图形面积的最大值1

2.4 二次函数的应用

第1课时 图形面积的最大值

1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)

2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)

一、情境导入

如图所示，要用长20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？

如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y ＝x (20－2x )．试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？

二、合作探究

探究点一：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值

已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小

值为2，则a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．4 D ．4或－1 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－42

4a ＝2，整理，得a 2

－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C. 方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值 【类型一】 利用二次函数求矩形面积的最大值

如图，在一面靠墙的空地上用长为24米

的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．

(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．

解析：(1)根据AB 为x m ，则BC 为(24－4x )m ，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y 和x 为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB 的长；(3)根据BC 的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．

解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；

(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；

(3)∵⎩

⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.

所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．

方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题

【类型二】 利用割补法求图形的最大面积

在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA

上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大

面积是( )

A ．1350

B ．1300

C ．1250

D ．1200 解析：设A

E ＝AH ＝C

F ＝C

G ＝x ，四边形EFGH

的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 1

2

(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40

－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋

1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C. 方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，

先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩

固提升” 第7题

【类型三】 动点问题中的最值问题

如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m 是大于

0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .

(1)求y 关于x 的函数关系式；

(2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

(3)若y ＝12

m

，要使△DEF 为等腰三角形，m 的

值应为多少？

解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．

解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，

∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－x

m ，解得y ＝8x －x 2m

； (2)由(1)得y ＝8x －x 2

m

，将m ＝8代入，得y ＝－

18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－1

8(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2；

(3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD

＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2

m

，得x ＝6，

或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.

方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题

如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD

和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：

(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．

解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ

＝PR ，∴QE ＝RE ＝1

2

QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE

＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴S S △QEP ＝(34

)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝

278(cm 2)；

(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC

交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝9

4

，∴S △RCG

＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝1

2

×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝69

8

(cm 2)；

图③

(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t －5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH

＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38

(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －171

8.

当t ＝－3942×（－34

）

＝13

2

时，S 最大，S 的最大值＝

4ac －b 24a ＝165

16

(cm 2)． 方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．

探究点三：利用二次函数解决拱桥问题

一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱

高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；

(2)求支柱EF 的长度；

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．