平面向量经典习题-提高篇

平面向量：

1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)

共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23

[答案] C

[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，

∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c

垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1

[答案] C

[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.

(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )

A ．－611

B ．－116 C.611

D.116

[答案] C

[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，

∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6

11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的

夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°

[答案] B

[解析] 如图，在▱ABCD 中，

∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3

2，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )

A.12

B.13

C.14

D.15

[答案] A

[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝3

4， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，

设|b |＝x ，则1＋x 2

－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.

4. 若AB →·BC

→＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．

5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c

为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴⎩⎨

⎧

λ＋μ＝－2λ－μ＝4

，∴⎩⎨

⎧

λ＝1μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B.

(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF

→等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋13b

C.12a ＋14b

D.13a ＋23b

[答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE

→＝3ED →，

3y

≥2

3

2x ＋y

＝6，等号在x ＝1

2，y ＝1时成立．

6. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数

x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋5

2 D.1＋5

2

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC

→＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 7. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB

→＋AC

→)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关 [答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP

→＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD

→|的最小值是( ) A.1

2 B.3

2 C. 2 D.22

[答案] D

[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC

→|＝2， ∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC

→|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2

＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12

， ∴|AD →|≥22

.