排列组合专题复习及经典例题详解讲课稿
高考数学复习：“ 排列、组合”高考题讲解名师课件
C
1 4
种，
其余 5 人中选 3 人分别去三个城市有 A53 种,
故共有
C
1 4
A53 =240 种．
6.（05 湖南）4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学
必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分, 答错得
－100 分；选乙题答对得 90 分,答错得－90 分. 若 4 位同学的总分为
排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）
Ａ．1440 种
Ｂ．960 种
Ｃ．720 种
Ｄ．480 种
解: 5 名志愿组插入其中，且两位老人有左右顺序, 共有
2 4 A55 =960 种不同的排法，选 B.
3．（06 辽宁卷）C61 C62 C63 C64 C65 的值为（ B ）
f(n)=
.(答案用数字或 n 的解析式表示)
解：n
棱锥共
n+1
个顶点，任两个顶点连一条直线，共有
C2 n1
n(n 1) 2
条；
当 n=4 时表示的是四棱锥，可确定 4×2+2×2=12 对异面直线，即 f (4) 12 ；
而 f (n) n(n 2) n(n 3) (n 2) n(n 1)(n 2) . 因为 n 条侧棱有 n(n 2) 对，
与其他四个做全排列有 A55 种排法,而甲、乙、丙相对顺序固定有
A33 种，故共有
A55 A33
20 种排法.
9.（07 广东理）如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个
凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这 些直线中共有 f (n) 对异面直线，则 f (4) ________ ；
排列组合经典例题总结讲课讲稿共38页
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
38
排列组合经典例题总结讲课讲稿
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
ห้องสมุดไป่ตู้
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)
排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。
加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。
排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。
记做mn A 。
m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。
记座mn C 。
m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。
高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
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一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
最新非常好的排列与组合讲义(教师版、含解析)
第二节 排列与组合1．排列与排列数公式 (1)排列与排列数(2)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！(m ，n ∈N *，m ≤n )．(3)排列数的性质 A nn ＝n ！；A 0n ＝1；0！＝1.[探究] 1.排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数(2)组合数公式 C mn ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！(m ，n ∈N *，m ≤n )．(3)组合数性质①C 0n ＝1；②C m n ＝C n －m n ；③C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .[探究] 2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是( )A ．123B ．312C ．A 312D ．12＋11＋10解析：选C 从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A 312种不同的获奖情况． 2．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：选B 分两类，第一类在直线a 上任取一点与直线b 可确定C 14个平面；第二类在直线b 上任取一点与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( ) A ．252种 B ．112种 C ．20种 D ．56种解析：选B 不同的分配方案共有C 27C 55＋C 37C 44＋C 47C 33＋C 57C 22＝112种．4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种．解析：(间接法)共有C47－C44＝34种不同的选法．答案：345．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种．解析：M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C36＝20种方法，减去不合题意的4种．则不同的方法有16种．答案：16[例1] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答] (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N ＝A44·A35＝1 440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A15＝5种排法；再安排其他人，有A66＝720种排法．所以共有A15·A66＝3 600种排法．本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故有N＝A33·A55＝720种．解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法( )A．450 B．460 C．480 D．500解析：选C 先排老师有A14种排法，剩下同学有A55种排法．共有A14A55＝480种排法．2．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43 200种方法．(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2 880种方法.[例2] 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[自主解答] (1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771种．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12名人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771种；(2)至多有2名女生入选包括如下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546种．(3)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人任选3名即可，共有C22C310＝120种选法；(4)法一：男生甲和女生乙不能同时入选包括以下几种情况：男生甲入选女生乙不入选；男生甲不入选女生乙入选；男生甲和女生乙都不入选．由分类加法计数原理知总选法数为C410＋C410＋C510＝672种．法二：间接法：从12人中选出5人，有C512种选法，从除去男生甲和女生乙外的10人中任选3人有C310种选法，所以“男生甲和女生乙不能同时入选”的选法有C512－C22C310＝672种；(5)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540种．组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种 C．42种 D．48种解析：选A 法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C37＝35种选法，减去只选A类的C33＝1种，再减去只选B类的C34＝4种，共有30种选法．[例3] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．[自主解答] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，选出的3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84种．3点注意——求解排列、组合问题的三个注意点(1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏.创新交汇——几何图形中的排列组合问题1．排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题．2．解答此类问题应注意以下问题：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；(2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决； (3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验．[典例] (2011·湖北高考)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n ＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．[解析] (1)当n ＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C 25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C 34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43种．[答案] 21 43(2012·安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4解析：选D 不妨设6位同学分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，列举交换纪念品的所有情况为AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共有15种．因为6位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的2种．第一类，某人少交换2次，如DF ，EF 没有交换，则A ，B ，C 交换5次，D ，E 交换4次，F 交换3次；第二类，4人少交换1次，如CD ，EF 没有交换，则A ，B 交换5次，C ，D ，E ，F 交换4次．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：选C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A 33(A 33)3＝(3！)4.2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：选A 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种解析：选C 当A 出现在第一步时，再排A ，B ，C 以外的三个程序，有A 33种，A 与A ，B ，C 以外的三个程序生成4个可以排列程序B 、C 的空档，此时共有A 33A 14A 22种排法；当A 出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A 33A 14A 22＝96种编排方法．4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有( )A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种解析：选C 可分三步：第一步，填A 、B 方格的数字，填入A 方格的数字大于B 方格中的数字有6种方式(若方格A 填入2，则方格B 只能填入1；若方格A 填入3，则方格B 只能填入1或2，若方格A 填入4，则方格B 只能填入1或2或3)；第二步，填方格C 的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D 的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96.5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C 23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现 A B CD的情形共有2＋6＋12＝20种．6．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A．232 B．252 C．472 D．484解析：选C 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．7．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．解析：由题意知按投资城市的个数分两类：①投资3个城市即A34种．②投资2个城市即C23A24种，共有不同的投资方案种数是A34＋C23A24＝60.答案：608．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，安排其他两辆车共有A22种方法，故不同的调度方法为C25·C24·A22＝120种．9．(2013·宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法．(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法．综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参加方法．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有不同的测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同的测试方法A14·C16·A44＝576种．11．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．12.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A33＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有A13A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．1．甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336种．答案：3362．如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为( )A．40 B．48 C．56 D．62解析：选C 满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法；第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C34种取法；第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点(除P外)和与这条棱异面的其中一条棱的中点也共面，有4C12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C34＋4C12＝56种．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？解：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A22A66＝1 440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有A22A55＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有A22A55＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有A22A44＝48种．因此满足题意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008种．。
排列组合例题讲课讲稿
分配问题例1 （1）8名大学生分配给9个工厂，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（2）9名大学生分配给8个工作单位，每个单位只接受1名，例2 （1）将6封信投入个不同的邮箱，有多少种不同的投法？（2）把3名学生分配给5个不同的班级，有多少种不同的分配方法？（3）将6本不同的教学参考书借给3位教师，有多少种不同的借法？（4）8名体操运动员决赛，争夺6个体操单项冠军，有多少种不同的结果?(不设并列冠军) 有多少种分配方法？类型一：特殊优先法例一：一名老师和四名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，有多少种排法？例二：某班有七人可以参加4*100接力赛，其中甲不能跑第一棒和最后一棒，问有多少种排法？类型二：合理分类准确分步例3：用0、1`、2、3、4、5六个数字，（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数（2）能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数例4：某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？组合型的例五：一个小组有10名同学，其中4女6男，现从中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法有多少种？分析：分类和间接法均可例6：有11名外语翻译人员，其中有5名会英语，4名会日语，另外两名英日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问有多少种不同的选派方式？三、选排问题先选后排例7：有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数（1）有女生但人数少于男生（2）某女生一定担任语文课代表（3）某男生必须在内，但不担任数学科代表（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任课代表，但是不担任数学科代表例8：在7名运动员中选4名组成接力队参加4*100接力赛，那么甲已两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？解法一：由于甲已不能跑中间两棒，故先从除甲已外的5人中选2人跑中间两棒，共有种，然后从剩余的3人及甲已共5人中选2人跑第一和第四棒，有种解法二：按甲已在不在接力队可分为几下三类第一类：甲已都不在接力队，从除甲已之外的5人中选4人安排有种第二类：甲已两人仅有1人在对内，从甲已两人选一个有，该人从第1、4两棒，选一棒，有种，其余无限制第三类：甲已都在队内，先从除甲已外的五人中选2人跑中间两棒有种，对甲已来说有种四、相邻问题捆绑法例9：从单词“equation”中选5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”项连接且顺序不变）的不同排法有多少种？五、不相邻问题和相间问题例10：5个男生3个女生，排成一排，要求女生不相邻且不排两头，共有几种排法？评注（1）插入时必须分清谁插谁的问题，要先排无限制条件的元素，在插入必须间隔的元素（2）数清可插的位置数（3）插入时是以组合形式还是以排列形式插入要把握准例11：马路上有编号1、2、3、…10的10盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种分析：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不可暗，问题等价于在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔插入3只关掉的灯，所以关灯的方法有相间问题相间问题区别于不相邻问题的一个显著特征是问题双方的元素个数只能相等或相差一个，解决方法是具体分类例12（1）4男3女排成一排，男女生必须相间而排有多少种排法（2）4男例13：8人排成一排其中甲已丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法种数4女排成一排，男女生必须相间而排有多少种排法直接插入法：即先排除甲已丙外的5人，有种排法，在从甲已丙3个中选2人合并为一元素，和余下的1个插入6个空中，有种插排法，故总排法种数位间接法：先将8个全排列，减去三人两两都不相邻的和三人同时相邻的正难则反间接法对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数，一般含有至多至少型的问题，采用间接法例15从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个不相邻的选法共有多少种例16 4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，先从袋中取出4个球：（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？定序均分问题对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或现在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后崔其他元素进行全排列例17 5人站成一排，如果甲必须占在已的左边，则不同的排法有解法一：5人不加限制的排法有种，甲在已的左边和甲在已的右边的排法是相等的，所以甲必须在左边的排法数为种多少种解法二：先从5人中选2个位置给甲已，有种，然后从其余3个位置排另外3人有种，所以不同排法种数为比照上题做下面的题练一练a a a ab b b排成一排有多少种排法？两种方法都试验一下平均分组问题1）平均分组问题：一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有（2）部分均分问题；先将不均分的部分直接取出，如下例中第三问…其于部分在平均分组（3）不均分问题：由于各组均不相等，因此按各组数直接组合即可，如下例中的第一问例18 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？（1）分成1本、2本、3本（2）平均分成三组，每组2本（3）分成三组，一组4本，另外两组各1本不同元素分配的先分组后分配法（未完待续）。
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
《高三排列组合复习》课件
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
排列组合专题复习与经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略:（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略.3.难点综合运用解题策略解决问题.4.学习过程:(1)知识梳理1. 分类计数原理（加法原理）: 完成一件事, 有几类办法, 在第一类办法中有种不同的方法, 在第2类办法中有种不同的方法……在第n类型办法中有种不同的方法, 那么完成这件事共有种不同的方法.2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事, 需要分成n个步骤, 做第1步有种不同的方法, 做第2步有种不同的方法……, 做第n步有种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法．特别提醒:分类计数原理与“分类”有关, 要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关, 要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性, 应用这两个原理进行正确地分类、分步, 做到不重复、不遗漏.3. 排列：从n个不同元素中, 任取m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列, 时叫做选排列, 时叫做全排列.4．排列数: 从n个不同元素中, 取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 用符号表示.5. 排列数公式：排列数具有的性质:特别提醒:规定0!=16. 组合: 从n个不同的元素中, 任取m(m≤n)个不同元素, 组成一组, 叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7．组合数: 从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示.8. 组合数公式：组合数的两个性质: ①；②特别提醒: 排列与组合的联系与区别.联系: 都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”, 后者是“并成一组”, 前者有顺序关系, 后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排, 分别有多少种不同的站法（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端, 乙不站右端.【解析】: (1)方法一: 要使甲不站在两端, 可先让甲在中间4个位置上任选1个, 有种站法, 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法, 根据分步乘法计数原理, 共有站法:方法二: 由于甲不站两端, 这两个位置只能从其余5个人中选2个人站, 有种站法, 然后中间4人有种站法, 根据分步乘法计数原理, 共有站法:方法三: 若对甲没有限制条件共有种站法, 甲在两端共有种站法, 从总数中减去这两种情况的排列数, 即共有站法:（2）方法一: 先把甲、乙作为一个“整体”, 看作一个人, 和其余4人进行全排列有种站法, 再把甲、乙进行全排列, 有种站法, 根据分步乘法计数原理, 共有方法二: 先把甲、乙以外的4个人作全排列, 有种站法, 再在5个空档中选出一个供甲、乙放入, 有种方法, 最后让甲、乙全排列, 有种方法, 共有（3）因为甲、乙不相邻, 中间有隔档, 可用“插空法”, 第一步先让甲、乙以外的4个人站队, 有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中, 有种站法, 故共有站法为此外, 也可用“间接法”, 6个人全排列有种站法, 由（2）知甲、乙相邻有种站法, 所以不相邻的站法有.（4）方法一: 先将甲、乙以外的4个人作全排列, 有种, 然后将甲、乙按条件插入站队, 有种, 故共有站法.方法二: 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上, 有种, 然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法, 最后对甲、乙进行排列, 有种方法, 故共有站法.（5）方法一: 首先考虑特殊元素, 甲、乙先站两端, 有种, 再让其他4人在中间位置作全排列, 有种, 根据分步乘法计数原理, 共有站法.方法二: 首先考虑两端两个特殊位置, 甲、乙去站有种站法, 然后考虑中间4个位置, 由剩下的4人去站, 有种站法, 由分步乘法计数原理共有站法.（6）方法一: 甲在左端的站法有种, 乙在右端的站法有种, 甲在左端而且乙在右端的站法有种, 故甲不站左端、乙不站右端共有-2 + =504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有 种站法, ②甲在中间4个位置之一, 而乙又不在右端有 种, 故共有 + =504（种）站法.考点二:组合问题例2.男运动员6名, 女运动员4名, 其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法（1）男运动员3名, 女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长, 又要有女运动员.【解析】: （1）选法为 .（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男, 2女3男, 3女2男, 4女1男.由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614=+++C C C C C C C C .方法二: 因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”, 故可用间接法求解. 从10人中任选5人有 种选法, 其中全是男运动员的选法有 种.所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510=-C C .（3）方法一: 可分类求解:“只有男队长”的选法为48C ；“只有女队长”的选法为48C ；“男、女队长都入选”的选法为38C ；所以共有248C +38C =196（种）选法.方法二: 间接法: 从10人中任选5人有 种选法.其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长”的选法为510C -58C =196种.（4）当有女队长时, 其他人任意选, 共有 种选法；不选女队长时, 必选男队长, 共有 种选法, 而且其中不含女运动员的选法有 种, 所以不选女队长时的选法共有 种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849=-+C C C 种.考点三:综合问题例个不同的球, 4个不同的盒子, 把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球, 共有几种放法（2）恰有1个盒内有2个球, 共有几种放法（3）恰有2个盒不放球, 共有几种放法【解析】: （1）为保证“恰有1个盒不放球”, 先从4个盒子中任意取出去一个, 问题转化为“4个球, 3个盒子, 每个盒子都要放入球, 共有几种放法”即把4个球分成2, 1, 1的三组, 然后再从3个盒子中选1个放2个球, 其余2个球放在另外2个盒子内, 由分步乘法计数原理, 共有 ；（2）“恰有1个盒内有2个球”, 即另外3个盒子放2个球, 每个盒子至多放1个球, 也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事, 所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有 种方法；4个球放进2个盒子可分成（3, 1）、（2, 2）两类： 第一类有序不均匀分组有8221134=P C C 种方法； 第二类有序均匀分组有622222224=⨯P P C C 种方法. 故共有842222222422113424=⨯+）（P P C C P C C C 种. 当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队, 要求其中男、女医生都有, 则不同的组队方案共有 （ ）种 种 种 种【解析】: 分为2男1女, 和1男2女两大类, 共有 种.解题策略: 合理分类与准确分步的策略.年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作, 若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作, 则不同的选派方案共有 （ ）种种种种【解析】: 合理分类, 通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选, 先从两人中选1人, 然后把这个人在前两项工作中安排一个, 最后剩余的三人进行全排列有种选法. （2）小张和小赵都入选, 首先安排这两个人做前两项工作有种方法, 然后在剩余的3人中选2人做后两项工作, 有种方法. 故共有种选法.解题策略: ①.特殊元素优先安排的策略.②.合理分类与准确分步的策略.③.排列、组合混合问题先选后排的策略.3.从0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数字的四位数的个数为（）【解析】: 分为两大类: （1）含有0, 分步: ①从另外两个偶数中选一个, 有种方法, ②.从3个奇数中选两个, 有种方法；③.给0安排一个位置, 只能在个、十、百位上选, 有种方法；④.其他的3个数字进行全排列, 有种排法, 根据乘法原理共有种方法. （2）不含0, 分步: ①偶数必然是2和4 ；②奇数有种不同的选法, ③然后把4个元素全排列, 共种排法, 不含0 的排法有种. 根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学, 3名女同学；乙组有6名男同学, 2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学, 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）种种种种【解析】: 4人中恰有1名女同学的情况分为两种, 即这1名女同学或来自甲组, 或来自乙组, 则所有不同的选法共有种选法.解题策略: 合理分类与准确分步的策略.5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门, 则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）【解析】: 法一: 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:⑴. 甲、乙所选的课程中2门均不相同, 甲先从4门中任选2门, 乙选取剩下的2门, 有种.⑵. 甲、乙所选的课程中有且只有1门相同, 分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程, 有种选法, ②甲从剩余的3门中任选1门, 乙从最后剩余的2门中任选1门, 有种选法, 由分步计数原理此时共有种.最后由分类计数原理, 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．法二: 可以先让甲、乙任意选择两门, 有种方法, 然后再把两个人全相同的情况去掉, 两个人全相同, 可以将甲与乙看成为同一个人, 从4门中任选两门有种选法, 所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法.解题策略: 正难则反, 等价转化的策略.6.用0 到9 这10 个数字, 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）【解析】：第一类个位是0, 共种不同的排法；第二类个位不是0, 共种不同的解法．故共有+ =328（个）．解题策略: 合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理, 则甲、乙至少有1人入选, 而丙没有入选的不同选法的总数为（）【解析】: 合理分类, 甲、乙全被选中, 有种选法, 甲、乙有一个被选中, 有种不同的选法, 共+ =49种不同的选法.解题策略: （1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班, 每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班, 则不同分法的总数为（）【解析】: 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组, 则共有种不同的分法, 然后三组进行全排列共种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉, 共种不同的排法. 所以总的排法为- =30种.注意:这里有一个分组的问题, 即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略:⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点:仔细审题, 判断是排列还是组合问题, 要按元素的性质分类, 按事件发生的过程进行分步. 深入分析, 严密周详, 注意分清是乘还是加, 要防止重复和遗漏, 辩证思维, 多角度分析, 全面考虑.对限制条件较复杂的排列组合问题, 要周密分析, 设计出合理的方案, 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决.由于排列组合问题的答案一般数目较大, 不易直接验证, 因此在检查结果时, 应着重检查所设计的解决方案是否完备, 有无重复和遗漏, 也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同, 在对排列组合问题分类时, 分类标准应统一, 否则易出现遗漏和重复．。
排列组合综合复习课件
$A_n^m = n(n-1)(n-2)...(nm+1)$，其中$A_n^m$表示从n 个元素中取出m个元素的排列数 。
组合定义及公式
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素，并成一组，叫做从n个元素中 取出m个元素的一个组合。
组合公式
$C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}$，其 中$C_n^m$表示从n个元素中取出m 个元素的组合数，$n!$表示n的阶乘。
基础练习题
题目1
从5个不同的红球和3个不同的白球中任取3个，求取出的3 个球中至少有1个白球的概率。
题目2
有5本不同的书，要分给4个学生，每人至少分到1本，则 不同的分法种数为多少？
题目3
用0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位 数？
提高练习题
题目1
有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2,4,6,...,18,20。若把这些正方体锯成棱长为1的小正方体，则在这些小 正方体中，共有一面至少被锯成两部分的小正方体多少个？
04
排列组合在概率统计中应用
古典概型中计数原理应用
1 2
古典概型定义
每个样本点等可能出现，且样本空间有限。
计数原理
通过排列组合计算事件包含的基本事件个数。
示例
3
掷骰子、抽球等。
几何概型中计数原理应用
几何概型定义
样本空间是一个可度量的几何区域。
计数原理
通过几何度量（长度、面积、体积等）计算事件 概率。
排列与组合关系
区别
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
联系
排列数$A_n^m$与组合数$C_n^m$之间存在关系，即$A_n^m = C_n^m times m!$。这是因为排列数是在组合数的基础上，再对选出的元素进行全排列 。
排列与组合专题讲义高三数学二轮复习
排列与组合专题讲义纵观近几年全国各地的高考数学试卷，排列与组合问题是高考数学必考内容之一。
由于大部分命题与生活情境有关而造成学生理解上的难点。
排列与组合是基于加法计数原理与乘法计数原理的计数算法的数学模型，也是后续学习古典概型的基础。
类型1:典型的排列问题及其解法1.1 特殊优先考虑例1.7个人排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.的排法有多少种？解法1:(特殊位置优先)考虑特殊元素甲的位置，可分为两类：甲在最右边，甲在中间5个位置之一。
甲在最右边时，其他的可全排，有A 66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A 15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A 15种，其余人全排列，只有A 55种不同排法，共有A 66＋A 15A 15A 55＝3 720. 解法2:（特殊位置优先）考虑最左边站的位置，可分为两类：乙站最左边，剩余5个人中一个站最左边。
乙在最左边时，其他的可全排，有A 66种方法；余下的5个人选1个人站最左边，有A 15种，再在除去乙和已站在最左边的人剩余的5个人中选1人站在最右边，，有A 15种，其余人全排列，只有A 55种不同排法，共有A 66＋A 15A 15A 55＝3720（种） 解法3:(间接法)7个人全排列，有A 77种方法，其中甲在最左边时，有A 66种方法，乙在最右边时，有A 66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A 55种方法，故共有A 77－2A 66＋A 55＝3 720(种).规律方法：解决此类排列问题，常用的方法有位置分析法、元素分析法，即优先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，再考虑其他元素或位置。
对于分类过多的问题可以采用间接法.，即先不考虑限制条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。
1.2 相邻问题，“捆绑”解决例2.有3名男生、4名女生排成一排，要求女生站在一起，有多少种不同的排法？ 解：（捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A 44种方法，再将女生全排列，有A 44种方法，共有A 44·A 44＝576(种). 规律方法：对于要求某些元素相邻的排列问题，可以先将相邻元素“捆绑”看作一个整体，即一个元素，再与其他元素进行排列，再考虑捆绑在一起的元素进行自排。
排列组合经典例题总结ppt课件
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可一求先个将某复甲几合乙元个两素元元，素素同必捆时须绑丙成排丁整在也体看一并成起看一的成个问题, 可复合以元用素捆，绑再法与来其解它决元素问进题行.即排将列，需要相
解 (C 3 1 ： C 5 4C 3 2C 5 3)A .5 5
（2）男生只能担任数学化学物理课代表；
解C 5 2 ： A 3 2.A 3 3C 5 3A 3 3.A 3 2
.
5综合问题
练习10：3张卡片正反面分别写着数字0与1、 3与4、5与6，将三张卡片并排组成三位数， 共可以组成多少个不同的三位数？
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
.
两个原理的区别与联系：
做一件事，完成它可以有n类办 法，第i类办法中有mi种不同的 方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的 方法
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的 方法.
行的平面有3种； 故取4个不共面的点有 C . 140-(4C6 4+6+3)=141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
C84- 12= 58
.
解排列组合题的常用方法
1.特殊元素优先考虑 2.不相邻问题插空法 3.相邻问题捆绑法 4. 定序问题缩倍法 5.多排问题直排法 6.排列组合混合题先选后排法 7.相同元素分配问题隔板法 8.正难则反间接法
排列组合经典例题总结ppt课件
有A53种排法第二步排其余的位置：有A44种排法
共有A53 A44种不同的排法
解二：第一步由葵花去占位： 有A42种排法 第二步由其余元素占位：有A55种排法
共有A42 A55种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
为主然,后需排先首安位排共特有殊_C元_41_素,再处理其它元素.
若以最位后置排分其析它为位主置,共需有先_A满_43_足C41特殊位A43置的要C31
求,由再分处步理计其数它原位理置得。C31
C
1 4
A43
=288
练习1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类
办法，第i类办法中有mi种不同
定
义
的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方
法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
《排列组合复习》课件
进阶练习题
在5个不同元素中取出3个元素进行排列，其中某一个 特定元素必须被取到，这样的排列数是多少？
输入 标题
答案解析
首先从5个元素中取出一个特定元素，然后从剩下的4 个元素中取出2个元素进行排列，即$A_{5}^{1} times A_{4}^{2} = 5 times 24 = 120$。
题目1
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定条件，将 其先固定下来，再对其他元素进行排列或组合。这种方法可以简化问题，降低计 算难度，提高解题效率。
分组法
总结词
分组法是一种将问题分解成若干个较小 的部分，分别解决后再综合的解题技巧 。
VS
详细描述
分组法在排列组合问题中，常常用于处理 有特定分组要求的问题。首先将问题分解 成若干个较小的部分，对每一部分进行排 列或组合，然后再根据问题的具体要求， 将各部分的解进行综合，得出最终答案。 这种方法可以降低问题的复杂度，使问题 更容易解决。
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05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
从5个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？
答案解析
从5个不同元素中取出3个元素进行排列，即$A_{5}^{3} = 5 times 4 times 3 = 60$。
题目2
从7个不同元素中取出4个元素的组合数是多少？
答案解析
从7个不同元素中取出4个元素进行组合，即$C_{7}^{4} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} = 35$。
详细描述
排列组合的分组问题通常涉及到将一组元素分成若干个不同的组，并考虑这些组之间的 排列或组合关系。解决这类问题需要理解分组的基本原则，并能够根据实际情况选择合
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排列组合专题复习及经典例题详解1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略．3.难点综合运用解题策略解决问题．4.学习过程:(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法．2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯=...21种不同的方法．特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列.4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示.5．排列数公式：）、（+∈≤-=+---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)!(!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒：规定0!=16．组合：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n 个不同元素中取m 个不同元素的一个组合.7．组合数：从n 个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号mn C 表示. 8．组合数公式：)!(!!!)1)...(2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m m n m n-=+---== 组合数的两个性质：①m n n m n C C -= ；②11-++=m n m n m n C C C特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种=P P 方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种站法，然后中间4人有44P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425=P P 方法三：若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(48025566种=-P P （2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种=P P 方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有)(240221544种=P P P（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站法，故共有站法为（种）4802544=P P 此外，也可用“间接法”，6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有2402255=P P 种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种=-=-P P P .（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有（种））（14432244=⨯P P 站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P 种方法，故共有（种）144223324=P P P 站法. （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P 种，再让其他4人在中间位置作全排列，有44P 种，根据分步乘法计数原理，共有（种）484422=P P 站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有22P 种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有44P 种站法，由分步乘法计数原理共有（种）484422=P P 站法.（6）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，甲在左端而且乙在右端的站法有44P 种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P -255P +44P =504（种）站法. 方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有441414P P P 种，故共有55P +441414P P P =504（种）站法.考点二:组合问题 例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为（种）1202436=C C .（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614=+++C C C C C C C C .方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解. 从10人中任选5人有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种.所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510=-C C . （3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为48C ；“只有女队长”的选法为48C ；“男、女队长都入选”的选法为38C ；所以共有248C +38C =196（种）选法.方法二：间接法：从10人中任选5人有510C 种选法.其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少1名队长”的选法为510C -58C =196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，而且其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有4548C C -种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849=-+C C C 种. 考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有种14422132414=P C C C ；（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有24C 种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类： 第一类有序不均匀分组有8221134=P C C 种方法；第二类有序均匀分组有622222224=⨯P P C C 种方法. 故共有842222222422113424=⨯+）（P P C C P C C C 种. 当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A.70 种B.80种C.100 种D.140 种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有7024151425=+C C C C 种．解题策略：合理分类与准确分步的策略．2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A.48 种B.12种C.18种D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有24331212=P C C 种选法．（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有222=P 种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有633=P 种方法．故共有363322331212=+P P P C C 种选法． 解题策略：①.特殊元素优先安排的策略．②.合理分类与准确分步的策略．③.排列、组合混合问题先选后排的策略．3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A.48B.12C.180D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有12C 种方法，②.从3个奇数中选两个，有23C 种方法；③.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C 种方法；④.其他的3个数字进行全排列，有33P 种排法，根据乘法原理共有10833132312=P C C C 种方法．（2）不含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有23C 种不同的选法，③然后把4个元素全排列，共44P 种排法，不含0 的排法有724423=P C 种．根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有345121625261315=+C C C C C C 种选法．解题策略：合理分类与准确分步的策略．5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有62224=C C 种．⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有414=C 种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，有61213=C C 种选法，由分步计数原理此时共有24121314=C C C 种． 最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种． 故选C ．法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有362424=C C 种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有624=C 种选法，所以至少有一门不相同的选法为30242424=-C C C 种不同的选法． 解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A.324B.328C.360 D .648【解析】：第一类个位是0，共29P 种不同的排法；第二类个位不是0，共181814C C C 种不同的解法．故共有29P +181814C C C =328（个）．解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（ ）A.85B.56C.49D.28【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有1722C C 种选法，甲、乙有一个被选中，有2712C C 种不同的选法，共1722C C +2712C C =49种不同的选法．解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）A.4B.18C.24D.30【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有24C 种不同的分法，然后三组进行全排列共33P 种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共33P 种不同的排法．所以总的排法为24C 33P -33P =30种． 注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题． 解题策略：⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．。