矩阵初等行变换矩阵秩

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矩阵的初等变换与秩

第i行
1
3. (消法)将单位矩阵 E 的第 j行的 k 倍加到
第 i 行:
1
1
k
第i行
E (i,
j(k ))
1
第j行
1
第i列第j列
或看作是将 E 的第 i列的k 倍加到第 j 列.
1 0 0
E(2,3) 0 0 1
0 1 0
1 0 0
E[2(k )] 0 k 0
0 0 1
1 0 0
A 行→ 行阶梯形
2 任一矩阵A都可经初等行变换化成行最简形;
A 行→ 行最简形
3 任一矩阵A都可经初等变换化成标准形.
A
初→
Er 0
0 0
标准形
例3 化简
3234 5 9 323459
3102 1 0132 6
5 行→
10
0 0
1 0
3 0
2 0
4 2
4 6
行→
6 4 6 8 12 24
000000 行阶梯形
A的等价标准形
例2 利用矩阵的初等行变换,将
3 2 3 4 5 9
A
3 0
1 1
0 3
2 2
1 6
5 10
6 4 6 8 12 24
化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
解
3 2 3 4 5 9
r4 2r1
A
r2 r1
0
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4
10 6
下面的矩阵都是标准形矩阵.
E(1,3(k)) A 0
1
0 a21
a22
0 0 1 a31 a32

矩阵初等变换后秩不变的证明

矩阵初等变换后秩不变的证明1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个听起来有点高深的数学话题——矩阵的秩。

在这儿，咱们不打算搞得太复杂，轻轻松松地讲讲，毕竟数学也是要用“人话”来说的嘛。

矩阵的秩就像是一个矩阵的“身份卡”，告诉我们它有多少个独立的行或列。

这就好比是一个乐队，秩就是乐队里有多少个独立的乐器，没错吧？如果乐器都能独当一面，那乐队就热闹非凡。

那么，今天的重点是初等变换和秩的关系。

你可能在想，初等变换是什么？简单来说，初等变换就是对矩阵做一些简单的操作，比如交换行、倍乘某一行、或者将一行加到另一行。

这些操作好比是给乐队调音，虽然调来调去，乐器的独特音色不会变。

接下来，咱们就一起看看，为什么矩阵的秩在这些变换下始终保持不变。

2. 矩阵初等变换的类型2.1 行交换首先，我们来聊聊“行交换”。

就像在乐队中换个乐手的位置，音乐的节奏和旋律不会因此改变。

假设我们有一个矩阵，行交换后，虽然行的顺序变了，但矩阵的秩仍然保持不变。

直观上说，行的独立性没有受到影响，就像乐器换个地方演奏，依然能和谐共处。

2.2 行倍乘接下来是“行倍乘”。

想象一下，乐队里有个鼓手，今天他决定把鼓声放大一倍！结果会怎样？乐队依然能保持原来的风格，只是声音更响亮。

对矩阵来说，行倍乘也同样如此。

你可以把某一行的每个元素都乘以一个非零的数，这样做不会改变矩阵中独立行的数量。

因此，秩依然不变。

2.3 行加法最后，咱们再来看看“行加法”。

如果有一位乐手在演奏时，突然加上另一位乐手的旋律，大家觉得会怎样？乐队的整体风格可能会变得更加丰富，但乐器的独立性没有被削弱。

在矩阵中，当你将一行加到另一行时，虽然行的内容发生了变化，但独立行的数量却不受影响。

这就是矩阵的“调音术”！3. 证明秩不变的原理3.1 从定义看秩说了这么多，咱们得用个例子来证实一下。

假设一个矩阵的秩是k，也就是说它有k个独立的行。

无论你用行交换、倍乘还是加法操作，矩阵的独立性都不会变。

分块矩阵初等行变换求秩的不等式

在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。

通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。

接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。

一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。

一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。

通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。

一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 $A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$ 分别是子矩阵。

这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。

二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。

我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。

对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。

对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 $A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$ 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。

通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。

三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。

根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，$rank(A)$ 和 $rank(B)$ 分别表示矩阵 $A$ 和 $B$ 的秩，$n$ 表示矩阵的列数。

矩阵的初等变换与矩阵的秩

对于 AT，显有 R( AT ) R( A).
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B．等价关系的性质：（1）反身性 A A；
（2）对称性若 A B ,则 B A; （3）传递性若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11

矩阵的秩及初等变换

1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri krj） .
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
四、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
证先证明：若A经一次初等行变换变为B，则R( A) R( B ).
4 2 B 1 2 9
2 r2 r31 1 1 1 2 1 r3 22 r1 0 B1 0 3 5 1 r4 32 r1 3 0 9 6 3
1 2 4 1 1 2 2 2 1 5 2 3 7 3 9 4
2
变它们在 A 中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式.
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

利用初等变换求矩阵的秩

利用初等变换求矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念。

它可以帮助我们分析线性方程组的解的情况以及矩阵的性质。

在理解矩阵的秩之前，我们需要了解“初等变换”是什么。

初等变换是指对矩阵进行以下三种操作之一：1. 交换矩阵的任意两行；2. 用一个非零常数乘矩阵的任意一行；3. 将矩阵中某一行加上另一行的若干倍。

通过这些操作，我们可以得到新的矩阵。

如果一个矩阵可以通过一系列的初等变换得到另一个矩阵，那么这两个矩阵就是等价矩阵。

显然，等价矩阵具有相同的秩。

我们可以利用初等变换将原矩阵化为行阶梯形矩阵或者规范形矩阵。

具体来说，行阶梯形矩阵是指具有如下形式的矩阵：$$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$即在该矩阵中，第一行至少有一个非零元素，而且第二行非零元素的列数要比第一行少，第三行非零元素的列数要比第二行少，以此类推，最后一行最多只有一个非零元素。

规范形矩阵则更加简化，具有如下形式：即在该矩阵中，除了第一行第一个元素为1之外，其余元素都为0。

对于一个行阶梯形矩阵，它的秩就是矩阵中非零行的个数。

这是因为对于一个非零行，它一定是由前面的行通过初等变换得到的，因此它对应的向量可以写成前面所有向量的线性组合，也就是说它不会增加向量空间的维数。

举个例子，给定一个3×3的矩阵：通过初等变换，我们可以将它化为行阶梯形矩阵：可以看出，该矩阵中非零行的个数为2，因此原矩阵的秩为2。

总而言之，利用初等变换求矩阵的秩是一种非常方便和实用的方法。

7.2 矩阵的初等行变换

0 0 0
定理7.1
化为阶梯矩阵，并进一步可化为行简化阶梯矩阵。
例7.2.1
1 3 0 2
把矩阵 A 1 4 4 2 化为行简化阶梯矩阵。
2 5 4 4
解： ②-① 1 3 0 2
1 3 0 2
A ③-①2 0
1
4
0
③+②
0
1
4
0 B
0 1 4 0
0
0
2 3 6
3 6 12
1 4 7
0 1 0
0
0
1
1 2 3 1 0 0
③+②(2)
0
3
6
4
1
0
0 0 0 1 2 1
即矩阵 A 不可逆。
小结：
互换变换
（1）矩阵的初等变换倍乘变换
倍加变换
（2）矩阵 A 的秩——阶梯形矩阵中非零行的行数；
（3）逆矩阵的判断及求法。
作业：
习题7 第6，7，13题
或非奇异矩阵。
定理7.2 任何一个满秩矩阵都能通过初等行变换化为单位矩阵。
7.2.3 逆矩阵
1.逆矩阵的概念定义7.12 设 A是 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B ，使得 AB BA E ，
则称矩阵 A可逆，并称 B是 A 的逆矩阵。记为 A1，即B A1。
例如：矩阵 A 32
11
（3）倍加变换：将矩阵某一行（列）所有元素的 k 倍加到另一行（列）
的对应元素上。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换
定义7.8 如果矩阵 A 满足下列条件
（1）矩阵的零行（如果存在的话）在矩阵最下方；（2）非零行的首非零元素其列标随着行标递增而严格增大。

2-5矩阵的秩与初等变换

两列互换
1
1 2 6 4 5 1 1 1 3 3 3
28
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri k )；
类似地，以 En ( i ( k )) 右乘矩阵 A，其结果
相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k ).
30
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
22
1、对调两行或两列对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
第i 行
29
以 Em ( i ( k )) 左乘矩阵 A， a11 a12 a1n E m ( i ( k )) A kai 1 kai 2 kain 第 i 行 a am 2 amn m1
例4
1 2 3 1 A 4 5 6 2 7 8 9 3
求矩阵 A 的秩
阶梯形矩阵：解对A作初等行变换，变成行
19
设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A 的最高阶非零子式为 A ,

求矩阵的秩的三种方法

求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。

矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。

在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。

本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。

方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。

对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。

我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。

2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。

对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。

矩阵的秩等于它的列空间的维度。

我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。

具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。

3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。

阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。

可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。

矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。

总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。

对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。

但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。

还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。

第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩

第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１）交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２）用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３）把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ．右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１）证明可逆；B （２）求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３矩阵的等价与等价标准形若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１）反身性：任何矩阵和自己等价；（２）对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３）传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形．任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩．例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ，求．b a , 常用的矩阵的秩的性质：（１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ，则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211，记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−．例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。

矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩

（1）互换k 矩阵中i, j 两行，记为 ri rj （2）以数 k 0乘某一行中的所有元素，第i 行乘 k 记为 kri （3）把矩阵的第 j 行元素的 k 倍加到第 i 行对应的元素上，记为
ri krj
要注意地是，第一种变换可以由第二、三种变换一起实施得到。
三、广泛的应用
1、教学中的基本要求 2、课后讨论、研究 3、能力提升（毕业论文选题）
1、教学中的基本要求
（1）求行列式
A 初等行变换 D(上三角阵)
（2）求矩阵或向量组的秩
A 初等行变换 B(阶梯形矩阵)，r( A) r(B) B的非零行的个数。
（3）判定向量组的线性相关性

f
'(
x)

行初等变换

0

v(x)
t(
x)

(iii) 求商和余式
f (x) 0
r(x) q(x)

g(x)
1

实验
(10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）：
目录
1
引言
2
现状
3
广泛的应用
4
理论研究
５
参考文献
一、引言
矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．
定义 1[1] 设 A, B Pmn ，如果 B 可以由 A 通过有限次初等行变换得到，则称 B 与 A 行等价.记作 A B .
数域 P 上的矩阵的初等行变换指以下三种变换：
A (1,2, ,n ) 初等行变换 B (1, 2, , n)(阶梯形)

矩阵的初等行变换与矩阵的秩

0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换：（1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）；（2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）；（3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵：（1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方；（2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .

矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

矩阵的秩与矩阵的初等变换

（1）Dr中不含第i行；（2）Dr中同时含第i行和第j行；（3）Dr中含第i行但不含第j行；
湘潭大学数学与计算科学学院王文强
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Ck m
Ck n
个.
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定义5.2 矩阵 A 中不为零子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) 或r( A). 规定：零矩阵的秩等于零，即R(o) 0. 由定义5.2可得下列结论； 1、 R( AT ) R( A).
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当A ri rj B或 A ri B时，在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr Dr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri rj B时，分三种情况讨论：
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二、矩阵的初等变换
定义12 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i, j 两行,记作ri rj）；
2以数 0 乘以某一行
（第 i 行乘 ,记作 ri）
3 把某一行各元素乘后加到另一行对应
的元素上去（第 j 行乘加到第 i 行上去，记作ri rj）.
R( A) R(B). 综上,若 A 经初等变换变为 B,则 R( A) R(B).
证毕

矩阵的初等行变换与矩阵的秩

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---50301000783013002 例题求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A 秩及秩(TA )解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−-+00112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3215327220021132113AT⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++3211101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−0002113220032101101,,⑤②④① ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⨯+0000002200321011012③④ 所以，()3A T=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TAA 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。

关于矩阵的秩的证明方法

关于矩阵的秩的证明方法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用于描述矩阵的行或列的线性独立性。

在解决线性方程组、计算矩阵的逆、求解特征值等问题中，矩阵的秩起到了至关重要的作用。

本文将介绍几种常用的证明矩阵秩的方法。

方法一：初等行变换法我们可以使用初等行变换法来证明矩阵的秩。

初等行变换包括三种操作：交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。

通过这些操作，我们可以将矩阵化简为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行的个数即可得到矩阵的秩。

举个例子来说明这个方法。

假设有一个3×3的矩阵A，经过初等行变换后，得到行阶梯形矩阵B。

如果B中有3行都不为零，那么矩阵A的秩为3；如果B中只有2行不为零，那么矩阵A的秩为2；如果B中只有1行不为零，那么矩阵A的秩为1；如果B中没有非零行，那么矩阵A的秩为0。

方法二：线性无关向量法另一种常用的证明矩阵秩的方法是使用线性无关向量。

假设有一个矩阵A，我们可以将其列向量表示为A1、A2、...、An。

如果这些列向量线性无关，即不存在非零的标量c1、c2、...、cn，使得c1A1+c2A2+...+cnAn=0，那么矩阵A的秩为n。

否则，矩阵A的秩小于n。

举个例子来说明这个方法。

假设有一个3×3的矩阵A，其列向量表示为A1、A2、A3。

如果这三个向量线性无关，那么矩阵A的秩为3；如果其中两个向量线性无关，那么矩阵A的秩为2；如果其中只有一个向量线性无关，那么矩阵A的秩为1；如果这三个向量线性相关，那么矩阵A的秩为0。

方法三：行列式法还有一种证明矩阵秩的方法是使用行列式。

对于一个n×n的矩阵A，如果其行列式不为零，即|A|≠0，那么矩阵A的秩为n。

否则，矩阵A的秩小于n。

举个例子来说明这个方法。

假设有一个3×3的矩阵A，如果|A|≠0，那么矩阵A的秩为3；如果|A|=0，那么矩阵A的秩小于3。

方法四：零空间法我们可以使用零空间来证明矩阵的秩。

求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.

(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
1 1

矩阵的秩

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
R( A) 3,
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例5 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵 A 及矩阵 B=(A b) 的秩 .
解对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
线性方程组的通解
当方程组Axb有无限多个解时其解的形式为
x1 b11xr 1 b1,n r xn d1 x2 b21xr 1 b2,n r xn d2 xr br1xr 1 br,n r xn dr 其中xr1 xn是自由未知数令xr1c1 xncnr 可得
2 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
r3 5 r4 r3
R( A) 2,
R( B ) 3.
练习：矩阵
2 1 0 1 3 1 0 2 的秩为2，求t= 1 t 1 2 2
（k m,k n），位于这些行列交叉处的 k 2 个元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式.

矩阵初等行变换矩阵秩

例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。