电磁场与电磁波电子教案

第四章 时变电磁场4、1波动方程既随时间又随空间作周期性变化的场称其为波。

波动方程反应了时变电磁场中电场场量和磁场场量在空间中传播时所遵循的规律，通过麦克斯韦方程组推导得到。

一、波动方程的建立（无源区）0,0==Jρ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=•∇=•∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇)4(0)3(0)2()1(D B t D H t B E（1） 式两边取旋度，)(H tE ⨯∇∂∂-=⨯∇⨯∇μ左边： E E 2)(∇-•∇∇右边：22t E∂∂- με 有 0222=∂∂-∇t E E με 同理 0222=∂∂-∇tH H με 无源区场的波动方程时变电磁场的场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。

通过解波动方程，可以求出空间中电磁场的分布情况。

但需要注意的是，只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。

4、2电磁场的位函数 1、矢量位和标量位0)()(=∂∂+⨯∇⇒⨯∇∂∂-=∂∂-=⨯∇⨯∇=tAE A t t B E AB无旋的令 ϕϕ∇-∂∂-=⇒-∇=∂∂+tAE t A E：电磁场的标量位。

2、洛仑兹条件 tA ∂∂-=•∇ϕμε3、达朗贝尔方程 （在洛仑兹条件下，ϕ,A所满足的微分方程）线性、各向同性的均匀介质，将A B ⨯∇=，ϕ∇-∂∂-=t A E 代入t EJ H ∂∂+=⨯∇ε， 有 )1()(222J t A t A A μϕμεμε-=∂∂+•∇∇-∂∂-∇另有 )2()(2ερϕ-=•∇∂∂+∇A t由洛仑兹条件ερϕμεϕμμε-=∂∂-∇⇒-=∂∂-∇⇒222)2(222)1(tJtA A ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫达朗贝尔方程 4、 3电磁能量守恒定律一、 电磁场能量密度和能流密度电场能量密度：22121EE D w e ε=•=磁场能量密度：22121H H B w m μ=•=总能量密度：)(2122H E w w w m e με+=+=能流密度： 电磁波定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况用能流密度表示，其数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方向为能量流动方向。

二、 坡印廷定理1、数学推导tB E tD J H ∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇tD E J E t B H H E E H ∂∂•+•+∂∂•⇒⨯∇•+⨯∇•-⇒⎪⎭⎪⎬⎫定理的微分形式J E tw t w JE D E t B H t H E m e•+∂∂+∂∂=•+•∂∂+•∂∂=⨯•-∇⇒)21()21()(对V 取积分，dvJ E dv w dv w dt ds d H E dv J E t w t w dv H E v m v e vs m e v v•++=•⨯-⇒•+∂∂+∂∂=⨯•∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰][)()()( 定理的积分形式 物理意义：dv w dt dv⎰ ：单位时间V 内体积中增加的电磁场的能量； s d H E s•⨯-⎰)(：单位时间内从边界面流进的能量；dv J E v•⎰：单位时间内对V 中电流做的功（损耗的焦耳热功率）， 即 流入体积V 内的电磁功率等于体积V 内电磁能量的增加率与体积V 内损耗的电磁功率之和。

2、坡印廷矢量——能流密度矢量--⨯=H E S瞬时坡印廷矢量说明：（1）S为时间t 的函数，表示瞬时功率流密度；（2）公式中，E 、H 应为场量的实数表达式；（3）S的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量；（4）S的方向：电磁能量传播方向。

3、时变电磁场的平均坡印廷矢量对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个周期内通过某个平面的电磁能量才能反映电磁能量的传递情况。

dt t H t E T dt t S T S T T av )()(1)(10⨯==⎰⎰ H E 、为场量的实数表示。

若场量随时间按正弦规律变化，则][21*H E R S e av ⨯= H E 、为场量的复数表示。

av S与时间无关。

P187 例4.5.4，例4.3.14、4唯一性定理在以闭合面S 为边界的有界区域V 内，如果给定0=t 时刻的电场强度E和磁场强度H的值，并且在0≥t 时，给定边界面S 上的t t H E , ，那么在0>t 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程组唯一的确定。

),(),,(,),0,(,)0,(t r H t r E V H E S r H r E t t麦氏方程组已知→---→ 4、5 时谐电磁场时谐场：场源（电荷或电流）以一定的角频率ω随时间作正弦变化，它所激发的电磁场也以相同的角频率随时间作正弦变化。

一、时谐场的复数表示z z y y x x E e E e E eE ˆˆˆ++=)cos(),,(),,()cos(),,(),,()cos(),,(),,(z zm z y ym y x xm x t z y x E z y x E t z y x E z y x E t z y x E z y x E ϕωϕωϕω+=+=+= zm ym xm E E E ,, 为电场在z y x 、、方向分量的振幅，z y x ϕϕϕ、、为电场在z y x 、、分量的初始相位。

由复变函数，知)Re()cos(tj e t ωω=，则)Re(]Re[)(t j xm t j xm x e E eE E x ωϕω•+==其中)xj xm xm eE E ϕ=•x 分量的复振幅。

（场量上加点表示该量为复数）因此， 瞬时量]Re[])ˆˆˆRe[(]Re[ˆ]Re[ˆ][Re ˆt j m t j zm z ym y xm x t j zm z t j ym y t j xm x e E e E e E e E e e E e e E e e E eE ωωωωω•••••••=++=++=zm z ym y xm x m E e E e E e E ••••++=ˆˆˆ矢量复振幅复矢量同理，可得]Re[]Re[]Re[]Re[t j m t j m t j m t j m e e B B e H H e D D ωωωωρρ••••====二、麦克斯韦方程组的复数形式1、 复数场量对时间的微积分运算]1Re[Re ]Re[]Re[]Re[222t j m t j t j m t j m t j m e E j dt e E dt E e E t E e B j t Be E j t Eωωωωωωωωω•••••==-=∂∂=∂∂=∂∂⎰⎰ωωωj dt E t j t1222⇔-⇔∂∂⇔∂∂⎰2、tj m t j tj m tj m t j tj m t j m e D j J e H e D j J e H e D j e J e H j t D J H ωωωωωωωωωωω][]Re[]Re[]Re[]Re[]1Re[•••••••••+=⨯∇⇓+=⨯∇⇓+=⨯∇⇒∂∂+=⨯∇为简化书写，约定tj m e H H ω, 写作•省略，则⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=•∇=•∇-=⨯∇+=⨯∇ρωωD B B j E D j J H 0 斯韦方程组的复数形式说明：1）方程中各场量形式上是实数，实际上均应是复数形式； 2）时间因子tj eω为缺省式；3）方程的复数形式只能用于时谐场。

？三、场量复数表达式和瞬时形式相互转换复数形式： ϕj e E E 0=实数形式：)cos(0ϕω+=t E E1） 复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义。

采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化； 2） 实数形式代表真实场，具有明确物理意义； 3） 在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量（称为二次式 H E S⨯=--），只能用场量的瞬时形式表示。

复数形式转换为实数形式的方法：)cos(0)(00ϕωϕωϕω+→→=+⨯t E e E e E E t j e j t j 取实部三、复电容率和复磁导率1、Ej Ej E H cωεσεωσ=+=⨯∇)(c 复电容率 （欧姆损耗） 若媒质还存在极化损耗εεε''-'=⇒j c 两者同时存在： )(ωσεεε+''-'=⇒j c 2、 损耗角εδεδtg 表征电介质的损耗特性εεδε'''=tg 导电媒质：εωσεωσδε==/tgd I I <<<<1εωσ弱导电媒质（良绝缘体） d I I >>>>1εωσ良导体3、 磁化损耗μμμ''-'=j c μμδμ'''=tg 四、亥姆霍兹方程H t H E t E ωω-=∂∂-=∂∂22222 则无源空间的波动方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇02222H H E E μεωμεω 亥姆霍兹方程，复数形式的波动方程 令μεω22=k ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇002222H k H E k E 导电媒质，c c k μεω22= 方程的解为时谐场量表达式。

五、时谐场的位函数复数形式 ：⎪⎩⎪⎨⎧∇--=⨯∇=ϕωμA j E A H 1洛仑兹条件：ωμεϕϕμεj tA -=∂∂-=•∇ωμεj A•∇-=达朗贝尔方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=+∇-=+∇ερϕϕμ2222k J A k A（J t A A μμε-=∂∂-∇222） 六、能量与能流的复数表示]Re[2121*/200H E dtS dt S T S T av ⨯===⎰⎰ωππω。