第102节平面间谐波方程
16-2平面简谐波 波动方程教程
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
(1)原点处质点的振动表式 y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m =0.110-3cos25103t m (2)波动表式
5
y A cos t x u
3
x 0.1 10 cos 25 10 t m 3 5 10 式中x 以m计，t 以s 计。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t ) A cos t t ' 0
平面简谐波的波动表式
x 因 t' u
y P (t ) A cos
t x 0 u
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。 利用关系式 2 T 2 和 uT ，得
3
式中x以m计。
波动方程的推导
例题16-4 一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形曲线如 下图中的虚线所示。弦上张力为 3.6N，线密度为 25g/m ，求 (1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点 的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲 线。
3 y 0.1 10 cos 25 10 t m 2
3
2
3
(5)t =0.0021s时的波形为
x y 0.1 10 cos 25 10 0.0021 m 3 5 10 0.1 10 3 sin 5x m
平面简谐波的波动方程.ppt
0 ]
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，
已知A的振动方程为
yA 3cos(4，写t)出分别以
A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m 9m
u
C BA
D
x
解：已知u=20m/s，ω=4π，
T 2 0.5s
A点
yA 3cos(4 t)
（1）O点振动方程
yO
0.1cos(200
t
3 2
以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[200
) (
t
x) 400
3 2
]
（2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为
原点的波动方程；
解：(2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
yP
0.1cos[200 (t
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
t1)
2
T
t
时间周期性
时间周期性
y
t T
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
位移差与位相差
t1)
2
T
t
Δt T 2T 3T 4T 5T … Δφ 2π 4π 6π 8π 10π …
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_3
2、波动方程物理意义_行波
例题
x ut
由图可知：x 处 t 时刻振动状态经Δt ，传播到x+Δx 处；即 t 时刻x 处 振动状态与t +Δt 时刻x+Δx 处振动状态完全相同。
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
《平面简谐波方程》课件
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 平面简谐波方程的推导 03 平面简谐波方程的应用 04 平面简谐波方程的扩展
05 平面简谐波方程的实验验证
单击添加章节标题
第一章
平面简谐波方程的推导
第二章
推导过程
假设平面简谐波方程的解为u(x,t)=Acos(kx-ωt) 代入波动方程，得到k^2=ω^2/c^2 解得波速c=ω/k 进一步推导出波长λ=2π/k，频率f=ω/2π，周期T=1/f 得到平面简谐波方程的解为u(x,t)=Acos(kx-ωt)，其中k=2π/λ，ω=2πf， c=λf
ห้องสมุดไป่ตู้
应用领域：机械、 电子、土木工程 等
分析方法：利用 简谐波方程进行 振动系统的分析
应用实例：桥梁、 建筑物、机械设 备的振动分析
波的传播特性
波速：波的传播速度 频率：波的振动频率 波长：波的波长 相位：波的相位差 振幅：波的振幅大小 方向：波的传播方向
波的叠加原理
波的叠加原理是 描述两个或多个 波在空间中相遇 时，它们的振幅 和相位如何叠加 的规律。
应用领域：数值 模拟在物理学、 工程学、生物学 等领域有广泛应 用
数值模拟软件： 如MATL AB、 Python等软件 可以进行数值模 拟，得到更精确 的结果
平面简谐波方程的实验验证
第五章
实验设计
实验目的：验证 平面简谐波方程
实验器材：激光 器、干涉仪、探 测器等
实验步骤：设置 激光器、调整干 涉仪、测量干涉 条纹等
结果分析
误差分析：实验误差在可接 受范围内
实验结果：平面简谐波方程 的解与实验数据吻合
结论：平面简谐波方程在实 验中得到验证
第10.2节平面间谐波方程
第10.2节 平面间谐波方程10.2.1 频率在20至20000Hz 的弹性波能使入耳产生听到声音的感觉．0℃时，空气中的声速为331.5m/s ，求这两种频率声波的波长．解：m v V v V v V 58.16/,/,205.33111≈===∴=λλλmv V 3221058.1620/5.331/-⨯≈==λ10.2.2 一平面简谐声波的振幅为0.001m ，频率为1483Hz ，在20℃的水中传播，写出其波方程．解：查表可知，波在20ºC 的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x 轴沿波传播方向，x 表示各体元平衡位置坐标，y 表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：)22966cos(001.0)(2cos x t t v A y V xπππ-=-=10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm ，波长lm ，周期为10-2s ，写出波方程(最简形式)．又距波源9m 和10m 两波面上的相位差是多少?解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为)100(2cos 10)(2cos )(cos 3x t A t A y xT t V x -=-=-=-ππωλπππ2)10100(2)9100(2=---=∆Φt t10.2.4 写出振幅为A ，ν = f ，波速为v = c ，沿Ox 轴正方向传播的平面简谐波方程．波源在原点O ，且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿Ox 轴正方向．解：设波源振动方程为)cos(φω+=t A y . ∵t=0时，2,0sin ,0cos πφφωφ-=∴>-====A u A y dtdy∴波方程])(2cos[])(2cos[22ππππ--=--=C x V x t f A t v A y10.2.5 已知波源在原点(x=0)的平面简谐波方程为 y=Acos(bt-cx)A ，b ，c 均为常量．试求：(1)振幅、频率、波速和波长；(2)写出在传播方向上距波源l 处的振动方程式，此质点振动的初相位如何?解：⑴将)cos(cx bt A y -=与标准形式)cos(kx t A y -=ω比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v =ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v =2π/c.⑵令x=l , 则)cos(cl bt A y -=，此质点振动初相为 – c l .10.2.6 一平面简谐波逆x 轴传播，波方程为 )3(2c o s ++=vtt A y πν 试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式解：令t’=t+3,则)'(2cos Vxt v A y +=π，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。
第二节 平面简谐波波动方程
§ 9.2 平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐波。
平面简谐波：波面为平面的简谐波。
平面简谐波也称为一维简谐波，其表达式也称波函数(wave function)沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速u ，振动角频率为ω)，假设媒质无吸收(质元振幅均为A )介质中任一质点（坐标为 x ）相对其平衡位置的位移（坐标为 y ）随时间的变化关系，即 称为波动方程。
设O 点处质点的振动方程为波线上坐标为x 的任意点P 处质点的振动方程振动从O 点传到P 点所需的时间为t 时刻点 P 的振动与 t-x/u 时刻点O 的振动状态相同，只是落后了Δt 点P 振动方程 式中称上式为沿x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程(,)y x t cos O y A tω=(,)P y f x t ==？x t u∆=cos ()P xy A t uω=-2πων=u λν=xo任一点p参考点a波速u波方程的其它表示式讨论：（1）如果原点的初相位不为零设：点O振动方程则：波动方程为（2）如果平面简谐波沿x轴负方向传播则P点处质点相位比O点处质点的相位超前波动方程为二、波动方程的物理意义由从几方面讨论1 当x 一定时(设x =x0，即考察波线上某一点x0) 给出x =x0处质点的振动方程即x0处质元的振动表达式，表示x处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况，由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。
2 当t一定时(设t = t0，即在某一时刻t0)，给出t= t0时刻各质点的位移y分布情况反映t0时刻各不同x处质元的位移状况，即同一时刻x轴上各个质点离开它们平c o s2π()xy A tνλ=-[]c o sOy A tωϕ=+c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+c o s[2π()]xy A tνϕλ=++c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+()y y t=()y y x=c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+2c o s()y A t xπωλ=-c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦衡位置的位移分布，由它画出的曲线即t 0时刻的波形曲线。
平面简谐波的表达式
Ox*
相位落后法
A
点p P 比 点2 π O x 落 后 的 相 位2 π T x u p O u x 2 π x
点 P 振动方程 ypAcos[t(u x)]
波 yAcos(t[x)] u沿x轴正向
函 数
yAcos(t[ux)]
π [ 2 (- ) . t 1 1 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 1 ] s π [ 2 (- ) . t 1 2 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 2 ] s
x2x120 cm 0ux2x1 25c0m s1
Tt2t10.8s
u
u沿 x轴负向
波动方程的其它形式
y(x), tA co2π s(t[x)]
T λ
y ( x ,t) A co t k s x ) ((角波数
k
2
π
)
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
解：方法上相位差为 2π的两
点间的距离.
π [2 (.-) 5 1 t (0 0 .0c s1 -m ) 1 x 1 ] π [2 (.-) 5 1 t0
(0.0c1m -)1x2]2π x2x120c0m
周期为相位传播一个波长所需的时间
把题中波动方程改写成
y (5 c)m co 2 π [s 2 ( .s-1 5 )t 0 (0 .0c1 -1 m )x ]
2
2
比较得
T 2 s0.8s 2cm20c0mu25c0ms1
2.5
0.01
T
波动(谐波波函数) ppt课件
2
一、波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 弹性介质 2. 电磁波
只需振源 可在真空中传播
3. 物质波 物质的固有性质
ppt课件
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
真空
机械波的传播 3
二、 波面 波射线 1. 横波 纵波 横波：各振动方向与波传播方向垂直 纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波 x
第2章 波 动
§1 平面简谐波的描述
§2 波的能量
§3 惠更斯原理
§4 波的叠加
§5 驻波
§6 群速度
§7 多普勒效应
ppt课件
1
§1 平面简谐波的描述 一、波的产生 二、波面 波射线 三、平面 S.H.W.的传播 四、平面 S.H.W.的表达式 五、平面 S.H.W.的复数表示法 六、波动方程
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向x轴正向传播
Acos t
2π
x
向x轴负向传播
2.角波数（简称波数)
波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）
角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
k 2π
ppt课件
24
平面谐波一般表达： Acos t kx
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波
Acos t kx 取实部 Aei(tkx) Re Aeitkx
Aei tkx Aeikxei t
经典波：波函数表示实在物理量 只有取 实部才有意义 但可以使计算方便
量子：波函数本身一般就是复数
ppt课件
28
六、波动方程
1 4 7 10 13
振动 0 状态 > 0
平面波的波动方程
2
2
1 2
2
1 y 2 1 y E Ek E p mx( ) Tx 2 t 2 x
对于平面简谐波
2
1 2 2 2 E k mx A sin t kx 2 1 2 2 2 E p Txk A sin t kx 2
⑷I=0
2
kx 2n 1
节－节 腹－节
2
n 0,1,2 波节
2
x
x
4
４.相位 作振幅为
2 A cos kx 的简谐振动
两相邻波节之间的质元相位相同
每一波节两侧各质元相位相反
５.能量 波节只有势能，波腹只有动能 当所有各点达到最大位移，全部能量为势能 当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能 经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能
2
解:⑴波速
u
波长
F
10 m 100 s m 10 3
3 3
u 100 2m 50
x x1 y A cos 2t 1 2 x 0.5 0.04 cos 100t 2 3 2 5 0.04 cos 100t x 6
2 1
2 1
2
1
r2 r1 n , n 0,1,2
A A1 A2
当
2 1
I I1 I 2 2 I1 I 2 r r 2n 1 , n 0,1,2 2
I I1 I 2 2 I1 I 2
相长
A A1 A2
相消
例:
从参考圆可知:φ1=π/3
平面谐波
利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相。
在简谐振动运动方程x=Acos(t+)中， (t+) 叫做振子在t时刻的相位。在旋转矢量中，它还有一 个直观的意义：在t时刻振幅矢量和x轴的夹角。
对一个确定的简谐振动来说，一定的相就对应于振动 质点一定时刻的运动状态，即一定时刻的位置和速度。
（2）由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置 5 时，振幅矢量转过的角度为： 2 6
2 (rad / s), A 0.12(m) T 由旋转矢量法可得： 3 x 0.12 cos( t )( SI ) 3
t 0.83( s )
dx v A s in t dt dv a 2 A cost dt 2 x 2 A cost
判断简谐运动的依据： 1 动力学特征：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位 移成正比，而方向相反。 2 运动学特征：加速度的大小总是与其位移的大小成正比，而方向 相反。
落后
两种特殊情况下的相位差：
1 同一谐振量在时间△t内所形成的相位差。
t 2 T
t 2 T
x A cost
x1 A cost1 A cos 1
2 1 t 2 t1 t
矢量 A以角速度 逆时针作匀 速圆周运动， 研究端点 M 在 x 轴上投影 点的运动， 1. M 点在 x 轴上投影点的运动
t=0,矢量与坐标轴的夹角等 于初相
A
v
y
M
A
o
t
x P
x
x A cos(t ) 为简谐振动。 2. M 点的运动速度 v A 在x轴上投影速度 v A sin(t )
平面电磁波的波动方程
电磁波的能量
例题16-9 某广播电台的平均辐射功率 P 15 kW。假定辐 射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1)求 在离电台为r =10km处的辐射强度;(2)在r=10km处一个小的空 间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度的振 幅。
赫兹
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求： (1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周 围的空间中 (2)提高辐射频率 pe p0 cos t 振荡偶极子电矩：
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡 电偶极子周围的电磁场线如下图示：
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
E x E x (I) 0, 0 x t H x H x (II) 0, 0 x t E y E y H z H z (III) , x t x t H H E z E z y y (IV) , x t x t
无线电 广播、 电报通 信
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 专门用途 电视广播、 无线电导 航
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青
0.40 0.45 0.50
绿
0.55
黄 橙
0.60 0.65
红
0.70 0.75 / m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。 紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。
10.2平面简谐波方程
P
x
−A
O
x
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第十章 3、 沿x轴负方向传播的简谐波方程 、 如图， 如图，设O点振动方程为
x 的时间 v
波动和声
yO = Acosωt
在波传播方向上取任一质元P 点振动比O 在波传播方向上取任一质元 ，P点振动比O点早 振动了
x 点的振动方程为： 故P点的振动方程为： y = Acosω(t + ) 点的振动方程为 v
解： (1) 以波源为原点、传播方向为 轴正方向 以波源为原点、传播方向为x轴正方向 波函数为
y = Acosω(t − ) v x
根据题意：A=0.040 m，ω=2.5π rad⋅s−1，v=100m⋅s−1 ， π ⋅ ⋅ 所以
y = 0.040cos2.5π(t −
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x 100
)(m )
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ωλ λ = νλ = v=
T
2π
波长λ——描述了波在空间的周期性 描述了波在空间的周期性 描述了波在时间上的周期性 频率ν——描述了波在时间上的周期性 通过波速v联系起来 通过波速 联系起来
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结束
第十章
波动和声
二、平面简谐波方程的多种形式
利用
2π ω= = 2 πν T
λ = T ⋅v = v ν
此式是沿x轴负方向传播的平面简谐波的运动学方程（波函数） 此式是沿 轴负方向传播的平面简谐波的运动学方程（波函数） 轴负方向传播的平面简谐波的运动学方程
y
vA−AO NhomakorabeaP x
x
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第十章 以上得到了简谐波的两个运动学方程
大学物理平面简谐波波动方程
§4-2平面简谐波的波动方程振动与波动最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。
任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。
需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点参考点原点的振动方程为()00cos y A t ωϕ=+任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x ππλλ=P 点的振动方程为区别联系振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
波动是振动的传播。
x02c o s P y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x πλ沿 x 轴负向传播的波动方程为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=++⎪⎝⎭利用 2ωπν=， u λν=沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭02c o s A t x u πνωϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭0c o s x A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即 0c o s x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 xt u∆=P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫- ⎪⎝⎭时刻的振动状态波动方程也常写为x02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()0c o s A t k x ωϕ=-+ 其中 2k πλ=波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。
平面波方程
[
2
2
]
1 2
2
1 ∂y 2 1 ∂y ∆E = ∆Ek + ∆Ep = µ∆x( ) + T∆x 2 ∂t 2 ∂x
对于平面简谐波
2
1 2 2 2 ∆Ek = µ∆xω A sin (ωt − kx) 2 1 ∆Ep = T∆xk 2 A2 sin2 (ωt − kx) 2
2 1
2 1
λ
2
1
r2 − r1 = ±nλ, n = 012L ,,
A = A + A2 1
当
2 1
I = I1 + I2 + 2 I1I2 λ r − r = ±( 2n +1) , n = 012L ,, 2
I = I1 + I2 − 2 I1I2
相长
A = 源相位差π的奇数倍， 两相干机械波，振源相位差π的奇数倍， 点相遇， 在p点相遇，若波程差为半波长的偶数倍 点是加强还是减弱？ 问p点是加强还是减弱？
π
2
n = 012L 波节 ,,
λ
2
∆x =
∆x =
λ
4
４.相位 相位 作振幅为
2 A cos kx 的简谐振动
两相邻波节之间的质元相位相同 每一波节两侧各质元相位相反 ５.能量 能量 波节只有势能， 波节只有势能，波腹只有动能 当所有各点达到最大位移， 当所有各点达到最大位移，全部能量为势能 当所有各点达到平衡位置， 当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能 经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能 ，
见Zlcai
O1 r1 P O2 r2
y2 = A2 cos(ωt +ϕ2 − kr2 ) y = y1 + y2 = Acos(ωt +ϕ)
10-2 平面简谐波的波动方程
v A
y
π ϕa = 2
v A
O
ω
y
−2
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程 ） 为坐标原点，
y A = (3 × 10 m ) cos( 4 π s )t
−2
−1
u
8m C 5m 9m A D
oB
x
ϕ B − ϕ A = −2π
xB − x A
λ
−5 = − 2π =π 10
ϕB =π
y B = (3 ×10 −2 m) cos[(4π s −1 )t + π ]
−2
t x y = (3 ×10 m) cos[2π ( − ) +π ] 0.5s 10m
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程 ）写出传播方向上点
u
C
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t λ = 10m 8m 5m 9m
B
−2
−2
−1
oA
D
−1
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
ϕ p = −2π
点 P 振动方程
x
y o = A cos ω t x = 0 ,ϕ = 0 x ∆ϕ = ϕ p −ϕO = −2π
λ
2πx
点 O 振动方程
λ
y p = A cos(ωt −
λ
)
如果原点的 初相位不 初相位不为零
y
A
O
u
λ
x
x = 0 ,ϕ ≠ 0 − A
点 O 振动方程
yO = A cos(ωt + ϕ ) 2πx + ϕ ) u 沿 x 轴正向 波 y = A cos(ωt − λ 动
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第10.2节 平面间谐波方程
10.2.1 频率在20至20000Hz 的弹性波能使入耳产生听到声音的感觉．0℃时，空气中的声速为331.5m/s ，求这两种频率声波的波长．
解：m v V v V v V 58.16/,
/,20
5.33111≈=
==∴=λλλ
m
v V 3221058.1620/5.331/-⨯≈==λ
10.2.2 一平面简谐声波的振幅为0.001m ，频率为1483Hz ，在20℃的水中传播，写出其波方程．
解：查表可知，波在20ºC 的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x 轴沿波传播方向，x 表示各体元平衡位置坐标，y 表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：
)22966cos(001.0)(2cos x t t v A y V x
πππ-=-=
10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm ，波长lm ，周期为10-2s ，写出波方程(最简形式)．又距波源9m 和10m 两波面上的相位差是多少?
解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为
)
100(2cos 10)(2cos )(cos 3x t A t A y x
T t V x -=-=-=-ππωλ
πππ2)10100(2)9100(2=---=∆Φt t
10.2.4 写出振幅为A ， = f ，波速为v = c ，沿Ox 轴正方向传播的平面简谐波方程．波源在原点O ，且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿Ox 轴正方向．
解：设波源振动方程为)cos(
φω+=t A y . ∵t=0时，2,0sin ,0cos πφφωφ-=∴>-==
==A u A y dt
dy
∴波方程])(2cos[])(2cos[22ππππ--=--=C x V x t f A t v A y
10.2.5 已知波源在原点(x=0)的平面简谐波方程为 y=Acos(bt-cx)
A ，b ，c 均为常量．试求：(1)振幅、频率、波速和波长；(2)写出在传播方向上距波源l 处的振动方程式，此质点振动的初相位如何?
解：⑴将)cos(cx bt A y -=与标准形式)cos(
kx t A y -=ω比较，ω=b,k=c,∴振幅为
A,频率v =ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v =2π/c.
⑵令x=l , 则)cos(cl bt A y -=，此质点振动初相为 – c l .
10.2.6 一平面简谐波逆x 轴传播，波方程为 )3(2c o s ++
=v
t
t A y πν 试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式
解：令t’=t+3,则)'(2cos V
x
t v A y +=π，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。
10.2.7 平面简谐波方程)4
(2cos 5x
t y -=π，试用两种方法画出t=3/5s 时的波形图．(SI)
解：由波方程可知：A=5, v=4, v =1, λ=v/v =4
s t 53=时，)(cos 5)(2cos 5512
2453+=+=x y x ππ
方法一：令512'+=x x ，先画出'cos 52x y π=的波形图，然后将y 轴右移512
即可。
方法二：找出x 、y 的对应点，根据余弦函数规律描出。
10.2.8 对于平面简谐波)(
2cos λ
πx
T t r S -=中r=0.01m ，T=12s ，λ = 0.30m ，画出x = 0．20m 处体元的位移—时间曲线．画出t=3s ，6s 时的波形图.
解：波方程)(2cos 01.0)(2cos 3
.012x t x T
t r S -=-=ππλ
⑴令x=0.20，)8(cos 01.0)(2cos 01.063
.02.012
-=-=t S t
ππ；令t'=t-8,根据T=12s 及余
弦曲线的规律，先画出'cos 01.0'6t S π=的S’-t’曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t 曲线。
⑵令t=3, )(2cos 01.0)(2cos 01.0123
3.03
.012
3-=-=x x S ππ=
x(m)
)(cos 01.0403320-x π.令403'-=x x ，根据m 403
43.0⨯==λ及余弦曲线的规律，先画出
'cos 01.0'320x S π=的S’-x’曲线，再把S’轴向左移动3/40m ，即得S-x 曲线。
t=6s 时的波形图，可把t=3s 时的波形图左移m 40
3
12
3
63.0=⨯-，即1个单位，就是t=6s
时的波形图（虚线所示）。
10.2.9 二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x 1、x 2、x 3以及1、2、3各质元的位移和速度为正还是为负? 它们的相位如何?(对于x 2 和2只要求说明其相位在第几象限)
解：根据)(sin ),(cos V x V
x t A u t A y ωωω-==及波形图随时间t 的移动方向，可做出如下判断：
10.2.10 图(a)、(b)分别表示t=0和t=2s 时的某一平面简谐波的波形图．试写出此平面简谐波波方程．
解：由波形图知：A=2m,λ=2m.由图（a ），原点处质元t=0时， y=A,可判断其初相为零.比较 （a ）、（b ）两图,（b ）图可看 作（a ）图向右移动0.5m 得到。
∴V Δt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. ω=2πV/λ=2π×0.25/2=0.25π )
25.0(cos 2)(25.0cos 2)
(cos 225.0x t t t y x V x
-=-=-=∴ππω x x
图（b）。