正弦稳态分析.

u
ຫໍສະໝຸດ Baidui u
u， i i
0
ωt
φi
Ψu
Ψi
i u
i u
i u
φui =±(π／2) 称u与i正交
3．振幅(幅值、最大值)与有效值的关系 有效值(effective value)的定义：若一周期性电流i在一个周期T内 流过某电阻 R 所作的功等于大小为 I 的直流电流在这段时间 T内 流过上述R所作的功，则I就定义为的i有效值。
第四章 正弦稳态分析
正弦波在电力、通讯、控制三大系统中的应用极为广泛。电 路在以正弦规律变化的激励的作用下的各线性元件的响应的变化 规律的分析是电路分析的又一重点。
第一节 正弦量及其描述
u(t) 一．正弦量的时域表示 Um 正弦电流 i I m cos( t i ) ωt 0 正弦电压 u U m cos( t u ) Im 、Um ─振幅(最大值)； Ψu 2π 三要素 ω ─角频率； (=ω T ) Ψi 、Ψu ─初相角。 1．周期T 、频率f和角频率ω （正弦波变化快慢要素） T—正弦量变化一个循环所需的时间，常用单位：s，ms，μs f—正弦量单位时间内的循环周数，常用单位：Hz，kHz，MHz d( ω—相角随时间变化的速率， ω dt ωt Ψ i )。正弦量变化一周时 其相位变化了 2π弧度, ωT=2π ω 2π 2πf
相位差φ：=两同频率正弦量的相角之差，对两个同频率的正弦 正弦量及其描述 量而言，其相位差等于它们的初相之差(与t无关的常数)。
ui ( ωt u ) ( ωt i ) u i
u i
φui >0(Ψu >Ψi )：称 u相位超前于i或称i 相位滞后于u φui<0(Ψu <Ψi )：称 u相位滞后于i 或 称i相位超前于u φui =0 (Ψu =Ψi ) 称u与i同相 φui =±π 称u 与i反相
A =|A|e jφ 指数形式 A =|A| φ 极坐标形式
a A cos b A sin
φ
0 a
+i
正弦量的频域表示 A a 2 b 2 ( 0) +j b Arc tg (逆时针角度为正, 反之为负) φ=π-arctg|b/a|, a<0, b>0 a φ=arctg(b/a), a>0, b>0 arc tg(b a)为Arc tg(b a) 在主值范围 φ=arctg(b/a), a>0, b<0 内(-π/2~ +π/2)的取值，φ所在象限的正 负与a、b正负的关系如图 φ=arctg|b/a|-π, a<0, b<0 复数代数形式与极坐标形式的计算器互换 例1：将-3-j4 → r∠θ . 1. 3 +/- INV R→P 4 +/- = 显示“5” X Y 或 显示“3 +/- a 4 +/- b 2ndF →rθ 显示“5” b 显示“2. 126.8698
若有：u U m cos( t u )
T
U m 2U 1.414U
2 U 2 m 则：U 1 U m cos2 ( t u )dt T 0 T 2 Um T T

T
0
1 cos(2 t 2 u ) dt 2
Um t sin(2 t 2 u ) 0.707 Um 2 4 2 0
求：u u1 u2 ?
9.33 上述运算过程较复杂。若遇乘、除法，则更复杂。我们观察到 u的ω仍与 u1 、u2 相同，变化的只是振幅与初相这两个要素，这 使我们想到将复数与正弦量建立某种联系，使之运算得到简化 2．复数及其运算 复数A的四种表示形式： +j A=a+jb 代数形式 A A =|A|(cosφ+jsinφ) 三角形式 b
u u1 u2 5 cos( ωt 30) 10cos( ωt 60) 9.33 cosωt 11.16 sinωt (分别“积化和差”并合并整理) 9.332 11.162 cos[ ωt arc tg 11.16] 14.55cos( ωt 50.1)V
T
低频(音频) ≤20kHz，如工频 f =50Hz(ω=314rad/s T = 0.02s)； 1605kHz； f 中频 几百kHz，如我国电台中波：535～ 正弦量及其描述 高频 几MHz以上，如电视信号：几十～几百MHz． 2．相(位)角、初相(角)与相位差 （正弦波变化的进程要素） 相角：如(ωt+Ψi )，反映正弦量的变化进程。 初相:Ψi =(ωt+Ψi )|t=0, 即t = 0时刻的相 i(t) 角 , 与计时起点有关，其 SI 单位为 rad Im 且πrad =180°；1°=(π/180)rad . 0 ωt Ψ=0的正弦量可视为参考正弦量； Ψi为纵轴左边正向最大值的点与原点间的 Ψi Ψ i′ 最短距离。 ( 纵轴右边正向最大值的点与 原点间的最短距离计为负值)。 图中，Ψi >0，[∵(ωt+Ψi )=0，即ωt = -Ψi时，i达正向Im ]； 同理，Ψi' <0 . 通常在 |Ψi |≤π 的主值范围内取值，这样可使波形表达式唯一。 不满足此式时，可通过±2π 来获得其主值范围。 例如: i I m cos( t 315) I m cos( t 315 360) I m cos( t 45)
T 有效值即 2 1 正弦量及其描述 i Rdt I Rdt I RT I i dt 0 0 T 0 方均根值 符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m ，相应的大写字母上加足标m；有效值： I ， U ， U1 ， 相应的大写字母。 正弦量有效值与最大值的关系： T 2 T 2 2
同理： I
Im
2
, I m 2 I 1.414 I
交流表指示值、铭牌交流额定值通常指有效值 ( 如 220V ， 380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V
二．正弦量的频域表示
1、正弦量的运算： 已知：u1 5 cos( ωt 30)V, u2 10cos( ωt 60)V 解：直接用三角函数进行：