特殊四边形的证明与计算

特殊四边形的证明与计算1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 在线段AC 上，连接BE ，以BE 为边作等边三角形BEF ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，连接AF 、AD 、ED .(1)求证：△BCE ≌△ACD ；(2)求证：四边形ADEF 是平行四边形．第1题图证明：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠BCE ＝60°，由题意得CE ＝CD ，∠ECD ＝60°.在△BCE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD ＝60°CE ＝CD， ∴△BCE ≌△ACD (SAS)；(2)∵△BCE ≌△ACD ，∴AD ＝BE ，∠DAE ＝∠CBE ，∵△BEF 是等边三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴AD＝EF，∵△ABC与△BEF均是等边三角形，∴∠BCE＝∠BEF＝60°，∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF，∴∠CBE＝∠AEF，∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．第2题图(1)证明：如解图，延长CE交AB于点G，第2题解图∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠GAE ＝∠CAE ，在△AGE 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CAE AE ＝AE∠AEG ＝∠AEC， ∴△AGE ≌△ACE (ASA)，∴GE ＝EC .∵点D 是边BC 的中点，∴BD ＝CD ，DE 为△CGB 的中位线，∴DE ∥BF .又∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形；(2)解：BF ＝12(AB －AC )．理由如下：由(1)可知，△AGE ≌△ACE ，四边形BDEF 是平行四边形，∴AG ＝AC ，BF ＝DE ＝12BG ，∴BF ＝12BG ＝12(AB －AG )＝12(AB －AC )．3．如图，已知边长为22的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，当x为何值时，S的值最小，求出最小值．第3题图(1)证明：如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，第3题解图①∴∠MEN＝90°，∴∠MEF＋∠FEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＋∠FEN＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ，在△DEN 和△FEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DNE ＝∠FME ＝90°EN ＝EM∠DEN ＝∠FEM， ∴△DEN ≌△FEM (ASA)，∴DE ＝EF ，∵四边形DEFG 是矩形，∴矩形DEFG 是正方形；(2)解：∵在正方形ABCD 中，AB ＝22，∴AC ＝4，∠DAE ＝45°，如解图②，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，第3题解图②∵AE ＝x (0<x <4)，∴AH ＝EH ＝22x ，在Rt △DHE 中，DH ＝AD －AH ＝22－22x ，EH ＝22x ，根据勾股定理得，DE2＝DH2＋EH2＝(22－22x)2＋(22x)2＝x2－4x＋8，∵四边形DEFG为正方形，∴S＝DE2＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4，∴当x＝2时，S有最小值，即为4.4.如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB ＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC，连接AD、AF、DF、EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．第4题图(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝90°＋∠ACB＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF ＝CD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABF ＝∠ACD BF ＝CD，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AD ＝AF ；(2)解：四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝90°，∴∠ABN ＝90°，由(1)知△ABF ≌△ACD ，∴∠F AB ＝∠CAD ，∴∠F AB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∵∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD ，∵AB ＝AC ＝AE ，AF ＝AD ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)．∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°，∵∠EAB＝90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四边形ABNE是正方形．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB 的中点，F是AC延长线上的一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论．(请先补全图形，再解答)第5题图(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC.∴AC＝BC，AC⊥BC，如解图，连接CE，第5题解图∵E为AB的中点，∴AE ＝EC ，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＝∠CAE ＝45°，∴∠DAE ＝∠ECF ＝135°，又∵∠AED ＋∠CED ＝∠CEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF (ASA)，∴ED ＝EF ；(2)解：补全图形如解图，四边形ACPE 是平行四边形；证明：∵由(1)得△AED ≌△CEF ，∴AD ＝CF ，∴AC ＝CF ，又∵CP ∥AE ，∴CP 为△F AB 的中位线，∴CP ＝12AB ＝AE ，∵CP ∥AE ，∴四边形ACPE 是平行四边形．6．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE 、FG 相交于点H .(1)判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．第6题图(1)解：FG⊥DE.理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB，∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠GFE＋∠DEB＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥DE；(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四边形CBEG 是正方形．7．如图①，BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD ＝30°，AD ＝1.将△BCD 沿射线BD 方向平移到△B ′C ′D ′的位置，使B ′为BD 中点，连接AB ′，C ′D ，AD ′，BC ′.如图②.(1)求证：四边形AB ′C ′D 是菱形； (2)四边形ABC ′D ′的周长为________．第7题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC .由平移性质可知AD ∥B ′C ′，AD ＝B ′C ′， ∴四边形AB ′C ′D 为平行四边形， ∵∠DAB ＝90°，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD . ∵B ′为BD 中点， ∴AB ′＝12BD ， ∴AD ＝AB ′，∴四边形AB ′C ′D 是菱形；(2)解：4 3.【解法提示】如解图，连接AC′交B′D于点O，第7题解图∵四边形AB′C′D是菱形，∴AC′⊥BD′，OA＝OC′，OD＝OB′，又∵BD＝B′D′，∴BB′＝DD′，∴OB＝OD′，∴四边形ABC′D′是菱形，∴tan∠ABD＝tan30°＝33＝ADAB＝1AB，得AB＝3，∴四边形ABC′D′的周长是4 3.8.边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P 与A、C不重合)．连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝38BC；(3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．第8题图(1)证明：由题意知BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°， 在正方形ABCD 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠PBQ ，∴∠ABC －∠PBC ＝∠PBQ －∠PBC ，即∠ABP ＝∠CBQ ， 在△ABP 和△CBQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABP ＝∠CBQ BP ＝BQ， ∴△ABP ≌△CBQ (SAS)， ∴CQ ＝AP ；(2)解：在正方形ABCD 中，AC 为对角线， ∴∠BAP ＝∠PCE ＝45°，由旋转可知△PBQ 为等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝∠PQB ＝45°，在△ABP 中，∠BPC ＝∠BAP ＋∠ABP ＝45°＋∠ABP ， 又∵∠BPC ＝∠BPQ ＋∠CPE ＝45°＋∠CPE ，∴∠ABP ＝∠CPE ， 又∵∠BAP ＝∠PCE ， ∴△BAP ∽△PCE ， ∴AB CP ＝AP CE ，在等腰直角△ABC 中，AB ＝22， ∴AC ＝4，又∵AP ＝x ，CE ＝y ，∴CP ＝4－x ， ∴224－x＝x y ，即y ＝－24x 2＋2x ，(0<x <4) 当CE ＝38BC 时，即CE ＝y ＝38×22＝324， ∴324＝－24x 2＋2x ， 解得x 1＝1，x 2＝3，∴y ＝－24x 2＋2x (0<x <4)，当x ＝1或3时，CE ＝38BC ； (3)解：猜想：PF ＝EQ .证明：①当点F 在线段AD 上时，如解图①，在CE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，则∠QEH ＝∠QHE ，第8题解图①在正方形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴∠DFE ＝∠QEH ， ∴∠DFE ＝∠QHE ， ∴∠AFP ＝∠CHQ ，由(1)知△ABP ≌△CBQ ，AP ＝CQ ，∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， ∴∠F AP ＝∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， 在△AFP 和△CHQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F AP ＝∠HCQ ∠AFP ＝∠CHQ AP ＝CQ， ∴△AFP ≌△CHQ (AAS)， ∴PF ＝HQ ， 又∵HQ ＝EQ ， ∴PF ＝EQ ；②当点F 在线段AD 延长线上时，如解图②，在BE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，第8题解图②同理可证△AFP ≌△CHQ (AAS)，得FP ＝HQ ＝EQ.9．如图，在△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG 沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE 和DF相交于点C.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．第9题图(1)证明：∵△AEB由△AEG翻折得到，∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，∵△AFD由△AFG翻折得到，∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠F AG，AD＝AG，∵∠EAG＋∠F AG＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AG＝AD，∴四边形ABCD是正方形；(2)解：MN 2＝ND 2＋DH 2， 理由：如解图，连接NH ，第9题解图∵△ADH 由△ABM 旋转得到， ∴△ABM ≌△ADH ，∴AM ＝AH ，∠BAM ＝∠DAH ，∠ADH ＝∠ABM ＝45°，∴∠HAN ＝∠DAH ＋∠DAN ＝∠BAM ＋∠DAN ＝∠EAG ＋∠F AG ＝∠EAF ，∵在△AMN 和△AHN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ∠MAN ＝∠NAH AN ＝AN， ∴△AMN ≌△AHN (SAS)， ∴MN ＝NH ， 由(1)知∠ADB ＝45°，∴∠HDN ＝∠ADH ＋∠ADN ＝90°， ∴在Rt △DHN 中，DH 2＋DN 2＝NH 2，∴MN2＝ND2＋DH2.10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD 于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．第10题图解：(1)∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴O是线段AC的中点，∵CF＝AC，∴△ACF是等腰三角形，又∵CE平分∠ACF，∴E是AF的中点，∴EO是△ACF的中位线，∴CF＝2EO＝22，∴AC＝22，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝22×22＝2， ∴正方形ABCD 的边长为2. (2)猜想：EM ＝12CN . 证明：如解图，连接BE ，第10题解图由(1)知，E 是AF 的中点， ∴在Rt △ABF 中，EB ＝AE ＝12AF ， ∴∠ABE ＝∠BAF ，∵AC ＝CF ，CE 平分∠ACF ， ∴CE ⊥AF ，∴∠F ＋∠BCN ＝90°， 又∵∠F ＋∠BAF ＝90°， ∴∠BCN ＝∠BAF ，∵AB ＝BC ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°， ∴△ABF ≌△CBN (ASA)， ∴AF ＝CN ，∴EB ＝12AF ＝12CN ，又∵∠EBM ＝∠ABE ＋∠ABO ＝∠BAF ＋∠OBC ＝∠BCE ＋∠OBC ＝∠EMB ，∴EB ＝EM ，∴EM ＝12CN .11．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD 交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，DF ，且BE 平分∠ABD .求证：四边形BFDE 是菱形；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG ＝BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG .试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；第11题图(1)证明：如解图①，第11题解图①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠FBO OD ＝OB∠EOD ＝∠BOF， ∴△DOE ≌△BOF (ASA)， ∴EO ＝OF ， ∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形； (2)解：IH ＝3FH .理由：如解图②，延长BE 到点M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ .第11题解图②如解图①，∵四边形BFDE 是菱形， ∴∠EBO ＝∠FBO ，又∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠EBO ，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠FBO ＝30°， ∴∠EBF ＝60°，如解图②，由四边形BFDE 是菱形可得EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ， 在△DHJ 和△GHF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DHJ ＝∠GHF DH ＝GH∠JDH ＝∠FGH， ∴△DHJ ≌△GHF (ASA)， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝BI ，∠M ＝∠EBF ＝60°， 在△BIF 和△MJI 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BI ＝MJ ∠B ＝∠M BF ＝IM， ∴△BIF ≌△MJI (SAS)，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI＋∠BIF＝120°，∴∠MIJ＋∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴IH＝3FH.12．如图①，两个全等的等边三角形纸片ABC和DEF，其中点C和点F重合，点A、D均在直线l上，且AB⊥l，DE⊥l.如图①，保持纸片DEF不动，将△ABC沿l向右平移，直到AB与DE重合时停止，如图②，设BC与EF相交于点G，AC与DF相交于点H.(1)证明：四边形CGFH是菱形；(2)当AD＝AB时，直接写出S△AHD与S菱形CGFH的关系；第12题图(1)证明：根据平移性质可知，GF∥HC，GC∥FH，∴四边形CGFH是平行四边形，∵AB⊥l，DE⊥l，∴∠BAD＝∠EDA＝90°，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠BAC＝∠EDF＝60°，∴∠CAD＝∠FDA＝30°，∴HA＝HD，∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∴AC－AH＝DF－DH，∴HC＝HF，∴四边形CGFH是菱形；(2)解：S菱形CGFH＝(8－43)S△AHD.【解法提示】如解图，过点H作HM⊥AD于点M，连接GH，设AB＝AD＝6a，第12题解图∵HA＝HD，HM⊥AD，∴AM＝MD＝3a，∵∠HAM＝30°，∴HM＝33AM＝3a，AH＝2HM＝23a，∴HC ＝AC －AH ＝6a －23a ， ∵∠C ＝60°，四边形CGFH 是菱形， ∴△CGH 和△FGH 都是等边三角形，∴S 菱形CGFH ＝2S △CHG ＝2×34CH 2＝32(6a －23a )2＝(243－36)a 2， ∵S △ADH ＝12AD ·HM ＝12·6a ·3a ＝33a 2， ∴S △AHDS 菱形CGFH ＝33a 2（243－36）a 2＝18－43， 即S 菱形CGFH ＝(8－43)S △AHD .13．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED . (1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)连接AE ，若AB ＝6 cm ，BC ＝ 5 cm.求sin ∠EAD 的值．第13题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且AC 、BD 互相平分， ∴DO ＝CO .∵△COD 与△CED 关于CD 对称， ∴△COD ≌△CED ，∴CO＝CE，DO＝DE，∴CE＝CO＝DO＝DE，∴四边形OCED是菱形；(2)解：如解图，连接EO交CD于点F，延长交AB于点H.第13题解图∵四边形ABCD是矩形，AB＝6 cm，∴BC⊥CD，CD＝AB＝6 cm.∵四边形OCED是菱形，∴EO⊥CD，且EO、CD互相平分，∴EF＝FO，DF＝FC＝3 cm，FO∥BC，即EH∥BC，又∵CE∥OB，∴四边形OBCE为平行四边形．又∵BC＝ 5 cm，∴EF＝FO＝12BC＝52cm.∵FO∥BC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形FHBC是矩形，∴FH＝BC＝ 5 cm，HB＝FC＝3 cm，∴AH＝AB－HB＝3 cm，EH＝EF＋FH＝352cm.∵AB ∥CD ，EH ⊥CD ， ∴EH ⊥AB ，∴在Rt △AEH 中，AE 2＝AH 2＋EH 2＝32＋(352)2＝814 cm 2， ∴AE ＝92 cm ，∴sin ∠AEH ＝AH AE ＝392＝23，∵EH ∥BC ，AD ∥BC ，∴AD ∥EH ，∴∠EAD ＝∠AEH ，∴sin ∠EAD ＝sin ∠AEH ＝23. 14．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点． (1)求证：DE ＝DC ； (2)求证：AF ⊥BF ；(3)当AF ·GF ＝28时，请直接写出CE 的长．第14题图(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DCE ＝∠CEB ， ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DEC ＝∠DCE ， ∴DE ＝DC ；(2)证明：如解图，连接DF ，第14题解图∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ， ∴∠DFC ＝90°， 在矩形ABCD 中， AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12EC ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCE ， ∴△ABF ≌△DCF (SAS)，∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°，∴AF ⊥BF ；(3)解：CE ＝47.【解法提示】∵∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°， ∵EH ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BEH ＝90°， ∴∠FEH ＋∠CEB ＝90°，∵∠ABF ＝∠CEB ，∴∠BAF ＝∠FEH ， ∵∠EFG ＝∠AFE ，∴△EFG ∽△AFE ， ∴EF AF ＝GFEF ，∴EF 2＝AF ·GF ，∵AF ·GF ＝28，∴EF ＝28＝27，∴CE ＝2EF ＝47.15．如图，四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，E 是边CD 上的点，F 是DA 的延长线上的点，且CE ＝AF .将△BCE 沿BE 折叠，得到△BC ′E ，延长BC ′交AD 于点G . (1)求证：△BCE ≌△BAF ； (2)①若DG ＝1，求FG 的长；②若∠CBE ＝30°，点B 和点H 关于DF 对称，求证：四边形FHGB 是菱形．第15题图(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝BC，∠F AB＝∠C＝90°，第15题解图又∵CE＝AF，∴△BCE≌△BAF(SAS)；(2)①解：如解图，连接EG，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴AD＝AB＝BC＝4，∴AG＝AD－GD＝3，在Rt△ABG中，依据勾股定理可知BG＝5.由翻折的性质可知EC′＝EC，BC′＝BC＝4，∴C′G＝BG－BC′＝1，∴C′G＝DG＝1.在Rt△C′GE和Rt△DGE中，C′G＝DG，EG＝EG，∴Rt△C′GE≌Rt△DGE(HL)，∴C′E＝DE，∴EC＝DE＝2，∴AF＝CE＝2，∴FG＝AF＋AG＝2＋3＝5；②证明：由翻折的性质可知∠C ′BE ＝∠CBE ＝30°. ∵∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＝30°，∴AG ＝AB ·tan30°＝433.∵在Rt △BCE 中，∠EBC ＝30°，∴EC ＝BC ·tan30°＝433，∴AG ＝CE ，又∵CE ＝AF ，∴AF ＝AG .又∵点B 和点H 关于DF 对称，∴BH ⊥FG ，AH ＝AB .∵AF ＝AG ，AH ＝AB ，∴四边形FHGB 是平行四边形，又∵BH ⊥FG ，∴四边形FHGB 是菱形．。