损处钻进来，和巨人一起玩耍，巨人也逐渐的向他们敞开心扉。小朋友们用一天的时间把一个冷酷任性和自私的巨人变成了一个可爱的人。 通过这件事，让我又想起一件事。有一个“富豪”，他买了一个电动汽车送给了他的儿子，他的儿子到小院里玩，一点儿都不让别人去碰他的电动车。他们家的什么都不让别人碰一下，甚至多看一眼。过了很久，遇到股市动荡，那个人的股票暴跌却没有人借给他钱，最后他破产了。 我们一定不要自私，要做一个乐于助人的人。与别人分享快乐才
能得到更多的快乐。 《巨人的花园》读后感2 《巨人的花园》是一个童话故事，读后使我深受启发。故事的主要内容是：一个自私的巨人度过了漫长的寒冬，却怎么也看不到春天的到来。 故事讲的是在巨人外出旅行的时候，孩子们经常到巨人那美丽的花园里去玩。有一年秋天，巨人突然回来了，看见孩子们在玩耍，他很生气，就把孩子们都轰了出去。然后，又砌起围墙并竖起一块”禁止入内”的告示牌。冬天到了，巨人孤独地度过了漫长的严冬，却怎么也等不到春天的到来。最后，巨人在一位小男孩的帮助下，终于醒悟了：没有孩子的地方就没有春天；快乐要和大家分享，才会生活的无比幸福、快乐。 读了这篇课文后，我明白了一个道理：做人不可以任性、自私，要学会用宽容的心去对事、对人。 我以后一定要做一个宽容、乐于助人的人。 《巨人的花园》读后感3 最近，我读了《巨人的花园》，看完之后，我深深地被分享的幸福所感动了。 故事发生在一个巨人和一群孩子之间：从前，有一座美丽的花园，村里的孩子都喜欢到哪里玩。有一天花园的主人—巨人回到了花园，把孩子们赶出了花园。从此，狂风大作，雪花飞舞，后来巨人在小男孩的眼神和做法中得到了启示，把花园给了小朋友们。
小学奥数五年级同余问题知识分享
小学奥数五年级同余 问题
同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
高三化学盐类的水解知识点总结
水解 中和 盐 类的水解 1．复习重点 1．盐类的水解原理及其应用 2．溶液中微粒间的相互关系及守恒原理 2．难点聚焦 （一） 盐的水解实质 H 2O H +— n 当盐AB 能电离出弱酸阴离子（B n —）或弱碱阳离子（A n+），即可与水电离出的H +或OH —结合成电解质分子，从 而促进水进一步电离. 与中和反应的关系： 盐+水 酸+碱（两者至少有一为弱） 由此可知，盐的水解为中和反应的逆反应，但一般认为中和反应程度大，大多认为是完全以应，但盐类的水解程度小得多，故为万逆反应，真正发生水解的离子仅占极小比例。 （二）水解规律 简述为：有弱才水解，无弱不水解 越弱越水解，弱弱都水解 谁强显谁性，等强显中性 具体为： 1．正盐溶液 ①强酸弱碱盐呈酸性 ②强碱弱酸盐呈碱性 ③强酸强碱盐呈中性 ④弱酸碱盐不一定 如 NH 4CN CH 3CO 2NH 4 NH 4F 碱性 中性 酸性 取决于弱酸弱碱 相对强弱 2．酸式盐 ①若只有电离而无水解，则呈酸性（如NaHSO 4） ②若既有电离又有水解，取决于两者相对大小 电离程度＞水解程度， 呈酸性 电离程度＜水解程度， 呈碱性 强碱弱酸式盐的电离和水解： 如H 3PO 4及其三种阴离子随溶液pH 变化可相互转化： pH 值增大 H 3PO 4 H 2PO 4— HPO 42— PO 43— pH 减小
③常见酸式盐溶液的酸碱性 碱性：NaHCO3、NaHS、Na2HPO4、NaHS. 酸性（很特殊，电离大于水解）：NaHSO3、NaH2PO4、NaHSO4 （三）影响水解的因素 内因：盐的本性. 外因：浓度、湿度、溶液碱性的变化 （1）温度不变，浓度越小，水解程度越大. （2）浓度不变，湿度越高，水解程度越大. （3）改变溶液的pH值，可抑制或促进水解。 （四）比较外因对弱电解质电离和盐水解的影响. HA H++A——Q A—+H2O HA+OH——Q 温度（T）T↑→α↑ T↑→h↑ 加水平衡正移，α↑促进水解，h↑ 增大[H+] 抑制电离，α↑促进水解，h↑ 增大[OH—]促进电离，α↑抑制水解，h↑ 增大[A—] 抑制电离，α↑水解程度，h↑ 注：α—电离程度 h—水解程度 思考：①弱酸的电离和弱酸根离子的水解互为可逆吗 ②在CH3COOH和CH3COONO2的溶液中分别加入少量冰醋酸，对CH3COOH电离程度和CH3COO—水解程度各有何影响 （五）盐类水解原理的应用 考点 1．判断或解释盐溶液的酸碱性 例如：①正盐KX、KY、KZ的溶液物质的量浓度相同，其pH值分别为7、8、9，则HX、HY、HZ的酸性强弱的顺序是________________ ②相同条件下，测得①NaHCO3②CH3COONa ③NaAlO2三种溶液的pH值相同。那实验么它们的物质的量浓度由大到小的顺序是_______________. 因为电离程度CH3COOH＞HAlO2所以水解程度NaAlO2＞NaHCO3＞CH3COON2在相同条件下，要使三种溶液pH值相同，只有浓度②＞①＞③ 2．分析盐溶液中微粒种类. 例如 Na2S和NaHS溶液溶液含有的微粒种类相同，它们是Na+、S2—、HS—、H2S、OH—、H+、H2O，但微粒浓度大小关系不同. 考点2．比较盐溶液中离子浓度间的大小关系.
2018人版小学四年级语文(上册)长江作业本参考答案与解析
2017年人教版小学四年级语文上册 长江作业本参考答案 第一课 一，略 二，、写大潮声音的: 闷雷滚动山崩地裂风号浪吼 2、写大潮形态的：一条白线白色城墙白色战马 三，2、3、1 2、1、3 四，1，潮来时的壮观景象白线水墙战马由远到近奇特、雄伟壮观2，声音和形态 3，河水犹如一面明亮的镜子（十五的月亮犹如大圆盘） 五，1，鄱阳湖大、美和丰富的水产喜爱 2,，总分风平浪静、微风吹过和刮起大风 第二课 神秘莫测：非常神秘，让人难以推测。 人迹罕至：很少有人去的荒僻地方。 一，云遮雾涌不容置疑千姿百态咫尺为邻郁郁苍苍皑皑雪山涓涓细流帘帘飞瀑滔滔江水 二，1，列数字 2，作比较 三，1，大峡谷的奇异景观还体现在生物的多样性上。
2,不同高度的自然带呈现出不同的自然景观，犹如凌空展开的一幅神奇美丽的画卷。 3，特定的称谓 四，1，主要写了雪峰、森林、湖泊、瀑布 2，人间仙境，童话世界——九寨沟欢迎您！ 应接不暇：形容人或事情很多，接待应付不过来。文中指鸟太多，看不过来。 第三课 一，略， 二，di xīngshù jīn cu xì 三，1，连续 2，陆续 3，继续 4，持续 四，1，这美丽的南国的树啊！ 2，公园里面的人真是不少，有的在跳舞，有的在唱歌，有的在打太极拳。五，1，第二次 2，看清楚了这只，又错过了那只，看见了那只，另一只又飞起来了。 3，大小花黑叫飞扑 4，茂盛的大榕树鸟儿理想的栖息之地，鸟儿的乐园 5，例：我是一只小画眉鸟，我想对大榕树说：“美丽的大榕树啊，你是我们的家园，我们在你的怀抱中自由地生活。我们感谢你啊，大榕树，你是我们的天堂！”（还可以对关爱我们的人类说）
余数同余技巧
在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。针对常见的几类题目给予分析，帮助考生轻松解决余数同余问题。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少? A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是? A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。 三、同余问题
高二化学下册盐类的水解知识点总结
高二化学下册盐类的水解知识点总结 世界由物质组成，化学则是人类用以认识和改造物质世界的主要方法和手段之一。以下是为大家整理的高二化学下册盐类的水解知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。 （一）盐类水解口诀： 有弱才水解,越弱越水解,双弱双水解,谁强显谁性. （1）有弱才水解 要求盐要有弱酸根离子或者弱碱金属离子(包括铵离子). 如：NaCl中的Na+对应的碱是强碱NaOH,则Na+是强碱金属离子,不会水解.NaCl中的Cl-对应的酸是强酸HCl ,则Cl-是强酸根离子,也不会水解. 所以,NaCl在水溶液中不会发生水解. 又如：CH3COONa中的CH3COO-对应的是弱酸CH3COOH,则 CH3COO-是弱酸根离子,会水解.消耗H2O电离出的H+,结合成CH3OOH分子.使得水中OH-多出. 所以,CH3COONa的水溶液显碱性. （2）越弱越水解 盐中的离子对应的酸或碱的酸性越弱或碱性越弱,水解的程度越大. 如：Na2CO3和Na2SO3 CO3^2-对应的酸是H2CO3;SO3^2-对应的酸是H2SO3
由于H2CO3的酸性弱于H2SO3 则,CO3^2-的水解程度比SO3^2-的水解程度更大,结合的H+更多. 所以,Na2CO3的碱性比NaSO3的碱性强. （3）双弱双水解 当盐中的阳离子对应的碱是弱碱并且盐中的阴离子对应的是弱酸时,则盐的这两种离子都会发生水解.阳离子水解结合水电离出的OH-;阴离子水解结合水电离出的H+,所以双水解发生的程度往往较大. 如：CH3COONH4 中的NH4+对应的碱是弱碱NH3*H2O ;CH3COO-对应的酸是弱酸CH3COOH 则NH4+和CH3COO-都会发生水解,NH4+结合OH-形成 NH3*H2O;CH3COO-结合H+形成CH3COOH,相互促进,水解程度较大. （4）谁强显谁性 主要是针对双水解的盐,即弱酸弱碱盐,由于盐中的阴离子水解结合H+,阳离子水解结合OH- 要判断盐溶液的酸碱性,则要比较阴离子的水解成度和阳离子的水解程度的大小. 如：(NH4)CO3 ,由于NH3的碱性比H2CO3的酸性强(实际上比较的是两者的电离度,中学不做要求,只需记忆),则NH4+的水解程度比CO3^2-的水解程度弱,使得水溶液中消耗的H+
最新部编版四年级语文下册《巨人的花园》家庭作业及答案
最新部编版四年级语文下册《巨人的花园》家庭作业及答案 一、看拼音写词语。 yì lìdiǎn zhe héng guàn shà shílú wěi fēng súyuè chūgǔ gǔshǎn shuòbà zhàn 二、把括号内不正确的读音用“\”画掉。 纪．昌（jǐjì）宁．可（níng nìng）哄．骗（hǒng hōng）明媚．（mèi méi）旋．转（xuàn xuán）笨拙．（zhuózhuō）成绩．（jījì）凭．借（pín píng） 三、我会形近字组词。 侍（______）晋（______）稍（______）柜（______）梭（______） 待（______）普（______）俏（______）拒（______）棱（______）四、先将下列词语补充完整，再选择合适的词语填到句子中。 提心（___）（___）面如（___）（___）亭亭（___）（___） （___）（___）彬彬（___）（___）凛凛容光（___）（___） 鹤（___）童（___）（___）眉（___）目聚精（___）（___） 1.李叔叔白净的脸上戴着一副眼镜，看起来____________的。 2.那盛开的荷花挺着碧绿的茎，像一位____________的少女眺望着远方。 3.莫高窟保存着两千多尊彩塑。这些彩塑个性鲜明，神态各异。有 ____________的菩萨，有____________的天王，还有强壮勇猛的力士。 五、选词填空。
探测探索 1．万户那种勇于实践的（____）精神极大地震撼和鼓舞着人们。 2．我国成功发射了第一颗月球（____）卫星——“嫦娥一号”。 承受承担 3．为了孩子们能过上好日子，他（____）了太多的压力。 4．一百多个单位直接（____）了研制、建设和发射任务。 六、根据课文内容填空。 课文中多处运用了对比的修辞手法。巨人回来前，花园是_____；巨人回来后，花园里一派凄凉。巨人醒悟前_____ 孩子们；醒悟后____。巨人砌墙后花园里总是__的景象；拆墙后花园里____降临了。 七、课内阅读。 巨人的花园（节选） 他看见一幅奇特的景象。孩子们从墙上一个小洞爬进花园里来了，他们都坐在桃树上面。桃树看见孩子们回来十分高兴，纷纷用花朵把自己装饰起来，还在孩子们头上轻轻地舞动胳膊。小鸟们快乐地飞舞歌唱。花儿们也从绿草丛中仲出头来。这的确是很可爱的景象。只有一个角落还是冬天。这是花园里最远的角落，一个小男孩正站在那里。他太小了，手还挨不到树技，只好在树旁转来转去，哭得很厉害。这棵可怜的树仍然满身盖着雪和霜，北风还在树顶上吼叫。“快爬上来孩子！”桃树一面对小男孩说，一面尽可能地把树枝垂下去，然而孩子还是太小了。 巨人看见这个情景，心也软了。他对自己说:“我多么自私啊！现在我明白为什么春天不肯到这儿来了。”他十分后悔自己先前的举动。 1．孩子们的到来给花园带来了什么？ _____________________________ 2．选文中写树、鸟、花都采用了_________修辞手法，这种手法的好处是 ___________________。 3．选文中说“只有一个角落还是冬天”，为什么？
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数 同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （） 能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b ) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 知识点拨 教学目标 5-5-3.同余问题
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数 节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1) 39336 -=，51-3=48，1473144 -=，(36,144)12 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912 -=，(12,108)12 -=，14739108 =，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12 【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。 【答案】61 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答 【解析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336 -÷=． 【答案】6
盐类的水解知识点(学生版)教学文案
盐类的水解知识点(学 生版)
【盐类的水解知识大复习】 一、探究盐溶液的酸碱性 结论：强酸弱碱盐显酸性，强碱弱酸盐显碱性，强酸强碱盐显中性。 二、盐溶液呈现不同酸碱性的原因 三、盐的水解原理 1.定义：在溶液中，盐电离出来的阴离子或阳离子与水所电离出来的H+或OH－结合生成弱电解质，这种作用叫做盐类的水解。 2.实质及结果 实质：促进水的电离平衡。 结果：盐的溶液呈现出不同程度的酸、碱性。 3.水解条件 a.盐必须溶于水中 b.生成盐的酸或碱是弱酸或弱碱（有弱才水解，无弱不水解，都弱双水解） 4.水解特征 水解是微弱、可逆的，用可逆符号“” 【小结】水解规律： 有弱才水解，无弱不水解，都弱双水解，谁强显谁性，都强显中性 5 盐溶液中水的电离规律 【例题】1、pH=3的HCl和pH=11的NaOH溶液中由水电离出来的c(H+)水 2、pH=3的NH4Cl和pH=11的CH3COONa溶液中由水电离出来的 c(H+)水 【小结】盐溶液中水的电离有如下规律：
a.在强酸弱碱盐溶液中，盐的水解促进了水的电离，水的电离程度比纯水、酸或碱溶液（抑制水的电离）中水的电离程度大。 b.在酸或碱溶液中，c (H +)、c (OH -)中小的那一个表示水的电离；在盐溶液中，c (H +)、c (OH -)中大的那一个反映了水的电离程度。 四、水解方程式的书写 （1）判断能否水解； （2）水解是微弱的，用可逆符号表示。通常不生成沉淀或气体，也不发生分解。在书写离子方程式时一般不标“↓”或“↑”，也不把生成物（如H 2CO 3、NH 3·H 2O 等）写成其分解产物的形式； （3）多元弱酸的盐分步水解，以第一步为主。 （4）多元弱碱盐的水解视为一步完成。 （5）双水解——不完全双水解与完全双水解 不完全水解用可逆符号，完全水解用等号表示。 五、盐类水解的影响因素 1.内因——越弱越水解（越热越水解，越稀越水解） 以醋酸钠为例：CH 3COO -+H 2O CH 3COOH+OH - K h 弱酸或弱碱的电离常数越（越弱），其所生成的盐水解的程度就越大。 2.外因：温度、浓度、酸or 碱、盐溶液 a W h K K H c COO CH c H c OH c COOH CH c COO CH c OH c COOH CH c K =???=?=+-+---)()()()()()()()(3333
四年级语文下册巨人的花园课后作业及答案
四年级语文下册巨人的花园课后作业及答案 一、读拼音，写词语。 sài wài xiànɡ mùyán sùxùn chì qīnɡ xīpínɡ fán xiōnɡ huái zàn tàn 二、用“√”画出正确的读音。 空．隙（kōng kòng）血．液（xiěxuè）系．鞋带（jìxì） 活跃．（yuèyào）降．服（jiàng xiáng）叶柄．（bǐng bìng） 三、辨字组词。 微（_________）扰（_________）潮（_________）栏（_________） 徽（_________）拢（_________）嘲（_________）拦（_________） 四、把下列词语补充完整，并选词填空。 （___）情（___）理（___）名（___）义不动（___）（___） 无（___）无（___）（___）头（___）气（___）（___）大笑 手（___）足（___）不（___）不（___）（___）头（___）脑 1.他的滑稽的表演引得大家（___）。 2.妈妈是一个（___）的人。 3.表弟（___）地哭了起来，无论怎么哄都不听。 4.面对严厉的考官，他（___），神情镇定自若。 五、选择恰当的关联词语填空。 不仅…还…既…也…尽管…就是…因为…所以…
1．他（______）不能动弹，（______）不能睡觉，日夜遭受着风吹雨淋的痛苦。 2．（_______）如此，普罗米修斯（_______）不向宙斯屈服。 3．从前，有个很远很远的地方叫作燧明国，（_______）太阳和月亮都照不到那里，（_______）那里没有白天黑夜，更没有春夏秋冬。 4．这种地板砖（________）坚固，（________）很美观。 六、根据课文内容填空。 课文中多处运用了对比的修辞手法。巨人回来前，花园是_____；巨人回来后，花园里一派凄凉。巨人醒悟前_____ 孩子们；醒悟后____。巨人砌墙后花园里总是__的景象；拆墙后花园里____降临了。 七、阅读课内片段，完成练习。 巨人看到这个情景，心也软了。他对自己说：“我多么自私啊！现在我明白为什么春天不肯到这儿来了。”他十分后悔自己先前的举动。 他轻轻地走下楼，静悄悄地打开前门，走进花园里。孩子们看见他，非常害怕，立刻逃走了，花园里又出现了冬天的景象。只有那个小男孩没有跑开，因为他的眼里充满了泪水，看不见巨人走过来。巨人悄悄地走到他后面，轻轻抱起他，放到树枝上。这棵树马上开花了，小鸟们也飞来歌唱。小男孩伸手搂住巨人，亲吻着他的脸颊。别的孩子看见巨人不再像先前那样凶狠了，也都跑了回来。春天也跟着一起回来了。巨人对他们说：“孩子们，花园现在是你们的了。”他拿出一把大斧子，拆除了围墙。 从那以后，巨人的花园又成了孩子们的乐园。孩子们站在巨人的脚下，爬上巨人的肩膀，尽情地玩耍。 1．根据意思，找出文中的词语。 （1）待人凶恶狠毒。（______） （2）游戏，嬉戏。（______） 2．巨人对待小男孩的态度有明显的变化，先是________，后是________，作者在这里运用了________的写法。
20181213小学奥数练习卷(知识点：同余定理)含答案解析.doc
20181213小学奥数练习卷（知识点：同余定 理）含答案解析 小学奥数练习卷（知识点：同余定理）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 6 小题） 1．一个自然数被 3、5、7 除的余数分别为 1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以 11 的余数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知 283，352，444 被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（） A．5 B．7 C．8 D．9 3．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（） A．12 B．15 C．18 D．21 4．某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是（） A．53 B．37 C．71 D．41 5．学校买来了 200 多本《汉语词典》，若 7 本 7 本地搬，最后余 5 本；若 9 本 9本地搬，搬最后一次时差 2 本，这批《汉语词典》共有多少本？（） A．252 B．251 C．250 D．61 6．有写着 5、9、17 的卡片各 8 张，现在从中任意抽出 5 张，这 5 张卡片上的数字之和可能是（） A．31 B．39 C．55 D．41 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 37 小题） 7．被3、4、5 除都余 1，且不等于 1 的最小非 0 自然数是． 8．若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r，那么 d﹣r 的最大值是． 9．S（n）表示自然数 n 的数码和，比如 S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数 m、n，满足，那么我们就称 m、n 构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有对． 10．有一个自然数用 7 除余 3，用 9 除余 4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里． 11．对任意正整数 m、n，定义 r （m，n）为 mn 的余数（比如 r（8，3）表示83 的余数，所以 r（8，3）=2．那么满足方程 r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）++r（m，10）=4）的最小正整数解为． 12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．用现代语言表述就是有一个数用 2 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3，用 9 除余4，问这个数是多少？请将满足条件的最小的自然数写在这里． 13．如果两个自然数的积被 13 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 13 的倒数比如， 27=14，被 13 除余 1，则 2 和 7 互为模 13 的倒数；11=1，则 1 的模 13 的倒数是它自身．显然，一个自然数如果存在模 13 的倒数则它的倒数并不是唯一的，比如，14 就是 1 的另一个模 13 的倒数．判断 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 是否有模 13 的倒数，并利用所得结论计算 123456789101112（记为 12！，读作 12 的阶乘）被 13 除所得的余数． 14．4208141616 除以 13 的余数为． 15．86...