2012全国初中数学竞赛试题汇编(自己重排版)
2012年全国初中数学联赛试题(含答案)
2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A ．3 B ．3C ．3D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC .∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM //BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b c =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE.因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM //BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E .证明：∠BAE ＝∠ACB .证明：连接OA ，OB ，OC ，BD . ∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB . 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC .求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE .因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，所以tan∠QBO＝QNBN2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅，所以111)](22b⋅=⋅-.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。
2012年全国初中数学联合竞赛试题
这样的四位数共有 A ． 36 个
B． 40 个
C． 44 个
D． 48 个
（）
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）
得分 评卷人
本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上 .
）
题
答
要
1
1
1
1．已知互不相等的实数 a,b, c 满足 a
b
c
t ，则 t _________ ．
b
c
a
不 内
线
订
装
2．使得 5 2m 1 是完全平方数的整数 m 的个数为
．
封
密
（
BC
3．在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，∠A ＝ 40°，P 为 AB上一点，∠ ACP ＝20°，则 ＝
．
AP
4． 已知实数 a, b, c 满足
a
b
c
4
abc
1， a b c
4， a2
3a 1
b2
3b 1
c2
3c 1
于点 F，连接 BF 并延长与线段 DE交于点 G，则 BG的长为
（）
校 学
6
A．
3
5
B．
3
26
C．
3
25
D．
3
4． 已知实数 a, b 满足 a 2 b 2 1 ，则 a 4 ab b 4 的最小值为
1
A．
8
B．0
C．1
9
D．
8
（）
）
县
、
区
（ 市
2012 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
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2012年全国初中数学竞赛考试试题
2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c ||||a b b c ++可以化简为（ ）．（A ）（B ）（C ） a （D ）a2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 二、填空题6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .7．如图，正方形ABCD 的边长为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8．如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2－3k+92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 ．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，AD = DC. 分别延长BA ，CD ，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .三、解答题11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC∽△1DO F ．13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a≥2012时，求a 的最小值.14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足12201x x x <<<，且122012122012n x x x +++=.参考答案1．C 解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >， 所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．2．D 解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.3．D 解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为(1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是4423421444a b a b ++++-=. 4．D 解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，， 消去x 得(2y －7)n = y+4，2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．6．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487，81x －80＞487. 解得 7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x≤19．7．8 解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以23AN AF =. 在Rt△ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以AF =，于是cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 AED AFB ∠=∠，0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是cos AM AE BAF =⋅∠，23MN AN AM AF AM =-=- 415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=，所以2481515MND AFD S S a ∆∆==.因为a =8MND S ∆=.8．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得(k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0，解得x 1=x 2=32-. 故2012220111x x =21x =23-．9．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b≤43.又 (1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得 8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =．10．223解：如图，连接AC ，BD ，OD. 由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙0的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD∥BC， 于是2DE OEDC OB==. 因此223DE CD AD CE AD ===，. 由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，， 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA=22AD ，故AD CF BC BA =⋅==11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-． ………（5分） 当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0， 且233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-． ………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …（20分） 12． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形． …………（5分） 设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为O C O B =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠． …………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC∽△1DO F ．13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 14．因为(a+b)2－4ab = (a －b)2，15．所以(2a －m)2－4n 2= m 2，(2a －m+2n)(2a －m －2n) = m 2.因为2a －m+2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m+2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以 2a －m+2n =m 2，2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +，n =214m -. 于是b = a －m =214m -（）.又a≥2012，即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数，解得m≥89. 此时，a≥41)(892+=2025.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. 14．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数，且122012x x x <<<，所以1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． 当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，，则1220121220121x x x +++=. 当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k ===，， ，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ．。
2012年全国初中数学竞赛试题
第 1 页 共 3 页2012年全国初中数学竞赛试题考试时间 2012年3月18日 9:30-11:30 满分150分答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.如果实数a ，b ，ca b b c +++可以化简为（ ）A .2c -aB . 2a -2bC . –aD .a2.在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）A .10B .9C . 7D .53.如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形.∠ADC =30°，AD =3，BD =5，则CD的长为（ ）A .B .4C .D .4.5(第1题图)BADC(第3题图)第 2 页 共 3 页4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A .1B .2C .3D .45.黑板上写有1111,,,,23100⋅⋅⋅共有100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a+b+ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A .2012B .101C .100D .99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________.7.如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点.以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12.延长BC ，与⊙O 分别交于D ,E 两点，则CE -BD 的值等于___________.8.如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2011120122x x 的值为_______________.9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为_____________.10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD =DC .分别延长BA ,CD ,交点为E .作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F .若AE =AO ,BC =6，则CF 的长为___________.(第6题图)AB OCED(第7题图)(第10题图)第 3 页 共 3 页三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO =8，AB =AC ，sin ∠ ABC =45.CD 与y 轴交于点E ，且C O E A D E S S ∆∆=.已知经过B ,C ,E 三点的图像是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ,BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD =2BD .13.已知整数a ，b 满足：a -b 是素数，且ab 是完全平方数.当a ≥2012时，求a 的最小值.14.将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a ，b ，c （可以相同）使得ba c =，求n 的最小值.IABDOC。
2012年全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）223．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．2244．．5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_________．8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________．9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=_________．10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2= _________．三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）﹣b=﹣﹣=，=+，=+1=＜＜，＜＜，22，3．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．DE=DE=．，=．2244．．≤，﹣+≤时，时，﹣（﹣）+×+﹣，，或a=﹣5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．然后利用得到有关+﹣=[+﹣（+）得=4﹣（），﹣（﹣．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=±1．=t，b+=t=t，=t，得：=t=t，时，﹣时，a+8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1．或9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=．BCBAE=PAsin60=AP==故答案为：10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=．，同理可得：，=+，+=，=，即整理得：，=故答案为：三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．∴只可能是或或，三角形的外接圆的面积为12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．中，，的横坐标为：﹣=3b，纵坐标为：b的坐标为是一元二次方程，．，即，．代入，解得（另一解舍去）∴抛物线的解析式为。
2012全国初中数学竞赛试题汇编重排版
2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一2012广东初中数学竞赛预赛 (2)二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） (5)三2012年北京市初二数学竞赛试题 (10)四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区） (11)五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 (14)六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区） (15)七2012年全国初中数学竞赛试题 (20)八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 (22)九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案 (28)十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 (30)十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 (31)十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 (36)十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题） (41)十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 (43)十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题） (52)十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 (57)小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项3.在默认项上点右键选择修改4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了一2012广东初中数学竞赛预赛二 2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >．3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答】D ．解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒．第3题图O DC BA4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 D ）5个 【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=225126-=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ．6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882by -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．y xO 第6题图xyO ABC 1C 2C 3 C 4C 5 第5题图【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1x =9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1，DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧，NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ．【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=- ∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分A BM第10题图E 第9题图（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得2012(200010)20x y x y -++=+++，整理，得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数， ∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得2012(190010)19x y x y -++=+++，整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22，∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是MN 上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ OA +是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE = ∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=．∴2221x x +=，解得x =． ABC ODEF GP QMN 图②A B CO D E F GPQMN图①∴当OAEPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴ 1126A O GE GA OA '''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即2224936PQ AB OA=+， 又 221AB OA +=， ∴ 22133PQ AB =+，∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )． A ．－0.5 B ．4.5 C ．5 D ．4．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )． A ．(3，12) B ．(1，20) C ．(－0.5，26) D ．(－2.5，32) ．两个正数的算术平均数等于大( )．A ．4B ．C ．6D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )． A ．56cm2 B ．60cm2 C ．64cm2 D ．68cm2．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++--+--+--+等于( )． A ．20 B ．15 C ．10 D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1B'N M A'QP O'GF E DC BAO图③＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMNABC S S ∆∆=＿＿＿＿．．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，222()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++------是常数．(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（）P CBA图1A ．251 B ．252 C ．256 D ．2524 5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321 x ≤≤ B ．321 ＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）A ．S L 4212-B ．S L 2212-C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0B ．b ＞a ＋cC ．b ＝2aD ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．图3 图4AB C D EF 图2ABCEAMlABC D17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________.18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题： （1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2； （3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9 （2）图8 B ＇ E D ＇A B C DG图9（1） MN QAB CDP7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ，所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22, x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。
2012初中数学竞赛
5. 如果a, b为给定的实数，且1 a b，那么1, a 1,2a b, a b 1 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）.2a 1 1(A) 1 (B) -4-(C)6. 如图，四边形ABCD中，AC, BD是对角线，△ ABC是等边三角形. ADC 30 , AD = 3, BD = 5, (D)2012年全国初中数学竞赛试题题号-一一二二二-三总分1〜1011 〜1516171819得分评卷人复查人、选择题（共5小题，每小题6分，共60分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的•请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.如果实数a, b, c在数轴上的位置如图所示，i 1I1 |那么代数式、、a2 |a b| （c a）2 |b c|可以化简为 b g Q( ).(A) 2c a(B) 2a 2b(C) a(D) a2 .如果a 2 ■.2，那么11的值为（1).2 3 a(A) 2(B) (C) 2(D) 2 辽b3.如果正比例函数y = ax （a工0）与反比例函数y =—（b工0）的图象有X两个交点，其中一个交点的坐标为（一3, -2）,那么另一个交点的坐标为（）.(A)( 2, 3) (B)( 3，- 2) (C) (-2, 3) (D)( 3, 2)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式X2+ y2< 2x+ 2y的整数点坐标（x, y）的个数为（）.4.(A) 10 (B) 9(C) 7 (D) 547 •小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币•小倩对小玲说： “你 若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱 数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是( ).(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 48.如果关于x 的方程x pxq 0 (p , q 是正整数)的正根小于 3,那么这样的方程的个数是().(A ) 5(B ) 6(C )7(D ) 89. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,2, 3, 4, 5, 6.掷 两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以 4的余数分别是0, 1, 2, 3的 概率为P o , P l , P 2, P 3，贝U P o, P l , P 2, P 3中最大的是(). (A ) P o(B ) P i(C ) P 2(D ) P 31 1 110. 黑板上写有1,-,-丄,-—共100个数字.每次操作先从黑板上的2 3 100数中选取2个数a, b ，然后删去a , b ，并在黑板上写上数a b ab ，则经过99 次操作后，黑板上剩下的数是().(A ) 2012( B ) 101(C ) 100乙填空题(共5小题，每小题6分，共30 分) 11. 按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是 否＞487? ”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么 x 的取值范围是 _ .12. 如图，正方形 ABCD 的边长为2 .15 , E , F 分别是AB , BC 的中点，AF 与DE , DB 分别交于点M ,DMN 的面积是13. 如果关于x 的方程x 2+kx+3k 2— 3k+9= 0的两个实数根分别为x 1 , x 2,42(A ) 3.2 (B ) 4(C ) 2 5(D) 4.5(D ) 992011那么龟吋的值为 14.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场•记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分•比赛结束后，所有同学的得分总和为 130分，而且平局数不 超过比赛局数的一半，则 m 的值为 ______________ .15. 如图，四边形ABCD 内接于。
2012年全国初中数学竞赛试题及答案步骤分数详解
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，||||a b b c ++可以化简为（ ）．（A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D）aC解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c<<<，且bc>，所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a=-．2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2） D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263ab ==，.解方程组236y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，；32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）14D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=，中位数为(1)(1)44224a a b a b++++++=， 于是 4423421444a ba b++++-=.4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，， 消去x 得 (2y －7)n = y +4，2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得27x －26≤487，81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是7＜x ≤19．7．如图，正方形ABCD 的边长为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8解：连接DF ，记正方形A B C D 的边长为2a . 由题设易知△B F N ∽△D A N ，所以21A D A N D NB FN F B N===，由此得2A NN F=，所以23A NA F=.在Rt △ABF 中，因为2A Ba B F a==，，所以A F ==，于是co s 5A B B A F A F∠==.由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 A E D A F B∠=∠，18018090A M EB A F A E D B A F A F B ∠=-∠-∠=-∠-∠=.于是co s 5A M A EB A F =⋅∠=，2315M N A N A M A F A M =-=-=，415M N D A F DS M N S A F∆∆==.又21(2)(2)22A F D S a a a∆=⋅⋅=，所以2481515M N DA F D S S a∆∆==.因为a =8M N DS ∆=.8．如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 ．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得 (k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0，解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43. 又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)mm ++≤130，由此得8m =，或9m=.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设.故8m =．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与 EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ， BC = 6，则CF 的长为 .223解：如图，连接AC ，BD ，OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此B C B A C FA D=.因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是2D E O E D CO B==. 因此223D E C D A D C E A D===，.由△A E D ∽△C E B ，知D E E C A E B E⋅=⋅．因为322B A A EB E B A ==，，所以32322B A A D A D B A ⋅=⋅，BA =22AD ，故A D C FBC B A=⋅=2=.三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．已知二次函数232yx m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-．…………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x=时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且 233(3)2m m ++++≤0，解得m≤5-．…………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以121239210x x m x x m ++=-<-+，解得12m<-，或2m>-．因此12m <-．…………（20分）12．如图，⊙O 的直径为A B ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，O C 与⊙O 1交于点D ，且O DC D>．点E 在O D 上，且D CD E=，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△1D O F ．证明：连接BD ，因为O B 为1O的直径，所以90O D B ∠=︒．又因为D C D E=，所以△CBE 是等腰三角形．…………（5分）设B C 与1O 交于点M，连接OM ，则90O M B ∠=︒．又因为O CO B=，所以22B O C D O M D B C ∠=∠=∠12D B F D O F=∠=∠． …………（15分）又因为1B O C D O F ∠∠，分别是等腰△B O C ，等腰△1D O F 的顶角，所以△BOC ∽△1D O F ．…………（20分）13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2， 所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2.…………（5分）因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m为素数)，所以2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1. 解得 a =2(1)4m +，n=214m -.于是 b = a －m =214m -（）.…………（10分）又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025.当2025a=时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025.…………（20分）14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足12201x x x <<<，且122012122012nx x x +++= .．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数，且122012x x x <<< ，所以1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012nx x x =+++≤1220122012122012+++= ．…………（10分）当1n=时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯ ，， ，，则1220121220121x x x +++= .…………（15分）当1n k =+时，其中1≤k≤2011，令 1212k x x x k === ，， ，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅- 1k n=+=．综上，满足条件的所有正整数n 为122012 ， ， ， ． …………（20分）（完毕）。
2012年全国初中数学竞赛试题和答案(初三)
2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1. 如果22a =-+，那么11123a +++的值为（ ）．（A ）2- （B ）2 （C ）2 （D ）222. 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54. 如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85. 黑板上写有1，12，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板写上数a b ab ++，经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ． 7. 如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8. 设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .9. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c 的取值范围是 . 10. 已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12. 如图⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD = 2BD .13. 给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．14. 将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．2012年全国初中数学竞赛试题答案1-5 B B D C D6-10 7，8，-2/3,8,1211. m<-12,12. (1)弦切角定理，鸡爪定理（2）托勒密定理，鸡爪定理13. 201714.65536。
全国初中数学竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A , B , C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的•请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分)1 (甲)•如果实数a, b, c在数轴上的位置如图所示，那么代数式、门 1 1—匚' 可以化简为().丄・―丄 d 書b a ((第1 (甲)题)(A) 2c-a ( B) 2a/b (C) -a (D) a1 (乙).如果•’ I ，那么-的值为()(A) _订；(B)【•(C) 22^22 (甲).如果正比例函数y = ax ( a丰0与反比例函数y =见(b工0)的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3,—2),那么另一个交点的坐标为( )(A)( 2, 3) ( B)( 3,—2) (C) (—2, 3) ( D)( 3, 2)2 (乙). 在平面直角坐标系-中，满足不等式X2+ y2< 2x+ 2y的整数点坐标(x, y)的个数为().(A) 10 ( B) 9 (C) 7 ( D) 53 (甲).如果以，为给定的实数，且个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).乃-1 ]_ £(A) 1 (B) 「(C)」(D)-3(乙).如图，四边形ABCD中，AC,BD是对角线，△ ABC是等边三角形.一1-；一八AD = 3, BD = 5，贝U CD 的长为 ().(D) 这四5 （甲）•一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 , 2, 3, 4, 两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是 0, 1 , 2, 3---'2,',则厂‘巴‘宀‘中最大的是（）•(A) -， ( B )门(C )几6（甲）•按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否＞487?” 为一次操作•如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 _______ .(A)亠乙 (B ) 4( C )—'(D) 4.54 （甲）•小倩和小玲每人都有若 我2元，我的钱数将是你的 倍”，其中n 为正整数，则2(A) 1(B) F 面值为整数元的人民币•小倩对小玲说：“你若给n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 n 的可能值的个数是（）.（C ） 3（ D ） 44 （乙）•如果关于的方程'一「'=―3,那么这样的方程的个数是（（A ） 5(C ) 75, 6•掷的概率为5 （乙）•黑板上写有丄共100个数字•每次操作先从黑板上的数中选取2个数小-，然后删去 -'',并在黑板上写上数-二9 ,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是（（A ） 2012)• (B) 101(C ) 100(D ) 99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（第（乙）题）3（第 6 （甲）题）6 （乙）.如果a , b , c 是正数，且满足-、r ' ： ■ _ ,7 （甲）.如图，正方形 ABCD 的边长为2【 ,E, F 分别是AB , BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点 M ，”，则厶DMN 的面积是 _______________________________7（乙）•如图，--的半径为20，以是--上一点.以匕-为对角线作矩形-，且工—二.延长三「，与二二分别交于匸.三两点，^U 二应 三二的值等于 _____________________ .3 98 （甲）•如果关于x 的方程x 2+kx+ k 2-3k+= = 0的两个实数根分别为 弋，勺，那-X11X 】 __2012么二 的值为 ___________ .8 （乙）•设F ：为整数，且 K n <2012.若："一门.；能被5整除，则所有二的个数为 _______ .9 （甲）.2位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得 3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为 130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 _____ .9 （乙）•如果正数 x , y , z 可以是一个三角形的三边长，那么称--1 -'-是三角形a那么---1 1 1 10------ + -------- 十 ------- =——门十3 3十亡 C +t3 9（第 7 （甲）题） （第 7 （乙）题）数.若一”：和均为三角形数，且a w b w c,则「的取值范围是 ___________ .10 （甲）.如图，四边形ABCD内接于O O, AB是直径，AD = DC.分别延长BA, CD , 交点为E.作BF丄EC,并与EC的延长线交于点F.若AE = AO , BC = 6,贝U CF的长为__________ .（第10 （甲）题）10（乙）•已知是偶数，且1 w*w 100.若有唯一的正整数对-「■ 「.使得/ 「；一「成立，则这样的咛的个数为______________________ .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）一心、—、宀十叫戶二 X+（刖+ 3）疋斗熾+2 -1 < X <3y <011 （甲）.已知一次函数- ，当时，恒有•；9— __ 关于x的方程■- J-—「的两个实数根的倒数和小于丄.求T的取值范围.411 （乙）. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8, AB = AC, sin/ABC =」.CD与y轴交于点E,且9 COE = S AADE.已知经过B, C, E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式（第 11 （乙）题）12 （甲）.如图，-「的直径为亠二, ■-过点-,且与--内切于点 占.-为-「上的点，匚「与「’-交于点匸，且二；.点丘在二口上，且二三，BE 的延 长线与 '交于点 F,求证：△ BOC s △‘ .12 （乙）.如图，O O 的内接四边形 ABCD 中，AC , BD 是它的对角线，AC 的中点I 是厶ABD 的内心.求证：（1）OI 是厶IBD 的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.13 （甲）•已知整数 a , b 满足：a — b 是素数，且ab 是完全平方数.当a >2012时，求 a 的最小值.13 （乙）•凸打边形中最多有多少个内角等于 ?并说明理由122012—— + 电■ * + -------------------- —艸且勺I■-'..J14（甲）•求所有正整数n ,使得存在正整数（第 12 （甲）题）（第 12 （乙）题）14 （乙）.将二乙…■丄（n A2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数為b, c（可以相同）使得卅二匸，求也的最小值.。
2012年全国初中数学竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛试题考试时间 2012年3月18日 9:30-11:30 满分150分答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.如果实数a ，b ，ca b b c +++可以化简为（ ）A .2c -aB . 2a -2bC . –aD .a2.在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）A .10B .9C . 7D .53.如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形.∠ADC =30°，AD =3，BD =5，则CD的长为（ ）A .B .4C .D .4.5(第1题图)BADC4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A .1B .2C .3D .45.黑板上写有1111,,,,23100⋅⋅⋅共有100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a+b+ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A .2012B .101C .100D .99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________.7.如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点.以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12.延长BC ，与⊙O 分别交于D ,E 两点，则CE -BD 的值等于___________.8.如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2011120122x x 的值为_______________.9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为_____________.10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD =DC .分别延长BA ,CD ,交点为E .作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F .若AE =AO ,BC =6，则CF 的长为___________.(第6题图)AB OCED(第7题图)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO =8，AB =AC ，sin ∠ ABC =45.CD 与y 轴交于点E ，且C O E A D E S S ∆∆=.已知经过B ,C ,E 三点的图像是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ,BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD =2BD .13.已知整数a ，b 满足：a -b 是素数，且ab 是完全平方数.当a ≥2012时，求a 的最小值.14.将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a ，b ，c （可以相同）使得ba c =，求n 的最小值.IABDOC2012年全国初中数学竞赛试卷答案（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以()()()a b b c a a b c a b c a +++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ） A ．10 B ．9 C ．7 D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5 解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ． 又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒． 在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--． 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1． 所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012B ．101C ．100D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=+++⋅⋅+ ， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤．容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，．z CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==-9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++．于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =． 当8m =时，40b =，5a =； 当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF E C ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ．由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒．依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， 所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此BC BACF AD=．因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =， 所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是2DE OEDC OB==． 因此223DE CD AD CE AD ===，． 由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．故AD CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，． 由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，． 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+． 将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=． 解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ． 故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ， 所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=．于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025．当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =． 因此，a 的最小值为2025．14．将23n ， ， ，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b ac =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}84521- ， ， ， ．在数组{}88162322121+- ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 在数组{}84521- ， ， ， 中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482abc ===，，，此时ba c =． 综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
初中数学竞赛试题汇编(同名1469)
初中数学竞赛试题汇编(同名1469)2012年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市一、 选择题：（每题7分，共42分） 1、化简38194233122172+---+的结果是（ ）A 、2B 、 －2C 、－33D 、33 2、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如果做对3题以上的（含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ）。
A 、70%B 、 79%C 、74%D 、81%3、如图：在△ABC 中，,31,31,31CA CF BC BE AB AD ===则AN:NL:LE等于（ ）A 、2：1：1B 、3：2：1C 、3：3：1D 、2：3：1 4、满足方程xyy x y x++=+)(222的所有非负整数解的组数有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、412、如图：在矩形ABCD中，点P在AB上，且△ACP是等腰三角形，O是AC的中点，OE ⊥AB于有，点Q是OE的中点，求证：PQ⊥CE（25分）.13、已知二次函数4)3(2++--=m x m xy 图像与轴交于）点点0,(),0,(21x B x A (x 1<x 2), 与y 轴交于点C,若∠CAB与∠CBA 是锐角。
（1）求m 的值；（2）是否可能出现∠CAB ＝∠CBA ？ 若可能，求出m 的值；若不可能，比较∠CAB 与∠CBA 的大小；（3）当∠CAB 与∠CBA 互余时，△ABC 的面积是多少？（25分）2011年全国初中数学竞赛试题(考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分)一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。
每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设32x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ ）A 、0B 、1C 、﹣1D 、2 2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b ）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b ）△（c, d ）＝（ac+bd, ad+bc ）。
2012全国初中数学竞赛试题及答案(现只有选择题答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1. 如果2a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）（B （C ）2 （D ）解：B∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22. 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内， 画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 解：4. 如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 解：C∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x∴正根为3242<++qp p 解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p5. 黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C1)1)(1(-++=++b a ab b a∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ． 解：7 在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7. 如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 解：8易证△ABF ≌△DAE ，因此AF ⊥DE ∴()()351515222=+==AF DE∴323515152=⋅=AM ，()()343215222=-=DM易证△AND ∽△FNB ，且相似比为2:1∴331032==AF AN ，33531==AF FN ∴334323310=-=MN ∴83433421=⋅⋅=∆DMN S8. 设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+ac b c b a 111，所以a c b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<1即ac a c a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤ca综合得1253≤<-ca10. 已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ． 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 解：12. 如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心.求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB +AD = 2BD .13.给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．，，（可14.将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c以相同）使得b a c=，求n的最小值．。
-2012年全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）223．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．2244．．5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_________．8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________．9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=_________．10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2= _________．三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）﹣b=﹣﹣=，=+，=+1=＜＜，＜＜，22，3．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．DE=DE=．，=．2244．．≤，﹣+≤时，时，﹣（﹣）+×+﹣，，或a=﹣5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．然后利用得到有关+﹣=[+﹣（+）得=4﹣（），﹣（﹣．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=±1．=t，代入b+c+=t，=t，得：=t=t，时，，时，8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1．或9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=．BCBAE=PAsin60=AP==故答案为：10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=．，同理可得：，=+，+=，=，即整理得：，=故答案为：三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．∴只可能是或或，三角形的外接圆的面积为12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．中，﹣的横坐标为：﹣=3b，纵坐标为：b的坐标为是一元二次方程的两根，，．，即，．代入，解得（另一解舍去）∴抛物线的解析式为。
2012全国中学生数学竞赛
1、竖式计算。
170×2.05=8.84÷1.7= 21÷1.4= 12.5+0.25=2、竖式计算。
（得数保留两位小数）42.3×0.78 1.43×0.67 5.87÷1.9 7.9÷0.353、解方程。
5X+7=42 16+8X=40 4X—3×9=292(X—2.6)=8 5(X+1.5)=17.5 (X—3)÷2=7.55.4X+X=12.8 X—0.36X=16 3.6X—X=3.254、简算。
3.8+4.29+2.71+6.2 12.5—0.78—3.22 12.8×99+12.81.25×3.2×2.5 12.6×101—12.6 38.5÷2.5÷0.46.7×10.1 6.5×101 4.85×981.2×2.5+0.8×2.5 28×17.5—28×7.5 4.8×12.55、递等式计算。
7.8+3.2÷2.5 5.83×2＋4.27 0.75×18÷0.159.2－1.2÷0.6 (2.4×5.5＋17.3)÷6.1 3.64÷0.35＋0.65七，解决问题（30分，每小题5分）1、王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚刚派完，没有剩余，一个有多少个进步的学生？2、一个正方体玻璃鱼缸，从里面量，2 dm，,高15cm，倒入5.5升的水，水溢出了多少立方分米？3、一个正方体玻璃杯，棱长8cm,在里面装入320毫升水，把一个苹果放入水中（苹果被水完全浸没）。
水面上升的2cm，这个苹果的体积是多少立厘米？5、一个长方体鱼缸，长1.2米，宽0.4米，高0.8米。
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-︒+=︒，解得80x =︒． 4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】 （A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ yxO 第5题图 第3题图（C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+ 【答】A ．解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882b y -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=． 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1x =9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1，DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧，NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ．【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．第10题图第9题图∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=- ∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得 2012(200010)20x y x y -++=+++，整理，得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数，∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得2012(190010)19x y x y -++=+++，整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22， ∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是MN 上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ OA +是定值． 解：（1）证明：如图①，∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形．A BCO D E FGPQMN图①此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2y∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=．∴2221x x +=，解得x =∴当OAEPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴ 1126A O GE GA OA '''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即 2224936PQ AB OA =+， 又 221AB OA +=， ∴ 22133PQ AB =+，∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )． A ．－0.5 B ．4.5 C ．5 D ．4．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )． A ．(3，12) B ．(1，20) C ．(－0.5，26) D ．(－2.5，32) ．两个正数的算术平均数等于，则期中的大数比小数大( )．A ．4 B． C ．6 D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )． A ．56cm2 B ．60cm2 C ．64cm2 D ．68cm2A BCOD E F GP QMN 图②B'N MA'QP O'GF E D C BO 图③．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++--+--+--+等于( )． A ．20 B ．15 C ．10 D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMNABCS S ∆∆=＿＿＿＿． ．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，222()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++------是常数．(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．2010P CBA4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）A ．251B ．252C ．256D ．25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321 x ≤≤ B ．321 ＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）A ．S L 4212-B ．S L 2212-C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0B ．b ＞a ＋cC ．b ＝2aD ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过 C．甲、乙两板都能穿过 D ．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________.12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．图3 AB C D EF 图2图AB CD16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线 AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？ （4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题： （1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ； （2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2； （3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9 （2）图7 A B CDE图5 图6 M l图8 B ＇ E D ＇ A B C DG 图9（1） MN QA B C D P7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a b ，利用对角线互相垂直进行解答. 9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22,x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。