高中数学破题致胜微方法椭圆的基本性质：10.构造齐次方程求椭圆的离心率 含答案 精品
高中数学破题致胜微方法(椭圆的基本性质)：3.定义法求椭圆的方程含答案
今天我们研究用定义法求椭圆的方程。
根据椭圆的定义,确定22,a b 的值，再结合焦点的位置, 直接写出椭圆方程。
先看例题例：已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上,求椭圆C 的方程；故椭圆方程为：12322=+y x归纳整理：中心在原点, 焦点分别在x 轴上, y 轴上的椭圆标准方程分别为 22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>利用椭圆定义，求解椭圆方程，首先要明确焦点的位置。
选择合适的方程。
如果不能确定焦点位置，需要分类讨论。
再看一个例题，加深印象例：已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴， 椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，短轴长为8 ,求椭圆方程.解：焦点在x 轴上，设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>的情况.这是本题的关键。
焦点在y轴上，设椭圆标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由题意,确定长轴、短轴、焦距可得：a=5，b=4，c=3椭圆方程为221 1625x y+=总结：椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆．根据椭圆的焦点坐标位置，222bac-=，写出方程的对应形式。
练习：1。
一束光线从点1(1,0)F-出发，经直线:230l x y-+=上一点D反射后,恰好穿过点2(1,0)F．求以1F、2F为焦点且过点D的椭圆C的方程.2。
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3),且点F（2,0）为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.答案2a =12||||PF PF '+=12||F F '2292(1)(0)2255--+-= ∴2a =1c =，211b =-=．∴椭圆C 的方程为2212x y +=．2.。
高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：构造齐次方程求椭圆的离心率-Word版含答案
今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率。
椭圆的几何性质中，离心率问题是重点。
根据题设条件，借助a ,b ,c 之间的关系，构造a ,c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
先看例题：例：椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________.222155c e e a ==⇒= 规律整理：构造齐次方程求离心率的一般方法先列出关于a ,b ,c 的齐次方程，然后根据222b ac ＝－消去b ,进而，方程两边同时除以a 2（a 4等，由方程的次数决定）转化成关于e 的方程求解。
再看一个例题，加深印象 例：如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.联立①②可得两直线交点T 的坐标为2()(,)ac b a c a c a c+--, 则线段OT 的中点M 的坐标为()(,)2()ac b a c a c a c +--, 代入椭圆22221x y a b+=,可得4c 2+(a +c )2=4(a －c )2,两边同时除以a 2 即得关于离心率的方程：e 2+10e －3=0,解之得5e =-±e ∈(0,1),∴5e =.总结：1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e . 练习： 1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ， 则椭圆的离心率为( ) A.2－22 B.22－12 C.3－1 D.2－12. 已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ,0)和 F 2(c ,0)(c >0),过点2(,0)a E c的直线与椭圆相交于A ,B 两点,且 F 1A ∥F 2B ,|F 1A |=2|F 2B |.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)求直线AB 的斜率;(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在1AFC的外接圆上,求nm的值.答案：从而e＝2－1. 答案 D2.。
高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：椭圆的通径-版含答案
今天我们介绍椭圆的通径。
椭圆通径是过椭圆的一个焦点垂直于长轴的弦。
过椭圆焦点的所有弦中，通径最短。
先看例题：例：已知椭圆C: 22221(0)yx a b a b 的右顶点为A (1,0),过C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆C 的方程.所以M 、N 坐标可表示为22(,),(,)b b M c N c a a由已知弦长为1得：21,2 1.b b ag △从而2,1.a b △因此,所求的椭圆方程为2214yx .焦点在x 轴的椭圆22221(0)xy a b a b 的通径：再看一个例题，加深印象例：已知椭圆221123x y 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍再由椭圆的性质可知：122373||2-||437||22PF a PF PF 即本题选 A.总结：1.椭圆通径是过椭圆的一个焦点垂直于长轴的弦。
2.过椭圆焦点的所有弦中，通径最短。
练习：1. 设椭圆22221(0)xy a b a b 的左焦点为F ,离心率为33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB u u u r u u u r u u u r u u u r ,求k 的值.2. 已知F 1(－1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为( )A.2212x y B. 22132x y C. 22143x yD. 22154x y3.已知椭圆191622y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A. 59B. 779C. 49D. 49或7793.97h，.779h 故答案选 D.。
2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：48 椭圆及其性质(解析版)
『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』第48讲椭圆及其性质（讲）思维导图知识梳理1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质题型归纳题型1 椭圆的定义及其应用【例1-1】（2019秋•盐田区校级期中）已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程．【分析】依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得：动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，即可得出结论．【解答】解：根据椭圆的定义知，到两定点F1，F2的距离之和为10＞|F1F2|＝6，动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，b＝4，∴动点M的轨迹方程是＝1．故答案为＝1．【例1-2】（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．【分析】设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8，即m＝3，n＝；6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，）．故答案为：（3，）．【跟踪训练1-1】（2019秋•龙岗区期末）已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．【跟踪训练1-2】（2019秋•广东期末）已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3＝7故答案为：7【名师指导】椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．题型2 椭圆的标准方程【例2-1】（2020春•黄浦区校级期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为．【分析】设椭圆的方程为（a＞b＞0），由题可知，c＝，根据|OP|＝|OF|且|PF|＝4可求出点P的坐标，将其代入椭圆方程，并结合a2＝b2+c2解出a2和b2的值即可．【解答】解：由题可知，c＝，过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|＝﹣t，由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即，解得，∴，∴点P的坐标为（﹣，），设椭圆的方程为（a＞b＞0），则，化简得，又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，∴椭圆的标准方程为．故答案为：．【例2-2】（2019秋•伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程．【分析】求出椭圆+＝1的焦点，即c＝4，可设所求椭圆方程，由a，b，c的关系，和点在椭圆上得到a，b的方程组，解出a，b，进而得到所求椭圆方程．【解答】解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），则所求椭圆的c＝4，可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），则有a2﹣b2＝16，①再代入点（，﹣），得，＝1，②由①②解得，a2＝20，b2＝4．则所求椭圆方程为＝1．故答案为：＝1．【例2-3】（2019秋•南通期末）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，求出对应的椭圆方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的方程为+＝1，②，椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，此时椭圆的方程为+＝1；故椭圆的方程为+＝1或+＝1；故选：C．【跟踪训练2-1】（2019秋•广东期末）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a，再由隐含条件求得b，则椭圆的方程可求．【解答】解：∵|BF1|＝5|BF2|，且|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，|BF1|＝，∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AF2|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，则A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得，解得a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1．∴椭圆C的方程为：．故选：A．【跟踪训练2-2】（2019秋•天心区校级期末）若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+y2＝1或+＝1D．以上答案都不对【分析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上，所以分情况讨论．【解答】解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（﹣c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，﹣b）；椭圆的a，b，c关系：；a2﹣b2＝c2∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（﹣c，0），和顶点（0，b）带入直线方程：解得：c＝2，b＝1，a＝∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（0，﹣c），（0，c），顶点坐标为（﹣b，0），（b，0）；椭圆的a，b，c关系：a2﹣b2＝c2∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点（﹣b，0）带入直线方程解得：c＝1，b＝2，a＝∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为．故选：C．【跟踪训练2-3】（2019秋•阳泉期末）经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为．【分析】本题先设椭圆的方程为+＝1，然后将两点A（0，2）、B（，）代入椭圆的方程，解关于m、n的二元一次方程组，即可得到椭圆的标准方程．【解答】解：由题意，设椭圆的方程为+＝1，则，解得．∴椭圆的标准方程为x2+＝1．故答案为：x2+＝1．【名师指导】根据条件求椭圆方程的2种方法题型3 椭圆的几何性质【例3-1】（2020•邵阳三模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．【解答】解：设|MF 2|＝m ，∵|MF 1|，|MN|，|NF1|成等差数列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，∵，∴MF1⊥MF2，∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，整理可得m＝a，∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴4c2＝2a2，∴e＝＝，故选：A．【例3-2】（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围．【解答】解：F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，可得：，∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．故选：D．【例3-3】（2019秋•和平区校级期末）已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A．4B．C．5D．【分析】由题意求出椭圆的方程，可得左焦点F1的坐标，求出数量积的表达式，再由P的纵坐标的范围及二次函数的性质可得所求的结果．【解答】解：由题意可得：c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆的方程为：＝1，可得F1（﹣2，0），设P（x，y）则：＝1，所以可得：x2＝8﹣2y2，则＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝﹣y2﹣+4＝﹣（y）+，当且仅当y＝∈[﹣2，2]，时，则的最大值为：，故选：B．【跟踪训练3-1】（2020•丹东二模）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．﹣1D．【分析】不妨设F（c，0），计算M的坐标，根据等腰三角形得到N点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．【解答】解：不妨设F（c，0），，则M（﹣3c，0），易知△MNF中只能∠MNF＝120°，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则N（﹣c，c），将N代入椭圆方程得到，即，解得或e2＝3（舍去），故e＝，故选：B．【跟踪训练3-2】（2020春•湖北期末）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即tan，即可求解．【解答】解：如图，当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜∴tan，⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，⇒3a2＜4c2，e，则椭圆C离心率的取值范围是：（，1），故选：C．【跟踪训练3-3】（2020•武侯区校级模拟）已知P是椭圆上一动点，A（﹣2，1），B（2，1），则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），可得，由正切的和角公式可得，通过换元令t＝1﹣y∈[0，2]，结合基本不等式可得当时cos∠APB最大，由此得解．【解答】解：过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），则，∴＝，令t＝1﹣y∈[0，2]，当t＝0时，tan∠APB＝0，∠APB＝π，cos∠APB＝﹣1；当t∈（0，2]时，，当且仅当，即时取等号，此时cos∠APB最大，且．故选：A．【名师指导】一、求椭圆离心率的三种方法1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．二、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法高考复习·归纳训练1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．。
椭圆常见结论求解离心率
椭圆离心率ace =的求法1.椭圆方程()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为60°，FB AF 2=,求椭圆的离心率？（焦半径公式11ex a PF +=，22ex a PF -=的应用左加右减，弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=）2.椭圆方程()01:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围？（焦准距cb 2的应用）3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于c a ,的二元二次方程022=++pc nac ma 解法）4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）5.过椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）6.过椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(2tan 212PF F b S ∠==θθ）7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）8.椭圆1422=+y x 的离心率为?（椭圆基本性质222c b a +=的应用）9.椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的焦点为21,F F ，两条准线与x 轴的交点为N M ,，若212F F MN ≤，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）10.设21,F F 分别是椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距cb 2；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？（通径ab 22，焦准距c a 2）12.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a =，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，第一定义a PF PF 221=+）13.在平面直角坐标系中，2121,,,B B A A 为椭圆的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为？ （直线方程交点坐标）14.在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB .若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为？（余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，第一定义）15.已知正方形ABCD ，则以B A ,为焦点，且过两点D C ,的椭圆的离心率为？（通径ab 22）16.已知椭圆的焦距为c 2，以点O 为圆心，a 为半径作圆M 。
(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系例1已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.例2已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为()21,1-.二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2 Ｄ．2[,1)2xy OF 1F 2三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.四、利用函数的值域，建立不等关系例5椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为[]6,5，求椭圆离心率的范围.五、利用均值不等式，建立不等关系.例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2 xy OA BF MC(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.解析1：令n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥2224c n m=+∴ ()22222224a nm n m c=+≥+=∴ 即21222≥=ac e又12210<≤∴<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 21b b S PFF =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22121b ⇒≤c 2b ⇒≤2c 22c a -⇒≤2c 222ac e =⇒≥21故22≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+cx y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+by a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥即222c a c-≥，22≥=∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，222c y x P =+∴为圆 与 12222=+by a x 的公共点.由图可知222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-122<≤∴e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系解析4：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0902245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 122<≤e .。
高中数学椭圆的性质及相关题目解析
高中数学椭圆的性质及相关题目解析椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它有着独特的性质和应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及相关题目解析等方面进行阐述，帮助高中学生更好地理解和应用椭圆。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度为2c，a和c之间的关系为a > c。
椭圆的长轴是通过焦点的直线段，长度为2a；短轴是与长轴垂直的直线段，长度为2b，且满足a > b > c。
椭圆的离心率e定义为e = c / a，离心率决定了椭圆的形状。
当e < 1时，椭圆是一个封闭曲线；当e = 1时，椭圆变成一个抛物线；当e > 1时，椭圆变成一个双曲线。
椭圆的焦点和准线的性质也是我们需要了解的。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1 + PF2 = 2a；准线是与长轴平行且过焦点的直线，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即PD =e * PF。
二、椭圆的相关题目解析1. 题目：已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，求椭圆的离心率。
解析：根据椭圆的定义，我们知道a = 5，b = 4。
将a和c的值代入离心率公式e = c / a，可得e = 4 / 5。
2. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，且焦点到准线的距离为2，求椭圆的方程。
解析：根据椭圆的性质，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即2 = e * a。
由于焦点到准线的距离为2，而椭圆的长轴长度为2a，所以a = 1。
再根据焦点的坐标，可得椭圆的中心为O(0, 0)。
因此，椭圆的方程为x^2 + y^2 / 1^2 = 1，即x^2 + y^2 = 1。
3. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-2, 0)和F2(2, 0)，准线方程为x = 3，求椭圆的方程。
椭圆性质的离心率计算公式
椭圆性质的离心率计算公式椭圆是数学中非常重要的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
其中，离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的形态和结构。
在本文中，我们将介绍椭圆性质的离心率计算公式，以及离心率在椭圆研究中的应用。
首先，让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个给定点（焦点）的距离之和是一个常数。
这两个给定点称为焦点，而这个常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
离心率的计算公式如下：e = c/a。
其中，e表示椭圆的离心率，c表示椭圆的焦点之间的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出椭圆的离心率，从而更好地理解椭圆的形状和结构。
离心率的计算公式为什么是这样的呢？这涉及到椭圆的几何性质。
在椭圆中，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是很特殊的。
事实上，根据椭圆的定义，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是固定的。
这个关系就是椭圆的离心率。
通过这个关系，我们可以将椭圆的形状和结构用一个参数来描述，这就是离心率。
因此，离心率的计算公式e=c/a就是根据这个几何性质得到的。
离心率在椭圆研究中有着重要的应用。
首先，离心率可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
因此，通过离心率，我们可以直观地了解椭圆的形状特点。
其次，离心率还可以用来计算椭圆的面积和周长。
椭圆的面积和周长与离心率之间有着特定的数学关系，通过离心率的计算，我们可以更方便地计算出椭圆的面积和周长。
此外，离心率还可以用来分析椭圆的运动轨迹和力学特性，在天文学、航天学等领域有着广泛的应用。
除了椭圆，离心率的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，在圆锥曲线、双曲线等曲线中，离心率也是一个重要的参数，它可以用来描述这些曲线的形状和特性。
【文.2010-2018.高考真题分类】九 解析几何第二十五讲 椭圆【有答案】
7．（2016 年全国 I 卷）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其
精品文档
1
短轴长的 1 ，则该椭圆的离心率为 4
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
8．（2016
年全国
III
卷）已知
O
为坐标原点，F
是椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
> b > 0) 的左焦
∠PF2 F1 = 60° ，则 C 的离心率为
A．1 − 3 2
B． 2 − 3
C． 3 −1 2
D． 3 − 1
3．(2018 上海)设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 53
A． 2 2
B． 2 3
C． 2 5
D． 4 2
4．（2017 浙江）椭圆 x2 + y2 = 1的离心率是 94
A、 1 2
B、 2 3
C、 3 4
D、 4 5
二、填空题
16．(2018
浙江)已知点
P(0,1)
，椭圆
x2
+
y2
=
m(
m
> 1)上两点
A
，
B
满足
uuur AP
=
uuur 2PB
，
4
则当 m =___时，点 B 横坐标的绝对值最大．
17．（2015 浙江）椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a
>b
>
x2 a2
高中数学《椭圆的几何性质(二)-求离心率》课件
复习引入
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
a,b,c的关系
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
b
a
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b
|x|≤ b,|y|≤ a
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
则该椭圆的离心率为
.
讲
课
人
：
邢
启
强
15
课堂小结
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
讲
课
人
：
邢
启
强
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
b
a
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(b,0)、(-b,0)、
2
-+
-
得 m= 2 ,n= 2 ,由 P(m,n)在直线 y=-x 的左下方,得 m+n<0,
2
-+ -
∴
+
<0,整理得(a+b)(b-c)<0.
2
2
∵a+b>0,∴b-c<0.∵椭圆的离心率 e==c,∴2e2=2c2>b2+c2=1.
高中数学破题致胜微方法椭圆的基本性质：9.定义法求椭
今天我们研究定义法求双曲线椭圆的离心率。
椭圆的几何性质中，离心率问题是重点。
可以整理出椭圆的标准方程后得基本量代入离心率公式=c e a求解，也可以在焦点三角形中利用椭圆第一定义得 12222c c c e a a PF PF ===+，或者根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系，进而得到关于e 的简单方程，从而解得离心率e .先看例题： 例：椭圆2214x y +=的离心率为（ ）注意：有时我们求离心率并不需要求出a ，c ，只要计算其比值即可。
归纳整理：求椭圆离心率的常见方法1.求得a ，c 的值，直接代入公式c e a= 2.利用椭圆的性质，12222c c c e a a PF PF ===+ 3.得出a ，c 的方程，直接计算比值c e a =再看两个例题，加深印象 例：已知椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF ⊥x 轴,直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB = ,则椭圆的离心率是( )A.2B.2C.13D.12例：过椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A.2C.12D.13解：根据∠F 1PF 2=60°，可知：112tan 30PF F F =⋅︒=,212PF PF ==,总结：1.整理出椭圆的标准方程后可直接求出a ，c ，再利用离心率公式=c e a来求解. 2.在焦点三角形中利用椭圆第一定义得12222c c c e a a PF PF ===+求解. 3.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系，进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e .练习：1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）（A ）31（B ）33（C ）21（D ）23 2.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的概念，涉及到椭圆、双曲线等几何图形的性质和参数。
掌握离心率的相关知识和解题技巧，能够有效地解决与离心率有关的各类题型。
以下是关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。
一、椭圆离心率题型解法技巧1. 椭圆的离心率定义为焦距之差与主轴长度的比值。
在解题过程中，可以利用该定义进行计算。
2. 根据椭圆的性质，离心率的取值范围为0到1之间。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
3. 在解题过程中，常常需要利用椭圆的焦点坐标和长轴、短轴长度等已知条件，结合离心率的定义进行求解。
4. 对于已知椭圆方程的离心率题型，可以根据方程中离心率的特点进行推导和变形，从而得到所求的答案。
5. 利用椭圆的离心率特点，可以解决与焦点、直径、坐标轴的关系有关的题目。
比如利用离心率的定义，可以求解椭圆上的点到焦点的距离。
1. 对于已知双曲线方程的离心率题型，可以利用离心率的定义，结合方程中的已知条件进行推导和变形。
常见的已知条件有焦点坐标、直角双曲线的方程等。
2. 双曲线的离心率大于1，可以利用该特点解决相关题目。
4. 在解题过程中，可以利用双曲线的渐近线特点和离心率的性质，解决与渐近线、离心率和焦点坐标有关的问题。
五、需要注意的问题1. 离心率的定义是椭圆、双曲线等几何图形的重要参数，在解题过程中要对其有清晰的概念。
3. 充分利用已知信息，对问题进行分析和推导，可以采取代数方法或几何方法进行求解。
4. 对于复杂或较难的题目，可以根据已知条件进行建立方程，并进行逐步推导和化简，在最后得到所求的答案。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
高中数学重难点专题突破《专题一 圆锥曲线的离心率问题求解》教学课件
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F
2ccosa
一、椭圆与双曲线的离心率
二、离心率求值
三、离心率的范围求解
四、专题小结
04
借
助
函
数
的
A
值
域
求
解
范
围
一、椭圆与双曲线的离心率
二、离心率求值
三、离心率的范围求解
四、专题小结
04
借
助
函
数
的
值
域
B
求
解
范
围
一、椭圆与双曲线的离心率
二、离心率求值
四、专题总结
01 椭圆与双曲线的离心率的性质
性质
(0＜e＜1)
渐近线
(e＞1)
y＝±bax
e＝1
一、椭圆与双曲线离心率
二、离心率求值
三、离心率范围求解
02 椭圆离心率的性质
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:
四、专题小结
一、椭圆与双曲线离心率
二、离心率求值
三、离心率范围求解
03 双曲线离心率的性质
双曲线的离心率对开口大小的影响:
椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆； 双曲线的离心率越大开口越大，离心率越小双曲线开口越小；
02 离心率求值
第一步 设出相关未知量； 第二步 根据题目条件列出关于的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.
03 利用离心率的性质求离心率的范围
第一步 根据题目意思找出满足条件的离心率的临界值； 第二步 判断离心率是要大于临界值还是要小于临界值，椭圆是根
据的圆扁程度来判断离心率的大小，双曲线是根据开口的 大小来判断离心率的大小； 第三步 确定离心率的范围.
2019-2020年高考数学总复习 专题10.1 椭圆试题(含解析)
2019-2020年高考数学总复习专题10.1 椭圆试题（含解析）【三年高考】1．【xx江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：，①直线的方程：．②由①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．又在椭圆E上，故．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得；220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．2. 【xx江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，，，2BF a ===（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，133222232223F C b b a c k a c a c c c a c +==+++，又，由得，即，∴，化简得． 3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若，则椭圆C 的离心率为__________．【答案】【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知，22222a a c b d c c c c-=-==. ∵，∴，即.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.∴.4．【xx 浙江，2】椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，选B．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．5.【xx课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).6．【xx课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】试题解析：（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得. 故C 的方程为.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.7．【xx 高考新课标1文数改编】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 ． 【答案】【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且,代入解得,所以椭圆得离心率得．考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .8．【xx 高考新课标Ⅲ文数改编】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得1||||2||||OE OB FM BC =，即，整理，得，所以椭圆离心率为．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．9．【xx 高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可. 试题解析：（I ）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．（II ）设（，），则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．所以四边形的面积00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+．从而四边形的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.10．【xx 高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.(Ⅱ)(i)设，利用对称点可得得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得. 试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆C 的方程为.(Ⅱ)(i)设，由，可得所以 直线PM 的斜率 ，直线QM 的斜率.此时，所以为定值.(ii)设，直线PA 的方程为，直线QB 的方程为.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得()222214240k x mkx m +++-=.由可得 ，所以()()211202221k m y kx m m k x -=+=++，同理()()()()222222002262,181181m k m x y m k x k x ---==+++. 所以()()()()()()()222221222200022223221812118121m m k m x x k x k x k k x-----=-=++++， ()()()()()()()()2222212222000622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ， 所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 .考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.11．【xx 高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.12．【xx 高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为，点O 为坐标原点，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点M 在线段AB 上，满足，直线OM 的斜率为. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，求E 的方程.【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得,2a c b ==，故.（II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有11744171x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得，所以，故椭圆的方程为. 13.【xx 高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率【解析】 (1)由椭圆的定义，((122|PF ||PF |224a a =+=+-=，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知，因此122|FF |c ==即从而，故所求椭圆的标准方程为.(2)解法一：如图(21)图，设点P 在椭圆上，且，则22222000022y +=1,x x y c a b +=，求得200=y .b xc±=±由,得,从而()(22222221|PF |=22.b a b a c ⎛⎫⎫+=-+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF|，有，又由，知，因此，于是((24.a a=解得e ==. 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有，又由，知，因此,,从而21|PF |=2-|PF |21)a a a a =-=由,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c +===，因此ce a =14.【xx 高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且，．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带．动．绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，，且，所以，且，即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即. ① 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，. 当时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当时，2224128()8(11414OPQk S k k ∆+==-+--.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.15.【xx 高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点， 的直线的距离为． （I ）求椭圆的离心率；（II ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【解析】（I ）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆的方程为. (1)依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=，设则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由，得解得.从而.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆的方程为. (2)依题意，点，关于圆心对称，且.设则，，两式相减并结合得()1212-4()80x x y y -+-=.易知，不与轴垂直，则，所以的斜率因此直线方程为，代入(2)得所以，.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆的方程为.【xx年高考命题预测】纵观xx各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 展望xx年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战xx年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【xx年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理. 2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 已知椭圆 的焦距为2,过M （1,1）斜率为-直线交曲线C 于且M 是线段AB 的中点，则椭圆的标准方程为_____________. 【答案】【解析】由题知，2c=2，c=1，即，① 设A ，，则=2，=2，③，④， ③-④得=1212121222()()()()x x x x y y y y a b-+-++==0， ∴===-⑤，由①⑤解得，，故椭圆C 的标准方程为，.2.在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F （2，0）. （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程. 【解析】（Ⅰ）由于直线经过点和F （2，0）， 则根据两点式得，所求直线的方程为 即从而直线的方程是（Ⅱ）设所求椭圆的标准方程为，由于一个焦点为F （2，0）， 则①， 又点在椭圆上， 则② 由①②解得所以所求椭圆的标准方程为 【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【考点针对训练】1.椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________【答案】【解析】横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=2.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为___________． 【答案】【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则(1022nm cm c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以，，将其代入椭圆方程可得22223441c ca b+=，化简可得，解得．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为． （Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知, 解得,故椭圆的方程为2214133x y +=． （Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=．设,则 对任意都成立，2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， ，因为,所以,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ , 解得,即．故直线的方程为或．2.在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．【解析】（Ⅰ）由题意可得，所以，即，即，即动点的轨迹的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为,，则．由消整理得， 则，即． ． 直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+，212221()y y y x x y x x -∴=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -∴=-++，2221212211221, y 44444x x x x x x x x x y x x x ---∴=-+∴=+，即所以，直线恒过定点．【两年模拟详解析】1. 【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则 ． 【答案】【解析】mn n m n c b OF PO PF PF -=--=-=-=⋅2)(22212212. 【xx年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，将代入椭圆方程可得，故可设，由,可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，，由，即有，解得，故.3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】解:(1) 因为，，所以，所以的坐标为（1,0），设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．4.【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；②若（为原点），求面积的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】解：（1）由题设知，，，，，：.（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.设，，直线代入椭圆得，整理得，，，.由，知，，（定值）.②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积， 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：， 设，，将代入椭圆得到， ，，同理，， 的面积 . 令 ， ， 令，则 . 综上所述，.5. 【南京市、盐城市xx 届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， ……………3分 所以，即，所以椭圆的方程为. ……………6分 （2）方法一：设，，，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以，又，所以，所以，， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. …………14分 方法二：设，，， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又，，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴， 又，在直线上，∴，∴，① 又在直线上，∴，②由①②可得，. ……………10分 以下同方法一.6.【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且， 求面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分椭圆的方程是. ……4分 （2）设l 与x 轴的交点为，直线，与椭圆交点为，， 联立，，得222(4)240m y mny n +++-=，1,2y =∴ ，， ∴12122()24224x x m y y n nm +++==+，即， ……6分由，得， ……10分 则S △POQ 121211||||||22OD y y n y y =-=-，令22222121212224()[()4]1216(16)m T n y y n y y y y m +=-=+-=⋅⋅+， ……12分设，则2222411144(16)241444824m t m t t t t+==+++++…， ……14分当且仅当，即，S △POQ ， ……15分所以△面积的最大值为1. ……16分7.【xx 年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上两不同点,线段的中点为.当三角形面积等于时，求的取值范围. 【解析】解：（1）设椭圆的焦距为.则22,1c a c a c b a c =-=⇒==== ， 因此椭圆方程为.………………………4分 （2）①若直线垂直轴，则由22221||2||1(1)122,024P P P P P M M x x y x x x y ⨯=⇒⋅-=⇒=⇒== ，即………………………6分②若直线不垂直轴，设直线1122:(0),(,),(,),PQ y kx m m P x y Q x y =+≠ 由 得222(14)8440k x kmx m +++-=所以2121222844,,01414km m x x x x k k --+==∆>++ ，………………………8分因此12211||||||22214OPQO PQ m Sd PQ x x k-=⨯⨯=-=⨯+1≤=，当且仅当22||42m k m =+=时取等号. …………12分此时221224221,2142M M Mx x km k k m x y kx m k m m m+---+====+==+ ，因此||OM ===，.综合①②得的取值范围为.………………………16分 8.【xx 年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，上、下顶点分别为．为直线上一个动点(与轴交点除外)，直线交椭圆于另一个点 （1）求椭圆方程；（2）若直线的斜率分别为求证：为定值； （3）求的取值范围．【解析】（1）由题意得，因此椭圆方程为．……………………2分 （2）设，则，因此2111112212111113(1)133y y y y k k x x x x x --+--=⋅=⋅=⋅， 因为，所以为定值．………………………8分 （3）由（2）得1121212121111(,3)(,2)()3(2)()11x xPB PM x x x y x x x y x y y ⋅=-⋅-+=--++=++++ 221111*********(1)4(1)113(2)(1)3(2)(1)3(2)4(1)11111x y y y y y y y y y y y --+=+++=+++=-+++++++，因为121188(6)101(1)y y y '-+=--<++，且，所以……………16分 9.【xx 年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为，上顶点为，离心率为.椭圆上一点满足：在轴上方，且轴. （1）若∥，求的值；（2）连结并延长交椭圆于另一点.若，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为. 因为轴，则可设.因为在椭圆上，所以，解得，即.……………2分 因为∥，所以，即.……………4分 所以.……………6分 （2）设，.由（1）知，又,故，， 由得，，且.解得，所以，……………9分 因为点在椭圆上，所以，变形得，因为，所以()22211413343e λλλλλλ--===-++++，……………13分因为，所以， 解不等式得，所以的取值范围为.……………16分10. 【江苏省扬州中学xx 学年第二学期质量检测】已知是椭圆：与双曲线的一个公共焦点，A ，B 分别是，在第二、四象限的公共点．若，则的离心率是 ．【答案】【解析】设双曲线的实轴长为，为椭圆：与双曲线的另一个公共焦点，则由对称性知,因此由22222()()2()8AF AF AF AF AF AF c '''-++=+=得22244832a a e +=⨯⇒=⇒==．11．【江苏省苏中三市xx 届高三第二次调研测试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，而， 所以．代入椭圆方程，得，① 又椭圆的离心率为，所以，② 由①②，得， 故椭圆的方程为．（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为，所以．因为，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--， 即于是32132112,12,m x x x m m m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 即()()222221222121222222222214141m m x y x y x x y y m a b m ab m a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③。
【高中数学】高中数学知识点：椭圆的性质(顶点范围对称性离心率)
【高中数学】高中数学知识点：椭圆的性质（顶点范围对称性离心率）【高中数学】高中数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长之比叫作椭圆的距心率。
椭圆的性质：1、顶点：a（a，0），b（-a，0），c（0，b）和d（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|ab|=2a，短轴长|cd|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：f1（-c，0），f2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近，从而b就越大，椭圆就越圆；6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求arctan的方法：求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探究方法利用函数最值的探究方法，将其转变为函数的最值问题去处置．此时应当充份特别注意椭圆中x，y的范围，常常就是化成闭区间上的二次函数的最值去解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．椭圆中离心率的带发修行：在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目:如图,O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点,准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上,PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F ，设椭圆的离心率为e ，则①e=错误!②e=错误!③e=错误!④e=错误!⑤e=错误!评:AQP 为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵|AO ｜=a ，｜OF ｜=c,∴有⑤;∵|AO ｜=a,｜BO ｜= 错误!∴有③.题目1：椭圆x2 a2+错误!=1（a 〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆,所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系.解:∵|F1F2｜=2c |BF1｜=c |BF2｜=错误!cc+错误!c=2a ∴e= 错误!= 错误!-1变形1：椭圆错误! +错误!=1（a 〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率?解：连接PF2 ，则|OF2|=｜OF1｜=｜OP｜，∠F1PF2 =90°图形如上图，e=错误!—1变形2：椭圆错误! +错误!=1(a>b 〉0）的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴,PF2 ∥AB，求椭圆离心率？解:∵|PF1|=错误!错误!｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA|=aPF2 ∥AB ∴错误!= 错误!又∵b= 错误!∴a2=5c2 e=错误!点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率.二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆错误! +错误!=1(a〉b >0），A是左顶点，F是右焦点,B是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求e？解：|AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a |AB｜=错误!a2+b2+a2 =（a+c)2 =a2+2ac+c2 a2—c2—ac=0 两边同除以a2e2+e—1=0 e=错误! e=错误!（舍去）变形：椭圆错误! +错误!=1（a〉b 〉0），e=错误!， A是左顶点,F是右焦点，B是短轴的一个顶点,求∠ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆的性质及常考题含答案
椭圆的性质2.椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． 题型一：椭圆的定义例1 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．射线 答案：C例2平面内一动点M到两定点F 1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )A．椭圆B．圆 C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹解析：当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．答案：D巩固已知F 1，F2是椭圆x225＋y29＝1的左、右两个焦点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求△ABF2的周长．解析：(1)由椭圆的方程x225＋y29＝1可知，a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4.∴F1(－4,0)，F2(4,0)．(2)由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10.∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝20.题型二 焦点三角形问题1.对焦点三角形12F PF △的处理方法，通常是运用⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin 2.若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb（用余弦定理与a PF PF 221=+可得）.例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解析：由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，即|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.巩 固 已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解析：(1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1.a 2＝4.因此b 2＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2，2·|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35.即∠F 1PF 2的余弦值等于35. 题型三 求椭圆的离心率例4 已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．解析：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，画出草图如右图所示．由AF 1⊥AF 2知△AF 1F 2为直角三角形，且∠AF 2F 1＝60°.由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在Rt△AF 1F 2中， 由∠AF 2F 1＝60°得|AF 2|＝c ，|AF 1|＝3c ，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c ，所以离心率e ＝c a＝3－1.点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： ①直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝c a求得离心率；②根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围．巩 固设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2。
【高中数学】秒杀秘诀MS02椭圆离心率与几何性质
围是_______。
解：根据上题的性质，当 PF1
PF2 时，有 SV F1PF2
b2
2c yP 2
yP
b2 c
， yP
b2 c
4 5
时，F1 PF2
为钝角，故
x
-
3
5 5
,
3
5 5
。
例
11：已知
F1
、
F2
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的两个焦点，椭圆
上一点 P 使 F1PF2 90 ，求椭圆离心率 e 的取值范围。
取得最大值，若
90 ，则 2
45 ，tan
2
c b
1；
同理，若
90
，则
2
45 ， tan
2
c b
1 ；若
90
，则
2
45
， tan
2
c b
1 。在分析直角顶
点个数时，当 c b 时， PF1 PF2 有四个点 P 存在；当 c b 时， PF1 PF2 有两个点 P 存在；当 c b 时，
，根据线段
PF1 的中点在
y
轴上可以知道
PF2
x轴 ，cos
PF2 PF1
=
1 1
e e
2 2
1 7
1.若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成 120°角，则该椭圆的离心率为
.
2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
4
2
2
2
3.在一椭圆中以焦点 F1、F2 为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率 e 等于（ ）.
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ac e =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A. 43B. 32C. 21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率。
椭圆的几何性质中，离心率问题是重点。
根据题设条件，借助a ,b ,c 之间的关系，构造a ,c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
先看例题：
例：椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________.
22
2155c e e a ==⇒= 规律整理：
构造齐次方程求离心率的一般方法
先列出关于a ,b ,c 的齐次方程，然后根据222
b a
c ＝－消去b ,
进而，方程两边同时除以a 2（a 4等，由方程的次数决定）
转化成关于e 的方程求解。
再看一个例题，加深印象 例：如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.
联立①②可得两直线交点T 的坐标为2()(,)ac b a c a c a c
+--, 则线段OT 的中点M 的坐标为()(,)2()
ac b a c a c a c +--, 代入椭圆22
221x y a b
+=,可得4c 2+(a +c )2=4(a －c )2,两边同时除以a 2 即得关于离心率的方程：e 2
+10e －3=0,
解之得5e =-±e ∈(0,1),∴5e =.
总结：
1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.
2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e . 练习： 1.椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的半焦距为
c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ， 则椭圆的离心率为
( ) A.2－22 B.22－12 C.3－1 D.2－1
2. 已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ,0)和 F 2(c ,0)(c >0),过点2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交于A ,B 两点,且 F 1A ∥F 2B ,|F 1A |=2|F 2B |.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)求直线AB 的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在
1
AFC的外接圆上,
求n
m
的值.
答案：
从而e＝2－1. 答案 D
2.。