2012全国初中数学竞赛试题汇编(自己重排版)

2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编(重排版) 目录
一2012广东初中数学竞赛预赛 (1)
二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） (4)
三2012年北京市初二数学竞赛试题 (9)
四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区） (10)
五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 (13)
六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区） (15)
七2012年全国初中数学竞赛试题 (19)
八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 (20)
九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案 (26)
十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 (29)
十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 (29)
十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 (34)
十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题） (39)
十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 (41)
十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题） (50)
十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 (55)
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.
1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】
（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．
2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是
【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <
【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与
y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,
10.m m ->⎧⎨
+>⎩
解得1m >．
3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个 结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30°
时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
【答】D ．解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥
BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒． 4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】
（A ）
34 （B ）23 （C ）13 （D ）2
1
【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是
3
2
64=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （
【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2
=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)6
17,0(5-
C ． 6．已知二次函数2
21y x bx =++（b 为常数），当b 物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在
一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】 （A ）2
21y x =-+ （B ）2
112
y x =-
+ y
x
O 第5题图 第3题图
（C ）241y x =-+ （D ）2
114
y x =-
+ 【答】A ．解：2
21y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882
b y -=，
由4b x -=得x b 4-=，所以22
2218
)4(888x x b y -=--=-=
． 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．若2=-n m ，则12422
2
-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．
8．方程112
(1)(2)(2)(3)3
x x x x +=++++的解是 ．
【答】120,4x x ==-．解：
11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++1111
1223
x x x x =-+-++++
112
13(1)(3)
x x x x =
-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1
x =9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），
若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．
【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的
坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．
10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1，DE 是以点A 为圆心2为半径的
4
1
圆弧，NB 是以点M 为圆心2为半径的
41
圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ．
【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．
11．已知α、β是方程2
210x x +-=的两根，则3
510αβ++的值为 ．
【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴2
12αα=-．
第10题图
第9题图
∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=- ∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．
12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．
【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．
三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）
13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？
解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分
（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，
得 2012(200010)20x y x y -++=+++，
整理，得 1011,2
x
y -=
x 、y 均为0 ~ 9的整数，
∴0.x = 此时 5.y =
∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分
（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得
2012(190010)19x y x y -++=+++，
整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22
x x
y --=≤≤ ∴ 7
7
9,11
x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分
14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、
(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线2
5y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．
解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．
∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤
依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩
，∴4
,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤
≤解得1
3.3
k --≤≤……………………………………………7分 （2） 1
3,3
k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.
则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分
又因为抛物线2
5y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，对称轴为52x =．
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25
,3x x y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==.21,
25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22， ∴
125224a <-<．解得 82
2525
a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是MN 上一动点，
BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明2
2
3PQ OA +是定值． 解：（1）证明：如图①，
∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE =
∴四边形AECG 为平行四边形.
∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，
∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分
（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形．
A B
C
O D E F
G
P
Q
M
N
图①
此时 ∠AED +∠CEB =90°．
又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．
∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴
AD AE
BE BC
=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2
y
∶x ，得222y x =．…10分
又 2
2
2
OA AB OB +=，即2221x y +=．
∴2
221x x +=
，解得x =
∴当OA
EPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．
由△PCF ∽△PEG 得，
2
,1
PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =1
3OA ，
∴ 11
26
A O GE GA OA '''=-=．
在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，
即 2
2
2
4936
PQ AB OA =+， 又 221AB OA +=， ∴ 22
133
PQ AB =+，
∴ 222214
3()33
OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分
．选择题(每小题5分，共25分)
．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )． A ．－0.5 B ．4.5 C ．5 D ．4
．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )． A ．(3，12) B ．(1，20) C ．(
－0.5，26) D ．(－2.5
，32) ．两个正数的算术平均数等于，则期中的大数比小数
大( )．A ．4 B
． C ．6 D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )． A ．56cm2 B ．60cm2 C ．64cm2 D ．68cm2
A B
C
O
D E F G
P Q
M
N 图②
B'N M
A'
Q
P O'G
F E D C B
O 图③
．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222
121
a ac a
b b
c b ab bc ac c ac bc ab
++--+--+--+等于( )． A ．20 B ．15 C ．10 D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)
．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．
．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，
作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMN
ABC
S S ∆∆=＿＿＿＿． ．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．
．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．
(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，222
()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++
------是常数．
(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．
(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）
A ．x 2
‧x 3
=x 6
B ． 2x +3x =5x 2
C ．(x 2)3
=x 6
D ． x 6
÷x 2
=x 3
2、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．96
3、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．2010
P C
B
A
4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）
A ．251
B ．252
C ．256
D ．25
24
5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）
6、要使1
213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为
A ．32
1　x ≤≤ B ．32
1　＜x ≤ C ．32
1x ＜≤ D ． 32
1＜x＜
7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）
A ．S L 4212-
B ．S L 2212-
C ．S L 4221-
D ．2421L S -
8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形
③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有
A ．a ＋b ＋c ＝0
B ．b ＞a ＋c
C ．b ＝2a
D ．abc ＞0
10、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形
状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长
12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）
A ．甲板能穿过，乙板不能穿过
B ．甲板不能穿过，乙板能穿过 C
．甲、乙两板都能穿过 D ．甲、乙两板都不能穿过
二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
11
、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122
++xy x 的值为__________.
12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.
13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．
图3 A
B C D E
F 图2
图A
B C
D
16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．
17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线 AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.
三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独
工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：
（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？
（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？
（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？ （4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.
20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题： （1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ； （2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2； （3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．
图9 （2）
图7 A B C
D
E
图5 图6 M l
图8 B ＇ E D ＇ A B C D
G 图9（1） M
N Q
A B C D P
7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a b ，利用对角线互相垂直进行解答. 9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=a
b x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与
y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，
顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ
二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 4
5- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、48
15、4
1单位面积 16、3个 17、85° 18、10
17、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，
∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°
18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知
C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22,
x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+
三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：
1)60
1301(
=+x ，
解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.
（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：160
1030
1=+⨯y ，解得y =40 。

图Ａ
A
B
C D
E F 图Ｂ A
B
C
D
A B C
D
E
图7 图8
B ＇ E
D ＇ A
B
C
D G
F
答：完成这项道路改造工程共需40天.另：也可列方程：1
)10(60
1)60
130
1(10=-++y
（3）因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作a 天，则由题意可知乙工程队还需单独做（60-3a ）天，得： （1+2.5）a ＋1×（60-3a ）≤65
3.5 a ＋60-3 a ≤65 a ≤10 答：甲、乙两个工程队最多能合作10天.
（4）由题意知，甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作，又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天。

设应安排他们合作m 天，由题意可得：
12460
1301=⨯+m 解得：m =18. 即，安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天. 施工费为：2.5×18+1×24=69（万元）. 20、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题各5分. 解：（1）作BC 的中垂线MN ，在MN 上取点P ，连接PA 、PB 、PC 、PD ， 如图9（1）所示，∵MN 是BC 的中垂线，所以有PA=PD ，PC=PB ，
又四边形ABCD 是矩形，∴AC=DB
∴△PAC ≌△PDB （SSS ） （2）证明：过点P 作KG//BC ，如图9（2） ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，DC ⊥BC
∴AB ⊥KG ，DC ⊥KG ， ∴在Rt △PAK 中，PA 2=AK 2+PK 2 同理，PC 2=CG 2+PG 2 ；PB 2= BK 2+ PK 2，PD 2=+DG 2+PG 2
PA 2+PC 2= AK 2+PK 2+ CG 2+PG 2， ，PB 2+ PD 2= BK 2+ PK 2 +DG 2+PG 2
AB ⊥KG ，DC ⊥KG ，AD ⊥AB ，可证得四边形ADGK 是矩形，
∴AK=DG ，同理CG=BK ， ∴AK 2=DG 2，CG 2=BK 2 ∴PA 2+PC 2=PB 2+PD 2
（3）∵点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3） ∴BC=4，AB=2 ∴ABCD S 矩形=4×2=8 作直线HI 垂直BC 于点I ，交AD 于点H ①当点P 在直线AD 与BC 之间时
42
1
=⋅=
+∆∆HI BC S S PBC PAD 即x+y=4，因而y 与x 的函数关系式为y=4-x ②当点P 在直线AD 上方时，42
1
=⋅=-∆∆HI BC S S PAD PBC 即y -x =4，因而y 与x 的函数关系式为y=4+x ③当点P 在直线BC 下方时， 42
1
=⋅=-∆∆HI BC S S PBC PAD 即x - y =4，因而y 与x 的函数关系式为y=x-4
图9（3）
图9（1） M N Q A B
C
D
P
图9（2）
一、选择题（每小题7分，共35分）
1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式
a b b c ++可以化简为（ C ）
A ．2c a -
B ．22a b -
C ．a -
D ．a
解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以
()()()a b b c a a b c a b c a +++=-+++--+=-
2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）A ．10 B ．9 C ．7 D ．5
解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有
22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，2
2
(1)1
(1)1
x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22
x y =⎧⎨=⎩,以上
共计9对()x y ，
3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD =
3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23 B ．4 C ．52 D ．4.5 解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ， BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．
所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．
在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．
4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．
由题设可得
2(2)
2()x n y y n x n +=-⎧⎨
+=-⎩
．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--．
因为1527
y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．
从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．
5．黑板上写有111
123100
，
　，　，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数
a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的
数是（ C ）A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99
解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则111
1(11)(1)(1)...(
1)23100
x +=+++⋅⋅+， 解得，1101x +=，100x =．
二、填空题（每小题7分，共35分）
6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是
719x <≤ ．
解：前四次操作的结果分别为
32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由
已知得，2726487
8180487x x -≤⎧⎨
->⎩
．解得719x <≤．
容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．
7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延
长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 28
5 ．
解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．
因为16OB =，所以161248
205
OB OC OM BC ⋅⨯===，
3664
55
CM BM ===，．
CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-28
5
=．
8．如果关于x 的方程2
2393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么20122
20111x x
的值为 32-
．
解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042
k k k ∆=--+≥，由此得2
(3)0k -≤．
又2(3)0k -≥，所以2
(3)0k -= ，3k =．
此时方程为2
9304x x ++=，解得1232x x ==-．故2011120122212
3
x x x ==-
9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼
此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．
解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．
又(1)(2)
2
m m a b +++=
，所以22(1)(2)a b m m +=++．
于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =．
当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，55
22
a b a +>=．不合题设．故8m =．
10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD
，交点
为E ．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长
为 22
3 ．
解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒． 依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， 所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此 BC BA
CF AD
=． 因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，
所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是 2DE OE
DC OB
==． 因此223DE CD AD CE AD ===，．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．
因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．
故
AD CF BC BA =⋅==
． 三、解答题（每题20分，共80分）
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4
sin 5
ABC ∠=
．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．
解：因为sin ∠ABC =4
5
AO AB =，8AO =，所以AB = 10．
由勾股定理，得6BO =．易知ABO ACO △≌△，
因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，
，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，
．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅，11
12()8622
n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-．
因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，
．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线， 点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8
(0)3
-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐
标代入，解得 a =27
2
． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
228273
y x =-．
12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心． 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．
解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．
同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，
且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．
由BC CD =，知OC ⊥BD ．
因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．
13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．
【解答1】设a b m -=（m 是素数），2
ab n =（n 是正整数）．
因
为
22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．
因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)，
所以 2
22a m n m -+=，221a m n --=．
解得2(1)4
m a +=， 214m n -=． 于是2
14m b a m -=-=（）
．又2012a ≥，即
2
(1)20124
m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2
(891)4
a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，
1936b =，1980n =．因此，a 的最小值为2025．
【解答2】设a b m -=（m 是素数），2
ab n =（n 是非负整数）。

由于201221006=⨯，20133671=⨯，201421007=⨯，20155403=⨯，201621008=⨯，
因此，2012，2013，2014，2015，2016都不是质数。

5分
由于44⎡
⎤=⎣
⎦，且2017不能被2，3，4，…，44整除，
因此，2017是质数。

………… 10分
（1）当0n =，即0b =时，由2012a ≥以及a b -是素数知，a 的最小值为2017。

………… 15分
（2）当0n >时，1b ≥，201212013a ≥+=，
由于2013，2014，2015，2016都不是质数，而2017是质数。

当2017a =时，6b =，ab 不是完全平方数。

所以，此时2017a >。

由（！）、（2）可知，a 的最小值为2017。

…………… 20分
14．将23n ，
　，　，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b
a c =，求n 的最小值．
解：当16
21n =-时，把23n ，
　，　，分成如下两个数组：{}8
8
16
2322121+-，
　，　，　，　，　和{}8
4521-，　，　，　． 在数组{}8
8
16
2322121+-，　，　，　，　，　中，由于388216
3222
1<>-（，），所以其中不存在
数a b c ，
，，使得b
a c =． 在数组{}
84521-，　，　，　中，由于48421>-，所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =．
所以，16
2n ≥．
下面证明当16
2n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若2
24=也在第一组，则结论
已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设48
42=在第一组，8216
(2)2=在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时b
a c =；如果8在第二组，我们取16482a
b
c ===，，，此时b a c =．综上，16
2n =满足题设条件．所以，n 的最小值为16
2．
注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.
1．如果，a 22+-=那么a
++
+3121
1的值为（ ）．
（A ）2- （B ）2 （C ）2 （D ）22
2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式22y x +≤2x+2y 的整数点坐标（x , y ）的个数为（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）7
3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）
21
4
a - （C ）12 （D ）14
4．如果关于x 的方程02=--q px x （p 、q 是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．如果a 、b 、c 是正数，且满足9=++c b a ，9
10
111=+++++a c c b b a ，那么 b a c
a c
b b a a +++++的值为
. 7．如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的
中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .
8．如果关于x 的方程x 2+kx +4
3k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么
2012
2
20111x x 的值为 ．
9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为
单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为
130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .
10．已知n 是偶数，且1≤n ≤100，若有唯一的正整数对（a ，b ）使得n b a +=22成立，则这样的n 的个数为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的
方程2320x m x m +
+++=（）的两个实数根的倒数和小于9
10
-．求m 的范围． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△A BD 的内心.求证：
（1）OI 是△IBD 的接圆的切线； （2）AB+AD=2BD.
13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.
14．将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a ，b,c(可以相同)使得c a b
=，求n 的最小值.
一、选择题
⑴若四个互不相等的正实数,,c,a b d 满足()()
20122012201220122012a c a d --=，
()()2012
2012201220122012b
c b
d --=，则()
()
2012
2012
ab cd -的值为（）
()A 2012- ()B 2011- ()C 2012 ()D 2011
⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下
( 第12题 )
I
O
A
C
B
D
号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）()
A 14 ()
B 38 ()
C 12 ()
D 5
8
⑶如图，矩形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，将其折叠，使点D 与点B 重合，得折痕EF ，
则EF 的长为（）（A （B ） （C （D
⑷在正就变形ABCDEFGHI 中，若对角线2AE =,则AB AC +的值等于（）
（A （B ）2 （C ）
32 （D ）5
2
⑸有n 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加 1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n 的最小值等于 （ ） (A ) 171 (B ) 172 (C ) 180 (D ) 181
二、填空题
2
=-，则221
x x -的值为 ⑺若四条直线1,1,3,3x y y y kx ==-==-所围成的凸四边形的面积等于12，则k 的值为__________.
⑻如图，半径为r 的O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150,120ABC CDE BCD ∠=∠=∠=，那么，O 自点A 至点E 转动了__________周.
(9)如图，已知ABC △中，D 为BC 中点，,E F 为AB 边三等分点，AD 分别交,CE CF 于点,M N ，则::AM MN ND 等于_______.
(10)若平面内有一正方形ABCD ，M 是该平面内任意点，则MA MC
MB MD
++的最小值为______.
三、解答题
⑾已知抛物线2y=x +mx+n 经过点(2,-1)，且与x 轴交于两点A(a,0) B(b,0)，若点P 为该抛物线的顶点，求使PAB △面积最小时抛物线的解析式。

⑿如图，分别以边长1为的等边三角形ABC 的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D E F 、、，连接CF 交C 于点G ，以点E 为圆心，EG 长为半径画弧，交边AB 于点M ，求AM 的长。

⒀已知p 与25p -2同为质数，求p 的值。

⒁已知关于x 的不等式组x<a+1
2x-2>a ⎧⎨⎩
的解集中的整数恰好有2个，求实数a 的取值范围。

答案及详解
1、 答案：A 。

可将2012a 与2012b 看做方程20122012()()2012x c x d --=的两个解，则
()
()
2012
2012
ab cd -化为()
2012
12x x cd -，因为20122012122012x x c d =-，所以原式2012=-
2、 答案：D 。

可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足
条件，概率为1
14⨯；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2,3,4号球可满足要求，概率
为1344⨯；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3,4号球可满足要求，概率为12
44⨯；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为11
44⨯；加和得到最后概
率为58
3、 答案：C 。

因为,9BE ED AD ==，所以9BE AE +=，根据勾股定理得到
222AE AB BE +=，得到4,5AE BE ==，易得BF BE =，过点E 作EG BF ⊥于G ，
541GF =-=，EF =4、 答案：B 。

如图，设O 为正九边形ABCDEFGHI 的中心，连结OE OA 、，则160AOE ∠=，
10OEA ∴∠=，又易得70OED ∠=，60DEA ∴∠=，在AE 上截取EP ED =连结
DP PC 、，1406080PDC ∠=-=，18080
502
DPC -∴∠=
=，70CPA ∴∠=，又40CAP BAP BAC ∠=∠-∠=，70CAP ∴∠=，AC AP ∴=，又
AB DE EP ==AE AB AC ∴=+
5、 答案：B 。

对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。

报一项比赛的方
式有4种，报两项比赛的方式有2
4
15C -=种，每个人报名方式有9种，要求有20人相同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。

所以应该
为1991172n =⨯+=。