《线性代数》同济大学版课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)3
81141102---;
解
3
811411
02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b
a c a c
b c
b a ;
解
b
a c a c
b
c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2
22111c b a c
b a ;
解
2
22111c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y
x y x x y x y y x y x +++.
解
y
x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为
2
)
1(-n n :
3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)
(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为
(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,
其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是
(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:
(1)7
1100251020214
214; 解
711002510202142140
100142310
202110214
73234-----======c c c c 34)1(14
31022110
14+-⨯---= 143102211014--=014
171720010
99323211=-++======c c c c .
(2)2
605
232112131412-; 解
2605232112131412
-2
6
050
321
2213041224--=====c c 0
41203212213
041224--=====r r
00
00032122130
41
2
14=--=====r r . (3)ef
cf bf de
cd bd ae ac ab ---;
解
ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e
c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 41
111111
11=---=.
(4)d
c b a
100
110011001---. 解
d c b a 100110011001---d
c b a
ab ar r 10
011001101021---++===== d
c a ab 101101)
1)(1(1
2--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1.
5. 证明:
(1)1
11222
2b b a a b ab a +=(a -b )3
;
证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .
(2)y
x z x z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(3
3+=+++++++++;
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=2
2
z
y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 3
3+=
y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 3
3+=
y
x z x z y z y x b a )(3
3+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2222
2
222
2
222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;
证明
2
22222222
2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)
5
232125232125232125
232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4
-c 3
, c 3
-c 2
得) 02
2
1
2221222122
2122
222=++++=d d c c b b a a .
(4)4
444
22221111d c b a d c b a d c b a
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );
证明
4
44422221111d c b a d c b a d c b a
)
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a
d a c a b ---------=
)
()()(111))()((2
22a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=
)
)(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b
d b c a d a c a b ++-++------=
)
()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(5)1
22
1 1 000 0
0 1000 01a x a a a a x x x n n n
+⋅
⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n
+a 1
x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明. 当n =2时,
2
121
221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立.
假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有
1
11
00 100 01
)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a
1
x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .
因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得
n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11
113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,
证明
D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3
=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以
n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 221
1
111
111111
)1( ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331
1
221
1112
1n
nn n n
n n n a a a a a a a a
D D n n n n 2
)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.
同理可证
nn
n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )
1(11112
)1(2D D n n T n n 2)
1(2)1()1()1(---=-=.
D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22
)1(3)1()
1()1()
1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
(1)
a
a
D n 1
1
⋅
⋅⋅=
, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;
解
a
a a a a D n 0 0010 000 00 00
0 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开)
)
1()1(1
0 000
00 00
00 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅
⋅⋅⋅-+n n n a a
a
n n n n
n a a a +⋅
⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a
x x a a
x x a a x x a a
a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.
(3)1
1
1 1 )( )1()( )1(1
1
11⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有
n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11
1
1)1(1
112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]
1()1[()
1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1
12
1
)1(2
)1()()
1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i .
(4)
n n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112;
解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112(按第1行展开)
n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.
再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是
∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 2
22)(.
而
1
111111
12c b d a d c b a D -==
,
所以
∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2)(.
(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,
4321 4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n
0 4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r
1
5
242321
0 22210 02210 0021
0 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.
(6)n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=
1 1
1 1 111
112
1, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.
解
n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=
1 1
1 1 111
112
1
n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 00
1133221
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
11 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n
n n a a a a a a a a
∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i
n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
2135132
41211
111-=----=D , 14211
210513241221
115
1-=------=D ,
284112
3
5122
41211
1512-=-----=D , 42611
1
3523242211
5113-=----=D ,
1420
213
2132
21215
1114=-----=D , 所以
111==
D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D
D
x . (2)⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为
6655
10006510006510
065100065==D , 15075
10016510006510
0650
000611==D ,
11455
10106510006500
0601000152-==D ,
703511006500006010
00051001653==D , 3955
100060100005100
06510106
54-==D ,
2121
10000510006510
065110065
5==D , 所以
66515071=x , 665
11452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0, 得 μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0
)1(0)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零
解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=101112431111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,
故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
2133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3233122
11323z z y z z y z z y ,
求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
0102
01
3514232102z z z ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,
所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T
B .
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T
.
4. 计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=49635.
(2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(;
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛;
解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=632142.
(4)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;
解 ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32133231323
2212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32133231323
2212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321x x x 3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设
⎪⎭⎫ ⎝⎛=31
21A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101
B , 问:
(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43AB , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321
BA , 所以AB ≠BA .
(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+5222
52
22)(2B A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2914148,
但
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=27151610,
所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-1020
B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,
故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;
解 取⎪⎭
⎫
⎝⎛=00
10A , 则A 2
=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;
解 取
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2
=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取
⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011
Y ,
则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .
7. 设
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2
, A 3
, ⋅ ⋅ ⋅, A k
.
解
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=12011011012λλλA ,
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A ,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .
8. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=λλλ001001A , 求A k
.
解 首先观察
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ001001
0010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⋅=323
2
323003033λλλλλλA A A ,
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⋅=434
23
434004064λλλλλλA A A ,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=545
34
5450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
⎝
⎛=k
A k
k k
k k k k k k k λλλλλλ0002
)1(1
21----⎪⎪⎪⎭
⎫
. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ001001000
2)1(1
21
1
k k k k k k
k k k k k k A A A ⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++=+-+--+11111100
)1(02
)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,
由数学归纳法原理知:
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.
9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以
(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.
10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .
11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)
⎪⎭
⎫ ⎝⎛5221; 解
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1
存在. 因为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故
*||11A A A =-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=1225.
(2)
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A -1
存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,
所以
*||11A A A =-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .
(3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---145243121;
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1
存在. 因为
⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A
A A A A A A ,
所以 *||11
A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.
(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n a a a 002
1(a 1a 2
⋅ ⋅ ⋅a n
≠0) .
解
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a a a A 002
1
, 由对角矩阵的性质知
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程: (1)
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;
解
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-126431521
X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--234311*********X ;
解 1
111012112234311-⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=3253
8122.
(3)
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-10131102
2141X ;
解
1
1
110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .
解 1
1
01
0100
00
1
021102341100001010--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010
0001021102341100001010⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=201431012.
13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3
532522132321321321
x x x x x x x x x ;
解 方程组可表示为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,
故 ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211
321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===0
01321
x x x .
(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0
52313223213213
21x x x x x x x x x .
解 方程组可表示为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,
故 ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111
321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===3
05321
x x x .
14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.
证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.
证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有
E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )
=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有 (E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.
15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或
E E A A =-⋅)(2
1,
由定理2推论知A 可逆, 且)(2
11E A A -=-.
由A 2-A -2E =O 得
A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或
E A E E A =-⋅+)3(4
1)2(
由定理2推论知(A +2E )可逆, 且
)3(4
1)2(1A E E A -=+-.
证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,
所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E ⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒
)(2
11E A A -=-,
又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,
所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,
)3(4
1)2(1A E E A -=+-.
16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*|
|11
A A A =
-, 所以
|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2
521|11---=A A
=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由
*|
|11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有
|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.
因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又
*)(||)*(|
|11
11---==A A A A A , 所以
(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明
(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,
所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于
*|
|11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到
|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;
若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.
19. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .
解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(1
1
A E A
B ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=011321330.
20. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .
解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).
因为010
010101
00||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=201030102E A B .
21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1
)2
1 ,1
,21(diag 4-=
=2diag(1, -2, 1).
22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=80
3001010010
0001
*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由
ABA -1=BA -1+3E
得
AB =B +3A , B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A
11*)2(6*)2
1(3---=-=A E A E
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=-103006060060000660
3001010010
000161
. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=11
41*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,
而
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1111
1120 0120
01,
故
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=68468327322731.
24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1
*)(|
|1P P P Λ=ϕ
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1111111114.
25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为
A -1(A +
B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,
而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .
26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛300032001210130130
012001010
0121. 解
设
⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=30122A ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=12131B ,
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=30322B ,
则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,
而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所
以
⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E
A O E A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛3000320012101301300
0120010100121
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|
||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41
0120021010010100200
0021010010110100101==--=--=D C B A , 而
01111|||||||| ==D C B A , 故
|
||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8
|及A 4
.
解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21A O O A A ,
故 8
218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=828
1A O O A , 16
82818281810||||||||||===A A A A A .
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464
444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求
(1)1
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211
C C C C O B A O , 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--12
1413B C O C O C A C ,
所以
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 11
1
. (2)
1
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211
D D D D B C O A , 则
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.
由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n
E BD CD O BD CD O
AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14
113211B D CA B D O D A D ,
所以 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111
B CA B O A B
C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:
(1)⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛25
00380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=25
38B , 则
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--522112
251
1A ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--853225
381
1B .
于
是
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----850032000052002125
00380000120025
1111B A B A .
(2)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4121031200210001.
解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2112C , 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛------11
111
1
41
21031200210001B CA B O A B C O A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=4112
12458
10316121
002
12
10001.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2
+(-2)r 1
, r 3
+(-3)r 1
. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---020*********(下一步: r 2
÷(-1), r 3
÷(-2). )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--010*********(下一步: r 3
-r 2. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--100031001201(下一步: r 2
+3r 3. )
~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-100001001201(下一步: r 1
+(-2)r 2
, r 1
+r 3
. )
~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.
(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320(下一步: r 2
⨯2+(-3)r 1
, r 3
+(-2)r 1
. )
~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320(下一步: r 3
+r 2
, r 1
+3r 2
. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0000310010020(下一步: r 1
÷2. )
~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛000031005010.
(3)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;
解 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2
-3r 1
, r 3
-2r 1
, r 4
-3r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2
÷(-4), r 3
÷(-3) , r 4
÷(-5). )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1
-3r 2
, r 3
-r 2
, r 4
-r 2
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.
(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.
解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1
-2r 2
, r 3
-3r 2
, r 4
-2r 2
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2
+2r 1
, r 3
-8r 1
, r 4
-7r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1
↔r 2
, r 2
⨯(-1), r 4
-r 3
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2
+r 3
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.
2. 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是
E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=100010101.
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.
3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛323513123;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003
~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001
故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267. (2)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.
解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001
故逆矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.
4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;
解 因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,
所以 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--==-4123152101B A X .
(2)设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .
解 考虑A T X T =B T . 因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T
T B A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---411007101042001 ~r ,
所以 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---==-417142)(1T
T T B A X ,
从而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X .
5. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .
解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---011100101010110001~,
所以 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1
A E A X .
6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式? 解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.
例如, ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=010*********A , R (A )=3.
0000是等于0的2阶子式, 0
100010
00是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).
这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.
8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是
(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-00
00001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.
9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:
(1)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---443112112013;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步: r 1
↔r 2. )
~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步: r 2
-3r 1
, r 3
-r 1
. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----564056401211(下一步: r 3
-r 2
. )
~⎪⎭
⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的
2秩为, 41
113-=-是一个最高阶非零子式.
(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1
-r 2
, r 2
-2r 1
, r 3
-7r 1
. )
~⎪⎭
⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3
-3r 2
. ) ~
⎪⎭
⎫ ⎝⎛----0000059117014431,
矩阵的秩是2, 71
22
3-=-是一个最高阶非零子式.
(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.
解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1
-2r 4
, r 2
-2r 4
, r 3
-3r 4
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2
+3r 1
, r 3
+2r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2
÷16r 4
, r 3
-16r 2
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,
矩阵的秩为3, 0700
230855
70≠=-是一个最高阶非零子式.
10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.
充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有
A ~D , D ~
B .
由等价关系的传递性, 有A ~B .
11. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使
(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.
解
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-----)2)(1(001
1011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.
12. 求解下列齐次线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++0
222020
2432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,
于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4
4434
24134334x x x x x x x x ,
故方程组的解为
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++0
510503630
2432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-000001001021,
于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4
432
242102x x x x x x x x ,
故方程组的解为
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001001221432
1k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).
(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+0742063407230
5324
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----74216314721
35132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛10
00010
0001000
01,
于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004
321x x x x ,
故方程组的解为
⎪⎩⎪⎨⎧====0000
4
321x x x x .
(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有。