矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组

问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？

答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。

问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？

答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：

当n A r =)(时，只有零解；

当n A r <)(时，有非零解。

非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：

b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔

b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔

有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；

b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。

其中),(~

b A A = 为增广矩阵。

问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。

证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知

O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121

即s i Ab i ,...,2,1,0==

换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+

问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）

(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；

(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。(A)错误;

(B)n A r n A r =⇒/=)~()((或1+n ):若n A r =)~(,有唯一解；若1)~(+=n A r ,无解。(B)错误;

(C)m A r m A r =⇒/=)()~

((或1-m ):若m A r =)(,有解,且n m =,有唯一解;n m <,有无穷多解; 若1)(-=m A r ,无解。(C)错误;

(D)由b Ax =可知b 可由A 的列向量的线性表示，另外b Ax =有唯一解可知b Ax =的导出组0=Ax 有唯一解（即零解），从而A 列满秩，即n A r =)(，故(D)正确。

问题5：求矩阵的秩有哪些方法？

答：求矩阵的秩有以下几种方法：

(1)利用定义，计算矩阵的各阶子式，找出非零子式的最高阶数，即为矩阵的秩；

(2)对矩阵进行初等变换（行、列均可），因为初等变换不改变矩阵的秩，将其化为行阶梯形， 非零行的行数即为矩阵的秩；

(3)利用矩阵的秩的性质，如()()T r A r A =，(),0()()()()()0,

0r A k r kA r PA r AQ r PAQ r A k ≠⎧====⎨=⎩，，其中Q P ,均为可逆矩阵

(4)利用矩阵的三秩相等，即矩阵的秩=行秩=列秩，通过求行或列向量组的秩来判定。