2011年华约数学试真题(含解析)

2011年华约数学试题解析一、选择题

(1) 设复数z满足|z|<1且

15

||

2

z

z

+=则|z| = ( )

4321 A B C D 5432

解：由

15

||

2

z

z

+=得2

5

||1||

2

z z

+=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍

去），

1

2 。

(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面

角的正切为2。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )

1111

A B C D

36812

[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，

2)，则

112112

(,,),(,,)

222222

M N

-，

312132

(,,),(,,)

222222

DM AN

=-=-。设所

z

O

N

M D

C

B

A

P

y x

成的角为θ，则1cos 6

DM AN DM AN

θ=

=

。 解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为

2。平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。

而P A = PB = AB = 2，所以QN = AN =

3，而AQ = 5，容易算出等腰ΔAQN 的顶角

1cos 6

ANQ ∠=

。 解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。

(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )

A 2B1C 1D 2 - -

此题有误，原题丢了，待重新找找。 (4)若222cos cos 3

A B A B π

+=

+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 33133312

A1,B ,C1,1D ,122222222

-

-+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。 解：221cos 21cos 21

cos cos 1(cos 2cos 2)222

A B A B A B +++=

+=++ 1

1cos()cos()1cos()2

A B A B A B =++-=--，可见答案是B

N

M

D

C

B

A P

Q

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，

111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，22211

2O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故

1212211()22

O CA O CB OO O OO O πα

-∠+∠=∠+∠=

， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212

OO O OO O πα

-∠=∠=

，

1212124

O CA O CB OO O πα

-∠=∠=∠=

， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。 (6) 已知异面直线a ，b 成60°角。A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )

A 有且只有一个

B 有且只有两个

C 有且只有三个

D 有且只有四个

[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。

(7) 已知向量3

131(0,1

),(,),(,),(1,1)

2222

a b c x a y b z c ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )

4

3A1B C D 232

解：由(1,1)xa yb zc ++=得