变化率问题(最新的)
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
变化率问题(最新的)
3.1.1变化率问题
班级：大化高中高（12）13班
授课： 都安高中
周 先 莹
微积分创立者
Newton
Leibniz
微积分的创立是人类精神文明的最高胜利。 ——恩格斯
3.1.1变化率问题
目标驱动
（1）理解平均变化率的概念和意义，掌握求函数平均变化率 的基本步骤； （2）体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法； （3）感受自主、合作和探究学习的快乐，增强学习信心。
h h(t 2 ) h(t1 ) t t 2 t1
h 8.2 8.2(m / s) t 1
A题：已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平 均变化率。
(1) 1,2
(2) m, n
B题：已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变 化率。
探究2
观察函数 y f ( x) 的图象，讨论：
当 x1 逼近于 x 2 ，即
y
y f x
x 逼近于 0 时，其
割线AB的斜率有什么
样的变化趋势？
f x 2
f x 1
B
f x 2 f x1
Ax
x1
2
x1
O
x2
x
谢谢
欢迎各位评委专家批评与指导！ 祝12（13）班同学们健康快乐！
B题：已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变 化率。 (1) 1,1 （2） x0 , x0 x (x 0)
解：（1）0 （2）因为 x x0 x x0 x
y f ( x0 x ) f ( x0 ) x( 2 x0 x )
h(t ) 4.9t 6.5t 10
变化率问题资料课件
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
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瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
最新1.1.1变化率问题
1.1.1变化率问题1.1.1变化率问题导学案学习目标: 1理解平均变化率的概念. 2. 了解平均变化率的几何意义.3. 会求函数在某点处附近的平均变化率.学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.学习难点：平均变化率的概念.一、知识链接预习内容：问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积«Skip Record If...»(单位:«Skip Record If...»)与半径«Skip Record If...»(单位:«Skip Record If...»)之间的函数关系是«Skip Record If...»，如果将半径«Skip Record If...»表示为体积«Skip Record If...»的函数,那么«Skip Record If...»，在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________，当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________，当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________问题2 高台跳水Array在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度«Skip Record If...»粗略地描述其运动状态?在«Skip Record If...»这段时间里，«Skip RecordIf...»=_________________在«Skip Record If...»这段时间里，«Skip Record If...»=_________________问题3 平均变化率已知函数«Skip Record If...»，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数«Skip Record If...»从«Skip Record If...»到«Skip Record If...»___________.习惯上用«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=___________,可把«Skip Record If...»看做是相对于«Skip Record If...»的一个“增量”，可用«Skip Record If...»«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»，类似有«Skip Record If...»__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中二、学习过程问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的平均速度«Skip Record If...» 在«Skip Record If...»这段时间里，___________.； 在«Skip Record If...»这段时间里，___________.探究：计算运动员在«Skip Record If...»这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，«Skip Record If...»，所以___________.虽然运动员在«Skip Record If...»这段时间里的平均速度为«Skip Record If...»，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；1．上述问题中的变化率可用式子«Skip RecordIf...»表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设«Skip Record If...», «Skip RecordIf...» (这里«Skip Record If...»看作是对于x1的一个“增量”可用x1+«Skip Record If...»代替x2,同样«Skip Record If...»)3．则平均变化率为«Skip Record If...»___________.思考：观察函数f(x)的图象平均变化率«Skip Record If...»«Skip Record If...»表示什么?（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-)；③求平均变化率«Skip Record If...».f(x1注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f(x)=«Skip Record If...»的图象上的一点«Skip Record If...»及临近一点«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»．解：例2．求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»附近的平均变化率。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
最新111变化率问题课件选修2-3
[分析] 本题直接利用概念求平均变化率．先 求出表达式，再直接代入数据可以求得相 应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化
率为f(x0＋Δx)－f Δx
(x0)＝(x0＋ΔΔxx)3－x30＝3x20＋3x0Δx＋
(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
⑵已知函数 f（x）=2x+1，g（x）= —2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f（x）及 g（x）的平均变化率.
（通过做练习⑵，你发现了什么？）
一次 函数 y=kx+b 在区间 [m ，n] 上的平 均变化率就 是直线 y=kx+b 的斜率.
练习3：
已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率． (1)a＝1，b＝2； (2)a＝3，b＝4； (3)a＝－2，b＝1.
y
f(x2 f()x2)-f(x1)=△y
y=f(x)
B
f(x1)
O
A x2-x1=△x
x x1 x2
作业:
1. 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f (x) 在下列区间上的 平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]； 2. 物 体 按 照 s(t) 3t2 t 4 的 规 律 作 直 线 运 动, 求 在 t 4s 附近的平均变化率. 3．过曲线 y=f(x)=x2 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线 PQ 的斜率.
3×12＋3×1×1＋（1）2题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
四 当堂训练：
变化率问题通用课件
变化率问题解析方法
导数与微分解析法
总结词 详细描述
差分解析法
总结词 详细描述
近似解析法
总结词
近似解析法是通过建立近似函数来研究变化率问题的方法。
详细描述
当函数过于复杂或难以直接求解时，可以采用近似解析法，通过近似函数的性质和结论来研究原函数的变化率问 题。常用的近似解析法包括泰勒级数展开、幂级数展开等。
数值解析法
总结词
详细描述
变化率问题应用实例
经济领域应用
总结词
经济领域中变化率问题应用广泛，涉及 经济增长、通货膨胀、利率变化等方面。
VS
详细描述
在经济学中，变化率问题广泛应用于分析 经济增长、通货膨胀、利率变化等现象。 例如，研究国内生产总值的变化率可以了 解经济增速；分析通货膨胀率的变化有助 于制定货币政策和财政政策；研究利率变 化率则对投资和储蓄决策具有指导意义。
MATLAB具有友好的用户界面和图形化编程方式，使得用户可以更加便捷地进行数值计算和数据处理。
Python软件介绍
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工程领域应用
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生物领域应用
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物理领域应用
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变化率问题求解软件介绍
MATLAB软件介绍
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分 析以及数值计算等领域。
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱，支持多种编程语言和脚本语言，方便用户进行算法设计和数据 分析。
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.1变化率问题要点一 平均速度与瞬时速度1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1.2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt的极限，记为lim Δt →h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度．【重点小结】在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前．当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx.【重点小结】当Δx 无限趋近于0时，k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx的极限，记为lim Δx →f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( )(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )(4)一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( )【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故选A.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【答案】B【解析】Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(18＋3Δt )＝18，故选B.4．抛物线f (x )＝x 2在点(－1,1)处切线的斜率为________．【答案】－2【解析】切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－1(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.题型一 求平均速度【例1】已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度． 【解析】物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .【方法归纳】求平均速度的一般步骤(1)作差，计算Δs ；(2)作商：计算ΔsΔt.【跟踪训练1】已知一物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2，求t ＝0到t ＝2时平均速度．(s 的单位是m ，t 的单位是s)． 【答案】1 m/s【解析】v －＝Δs Δt ＝S (2)－S (0)2－0＝(3×2－22)－02＝1 (m/s)．题型二 求瞬时速度【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．【解析】Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt ＋2(Δt )2，li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(4.8＋2Δt )＝4.8， 故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt →0ΔsΔt【方法归纳】(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．②求平均速度v ＝ΔsΔt.③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．(2)求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．②求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．【跟踪训练2】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．【解析】(1)t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， 所以Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， li m Δt →0＝ΔsΔt ＝li m Δt →(3－Δt )＝3.所以物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，所以Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(－1－Δt )＝－1， 所以当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求在某点处的切线方程【例3】求抛物线y ＝2x 2＋4x 在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(2Δx ＋16)＝16.∴在点(3,30)处的切线方程为：y －30＝16(x －3)即：16x －y －18＝0. 【方法归纳】求在某点处的切线方程(1)作差：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作商：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)取极限：k ＝lim Δx →0Δy Δx. (4)由点斜式写出切线方程．【跟踪训练3】求抛物线y ＝x 2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy ＝[(2＋Δx )2＋3]－(22＋3)＝4Δx ＋(Δx )2 ∴ΔyΔx ＝4＋Δx ∴k ＝lim Δx →(4＋Δx )＝4. ∴在点(2,7)处的切线方程为：y －7＝4(x －2) 即：4x －y －1＝0.一、单选题1．函数()2f x x =，()2g x x =在[0，2]上的平均变化率分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．21m m >D ．1m ，2m 的大小无法确定【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可. 【解析】12220220m ⨯-⨯==-，22220220m -==-，故12m m =.故选：A.2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 【答案】D 【解析】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以01000.185m/s 960v -=≈-⨯. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以22000010000606010.288m/s 960a ⨯-⨯=≈-⨯. 故选：D.3．一物体的运动方程是23s t =+，则t 在[]2,2.1内的平均速度为（ ） A ．0.41 B ．4.1C ．0.3D ．3【答案】B 【分析】由平均速度的定义求解即可 【解析】2232132 4.12.12s v t ∆+⋅--===∆-，故选：B4．函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）． A ．4 B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x【答案】B 【分析】由给定条件求出函数增量y ∆，再根据平均变化率的意义列式化简即得. 【解析】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆. 故选：B5．我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆=（ ） A ．()0f x x +∆B ．()0f x x +∆C ．()0f x x ⋅∆D ．()()00f x x f x +∆-【答案】D 【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果. 【解析】由题意知，当0x x =时，()0y f x =；当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆， 故()()00y f x x f x ∆=+∆-. 故选D.6．函数()y f x =，自变量x 由0x 改变到0x k x +∆（k 为常数）时，函数的改变量y ∆为（ ）． A ．()0f x k x +∆ B ．()0f x k x +∆ C ．()0f x k x ⋅∆ D ．()()00f x k x f x +∆-【答案】D 【分析】根据定义求解即可. 【解析】解：由变化率的关系，()()00y f x k x f x ∆=+∆-.故选：D ． 7．设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解. 【解析】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D. 8．函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2 B ．12C ．14D ．18-【答案】D 【分析】利用导数的定义即可求出结果. 【解析】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.二、多选题9．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：()311010V t H t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-（H 为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v （单位：3m /h ），1t ，2t ，3t ，4t 时刻的瞬时融化速度分别为1v ，2v ，3v ，4v （单位：3m /h ），那么下列各式正确的是（ ）A ．1v v <B ．2v v >C ．30v v +>D ．40v v +<【答案】AD 【分析】平均融化速度表示()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，再由瞬时变化率的概念判断即可. 【解析】平均融化速度为()()10001000V V v -=-，反映的是()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1t ，2t 处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3t ，4t 处瞬时速度及v 都小于0.故选：AD10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（ ） A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的增量 B ．()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫作函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率 C ．()f x 在0x x =处的导数记为y ' D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x ' 【答案】ABD 【分析】由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【解析】A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；B 中，()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确； 由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则（ ）A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/sB ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/sC ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时D ．物体从0到1的平均速度为2m/s【答案】BC 【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【解析】对于A ：()()()()()()2200011111111lim lim lim 33t t t t t s t s t t t∆→∆→∆→+∆++∆+-+++∆-==+∆=∆∆，即物体在1s t =时的瞬时速度为3m/s ，A 错误．对于B ：()()()()()2000000011lim lim lim 11t t t s t s t t t t t ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆+-==+∆=∆∆， 即物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s ，B 正确． 对于C ：设物体在0t 时刻的瞬时速度为9m/s ，又()()()000000limlim 21219t t s t t s t t t t t∆→∆→+∆-=++∆=+=∆，所以04t =，物体在4s t =时的瞬时速度为9m/s ，C 正确． 对于D ：()()()103m /s 10s s v -==-，D 错误．故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时原油温度（单位：℃）为()()3218243f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.【答案】0 【分析】根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【解析】由题意可知温度的瞬间变化率为()()()()()323220111limlim88233x x f x x f x f x x x x x x x x x xx ∆→∆→+∆-⎡⎤==+∆-+∆+-+-=-⎢⎥∆⎣⎦'∆()()21124x x =--≤≤，因此当2x =时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为()20f '=.故答案为：0.13．下面说法正确的是______（填序号）.①若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线； ②若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在；③若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在； ④若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在. 【答案】③ 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.对于①中，由()0f x '不存在时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处不一定没有切线，例如：函数()13f x x =，可得()2313f x x -'=，在0x =处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y =，所以①不正确；对于②中，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '不一定存在，例如：函数()13f x x =在0x =处的切线方程为0y =，但()0f '不存在，所以②不正确；对于③中，若()0f x '不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，所以③正确；对于④中，由()0f x '存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线为真命题，可得其逆否命题“曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '不存在”为真命题，所以④错误. 故选：③14．物体做匀速运动，其运动方程是s vt =，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．【答案】相等【分析】由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.【解析】 因为平均速度为()()()0000s t t s t v t t vt s v t t t +∆-+∆-∆===∆∆∆， 瞬时速度为()()()00000000lim lim lim lim t t t t s t t s t v t t vt s v t v t t tt ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆∆====∆∆∆∆ 所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．故答案为：相等四、解答题15．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）．（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在2t =时的瞬时速度；（3）求0t =到2t =时的平均速度．（1）3m/s（2）1m/s -（3）1m/s【分析】（1）根据题意，可知初速度即0t =时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.（1）运动物体的初速度即0t =时的瞬时速度，即()()()()2000003lim lim lim 3t t t s t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆-∆-∆===-∆∆∆ 3(m /s)=，即物体的初速度为3m/s ．（2）根据题意，可知()()()()20022322324lim lim t t s t s t t v t t ∆→∆→+∆-+∆-+∆-⨯+==∆∆ ()()200lim lim 1t t t t t t∆→∆→-∆-∆==-∆-=∆1(m/s)-，即此物体在2t =时的瞬时速度为1m/s -． （3）()()206401(m/s)202s s v ---===-，即0t =到2t =时的平均速度为1m/s ． 16．已知某物体运动的位移m x 是时间s t 的函数，而且0.3t =时，0.38x =；0.6t =时， 5.06x =. （1）求这个物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度；（2）估计出0.5=t 时物体的位移.【答案】（1）15.6(m/s)（2）3.5m【分析】根据平均速度的定义即可求出结果，将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令0.5=t 计算即可.（1） 所求的平均速度为：()5.060.3815.6m /s 0.60.3-=- （2）将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，又直线过点()0.30.38，，斜率为15.6，则 x 与t 的关系可近似表示为： 0.3815.6(0.3)x t -=-，令0.5=t ，得 3.5x =， 故可估计0.5=t 时物体的位移为3.5m.。
21.3.2平均变化率问题同步练习-+2024-2025学年人教版数学九年级上册+
大同***学校选编（九上） 21.3平均变化率问题设计人：教研组长：姓名：班级：整洁：成绩：批改时间：知识点1 平均变化率问题1．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x.已知这种药品原来每盒的价格是50元，则第一次降价后每盒的价格是元，第二次降价后每盒的价格是元.若经过两次降价后这种药品每盒的价格是32元，则可列方程为2．（2023·广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元，设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，-依题意可列方程为 ( )A.3.2(1−x)2=3.7B.3.2(1+x)2=3.7C.3.7(1−x)2=3.2D.3.7(1+x)2=3.23．（2023·大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知该校2020年用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元．求2020年至2022年该校购书资金的年平均增长率. 知识点2 销售问题4．某种服装，平均每天销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利900元，那么每件应降价多少元？解题方案：设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可多售出件，每天一共售出件，所以每天可获得利润元.列方程，得解得x≤10,符合题意的根为答：每件应降价元.5．某商品的进价为5元／个，当售价为x元／个时，能销售该商品(x+5)）个，此时获利144元，则该商品的售价为元／个.6．某水果超市销售一种高档水果，售价为每千克50元．若按售价销售，则每千克盈利10元，每天可售出500千克．在进价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但每千克涨价不能超过8元．经市场调查发现，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？大同***学校选编（九上） 21.3平均变化率问题设计人：教研组长：姓名：班级：整洁：成绩：批改时间：7．（2023·吕梁交城县期中）某工厂生产一种产品，第一季度生产了10万件，由于市场供不应求，该工厂加大了产量，此后两个季度产量逐季度增加，前三个季度共生产36.4万件，已知第二季度和第三季度的增长率相同.设第二季度和第三季度的增长率为x，则可列正确的方程为 ( )A.10(1+x)2=36.4B.10+10(1+x)2=36.4C.10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4D.10+10(1+x)+10(1+x)2=36.48．（2023·太原期末）12月初，中央广播电视总台发布2024年春晚的主题-“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注.据记载，“额”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈。
课件6：1.1.1 变化率问题
∆
的值可正、可负，但 中
∆
的值不能为0， △ y 的值可以为0
2、若函数f (x)为常数时， △y =0
3、变式:
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
x2 x1
x
△x
2.求函数平均变化率的步骤
求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率：
1.1.1 变化率问题
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数
学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微
积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意
时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) y
x2 x1
x
x是 一 个 整 体 符 号
, 而 不 是与x相 乘.
理解
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
1、式子中△x 、△ y
[分析] 一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，
y0)是曲线C上的定点，点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P
邻近的点，则有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，割线PQ的斜率k
Δy fx0＋Δx－fx0
＝Δx＝
.
Δx
【解析】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋
（1）确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
5.1.1变化率问题课件(人教版)
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
5.1.1变化率问题课件(人教版)
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，
则平均变化率fx－fx0＝fx0＋Δx－fx0为割线
x－x0
Δx
P0P
的__斜__率_．
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即Δx 逐渐变小，当Δx→0 时，瞬时变
化率
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0就 是 Δx
的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限
趋近于0.
ht0＋Δt－ht0
lim
Δt→0
Δt
思考：在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线 P0P有什么变化趋势？
提示 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
曲线的切线斜率
5.1.1 变化率问题
学习目标
1.通过实例，了解平均速度与瞬时速度. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.会求曲线在某一点处的切线方程.
情境导入 在高台跳水中， 运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间存在函数关 系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 根据上述探究，你能求该运 动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2, 0≤t≤6459内的平均速度吗？
例 1 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可 用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
提示 0≤t≤0.5 时， v ＝h00.5.5－ －h00＝4.05(m/s)；1≤t≤2 时， v ＝ h22－ －h11＝－8.2(m/s)；0≤t≤6459时， v ＝h46649559－－h00＝0(m/s)；
1.1.1变化率问题课件人教新课标
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
x
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
x
思考:
❖ 视察函数f(x)的图象
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
（1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想
如何量化直线的倾斜程度。
（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段峻峭程度，为什么？
在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个
平均变化率 f(x2 ) f ( x1) y
x x 2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
表示什么?
直线AB的斜率
f(x2)-f(x1)
f(x1) O
A
x
x1
x2
做两个题吧!
❖ 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( )D
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v h(0.5) h(0) 4.05(m/s);
0.5 0
在1≤ t ≤2这段时间里, v h(2) h(1) 8.2(m/s);
2 1
探 究:
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31(d )
2(d )
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
AB段温 差 15.1
BC段 温 差 14.8
： 时间差 31
： 时间差 2
温差 时间差
15.1 0.49(C / d) 31
温差 时间差
14.8 2
7.4(C / d )
T(℃)
C f (t)
30
f (t2 )
f (t1)
2
02
f (t2 ) f (t1)
t 10
t1 2t02 t1
34 t(d)
2
问题4：如果把气温C看作时间t的函数，即C=f(t),则t1至t2这 段时间内气温的平均变化率如何表示？
f (t2 ) f (t1) t2 t1
对应函数值的变化量 自变量的变化量
思考讨论
问题5：若函数关系为 y f (,x当)
平均变化率表示为： y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
三.意义建构 尝试理解
例：某位运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起 跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求该运动员在以下时间段内的平均速度：
(1) 1 t 2
(2) t1 t t2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
02
10
B (32, 18.6)
20
30 34 t(d)
T(℃) 30
C (34, 33.4)
20
10 A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
2
02
10
20
30 34 t(d)
先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。
问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？
问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”
AB段 ：
BC段 ：
温差 =18.6 3.5 =15.1
时间差 = 32 1 = 31
温差 =33.4 18.6=14.8 时间差 = 34 32 = 2
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C)
2
02
10
20
30 34 t(d)
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C)
2
02
10
20
30 34 t(d)
31(d )
2(d )
问问题题21：：能A到不B能和说B“到温C这度两差段越时大间，哪气一温段变的化温越度快差？较”大？
所以，函数 f (x)在m, n上的平均变化率为
y 3(n m) 3 x n m
B题：已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变
化率。
(1) 1,1 （2） x0, x0 x (x 0)
解：（1）0 （2）因为 x x0 x x0 x
y f (x0 x) f (x0 ) x(2x0 x)
则它x2的平均变化率如何表示？
从
x增加x到1
时，
f (x2 ) f (x1) x2 x1
函数值的变化量 自变量的变化量
平均变化率概念
我们把式子：f (x2) f (x1) x 2 x1
从 x1 到 x2的平均变化率。 令 x x2 x1
称为函数 y f (x)
y f (x2 ) f (x1)
人教A版高中数学选修1-1
3.1.1变化率问题
班级：大化高中高（12）13班 授课： 都安高中 周 先 莹
微积分创立者
Newton Leibniz
微积分的创立是人类精神文明的最高胜利。 ——恩格斯
3.1.1变化率问题
目标驱动
（1）理解平均变化率的概念和意义，掌握求函数平均变化率 的基本步骤；
（2）体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法； （3）感受自主、合作和探究学习的快乐，增强学习信心。
所以，函数 f (x)在 x0 , x0 x上的平均变化率为
y x
x(2x0 x
x)
2x0
x
请分享这节课你的学习收获！ 1.学到了哪些知识？ 2.用到了哪些方法？
探究1 对于课本中的问题2：
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
思考下面问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？
探究2
观察函数 y f (x) 的图象，讨论：
当 x1 逼近于 x2 ，即
x逼近于 0 时，其
割线AB的斜率有什么 样的变化趋势？
y
fx2 f x 1
y fx
B
A x2 x1
fx2 fx1
O
x1
x2
x
谢谢
欢迎各位评委专家批评与指导！ 祝12（13）班同学们健康快乐！
解：
(1) t 2 1 1
(2) t t2 t1
h h(2) h(1) 8.2
h h(t2 ) h(t1)
h 8.2 8.2(m / s) t 1
h h(t2 ) h(t1)
t
t2 t1
A题：已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平
均变化率。
(1) 1,2
(2) m, n
问题驱动
全球气候变以化下问是题近：百年来全球平均气温变化趋势图， 如何量化气温在某段时期内变化的快慢程度？
问题情境
现有某地某年3月和4月中三天日最高气温记载表.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(℃) 30
C (34, 33.4)
20
10 A (1, 3.5)
B题：已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变
化率。
(1) 1,1 （2） x0, x0 x (x 0)
A题：已知函数f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上
的平均变化率。
(1) 1,2
(2) m, n
解：（1）3 （2）因为x n m
y f (n) f (m)
3(n m)