2004年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案
2004年高考上海卷理科数学试题及答案
2004年高考上海卷理工类数学试题一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若tgα=21,则tg(α+4π)= 3 . 2、设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .3、设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= 5 2 1 .4、设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= 2 . 5、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .6、已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向,AB =213,则点B 的坐标为 .7、在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= . 8、圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .9、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10、若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围 是 .11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )(A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.(C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.14、三角方程2sin(2π-x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+3π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±3π,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15、若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x .16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17、(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 7043619、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数y=f 1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f 2(x)的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8,f(x)= f 1(x)+ f 2(x).(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明:当a>3时,关于x 的方程f(x)= f(a)有三个实数解.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体；(2) 若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的 大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n .(1) 若C 的方程为2510022y x +=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标； (只需写出一个)(2)若C 的方程为12222=+by a x (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时, 求S n 的最小值；. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题参考答案一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、32、(5,0)3、{1,2,5}4、25、(－2,0)∪(2,5]6、(5,4)7、5152 8、(x －2)2+(y+3)2=5 9、114 10、a>0且b≤0 11、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答题(本大题满分86分)17、【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i,于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.18、【解】由题意得xy+41x 2=8,∴y=x x 482-=48x x -(0<x<42). 于定, 框架用料长度为l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x 16≥4246+. 当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.19、【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A, ∴2a≥1或a +1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1, ∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2]∪[21,1) 20、【解】(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1, ∴f 1(x)= x 2.设f 2(x)=xk (k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为 A(k ,k )B(－k ,－k )由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x)=x 8.故f(x)=x 2+x8. (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a 8,即x 8=－x 2+a 2+a8. 在同一坐标系内作出f 2(x)=x 8和 f 3(x)= －x 2+a 2+a8 的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a 2+a 8)为顶点,开口向下的抛物线. 因此, f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f 2(2)=4, f 3(2)= －4+a 2+a8 当a>3时,. f 3(2)－f 2(2)= a 2+a 8－8>0, ∴当a>3时,在第一象限f 3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f 2(x)图象的上方. ∴f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a 8, 即(x －a)(x+a －ax 8)=0,得方程的一个解x 1=a. 方程x+a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0, 由a>3,△=a 4+32a>0,得x 2=a a a a 23242+--, x 3=aa a a 23242++-, ∵x 2<0, x 3>0, ∴x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3.若x 1= x 3,即a=aa a a 23242++-,则3a 2=a a 324+, a 4=4a, 得a=0或a=34,这与a>3矛盾, ∴x 1≠ x 3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF ∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体.【解】(2)取BC 的中点M,连拉PM,DM.AM.∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM,则∠DMA 为二面角D-BC-A 的平面角.由(1)知,P-ABC 的各棱长均为1,∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得 sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33. (3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为81sinα=V . ∵正四面体P-ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. 22、【解】(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 3=70. 由222211002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,得226010x y ⎧=⎨=⎩ ∴点P 3的坐标可以为(215, 10).(2) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP2=a 2+(n －1)d≥b 2, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增, 故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由 ()222222211k k k k x y a k d x y a b ⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩,解得y 2k =222)1(b a d k b --- ∵0< y 2k ≤b 2,得122--k a b ≤d<0 ∴122--n a b ≤d<0 以下与解法一相同.(3) 【解法一】若双曲线C:22a x －22by =1,点P 1(a,0), 则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2,∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.【解法二】若抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.理由同上【解法三】若圆C:(x －a)+y 2=a 2(a≠0), P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d≤142-n a . ∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP =0, ∴d>0且n OP 2=(n －1)d≤4a 2.即0<d≤142-n a .。
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 12-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）。
(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnS S 。
于是50005.11)5.11(128>=--n n S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此8≥n 。
所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。
20. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P ∠,在PMN ∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。
2004年高考数学上海卷(理科)
2004年高考数学上海卷(理科)一、填空题(本大题满分48分，每小题4分)1、若tg α＝21，则tg (α＋4π)＝ .2、设抛物线的顶点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－1，则它的焦点坐标为 .3、设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }.若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝ .4、设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q ＝－21，且∞→n lim (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1)＝38，则a 1＝ .5、设奇函数f (x )的定义域为[-5，5].若当x ∈[0，5]时， f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的 解是 .6、已知点A (1， －2)，若向量AB 与a ＝{2，3} ＝213，则点B 的坐标为 .7、在极坐标系中，点M (4，3π)到直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4的距离d ＝ .8、圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0， -4)，B (0， -2)，则圆C 的方程为 .9、若在二项式(x ＋1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10、若函数f (x )＝a 2+-b x 在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是 . 11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数， S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分，每小题4分)13、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是( ) (A )若l ⊂β且α⊥β，则l ⊥α. (B ) 若l ⊥β且α∥β，则l ⊥α. (C ) 若l ⊥β且α⊥β，则l ∥α. (D ) 若α∩β＝m 且l ∥m ，则l ∥α.14、三角方程2sin (2π-x )＝1的解集为( )(A ){x │x ＝2k π＋3π，k ∈Z}. (B ) {x │x ＝2k π＋35π，k ∈Z}.(C ) {x │x ＝2k π±3π，k ∈Z}. (D ) {x │x ＝k π＋(-1)K，k ∈Z}.15、若函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝lg (x ＋1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f (x )＝( )(A ) 10-x -1. (B ) 10x -1. (C ) 1-10-x . (D ) 1-10x .16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )(A )计算机行业好于化工行业. (B ) 建筑行业好于物流行业.(C ) 机械行业最紧张. (D ) 营销行业比贸易行业紧张. 三、解答题(本大题满分86分) 17、(本题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i )z 1＝－1＋5i ， z 2＝a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若21z z -<1z ，求a 的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m ) 时用料最省?19、(本题满分14分) 第1小题满分6分， 第2小题满分8分 记函数f (x )＝132++-x x 的定义域为A ， g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B .(1) 求A ；(2) 若B ⊆A ， 求实数a 的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分， 第2小题满分8分已知二次函数y ＝f 1(x )的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数y ＝f 2(x )的图象与直线y ＝x 的两个交点间距离为8，f (x )＝ f 1(x )＋ f 2(x ). (1) 求函数f (x )的表达式；(2) 证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )＝ f (a )有三个实数解.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分， 第2小题满分6分， 第3小题满分6分 如图，P -ABC 是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点， 截面DEF ∥底面ABC ， 且棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P -ABC 为正四面体； (2) 若PD ＝21PA ， 求二面角D -BC -A 的大小；(结果用反三角函数值表示) (3) 设棱台DEF -ABC 的体积为V ， 是 否存在体积为V 且各棱长均相等的直 平行六面体，使得它与棱台DEF -ABC 有相同的棱长和? 若存在，请具体构造 出这样的一个直平行六面体，并给出证 明；若不存在，请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分， 第2小题满分4分， 第3小题满分8分 设P 1(x 1，y 1)， P 1(x 2，y 2)，…， P n (x n ，y n )(n ≥3，n ∈N ) 是二次曲线C 上的点， 且a 1＝1OP 2，a 2＝2OP 2， …， a n ＝nOP 2构成了一个公差为d (d ≠0) 的等差数列， 其中O 是坐标原点.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n . (1) 若C 的方程为2510022yx+＝1，n ＝3. 点P 1(10，0) 及S 3＝255， 求点P 3的坐标；(只需写出一个) (2)若C 的方程为12222=+by ax (a >b >0). 点P 1(a ，0)， 对于给定的自然数n ， 当公差d 变化时， 求S n 的最小值；. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1，对于给定的自然数n ，写出符合条件的点P 1， P 2，…P n 存在的充要条件，并说明理由.上海数学(理工类) 参考答案一、填空题(本大题满分48分，每小题4分)1、32、(5，0)3、{1，2，5}4、25、(－2，0)∪(2，5]6、(5，4)7、5152 8、(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 9、114 10、a >0且b ≤011、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④ 二、选择题(本大题满分16分，每小题4分) 13、B 14、C 15、A 16、B 三、解答题(本大题满分86分) 17、【解】由题意得 z 1＝ii ++-151＝2＋3i ，于是21z z -＝i a 24+-＝4)4(2+-a ，1z ＝13.4)4(2+-a <13，得a 2－8a ＋7<0，1<a <7.18、【解】由题意得xy ＋41x 2＝8，∴y ＝xx482-＝48x x-(0<x <42).于是， 框架用料长度为 l ＝2x ＋2y ＋2(x 22)＝(23＋2)x ＋x16≥4246+.当(23＋2)x ＝x16，即x ＝8－42时等号成立.此时， x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时， 用料最省. 19、【解】(1)2－13++x x ≥0， 得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1，∴a ＋1>2a ， ∴B ＝(2a ，a ＋1). ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥21或a ≤－2， 而a <1，∴21≤a <1或a ≤－2， 故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪[21，1]20、【解】(1)由已知，设f 1(x )＝ax 2，由f 1(1)＝1，得a ＝1， ∴f 1(x )＝ x 2. 设f 2(x )＝xk (k >0)，它的图象与直线y ＝x 的交点分别为A (k ，k )B (－k ，－k ) 由AB ＝8，得k ＝8，. ∴f 2(x )＝x8.故f (x )＝x 2＋x8.(2) 【证法一】f (x )＝f (a )，得x 2＋x8＝a 2＋a8，即x8＝－x 2＋a 2＋a8.在同一坐标系内作出f 2(x )＝x8和f 3(x )＝ －x 2＋a 2＋a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线， f 3(x )与的图象是以(0， a 2＋a8)为顶点，开口向下的抛物线.因此， f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点， 即f (x )＝f (a )有一个负数解. 又∵f 2(2)＝4， f 3(2)＝ －4＋a 2＋a8 当a >3时，. f 3(2)－f 2(2)＝ a 2＋a8－8>0，∴当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方. ∴f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )＝f (a )有两个正数解. 因此，方程f (x )＝f (a )有三个实数解. 【证法二】由f (x )＝f (a )，得x 2＋x8＝a 2＋a8，即(x －a )(x ＋a －ax8)＝0，得方程的一个解x 1＝a .方程x ＋a －ax8＝0化为ax 2＋a 2x －8＝0，由a >3，△＝a 4＋32a >0，得 x 2＝aa a a 23242+--， x 3＝aa a a 23242++-，∵x 2<0， x 3>0， ∴x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3. 若x 1＝ x 3，即a ＝aa a a 23242++-，则3a 2＝a a 324+， a 4＝4a ，得a ＝0或a ＝34，这与a >3矛盾， ∴x 1≠ x 3. 故原方程f (x )＝f (a )有三个实数解.21、【证明】(1) ∵棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等，∴DE ＋EF ＋FD ＝PD ＋OE ＋PF . 又∵截面DEF ∥底面ABC ， ∴DE ＝EF ＝FD ＝PD ＝OE ＝PF ，∠DPE ＝∠EPF ＝∠FPD ＝60°， ∴P -ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M ，连拉PM ，DM .AM . ∵BC ⊥PM ，BC ⊥AM ， ∴BC ⊥平面P AM ，BC ⊥DM ， 则∠DMA 为二面角D -BC -A 的平面角. 由(1)知，P -ABC 的各棱长均为1， ∴PM ＝AM ＝23，由D 是P A 的中点，得sin ∠DMA ＝33=AMAD ，∴∠DMA ＝arcsin33.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF -ABC 的棱长和为定值6，体积为V . 设直平行六面体的棱长均为21，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6， 体积为81sin α＝V .∵正四面体P -ABC 的体积是122，∴0<V <122，0<8V <1.可知α＝arcsin(8V )故构造棱长均为21，底面相邻两边夹角为arcsin(8V )的直平行六面体即满足要求.22、【解】(1) a 1＝1OP 2＝100，由S 3＝23(a 1＋a 3)＝255，得a 3＝3OP 3＝70.由2233223311002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得23236010x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴点P 3的坐标可以为(215，10).(2) 【解法一】原点O 到二次曲线C ：12222=+by ax (a >b >0)上各点的最小距离为b ，最大距离为a .∵a 1＝1OP 2＝a 2， ∴d <0，且a n ＝n OP 2＝a 2＋(n －1)d ≥b 2，∴122--n ab ≤d <0. ∵n ≥3，2)1(-n n >0∴S n ＝na 2＋2)1(-n n d 在[122--n a b ，0)上递增，故S n 的最小值为na 2＋2)1(-n n ·122--n a b ＝2)(22b a n +.【解法二】对每个自然数k (2≤k ≤n )，由22222221(1)k kkk x y a b x y a k d⎧+=⎪⎨⎪+=+-⎩，得2222(1)k b k d y a b -=-- ∵0< y 2k≤b 2，得122--k a b ≤d <0∴122--n ab ≤d <0以下与解法一相同. (3) 【解法一】若双曲线C ：22ax －22by ＝1，点P 1(a ，0)，则对于给定的n ， 点P 1， P 2，…P n 存在的充要条件是d >0. ∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[a ，＋∞)，且1OP ＝a 2， ∴点P 1， P 2，…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2，即d >0.【解法二】若抛物线C ：y 2＝2x ，点P 1(0，0)，则对于给定的n ， 点P 1， P 2，…P n 存在的充要条件是d >0.理由同上 【解法三】若圆C ：(x －a )＋y 2＝a 2(a ≠0)， P 1(0，0)， 则对于给定的n ， 点P 1， P 2，…P n 存在的充要条件是0<d ≤142-n a.∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0，最大距离为2a ，且1OP ＝0， ∴d >0且n OP 2＝(n －1)d ≤4a 2.即0<d ≤142-n a.。
2004年上海春考答案
2004年上海春考答案(一)（19分）1. （2分）完全被动全盘接受（1分）只接受与自己的利益和偏见一致的东西（1分）2．（2分）把书的内容同社会实际联系起来，（1分）加以观察和思索（1分）3．（2分）B4．（2分）指书中种种涂饰和废话5．（3分）《读山海经》(或：《咏荆轲》；或：“精卫……填沧海”等诗句)，表现出他的豪情和愤懑。
（举例2分，说明1分）6．（4分）C D7．（4分）形象化说法（2分）阐述（2分）(二)（24分）8．（2分）D9．（2分）(北平)整个儿与我的心灵相粘合10．（4分）(1)既复杂而又有个边际；(2)动中有静使人快乐安适；(3)在人为之中显出自然(或：处处有空儿可自由喘气)；(4)紧连园林、菜圃与农村(或；花多菜多果子多)(写出两点即可,后两点合起来答为“接近自然”也给分)11．（3分）表明北平“有个边际”；表现北平特有的历史文化内涵；表达“我”对北平的亲切感和依恋情。
(意思对即可)(写出两点即可)12．（3分）C13．（3分）(2)真实地表现了北平“接近自然”的特点(3)真切地流露出作者热爱北平的情感14．（2分）只有在北平能享受一点清福了；15．（5分）点明题意；照应开头“落泪才足以把内心揭露在外面一些来”，使文章结构更为严谨；把“想北平”的感情推到高潮，戛然而止，耐人寻味。
(三)（4分）16．(1)所以传道受业解惑也(2)族秦者秦也非天下也(3)千岩万转路不定(4)可以攻玉(5)万紫千红总是春(四)（8分）17．（1分）音乐(歌唱、说唱)18．（3分）爱情(或：友情) 故国(或：故君、家国)之思19．（4分）(1)具体的时令，在晚春与李龟年相逢。
(2)象征二人飘泊无依、由荣而衰的身世命运。
(3)象征着大唐在安史之乱后，由极盛而衰的社会真实，表达家国之痛。
(写出两点即可)(五)（10分）20．（2分）①④，品德修养21．（3分）用道德来治理国家，执政者就像北极星一样处在一定的位置上，众多星星都环绕着它。
2004年春季高考.上海卷.数学试题及答案
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 V A E ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y ax 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.ABC VE 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 B 1C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等 （1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．145 10．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由012<+x，解得12-<<-x ，12-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ， 则有,5.7≈n 因此8≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}nc 的变化规律： 解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()())54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f 22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(21=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min ==f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
☆2004年普通高等学校招生全国统一考试上海秋考卷
2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分） 1、若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3. 2、设抛物线的顶点坐标为()0,2，准线方程为1-=x ，则它的焦点坐标为()5,0.3、设集合(){}3log ,52+=a A ,集合{}b a B ,=，若{}2=⋂B A ,则=⋃B A {}1,2,5.4、设等比数列{}n a ()N n ∈的公比21-=q ，且()38...lim 12531=++++-∞→n n a a a a ,则=1a 2. 5、设奇函数()x f 的定义域为[]5,5-，若当[]5,0∈x 时，()x f 的图像如右图, 则不等式()x f 0<的解是()(]2,02,5-⋃.6、〖文〗已知点()5,1--A 和向量()2,3a =，若a3=，则点B 的坐标为()5,4.〖理〗已知点()2,1-A ，若向量与()2,3a =132=，则点B 的坐标为()5,4.7、〖文〗当y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x 时，目标函数y x k 23-=的最大值为6.〖理〗在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,4πM 到直线():2cos sin 4l ρθθ⋅+=的距离=d . 8、〖文〗圆心在直线2=x上的圆C 与y 轴交于两点()()2,0,4,0--B A ，则圆C 的方程为()()22235x y -++=.〖理〗圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于()()2,0,4,0--B A ，则圆C 方程()()22235x y -++=.9、若在二项式()101+x 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是411.(结果用分数表示)10、若函数()2+-=b x a x f 在[)+∞,0上为增函数,则实数b a ,的取值范围是00a b >≤且.11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质. 12、若干个能唯一确定一个数列的量我们称为该数列的基本量，设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四个量中，一定能成为该数列“基本量”的是第⑴、⑷组.（写出所有符合要求的组号）⑴1S 与2S ⑵2a 与3S⑶1a 与n a⑷q 与n a（其中n 为大于1的整数，n S 为{}n a 的前n 项和）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（无论是否都写在圆括号内）一律得零分.13、在下列关于直线m l ,与平面βα,的命题中,真命题是—————————————————————————(B )()A 若β⊂l 且βα⊥，则α⊥l()B 若β⊥l 且α∥β，则α⊥l()C 若β⊥l 且βα⊥，则l ∥α()D 若m =⋂βα且l ∥m ，则l ∥α14、〖理〗()x f y =是周期为π2的函数，当[)π2,0∈x 时()2sin x x f =，则()21=x f 的解集为—————（C ）()A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ()B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,352ππ ()C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,32ππ ()D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k ,31ππ〖文〗三角方程12sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-x π的解集为————————————————————————————（C ）()A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ ()B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,352ππ ()C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,32ππ()D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k ,31ππ15、若函数()x f y =的图像可由函数()1lg +=x y 的图像绕坐标原点O 逆时针旋转︒90得到，则()=x f ———(A )()A 110--x ()B 110-x ()C x --101 ()D x 101- 16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是——(B )()A 计算机行业好于化工行业 ()B 建筑行业好于物流行业 ()C 机械行业最紧张()D 营销行业比贸易行业紧张三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
[高考数学] 2004年上海高考数学真题(文科)试卷(word版)
![[高考数学] 2004年上海高考数学真题(文科)试卷(word版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a1dbd3e59fc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d650.png)
绝密★启用前 2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1．若tg α=12,则tg(α+π4)= .2．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 . 3．设集合A={5,log 2(a +3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A∪B= . 4．设等比数列{a n }(n∈N)的公比q=-12,且lim n→∞(a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=83,则a 1= .5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .6．已知点A(－1,－5)和向量a ⃗={2,3},若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗,则点B 的坐 标为 .2≤x ≤47．当x 、y 满足不等式组 y≥3 时,目标函数k=3x －2y 的最大值为 .x +y≤88．圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C 的方程为 .9．若在二项式(x +1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10．若函数f(x)= a |x −b |+2在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .11．教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是。
12．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和. 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 （ ）A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. 14．三角方程2sin(π2－x )=1的解集为（ ）A ．{x │x =2k π+π3,k∈Z}.B ．{x │x =2k π+5π3,k∈Z}. C ．{x │x =2k π±π3,k∈Z}.D ．{x │x =k π+(－1)K x3,k∈Z}.15．若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x +1)的图象关于直线x －y=0对称,则f(x)=（ ） A ．10x－1. B ．1－10x. C ．1－10—x. D ．10—x－1. 16．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是（ ）A ．计算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17．(本题满分12分)已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若|z1−z2|<|z1|,求a的取值范围.18．(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?19．(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为记函数f(x)=√2−x+3x+1B.(1) 求A；(2) 若B⊆A, 求实数a的取值范围.20．(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分如图, 直线y=12x 与抛物线y=18x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含点A 、B) 的动点时, 求△OPQ 面积的最大值.21．(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）证明：P—ABC为正四面体；PA, 求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示)（2）若PD=12（3）设棱台DEF—ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体, 使得它与棱台D EF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22．(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, P n(x n,y n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=|OP1|2, a2=|OP2|2, …, a n=|OP n|2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S n=a1+a2+…+a n.（1）若C的方程为x 29－y2=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标；(只需写出一个)（2）若C的方程为y2=2p x(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：(x1+p)2, (x2+p)2, …,(x n+p)2成等差数列；（3）若C的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S n的最小值.本试卷所用符号a⃗={x,y}tg2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案（文史类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．3 2．(5,0) 3．{1,2,5} 4．2 5．(－2,0)∪(2,5] 6．(5,4) 7．6 8．(x －2)2+(y+3)2=5 9．411 10．a >0且b≤0 11．用代数的方法研究图形的几何性质 12．①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13．B 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题满分86分) 17．【解】由题意得 z 1=−1+5i 1+i=2+3i ,于是|z 1−z 2|=|4−a +2i |=√(4−a)2+4,|z 1|=√13.由√(4−a)2+4<√13,得a 2－8a +7<0,1<a <7. 18．【解】由题意得x y+14x 2=8, ∴y=8−x 24x =8x−x4(0<x <4√2).于是, 框架用料长度为 l =2x +2y+2(√22x )=(32+√2)x +16x ≥2√16(32+√2)=4√6+4√2. 当(32+√2)x =16x,即x =8－4√2时等号成立.此时, x ≈2.343,y =2√2≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 19．【解】(1)2－x+3x+1≥0, 得x−1x+1≥0, x <－1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a )<0. ∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1).∵B ⊆A, ∴2 a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥12或a ≤－2, 而a <1,∴12≤a <1或a ≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2)∪[12,1）20．【解】(1) 解方程组 y=12x得 x 1=－4, x 2=8 y=18x 2－4y 1=－2, y 2=4即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由k AB ==12,直线AB 的垂直平分线方程y －1=12(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)(2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 18x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=|x+18x 2−4|√2=18√2|x 2+8x −32|,|OQ |=5√2,∴S ΔOPQ =12|OQ |d =516|x 2+8x −32|.∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x <4√3－4或4√3－4<x ≤8. ∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,且当x =－4时，|x 2+8x －32|=48 当x =8时，|x 2+8x －32|=96 ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值516×96=30.21．【证明】(1) ∵棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+PE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P—ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA 为二面角D —BC —A 的平面角. 由(1)知,P —ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=√32,由D 是PA 的中点, 得sin∠DMA=ADAM =√33,∴∠DMA=arcsin √33. (3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF —ABC 的棱长和为定值6,体积为V. 设直平行六面体的棱长均为12,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为18sin α=V.∵正四面体P —ABC 的体积是√212, ∴0<V<√212,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)故构造棱长均为12,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.22．【解】(1) a 1=|OP 1|2=9,由S 3=32(a 1+a 3)=162,得a 3=|OP 3|3=99.∴点P 3的坐标可以为(3√10,3).(2)对每个自然数k,1≤k≤n,由题意|OP k |2=(k－1)d,及yk 2=2px k ,得xk 2+2p x k =(k －1)dxk 2+y k 2=(k－1)d即(x k +p)2=p 2+(k －1)d ,∴(x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2是首项为p 2,公差为d 的等差数列.(3) 【解法一】原点O 到二次曲线C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a .由 x 29－y 2=1,得x32=90x 32+y32=99y32=9∵a 1=|OP 1|2=a 2, ∴d<0,且a n =|OP n |2=a 2+(n －1)d≥b 2, ∴b 2−a 2n−1≤d<0. ∵n≥3,n(n−1)2>0 ∴S n =n a 2+n(n−1)2d 在[b 2−a 2n−1,0)上递增, 故S n 的最小值为n a 2+n(n−1)2·b 2−a 2n−1=n(a 2+b 2)2. 【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由 x k 2+y k 2=a 2+(k－1)d ,解得y k 2=−b 2(k−1)d a 2−b 2 x k 2a 2+y k 2b 2=1∵0< y k 2≤b 2,得b 2−a 2k−1≤d<0 ∴b 2−a 2n−1≤d<0 以下与解法一相同.。
2004年上海高考数学真题(文科)试卷(word版)
绝密★启用前 2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟） 考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．若tg α=21,则tg(α+4π)= . 2．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 .3．设集合A={5,log 2(a +3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A∪B= .4．设等比数列{a n }(n∈N)的公比q=-21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= . 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .6．已知点A(－1,－5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 .2≤x ≤47．当x 、y 满足不等式组y≥3 时,目标函数k=3x －2y 的最大值为 . x +y≤88．圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C 的方程为 .9．若在二项式(x +1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10．若函数f(x)= a 2+-b x 在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围。
DA2004年高考数学(上海卷理工类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（文史类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．3 2．(5,0) 3．{1,2,5} 4．2 5．(－2,0)∪(2,5] 6．(5,4) 7．6 8．(x －2)2+(y+3)2=5 9．11410．a >0且b ≤0 11．用代数的方法研究图形的几何性质 12．①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13．B 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题满分86分) 17．【解】由题意得 z 1=ii++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13. 由4)4(2+-a <13,得a 2－8a +7<0,1<a <7.18．【解】由题意得x y+41x 2=8, ∴y=x x 482-=48x x -(0<x <42). 于是,框架用料长度为l =2x +2y+2(x 22)=(23+2)x +x16≥=4246+.当(23+2)x =x16,即x =8－42时等号成立. 此时, x ≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 19．【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x <－1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1). ∵B ⊆A, ∴2 a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥21或a ≤－2, 而a <1, ∴21≤a <1或a ≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2]∪[21,1）20．【解】(1) 解方程组 y=21x 得 x 1=－4, x 2=8y=81x 2－4y 1=－2, y 2=4即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=－2 (x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x ,81x 2－4). ∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x , 25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8. ∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, 且当x =－4时，|x 2+8x －32|=48 当x =8时，|x 2+8x －32|=96 ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值3096165=⨯. 21．【证明】(1) ∵棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+PE+PF. 又∵截面DEF ∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P —ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM,则∠DMA 为二面角D —BC —A 的平面角. 由(1)知,P —ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点, 得sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33.(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF —ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为81sin α=V .∵正四面体P —ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. 22．【解】(1) a 1=1OP 2=9,由S 3=23(a 1+a 3)=162,得a 3=3OP 3=99. ∴点P 3的坐标可以为(310,3).(2)对每个自然数k,1≤k ≤n,由题意k OP 2=(k －1)d,及y 2k =2px k ,得x 2k +2p x k =(k －1)dx 2k+y 2k=(k －1)d即(x k +p)2=p 2+(k －1)d,∴(x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2是首项为p 2,公差为d 的等差数列.(3) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a >b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a .∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =nOP 2=a 2+(n －1)d ≥b 2, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n ≥3,2)1(-n n >0 ∴S n =n a 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为n a 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数k(2≤k ≤n),由x 2k +y 2k =a 2+(k －1)d,解得y 2k=222)1(b a d k b ---由239x －23y =1,得x 23=90x 23+y 23=99 y 23=922a x k +22by k=1∵0< y 2k≤b 2,得122--k a b ≤d<0 ∴122--n a b ≤d<0 以下与解法一相同.。
上海卷2004年理科
2004年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1. （2004▪上海▪理）若1tan 2α=，则tan()4πα+=________. 2. （2004▪上海▪理）设抛物线的顶点坐标为(2，0)，准线方程为1x =-，则它的焦点坐标为_________.3. （2004▪上海▪理）设集合{5A =，2log (3)}a +，集合{B a =，}b .若{2}AB =，则A B =________.4. （2004▪上海▪理）设等比数列{}n a 的公比12q =-，且135lim(n a a a →∞+++…21)n a -+ 83=，则1a =________. 5. （2004▪上海▪理）设奇函数()f x 的定义域为[5-，5]，若当[0x ∈，5]时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是__________.6. （2004▪上海▪理）已知点(1A ，2)-，若向量AB 与(2a =，3)同向，||213AB =则点B 的坐标为_________.7. （2004▪上海▪理）在极坐标系中，点(4M ，)3π到直线l ：(2cos sin )4ρθθ+=的距离d =________.8. （2004▪上海▪理）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0A ，4)-、(0B ，2)-，则圆C 的方程为________.9. （2004▪上海▪理）若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是___________.（结果用分数表示）10. （2004▪上海▪理）若函数()||2f x a x b =-+在[0，)+∞上为增函数，则实数a 、b的取值范围是___________.11. （2004▪上海▪理）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是___________.12. （2004▪上海▪理）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．（写出所有符合要求的组号）：①1S 与2S ；②2a 与3S ；③1a 与n a ；④q 与n a .（其中*n N ∈，n S 为{}n a 的前n 项和．） 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2004▪上海▪理）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是A.若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥B.若l β⊥且α∥β，则l α⊥C.若m αβ=且l ∥m ，则l ∥αD.若l β⊥且αβ⊥，则l ∥α14. （2004▪上海▪理）已知()y f x =是周期为2π的函数，当[0x ∈，2)π时，()f x =sin 2x ，则1()2f x =的解集为 A.{|23x x k ππ=+，}k Z ∈ B.5{|23x x k ππ=+，}k Z ∈ C.{|23x x k ππ=±，}k Z ∈ D.{|2(1)3k x x k ππ=+-，}k Z ∈15. （2004▪上海▪理）若函数()y f x =的图象可由lg(1)y x =+的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则()f x = A.101x -- B.101x - C.110x -- D.110x -16. （2004▪上海▪理）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表中数据，就业形势一定是A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张三、解答题（共6小题，满分12+12+14+14+16+18=86分）17. （2004▪上海▪理）已知复数1z 满足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈.若121||||z z z -<，求a 的取值范围.18. （2004▪上海▪理）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8m 2．问x 、y 分别为多少（精确到0.001m ）时用料最省？19. （2004•上海•理）记函数()f x =A ，()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为B .⑴求A ；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围．20. （2004•上海•理）已知二次函数1()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数2()y f x =的图象与直线y x =的两个交点间距离为8，12()()()f x f x f x =+. ⑴求函数()f x 的表达式；⑵证明：当3a >时，关于x 的方程()()f x f a =有三个实数解．21. （2004•上海•理）如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）⑴证明：P ABC -为正四面体； ⑵若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； ⑶设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．22. （2004•上海•理）设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，…，(n n P x ，)(3n y n ≥，)n N ∈是二次曲线C 上的点，且211||a OP =，222||a OP =，…，2||n n a OP =构成了一个公差为(0)d d ≠的等差数列，其中O 是坐标原点．记12n S a a =++…n a +.⑴若C 的方程为22110025x y +=，3n =，点1(10P ，0)及3255S =，求点3P 的坐标（只需写出一个）；⑵若C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点1(P a ，0)，对于给定的自然数n ，当公差d 变化时，求n S 的最小值；⑶请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点1P ，对于给定的自然数n ，写出符合条件的点1P ，2P ，…，n P 存在的充要条件，并说明理由.2004年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2004•上海）若tanα=，则tan（α+）= 3 ．【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案为：3．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．2．（4分）（2004•上海）设抛物线的顶点坐标为（2，0），准线方程为x=﹣1，则它的焦点坐标为（5，0）．【分析】由题设条件可以知道焦点到顶点距离是3，横坐标是2+3=5，由此能够推出它的焦点坐标是（5，0）．【解答】解：顶点到准线距离是2﹣（﹣1）=3，则焦点到顶点距离是3，且和准线在顶点两侧所以横坐标是2+3=5．∴它的焦点坐标是（5，0）．故答案为（5，0）．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（4分）（2004•上海）设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B= {1，2，5} ．【分析】由A∩B={2}可知2∈A，2∈B，建立关系可求得a、b的值，再利用并集的定义求解即可．【解答】解：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．【点评】本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．4．（4分）（2004•上海）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=﹣，且（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=，则a1= 2 ．【分析】由题设条件知（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）==．由此能求出a1的值．【解答】解：∵q=﹣，∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）==．∴a1=2．故答案为2．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意等比数列求和公式的应用．5．（4分）（2004•上海）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5} ．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．6．（4分）（2004•上海）已知点A（1，﹣2），若向量与=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为（5，4）．【分析】先假设A、B点的坐标，表示出向量，再由向量与a=（2，3）同向且||=2，可确定点B的坐标．【解答】解：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）．∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）．∴||==2，∴λ=2．则=（xB﹣xA，yB﹣yA）=（4，6），∴∵∴∴B点坐标为（5，4）．故答案为：（5，4）【点评】本题主要考查两向量间的共线问题．属基础题．7．（4分）（2004•上海）在极坐标系中，点M（4，）到直线l：ρ（2cosθ+sinθ）=4的距离d= ．【分析】先将原极坐标方程ρ（2cosθ+sinθ）=4化成直角坐标方程，将极坐标M（4，）化成直角坐标，再利用直角坐标方程进行求解．【解答】解：将原极坐标方程ρ（2cosθ+sinθ）=4，化成直角坐标方程为：2x+y﹣4=0，点M（4，）化成直角坐标方程为（2，2）．∴点M到直线l的距离==．故填：．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．8．（4分）（2004•上海）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5 ．【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．【解答】解：∵圆C与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），∴由垂径定理得圆心在y=﹣3这条直线上．又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣7=0上，∴联立，解得x=2，∴圆心C为（2，﹣3），∴半径r=|AC|==．∴所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．故答案为（x﹣2）2+（y+3）2=5．【点评】本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法．9．（4分）（2004•上海）若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．（结果用分数表示）【分析】利用二项式定理求出展开式所有项的个数；利用二项展开式的通项知，项的系数是二项式系数，求出二项式系数为奇数的个数利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：展开式中共有11项，其中只有4项的系数C100，C102，C108，C1010为奇数．该项的系数为奇数的概率是故答案为【点评】本题考查二项式定理、二项展开式的项的系数、二项式系数、古典概型概率公式．10．（4分）（2004•上海）若函数f（x）=a|x﹣b|+2在[0，+∞）上为增函数，则实数a、b的取值范围是a＞0且b≤0 ．【分析】函数f（x）=a|x﹣b|+2的图象是2条有公共端点的射线，依据条件画出图形，进行分析．【解答】解：f（x）=a|x﹣b|+2的图象可看作把y=a•|x|的图象向左或向右平移|b|个单位，再向上平移2个单位得到的．由已知画出图形，如图所示，可得a＞0且b≤0，故答案为：a＞0且b≤0．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，体现数形结合的数学思想，属于基础题．11．（4分）（2004•上海）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质．【分析】这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质．【解答】解：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质．故答案为用代数的方法研究图形的几何性质【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对解析几何本质的理解．12．（4分）（2004•上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第①④组．（写出所有符合要求的组号）①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．（其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．）【分析】由根据等差数列性质可知，利用S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”；由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得把a1和S3代入整理得a2q2+（a2﹣S3q）+a2=0q不能确定，不一定是数列的基本量；由a1与an，可得an=a1qn﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；根据等比数列通项公式，数列{an} 能够确定，是数列{an} 的一个基本量．【解答】解：（1）由S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①对；（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2=a1q，a1=，S3=a1+a1q+a1q2，∴S3=+a2+a2q，∴a2q2+（a2﹣S3q）+a2=0；满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量，②不对；（3）由a1与an，可得an=a1qn﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q与an由an=a1qn﹣1，故数列{an} 能够确定，是数列{an} 的一个基本量；故答案为：①④．【点评】本题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2004•上海）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．【解答】解：A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l⊂α；B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β=m，且l⊥m，l⊥β，则l⊂α；故选B．【点评】本题考查了空间线面的位置关系，用垂直和平行的定理去判断，考查了空间想象能力和逻辑推理能力．14．（4分）（2004•上海）三角方程2sin（﹣x）=1的解集为（）A．{x|x=2kπ+，k∈Z} B．{x|x=2kπ+，k∈Z}C．{x|x=2kπ±，k∈Z} D．{x|x=kπ+（﹣1）K，k∈Z}【分析】先根据诱导公式进行化简，再由余弦函数的性质可得到方程的解集．【解答】解：∵2sin（﹣x）=1∴2cosx=1∴cosx=∴x=2kπ±，k∈Z故选C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用、余弦函数的性质．属基础题．15．（4分）（2004•上海）若函数y=f（x）的图象可由y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f（x）等于（）A．10﹣x﹣1 B．10x﹣1 C．1﹣10﹣x D．1﹣10x【分析】先求出y=lg（x+1）的反函数，再把反函数解析式中的x 换成﹣x，立刻得到函数y=f（x）的解析式．【解答】解：函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图象关于y轴对称．故由题意知，函数y=f（x）与y=lg（x+1）的反函数的图象关于y轴对称．∵y=lg（x+1），∴x=10y﹣1，∴反函数为 y=10x﹣1，即f（x）=10﹣x﹣1，故选：A．【点评】由y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的函数y=f（x）与y=lg （x+1）的反函数的图象关于y=x轴对称，属于基础题．16．（4分）（2004•上海）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张【分析】观察两个表中前五位的行业，建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，观察物流行业是物流行业是供大于求，得到结论．【解答】解：∵用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，∴建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，∵物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436，∴物流行业是供大于求，∴就业形势是建筑行业好于物流行业，故选B．【点评】本题考查分布的意义和作用，是一个基础题目，在解题时注意两个表中行业的名称不一致，这不妨碍我们解题，不在表中说明不排在前五位，数据比第五个数字要小．三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）（2004•上海）已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜|z1|，求a的取值范围．【分析】先求复数Z1，然后代入＜|z1|，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i，于是=|4﹣a+2i|=，|z1|=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．【点评】本题考查复数的概念，复数乘除运算，复数的模，考查学生的运算能力，是基础题．18．（12分）（2004•上海）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8m2．问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？【分析】根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．【解答】解：由题意得xy+x2=8，∴y==（0＜x＜4）．框架用料长度为，l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4．当（+）x=，即x=8﹣4时等号成立．此时，x≈2.343，y=2≈2.828．故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．注意取得最值时的条件是否成立．19．（14分）（2004•上海）记函数的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】要使f（x）有意义，则需由≥0按分式不等式的解法求解，要使g（x）有意义，则由真数大于零求解，然后按照B⊆A，求解．【解答】解：由≥0得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0由a＜1得a+1＞2a，∴B=（2a，a+1）∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1即a≥或a≤﹣2，而a＜1，∴≤a＜1或a≤﹣2故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[）【点评】本题通过求函数定义域来考查分式不等式，一元二次不等式的解法和集合的运算．20．（14分）（2004•上海）已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．【分析】（1）由题意已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式；（2）由已知f（x）=f（a），得x2+=a2+，在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=﹣x2+a2+的大致图象，然后利用数形结合进行讨论求证．【解答】解：（1）由已知，设f1（x）=ax2，过点（1，1），即f1（1）=1，得a=1，∴f1（x）=x2．设f2（x）=（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为A（，）B（﹣，﹣）由|AB|=8，得k=8，．∴f2（x）=．故f（x）=x2+．（2）证法一：f（x）=f（a），得x2+=a2+，即=﹣x2+a2+．在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=﹣x2+a2+的大致图象，其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）与的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线．因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．又∵f2（2）=4，f3（2）=﹣4+a2+当a＞3时，．f3（2）﹣f2（2）=a2+﹣8＞0，∴当a＞3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f2（x）图象的上方．∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解．证法二：由f（x）=f（a），得x2+=a2+，即（x﹣a）（x+a﹣）=0，得方程的一个解x1=a．方程x+a﹣=0化为ax2+a2x﹣8=0，由a＞3，△=a4+32a＞0，得x2=，x3=，∵x2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．若x1=x3，即a=，则3a2=，a4=4a，得a=0或a=，这与a＞3矛盾，∴x1≠x3．故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．【点评】此题考查了方程根的存在性及其个数的判断，还考查了待定系数法求函数的解析式，综合性比较强，难度比较大．21．（16分）（2004•上海）如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若PD=DA=求二面角D﹣BC﹣A的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件证明DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，从而证明P﹣ABC为正四面体；（2）PD=DA=取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．说明∠DMA为二面角D﹣BC﹣A的平面角．解三角形DMA求二面角D﹣BC﹣A的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）存在满足条件的直平行六面体．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，利用该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．求出α=arcsin（8V）底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求【解答】证明：（1）∵棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+OE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P﹣ABC是正四面体解：（2）取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D﹣BC﹣A的平面角．由（1）知，P﹣ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=，由D是PA的中点，得sin∠DMA=，∴∠DMA=arcsin．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF﹣ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．∵正四面体P﹣ABC的体积是，∴0＜V＜，0＜8V＜1．可知α=arcsin（8V）故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面平行的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．22．（18分）（2004•上海）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n ∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．（1）若C的方程为=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符={x，y} =（x，y）P3的坐标．（2）根据原点O到二次曲线C：（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．根据a1=a2，判断d＜0，进而根据an≥b2，求得≤d，进而判断Sn在[，0）上递增，进而求得Sn的最小值．（3）点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP1|=a2推断点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2符合．【解答】解：（1）a1=|OP1|2=100，由S3=（a1+a3）=255，得a3=|OP3|3=70．由，得，∴点P3的坐标可以为（2，）．（2）原点O到二次曲线C：（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．∵a1=|OP1|2=a2，∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n﹣1）d≥b2，∴≤d＜0．∵n≥3，＞0∴Sn=na2+d在[，0）上递增，故Sn的最小值为na2+•=．（3）若双曲线C：﹣=1，点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[|a|，+∞），且|OP1|=a2，∴点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2，即d＞0．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．涉及了圆锥曲线和函数的知识，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；zlzhan；minqi5；yhx01248；gongjy；wdnah；caoqz；zhwsd；涨停；qiss；wodeqing；小张老师（排名不分先后）菁优网2017年5月17日。
2004年普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生上海卷文史类数学试题一.填空题(本大题满分48分,每小题4分)1.若tgα=,则tg(α+)= .2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= .4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=-,且(a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=,则a 1= .5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .6.已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 .7.当x.y 满足不等式组时,目标函数k=3x-2y 的最大值为 .8.圆心在直线x=2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10.若函数f(x)=a 在[0,+∞)上为增函数,则实数a.b 的取值范围是 .11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二.选择题(本大题满分16分,每小题4分)13.在下列关于直线l.m 与平面α.β的命题中,真命题是( )(A)若l β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.(C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.14.三角方程2sin(-x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称,则=( )(A) (B)y=f(x)52xO y(C) (D)16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数215830 200250 154676 74570 65280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620 102935 89115 76516 70436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.三.解答题(本大题满分86分)17.(本题满分12分)已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若<,求a的取值范围.18.(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x.y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x.y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.(1) 求A；(2) 若B A, 求实数a的取值范围.20.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A.B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A.B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.21.(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D.E.F分别为棱长PA.PB.PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)证明：P-ABC为正四面体；(2)若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)(3)设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22.(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, P n(x n,y n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, a n=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S n=a1+a2+…+a n.(1)若C的方程为－y2=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标；(只需写出一个)(2)若C的方程为y2=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：(x1+p)2, (x2+p)2, …,(x n+p)2成等差数列；(3)若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S n的最小值.符号意义本试卷所用符号等同于《实验教材》符号向量坐标={x,y} =(x,y)正切tg tan2004年普通高等学校招生上海卷文史类数学参考答案一.填空题(本大题满分48分,每小题4分)1.32.(5,0)3.{1,2,5}4.25.(－2,0)∪(2,5]6.(5,4)7.6 8.(x－2)2+(y+3)2=5 9.10.a>0且b≤011.用代数的方法研究图形的几何性质12.①.④二.选择题(本大题满分16分,每小题4分)13.B 14.C 15.A 16.B三.解答题(本大题满分86分)17.【解】由题意得z1==2+3i,于是==,=.<,得a2－8a+7<0,1<a<7.18.【解】由题意得xy+x2=8,∴y==(0<x<4).于定, 框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.当(+)x=,即x=8－4时等号成立.此时, x≈2.343,y=2≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.19.【解】(1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1,∴≤a<1或a≤－2, 故当B A时, 实数a的取值范围是(－∞,－2)∪[,1)20.【解】(1) 解方程组得或即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由k AB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离d==,,∴SΔOPQ==.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.21.【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,∴PM=AM=,由D是PA的中点,得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.∵正四面体P-ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.22.【解】(1) a1=2=9,由S3=(a1+a3)=162,得a3=3=99.由得∴点P3的坐标可以为(3,3).(2)对每个自然数k,1≤k≤n,由题意2=(k－1)d,及得x+2px k=(k－1)d即(x k+p)2=p2+(k－1)d,∴(x1+p)2, (x2+p)2, …,(x n+p)2是首项为p2,公差为d的等差数列.(3) 【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.∵a1=2=a2, ∴d<0,且a n=2=a2+(n－1)d≥b2,∴≤d<0. ∵n≥3,>0∴S n=na2+d在[,0)上递增,故S n的最小值为na2+·=.【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由解得y=∵0< y≤b2,得≤d<0∴≤d<0以下与解法一相同.。
上海文(附答案)
2004年全国高考上海卷数学（文史类）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若tgα=21,则tg(α+4π)= .2、设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .3、设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= .4、设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=-21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= .5、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .6、已知点A(-1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 .7、当x 、y 满足不等式组2≤x≤4时,目标函数k=3x-2y 的最大值为 . y≥3x+y≤88、圆心在直线x=2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .9、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10、若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围 是 .11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.14、三角方程2sin(2π-x)=1的解集为( )(A){x│x=2kπ+3π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π,k ∈Z}.(C) {x│x=2kπ±3π,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K,k ∈Z}.15、若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=( )(A)10x -1. (B) 1-10x . (C) 1-10-x . (D) 10-x -1.16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张. 三、解答题(本大题满分86分) 17、(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B.(1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体； (2) 若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的大小；(结果用反三角函数值表示) (3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是 否存在体积为V 且各棱长均相等的直 平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造 出这样的一个直平行六面体,并给出证 明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分 设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2, …, a n =nOP 2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n . (1) 若C 的方程为92x－y 2=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=162, 求点P 3的坐标；(只需写出一个)(2) 若C 的方程为y 2=2px(p≠0). 点P 1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明： (x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2成等差数列； (3) 若C 的方程为12222=+by ax (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时, 求S n 的最小值.上海数学(文史类) 参考答案一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、32、(5,0)3、{1,2,5}4、25、(－2,0)∪(2,5]6、(5,4)7、68、(x －2)2+(y+3)2=5 9、114 10、a>0且b≤011、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13、B 14、C 15、A 16、B 三、解答题(本大题满分86分) 17、【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i,于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.18、【解】由题意得xy+41x 2=8,∴y=xx482-=48x x-(0<x<42).于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x16≥4246+.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立.此时, x≈2.343,y =22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 19、【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1,∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪[21,1)20、【解】(1) 解方程组 y=21x 得X 1=－4,x 2=8y=81x2－4y 1=－2,y 2=4即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2).令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x,81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x<43－4或43－4<x≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30. 21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF ∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M,连拉PM,DM.AM. ∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM, 则∠DMA 为二面角D-BC-A 的平面角. 由(1)知,P-ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得sin ∠DMA=33=AMAD ,∴∠DMA=arcsin33.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC 的棱长和为定值6,体积为V . 设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α,则该六面体棱长和为6, 体积为81sinα=V .∵正四面体P-ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.22、【解】(1) a 1=1OP 2=9,由S 3=23(a 1+a 3)=162,得a 3=3OP 3=99.∴点P 3的坐标可以为(310,3).(2)对每个自然数k,1≤k≤n,由题意kOP 2=(k －1)d,及y 2k =2px k ,得x 2k+2px k =(k －1)d x 2k+y 2k=(k －1)d即(x k +p)2=p 2+(k －1)d, ∴(x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2是首项为p 2,公差为d 的等差数列. (3) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by ax (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d≥b 2,∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +.【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由x 2k +y 2k =a 2+(k －1)d ,解得y 2k=222)1(ba d kb ---22ax k +22by k =1由 92x－y 2=1,得x 23=90x 23+y 23=99y 23=9∵0< y 2k≤b 2,得122--k a b ≤d<0∴122--n ab ≤d<0以下与解法一相同.。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 V A E ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y ax 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t x。
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2004年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案
一、填空题
1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14
5
10．
1)2()3(2
2
=+
--y x
11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题
17. 由⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得
0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或2
1cos =
x ，],0[π∈x ，3
2π
π或=∴x . 18. 由
021
2<++x x ，解得212-<<-x ，2
12-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a
则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）。
(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得
3
110000>
+n
n
S S 。
于是50005
.11)5.11(128>=
--n n S （辆），即
32
657
5.1>
n ，
则有,5.7≈n 因此8≥n 。
所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。
20. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；
(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21
11
11
11111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为
平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.
∴
⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P ∠,在PMN ∆中，
c o s 2222⇒∠⋅-+=M N P
MN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(21
1
111222222，
由于11
1
1
11
11
1,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，
∴有αcos 21
1111
111112
22A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。
(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f
当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；
当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)
1,2
1
-上单调递增。
(3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n
c 的变化规律： 解不等式11
<+n
n c c ，由0>n c ，上式化为1)5
4(1032<⋅+n
解得7.32
3
8.0lg 21≈->
n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c
所以()()()()4)5
4
(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f 。
22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩
⎨⎧=++--=18)2()1(3
2
2y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(。
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13
2
2
2y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得2=a 。
（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，
记2
)3(22
3222
)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ，
当4123≤≤
+t 时，即51≤≤-t 时，|3|3min )(||-+==t t f PQ ，
当42
3>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当
12
3<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，4)1()1(||2min +-==t f PQ 。
综上所述，⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14
)1()(22|
3|2
t t t t t t h t
(解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('
-A 、)0,5('
B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2
|3|min ||-=t PQ ；
当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t 时，1)4(||||2min +-==t PB PQ 。
综上所述，⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14
)1()(22|
3|2
t t t t t t h t
x。