重视反例
初中数学课堂反例的应用
初中数学课堂反例的应用【摘要】在初中数学课堂中，反例是一种重要的教学方法。
它能帮助学生更深入地理解数学概念和方法，提高他们的逻辑思维能力。
通过介绍反例在数学教学中的重要性、定义与特点、应用场景以及如何引导学生运用反例进行数学推理，我们可以看到反例在培养学生数学思维能力中的作用。
在初中数学课堂中应充分利用反例的教学方法，让学生通过反例的应用更好地理解数学知识。
反例不仅有助于学生深入理解数学概念，还能提高他们的数学思维能力，使他们在解决问题时更具有逻辑性和创造性。
反例的应用在初中数学教学中是非常重要的。
【关键词】初中数学课堂、反例、应用、重要性、定义、特点、举例、场景、引导、学生、推理、逻辑思维能力、作用、教学方法、深入理解、数学概念、数学方法、思维能力、结论。
1. 引言1.1 初中数学课堂反例的应用在初中数学课堂中，反例是一种重要的教学工具，可以帮助学生更深入地理解数学概念和方法。
通过展示某个命题的反例，学生可以从错误的推理中找到规律，进而提高他们的逻辑思维能力。
在数学教学中，反例经常被用来强调一个重要的道理：不能仅仅通过一两个例子来得出结论，必须要有全面的证明。
通过研究反例，学生可以更加准确地理解数学定理和规律。
反例也可以帮助学生发现自己的观点和推理是否正确，从而培养他们批判性思维和判断能力。
通过引导学生使用反例进行数学推理，教师可以激发他们对数学的兴趣和好奇心。
学生在实践中运用反例推理，不仅可以提高他们的解决问题能力，还可以加深他们对数学知识的理解。
在初中数学课堂中，应该充分利用反例的教学方法，让学生通过反例的应用更好地掌握数学知识，提高数学思维能力。
2. 正文2.1 反例在数学教学中的重要性在数学教学中，反例的应用具有非常重要的意义。
通过反例的引导，可以帮助学生更深入地理解数学概念和方法，加强他们的逻辑思维能力。
反例可以帮助学生在探究数学规律过程中发现错误和漏洞。
在数学课堂上，教师可以通过提出一个命题并给出一个错误的例子，让学生发现其中的错误并找出真正的解决办法。
妙用反例,提升学生思维
妙用反例，提升学生思维引言在教育教学中，反例是一种非常重要的教学方法，通过反例可以激发学生的思维，帮助学生深入理解知识，发现问题，提高解决问题的能力。
本文将从什么是反例及其作用、如何运用反例进行教学、反例对学生思维的提升等方面详细阐述妙用反例，提升学生思维的方法。
一、什么是反例及其作用反例是指证明某个命题为假的实例。
在教学中，反例是指在教授一个概念或原理时，通过提出一些例子或情况来说明该概念或原理的不适用性或局限性。
通过反例，可以帮助学生全面深入地理解概念或原理，扩展学生的思维，使学生能够更深入地理解和把握概念或原理。
反例还可以帮助学生发现问题，提高分析和解决问题的能力，培养学生的批判性思维。
二、如何运用反例进行教学1. 选择适当的反例在教学中选择适当的反例非常重要。
反例不宜过于复杂，避免引起学生的困惑和混淆；反例也不宜过于简单，避免无法展示概念或原理的局限性。
选择符合教学内容，能够清晰地展示概念或原理的不适用性或局限性的反例是非常重要的。
2. 结合实际情况在选择反例时，可以结合实际情况，例如生活中的例子、历史上的事件等，使反例更具有生动性和感染力。
通过结合实际情况的反例，可以激发学生的兴趣，使其更容易理解和接受。
3. 引导学生思考在讲解反例时，老师应该引导学生思考，提出问题，帮助学生分析反例的不适用性或局限性，并找出其原因。
通过引导学生思考，可以提高学生的分析和解决问题的能力，培养其批判性思维。
三、反例对学生思维的提升1. 拓展思维通过反例，学生可以从不同的角度去思考问题，拓展思维，更全面地理解概念或原理。
在解决问题时，学生也能够更灵活地运用知识，提高问题解决的效率。
2. 发现问题通过分析反例，学生能够发现概念或原理的不适用性或局限性，从而发现问题。
这有助于启发学生对问题的敏感度，使其更容易发现和解决问题。
3. 提高分析能力通过分析反例，学生需要仔细审视问题，找出问题的根源，提高其分析问题的能力。
反例在中学数学教学中的应用
反例在中学数学教学中的应用
随着数学教学的进步，反例的重要性正在被认识到。
反例是数学中的一种基本概念，它能够帮助学生构建准确的概念，而不是盲目地相信法则。
因此，在中学数学教学中应用反例是一个非常重要的概念。
首先，可以帮助学生理解数学概念。
反例可以帮助学生更准确地掌握概念，而不是把它们当作陈述的基础。
反例是一个能够支持学生理解的可视化图形，给学生一个证明数学概念的可见性，而不是把它们当作一个不透明的基础。
学生可以使用这些反例来更好地理解习题。
其次，反例可以帮助学生掌握技巧。
反例是一个能够给学生一个真实案例，让他们能够更准确地掌握数学技巧和方法的方法。
学生可以利用这些反例来更好地掌握技巧，而无需一味地靠自己思考而失去把握。
另外，反例也可以帮助学生思考深层次的问题。
反例能够帮助学生深入了解数学模式，同时能够帮助他们探索其中的复杂关系。
反例能够帮助学生进行更多的探索，并将探索的结果拓展到更复杂的关系中，从而使学生更加深入地理解数学概念。
最后，反例可以帮助学生构建精确的概念。
学生在使用反例时，可以更加准确地构建出精确的概念，而不是把它们当作一种模糊的概念。
反例能够给学生一个更全面的视角，从而帮助他们建立准确的概念，而不会陷入盲从的观念。
综上所述，反例在中学数学教学中具有重要的作用。
反例可以帮助学生更好地理解数学概念，掌握技巧，思考深层次的问题，并构建
准确的概念。
因此，中学数学教学中应更加重视反例的应用，以帮助学生更加准确有效地学习数学。
反例的概念
反例的概念在数学中，我们经常听到“反例”的概念。
那么反例是什么呢？为什么它在数学中如此重要？本文将围绕这一问题进行阐述。
一、反例的定义反例是指通过举出一个不符合猜想或命题的特例，来反驳该猜想或命题的证明方式。
在数学中，反例被广泛应用于猜想或定理的验证与推翻。
二、反例的应用1. 验证猜想当我们面对一个没有直接证明的猜想时，可以通过构造反例来验证其正确性。
例如，当我们猜想“负数的平方根不存在”时，构造反例即可证明该猜想的正确性，如-1的平方根为虚数i。
2. 推翻命题当我们面对一个看似正确的命题时，我们也可以通过构造反例来推翻它。
例如，“所有正整数都能被3整除”这个命题显然是不正确的，构造出4这个反例即可推翻它。
3. 避免证明错误在证明一个定理时，如果我们不能确定该定理是否成立，就可以尝试构造反例。
如果我们构造的反例有效，就可以发现该定理不成立。
这可以避免我们在证明过程中犯错误。
三、反例的思维方式1. 通过尝试特殊情况当我们尝试证明一个猜想或定理时，可以通过特殊情况来构造反例。
例如，证明“所有正整数的和是正无穷大”，我们可以尝试找到一个序列，该序列前n项的和有一个上限，从而证明该猜想不成立。
2. 通过排除法当我们无法证明一个定理时，可以尝试排除一些可能性来构造反例。
例如，证明“所有大于等于2的偶数都是素数或能分解成两个素数的积”，我们可以通过排除一些偶数找到反例，如4、6、8等。
四、结语反例是数学中非常重要的概念，它不仅可以用来验证猜想和定理的正确性，还可以发现错误的证明。
因此，在学习数学时，我们要注重培养构造反例的能力。
当我们掌握了这一思维方法后，对我们的数学分析能力和逻辑思维能力都有很大的启发作用。
浅谈反例在初中数学教学中的作用与实施
引言数学是研究空间形式和数量关系的科学。
数学中的反例数学中的反例是指说明某个数学命题不成立的例子，在我们学习数学时，正确的认识和错误的认识总是相伴出现。
我们往往集中精力寻找与解法，忽略了如何发现错误。
成功地举出反例，在初中数学教学中具有重要的作用，并且在帮助学生全面理解知识，掌握方法，纠正错误，提高解题速度方面都是不可或缺的。
在课堂教学时适当举反例来巩固知识。
会使教和学的效率都得到很大的提高，下面结合自己实习中的课堂实例，对反例的作用经行探讨。
一、反例的定义与实质数学中的反例，是指使某个数学命题不成立的例子。
具体地说它满足命题的题设但不具有命题的结论，从而成为推翻命题的例子。
反例的产生与命题的结构密切相关，因此，反例又可以分为3类：简单命题的反例，充分条件的反例和必要条件的反例。
在具体的课堂教学中，反例的使用揭示了数学上“失之毫厘差之千里”的特点，从而在反驳与肯定中是学生不断理清思维的脉络，从中掌握相应的数学思想方法。
二、反例的来源以及如何构造反例2.1 反例的来源证明一个命题是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个命题是假命题就只需找到一个反例。
在数学的学习中，为了向学生说明一个命题为假命题。
就要举出一个例子，它虽然满足命题的题设但却没有命题的结论。
反例的强大的说服力能使学生豁然开朗。
与获得证明的方法一样，反例来源于一系列深层次的思维活动包括观察、归纳、分析与综合。
2.2 如何构造反例在具体的课堂教学中，反例并不是可以信手拈来的，有的反例的寻找十分困难。
因此要善于引导学生去寻找反例。
同时，寻找反例的过程也是加深理解，发散思维，巩固知识的过程。
也能提高学生的思维能力，为后继知识的学习做好铺垫。
以下介绍构造反例常用的几种方法：（1）通过对一般命题特殊化，发现反例。
有时候，遇到一个一般命题，可以用其某一特使情况下不真来进行否定，以特殊情况为反例，是我们构造反例最先考虑的一种方法。
例 2.2.1命题：同位角相等。
数学分析中反例的重要应用
北京电力高等专科学校学报１２月
教育教学研究
数学分析中反例的重要应用
大有裨益的。 ２、在数学分析学习中应用反例要注意的一些
问题 在学习中重视和恰当地运用反例，不仅可以
调动我们学习数学的积极性，养成重视条件，严 格推理的习惯，而且还可以提高我们的数学能力 和学习能力。但在学习中，运用反例还必须注意 如下一些问题：
１、注意主次。学习中主要学习概念，定理和 方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明 和推导。但举反例重在说明结构、辩清是非，因 此我们不可一味把太多的注意力放在构造或列举 反例上，反例应该作为围绕主要内容而进行的有 效的辅助学习手段。
究兴趣。而通过教师有效地引导和学生间积极的 讨论，问题解决的同时，更激发了学生学习数学
的强烈求知欲。
例２求ｌｉｍ ｆ，ｃｏｓ２ｘｄｘ
如果教师告诉我们，有人是这样解的：
由于－厂（工）＝矿ｃｏｓ２戈在【ｏ，１】上连续，因
而由积分中值定理可得：
ｔｉｍ ＩＸ４ｃｏｓ２ｘｄｘ＝ｌｉｒａｆ４ＣＯＳ２ｆ，由于０＜ｆ＜１，
度的探究，论述了反例在数学研究中的重要作用．
关键词：数学分析数学研究反例
中图分类号：Ｇ４
文献标识码：Ｂ
文章编号：１００９．０１１８（２００８）．１２－０００１．０３
在数学中，如果要肯定一种数学事实，需要 用严密的数学逻辑推理加以证明；同样，要否定 某个数学命题，最常用、最快捷的方法就是举出 一个符合该命题的条件，但又与命题结论相矛盾 的例子，从而说明原命题的错误，这是被我们所 共知判断假命题的技巧。
例谈反例教学的重要性
例谈反例教学的重要性
就反例教学的重要性来说，可以从以下几方面来说明：
一、加强学生思维能力和分析判断能力
1. 提升学生对知识的获得：反例教学可以引导学生通过讨论分析案例，从案例中总结出常规规律；
2. 增强学生分析能力：反例教学可以让学生学会通过了解材料中的现象，找出其中的不number规律，也可以挑选信息进行分析；
3. 增进学生的独立思考和推理能力：从反例中可以让学生学会思考，
并运用自己的判断能力解决问题；
二、丰富和强化知识结构
1. 激发学生的求知欲望：反例教学可以让学生体验更多的领域，知识，有利于学生的知识结构的丰富和准确性；
2. 积累学习的兴趣和愿望：学习者可以不断积累反例知识，增强自身
兴趣；
3. 扩展学生认知视野和运用能力：学习反例，能够让学生在有限的材
料中寻找一般性的原理；
三、培养学生的学习习惯
1. 培养思辨能力：反例教学可以丰富学生的思考能力，让学生学会辨证地分析问题；
2. 锻炼学生的批判性思维：反例教学可以体现学生的正确概念，强调批判性思维，而不是狭隘习惯；
3. 强化学生自主学习能力：反例教学可以让学生体会学习的乐趣，练习自主学习能力；
总之，反例教学具有极强的重要性，能够极大扩展学生的学习领域，激发他们的热情，增强他们的思维能力以及分析问题的能力，丰富和强化学生的学习习惯，从而使学生受益匪浅。
反例在数学教学中的运用
反例在数学教学中的运用江西省湖口中学崔小昊[内容提要]当前，在数学教学过程中，教师对运用反例的作用认识不够，教材也没有给予足够的重视。
虽然证明在数学学习中有重要的作用，但作为问题的另一方面，也应清楚反例在数学学习中的重要性。
注重反例教学培养学生思维的严密性、灵活性及注重反例构造培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。
反例构造还是诱发学生创造力的很好载体。
[关键词] 数学教学；反例；思维；反例构造在数学教学中，要证明一个命题正确，必须经过严格的推证，而要否定一个命题却只需举出一个与结论相矛盾的例子就行。
这种与命题相矛盾的例子称为反例。
反例具有直观、说服力强等突出特点，它在数学教学中得到广泛运用。
因此在中学数学教学中有意识地使用反例，并加强对反例构造方法的指导，对学生创新思维的发展是大有裨益的。
一、注重反例教学，培养学生思维的严密性数学是一门严谨的学科，主要体现于对数学概念的理解、解决实际数学问题的思维。
1、反例用于强化概念在概念的学习中，有些学生不注意领会定义中的关键性词句，不善于抓住概念的本质属性，经常出现理解上的混肴或应用上的失误。
对此，教师在教学中，不仅要运用正面的例子加以阐述，而且要善于借助反例的简明且具有说服力的否定来澄清学生的片面认识，强化对概念的理解，这样往往能起到正面例子难以起到的作用。
例如，学习《等腰直角三角形》时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。
一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至连三角形的两边之和大于第三边都不考虑了。
此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。
另外“等腰”、“三角形”等性质亦可如是强调。
因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。
注重反例教学,有助学生学习
注重反例教学，有助学生学习摘要：在数学教学中，发现反例教学是必不可少的一种教学手段，在授课中或解题中，时不时会遇到它、运用它。
反例教学对学生的数学学习有很大的帮助，特别在初中数学教学中如果适时地引进一些反例或适当地构造反例，它可以培养学生思维的缜密性，提高思维的全面性，培养学生思维的发散性以及思维的创新性等等，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，充分发挥反例的作用，对提高数学教学的质量将大有裨益。
关键词：反例教学；培养；质疑一、反例有利于学生强化概念，深刻理解数学公式学习概念、公式，学生往往抓不住概念的本质，至于概念、公式成立的条件，则更容易忽视，也较为模糊，采用反例教学，能有效地解决这个问题。
比如，在讲述无理数概念时，不少学生错误地认为，“无理数就是表现为开方开不尽的数”。
这时我们引进反例：π=3.1415926…，0.1010010001…并不表现为开方开不尽的数，而是无限不循环小数，仍是无理数，这样可帮助学生正确理解无理数概念，消除认识上的误差。
又比如，要想说明：“四边相等的四边形是正方形”这个结论是否成立，我们只需举出一个相反例子驳倒它就行了。
因为菱形的四边相等，菱形就不是正方形，因此这个结论不成立。
我们只要举这个反例就可以推翻“四边相等的四边形是正方形”这一个命题了，从而让学生深刻理解和掌握了这个正方形的概念。
再如，在教学“圆”时，出示“在同一圆或等圆里，相等的圆周角所对的弧长相等”这个命题，学生总是容易忽视“在同一圆或等圆里”这个条件。
出示下面这幅图就能使学生顿悟：如果没有“在同一圆或等圆里”的前提条件，结论就不一定成立。
二、反例有利于学生明确、牢记定理的应用条件与范围任何定理的应用都满足一定的条件或只适合某一范围。
一部分学生在使用定理时，忽视或误用条件的情况屡见不鲜。
针对这一问题适时地引进反例可得到有效的预防，从而减少或避免失误，如在讲述三角形一边平行线的判定时，学生易出现的错误是：“若de∶bc=ad∶ab，则de∥bc。
高等数学教学中反例的作用
高等数学教学中反例的作用
近年来，学术界、教育界及社会各界对于高等数学教学中反例的作用表示关注。
反例是指可以说明某种性质的特例的存在或不存在，例如某定理的真假等。
本文通过概述反例的定义、反例的分类以及结合实例讨论高等数学教学中反例的作用，旨在探讨反例对于高等数学教学传授知识和思维方式的有效补充作用以及未来可能发展的方向。
首先，从定义上讲，反例作为一种数学化的概念，可以帮助把抽象的数学概念在实际应用中得以不断诠释和完善。
在数学教学中，反例的存在可以帮助学生更加深刻理解相关数学概念，正是由于反例的存在，学生能够更清晰地了解定理及其证明结构，认识定理的应用以及发现潜在的知识领域。
其次，反例在数学教学中扮演了突破传统教育框架的重要作用。
- 1 -。
反例使用贵在“巧妙”
反例使用贵在“巧妙〞反例是与正例相对立的，是教学中不可缺少的认识对象，也是学生认知建构中常常出现的中间形态。
我们不能单靠正面示范和反复练习改正去防止学生的错误。
没有反例的衬托，正确的知识不易凸现，学生对知识的理解就不易到位。
小学数学课堂教学对于反例使用，贵在巧妙。
只有巧妙使用，反例才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。
“巧〞用反例，防患未然，能使学生激活思维，豁然开朗，形成鲜亮的正确印象。
1．巧用反例，明析概念。
概念是小学数学中最为根底的知识。
教学概念时，不但要辻学生弄清“是什么〞，还要搞通“不是什么〞。
巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比拟、辨析，才能形成清楚的认识。
循环小数概念中的“依次不断，重复出现〞这两个关键的词语缺——不可。
援助学生正确理解这个概念，可以举出类似下面的反例：0.202220222022，……。
经过辨析学生认识到，第—个虽然“192重复出现〞，但并没有“依次不断〞；第二个虽然小数位“依次不断〞，但并没有“重复出现〞一个或几个数字，因此都不是循环小数。
通过这样两个反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清楚了解“依次不断，重复出现〞这两个条件必须同时满足。
再如：用反例可以突出方程定义中“是等式〞和“含有未知数〞这两个条件；平行四边形定义中“没有交点〞和“在同一平面内〞这两个条件。
2．巧用反例，引导发觉。
教学中，巧用反例，不但可以使学生发觉错误和漏洞，而且可以从反例中受到启发，自主发觉，从而获得正确的结论。
“分数能否化成有限小数〞这一教学内容，学生往往忽略“最简分数〞这一重要前提。
教学中我有意设计“陷阱〞，加强印象。
教完例题后，引导学生通过观察分母、分解质因数，逐渐归纳出：分母除了2和5以外，不含有其它质因数的分数能化成有限小数；否则，这个分数就不能化成有限小数。
然后，我让学生答复：以下分数哪些能化成有限小数，哪些能化成无限小数为什么1/5，3/8，5/11，6/13。
教庭教育反例心得体会
家庭是孩子成长的摇篮，家庭教育在孩子成长过程中起着至关重要的作用。
然而，在实际的教育过程中，我们往往会遇到一些反例，这些反例给我们敲响了警钟，让我们深刻反思家庭教育的重要性。
以下是我对家庭教育的反例心得体会。
一、反例一：溺爱型家庭教育案例：小明从小生活在富裕的家庭，父母对他百依百顺，要什么给什么。
结果，小明养成了骄纵、自私的性格，不懂得关心他人，学习成绩也一落千丈。
心得体会：溺爱型家庭教育容易让孩子产生依赖心理，缺乏独立生活的能力。
家长应该适度关爱孩子，培养孩子的独立性，让孩子学会面对生活的挫折。
二、反例二：棍棒型家庭教育案例：小红的父母对她要求严格，稍有差错就严厉责打。
结果，小红变得胆小怕事，缺乏自信，甚至产生了心理阴影。
心得体会：棍棒型家庭教育容易伤害孩子的自尊心，导致孩子心理扭曲。
家长应该以理服人，用正确的方法教育孩子，让孩子在关爱中成长。
三、反例三：忽视型家庭教育案例：小刚的父母工作繁忙，很少陪伴他。
结果，小刚变得孤僻，不善于与人交往，学习成绩也受到影响。
心得体会：忽视型家庭教育容易让孩子感到孤独，缺乏安全感。
家长应该抽出时间陪伴孩子，关注孩子的成长，为孩子创造一个温馨的家庭环境。
四、反例四：过度保护型家庭教育案例：小丽从小生活在父母严密保护下，任何事都由父母代劳。
结果，小丽缺乏自理能力，面对生活中的困难显得无所适从。
心得体会：过度保护型家庭教育容易让孩子失去独立面对问题的能力。
家长应该适时放手，让孩子学会独立思考和解决问题。
五、反例五：重男轻女型家庭教育案例：小芳的父母重男轻女，对她关爱甚少。
结果，小芳变得自卑，性格孤僻，学习成绩也不理想。
心得体会：重男轻女型家庭教育容易让孩子产生心理障碍，影响孩子健康成长。
家长应该平等对待孩子，关爱每个孩子，让孩子在平等的环境中茁壮成长。
六、反例六：忽视道德教育型家庭教育案例：小李的父母只关注孩子的学习成绩，忽视道德教育。
结果，小李在成长过程中逐渐变得自私、冷漠，不懂得尊重他人。
妙用反例,提升学生思维
妙用反例，提升学生思维
反例教学是一种教学方法，通过展示错误的例子或错误的解决方法来教导学生正确的方法。
这种教学方法在提升学生思维能力方面具有独特的妙用。
反例教学可以帮助学生发现错误和问题。
在学习过程中，学生可能会产生各种错误的思维方式或解决问题的方法。
通过展示一些常见的错误示范或错误的解决方法，可以让学生更加敏锐地意识到这些错误和问题。
通过对比正确的方法和错误的方法，学生能够更好地认识到错误思维的危害性和影响，从而更加警惕和注意避免这些错误。
反例教学可以激发学生的思考和创造力。
通过观察反例，学生不仅能够发现错误，还能够思考为什么这些思维方式或解决方法是错误的。
他们需要通过分析和推理找出错误的原因和解决方式，从而培养了他们的逻辑思维和分析问题的能力。
学生还可以通过反例教学的启发，尝试提出更好的解决方法或改进思维方式，从而培养了他们的创造力和创新能力。
反例教学可以帮助学生更好地理解知识和概念。
在学习过程中，学生可能会对某些抽象的知识和概念感到困惑和难以理解。
通过展示反例，学生可以看到这些知识和概念在错误中的具体应用和表现。
这种具体的示例可以帮助学生更好地理解抽象的知识和概念，从而加深他们的理解和记忆。
妙用反例教学可以在很多方面提升学生的思维能力。
通过观察错误和问题，激发思考和创造力，加深知识理解，培养批判性思维和问题解决能力，学生能够更好地掌握知识和技能，提升学习成绩和综合素质。
作为教师，应该充分利用反例教学的妙用，将其纳入教学中，为学生的成长和发展提供更多的机会和可能性。
“反例教学”在数学课堂教学中的运用
“反例教学”在数学课堂教学中的运用摘要:数学教学中，反例和证明同样重要。
因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用，适时地引进一些反例或引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性错误，培养思维的创新性。
关键字：数学教学反例证明数学概念要说明一个命题的正确性，必须经过严密的逻辑推理论证，而要否定一个命题，则只需举出一个符合题设而与结论相矛盾的例子就行了。
这种与结论相矛盾的例子叫做反例。
在数学教学中，反例和证明同样重要。
因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用，不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，从而提高思维的灵活性。
一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念概念是数学教学中最为基础的知识。
教学概念时，不但要让学生弄清“是什么”，还要搞懂“不是什么”。
一般来讲，教材叙述概念总是采用正面阐述的形式，而学生常常对一些概念的关键词缺乏深刻的认识，对概念所要求的条件理解不全面，巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比较、辨析，才能形成清晰的认识。
教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了辨别的信息。
循环小数概念中的“依次不断，重复出现”这两个关键的词语缺一不可。
帮助学生正确理解这两个关键词语，可以举出类似下面的反例子：200820082008,3.14159265358979……。
经过辨析学生认识到，第一个小数虽然“2008”重复出现，但并没有“依次不断”；第二个小数位虽然“依次不断”，但并没有“重复出现”一个或几个数字，因此都不是循环小数。
通过这样的反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清晰知道“依次不断，重复出现”这两个条件必须同时满足。
二、巧用反例，深化理解反例能从另一个角度去理解问题，使你对所学的知识分析得更加清晰，理解得更加深刻，掌握得更加牢固。
初中数学反例教学的重要性
初中数学反例教学的重要性
初中数学反例教学的重要性
实施反例教学要注意的问题
(一)注意反例教学的引入
根据学生年龄、生理及心理特征,以及所学知识结构的不完整性,有时还不具备独立系统地推理论证的能力,思维受到一定的局限,考虑问题可能还会不够全面,在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
(二)注意反例教学的构建
教师在进行教学时,不但要适当地使用反例,更重要的是要善于引导学生构建反例,这实际上是为学生创设了一种探索情景,又由于在通常情况下,许多反例的构建不是惟一的,这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解,并调动他们全部的数学功底,充分展开想象,因此,构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。
例如在讲授《实数》一节时,我曾安排了这样一个思考题:两个无理数的和是否一定是无理数?学生们马上举出几个反例如π与-π;它们的和都等于零是有理数。
这些反例的共同特征是:互为相反数的两无理数和为有理数。
在此问题的基础上,教师可以进一步地追问:两个无理数的积是否一定是无理数?两个有理数的和或者积是否一定是有理数?一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数?一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数?
BC=B’C’=a,说明BC或B‘C‘可以通过以下作图方法来画出:以C或者C’为圆心,a为半径画弧,a只要满足一定的条件,此时所画的弧就很可能与AB或者A’B’所在的直线有两个交点,这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。
运用审辩式思维多方寻证与重视反例
运用审辩式思维多方寻证与重视反例审辩思维提倡以辩证的态度审视问题。
在写作教学中训练学生的审辩式思维，可先引导学生发现疑点和矛盾，形成认知冲突，激发学生的思考，拓展学生的思维空间，使思考从一维走向多维，从浅表走向深层。
笔者尝试着从多方寻证、重视反例两个角度展开教学。
一、多方寻证例如这样一道作文题：有人说：“当代的生活，皆在一个‘快’字上做文章。
但生活中有些人事物事的好处妙处，恰在一个‘慢’字上得境界。
”上述材料引发了你怎样的思考？该题旨在引导学生侧重论述“慢”的好处与妙处。
那么可以从哪些角度展开审辩与质疑呢？首先，教师可以通过布置课前学案：对比两篇例文长短处，尝试从中概括说理的角度。
例文1《慢美学》，例文2《看静水深流》。
例文1，对“慢”的意义的解读比较单薄。
将“慢”的价值意义定位在“放松身心”、“享受生活”上,认识比较肤浅。
例文2，看到了“快”虽能给我们带来物质的收益但却导致了精神失落，既看到了“慢”符合事物发展的客观规律，又分析了从长远看，“慢”反而能带来“快”。
运用这些分析问题的角度对问题展开分析，准确地把握了“快”与”慢”的关系，思考就能较为深入。
由此，我们可以进一步思考、提炼，从多角度概括“慢”的长处。
比如，“物质与精神”的角度。
事物存在物质的价值，能给我们带来实际的收益，这往往比较容易被发现。
而相对比较容易被忽视的是很多事物存在审美、文化等精神层面的超越实用的价值。
再比如，从“眼前与长远”角度看，我们除了关注到眼前短期内可见的价值之外，还要以发展的眼光去关照眼前也许不可见但未来能随着时间的推移与岁月的积累而逐渐显现的。
例如，许多经得起时间检验的经典都是数年甚至数十年磨一剑的作品。
除此之外，还可以从“主观与客观”，“个体与群体”等角度加以思考。
这样的多角度论述就让我们的论证更进一步，并且达到层层深入的效果。
角度明确了之后，我们需要有理由地展开论述。
我们来看学生的习作片段——学生习作片段：慢，不仅仅是生活态度，也是种精神，是对真理的不懈追求，是对细节的精雕细琢，更是对智慧的积蓄沉淀。
科学运用反例教学，提高学生解题能力
科学运用反例教学，提高学生解题能力吴义洪在数学教学中，我们要判断某个命题是假命题，只要列举一个符合命题的条件、但结论不成立的例子，从而轻易地否定这个命题，这样的例子就是反例。
要判断某个命题是错误的，用举反例的方法能起到事半功倍的效果。
这一方法对于培养学生的思维的缜密性、提高学生思维的全面性、促进学生思维的发散性及创新性等都有较好的实用意义。
反例教学和运用反例证明题目应遵循以下几个方面：1构造反例的要求1.1反例的引入要符合学生的认知水平不同年龄段学生的学习生理、心理特征和所学知识结构不同。
初中阶段的学生有时还不具备独立复杂推理论证的能力，推理思维还有很大程度的局限性，得到的结论还考虑不够全面。
教师在平时的教学过程中适当适时引入反例，这符合学生的认识水平，并且是合理可行的。
例如，在讲解“‘在四边形ABCD中，有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形这结论是否正确”时，如果要从正面来证明它是错的，受学生的知识结构和认知能力限制，是很难办到的。
而举例等腰梯形来说明这个结论是错的，对学生来说容易接受和理解。
这样就能言简意赅地把问题讲清楚，也易于学生消化吸收。
又如，“兩个三角形中，如果有两边及其一边的对角对应相等，这样的两个三角形全等”。
要说明这个结论的错误性，只需画图，画出符合已知条件的两个三角形，能得到两个三角形的形状可能相同，也可能不同。
由此进一步发挥：什么情况下一定全等？这就引出了直角三角形“HL”的判定。
同时也能清楚判断两个三角形是否全等，没有“SSA”这一判定，且“HL”是“SSA”的特殊情况。
这使得知识更加系统化。
1.2反例的构建要有利于深化学生的理解、应用能力在日常教学过程中，教师不但要适时适当举出反例、应用反例，还要引导学生构建反例，深刻认识到深化理解应用反例对部分题目的理解和证明，起到事半功倍的意义。
例如，在讲解运用“等腰三角形三线合一”的性质时，有的学生没注意成立的前提是“等腰三角形”，有的学生对“三线”是哪三线没记清。
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中扮演着很重要的角色。
通过给出反例，教师可以帮助学生理解某些概念或命题的边界、限制和异常情况。
通过研究反例，学生可以进一步加深对一些概念、命题和定理的理解和应用。
举个例子，考虑在中学数学中经常涉及到的“假式命题”（也称为“伪命题”），即看上去像是命题，但实际上是错误的。
通过给出反例，教师可以帮助学生分析为什么一个假式命题是错误的，并帮助他们建立更为深刻的理解。
此外，在学习证明定理或解题过程时，反例也很有用。
通过给出一个反例，学生可以看到证明或解题的某个环节存在漏洞，从而更好地理解正确的证明或解题思路。
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重视反例SCIbird说明：建议所有读者将本文中提及的那些著名分析反例，亲自动手推导一遍。
本文是自己几年前的网上长文《如何提高自身数学水平》的扩展文章，重点介绍数学中的反例。
反例是数学中的重要组成部分，但在教学中因为某些原因被低估了，原因或者因为有的反例证明太难（所用数学工具较深），或者是纯粹技巧性的构造（没有一般性），甚至或者认为“破坏”了数学的和谐性等等。
按笔者观点，反例属于数学中的“否定性定理”范畴，可能在某种程度上限制了我们认识数学的边界。
但换一个角度讲，很多反例的存在使得数学多了层次性，反而激发了活力，打开了一个新的世界，比如：连续函数--光滑函数--解析函数。
最有名的反例之一要数“单位正方形的对角线长度不能表示成两个正整数是无理数，这个反例引发了无理数井喷。
如果耐心一些，细数数学分析教材（如《数学分析新讲》）中的反例，还是挺多的。
简单一点的反例，如举出一个光滑函数，不存在泰勒级数，这个反例是函数：1/(),0;()0,0x f x e x f x x −=>=≤. 这个函数在0x =点的任意阶导数均为0，因此 这个函数在0x =点的泰勒级数恒为0，矛盾。
其它例子，如直观上，收敛的广义积分0()f x dx ∞<∞∫似乎应该有 lim ()0x f x →∞= 如果()f x 非负，则结论成立；如果()f x 变号，则不一定成立，如2()sin f x x =.级数方面，众所周知的结论是11n n∞==+∞∑，但是11,1p n p n ∞=<+∞>∑. 于是猜想：对正项级数，当1()n a o n =，是否有级数1n n a ∞=<+∞∑. 直观上，似乎是对的，但是级数21ln n n n ∞==+∞∑就是这个猜想的反例。
上述几个例子都是与直观相违背的，这梯形我们在学习数学中不能丢弃直观思维的启发，但直观想象不能代替严格的数学证明，想当然的习惯要不得。
可能有朋友还是有这种感觉，上面的例子还是有些做做，似乎是show 技巧。
其实，随着学习的深入，特别是从一个高的视角“重温微积分”时，会有新的感悟和发现。
重温则不能再走老路，必须注入新的想法。
比如，泰勒级数那个反例引发了解析函数的概念（参考复变函数教材），反例中0x =是函数()f x 的本性奇点，很多重要理论就是围绕奇点展开的。
通过广义积分来研究()f x 的渐进性质，属于Tauber 型理论范畴，这是一个巧妙的想法（通过函数f 的线性变换Tf 来研究函数f 的渐进性质）。
举一个例子，这方面有一个定理：设0t ≥，()f t 是有界的局部可积函数，定义函数0()()(Re()0)zt g z f t e dt z −+∞=>∫若函数()g z 可以解析延拓到Re()0z ≥，则广义积分收敛且满足000(0)lim()()z z t g f t e dt f t dt +∞+∞→+−==∫∫显然，上面定理中的线性变换是Laplace 变换。
这个定理看似就像一道复变函数习题。
其实这个定理是证明素数定理的最困难部分，这方面的细节见美国数学月刊文章记()x π表示不超过x 的素数的个数，所谓素数定理，指下面极限表达式()lim 1/ln x x x xπ→∞= 这一定理最早由数学家高斯和勒让德猜出结果，但没有给出证明。
俄国数学家切比雪夫通过引入函数()ln p xx p ϑ≤=∑（这里p 表示素数）证明了如果()~x x ϑ存在（即lim ()/1x x ϑ=），则素数定理成立。
后人证明极限lim ()/1x x ϑ=存在，所使用的方法就是证明广义积分12()x x dx x ϑ∞−∫收敛。
令()()1t t f t e e ϑ−=−，转化为证明广义积分102()()x x dx f t dt x ϑ∞+∞−=∫∫收敛。
具体细节即利用上面的Tauber 型定理，同时还涉及到黎曼()s ζ函数的一些基本性质，此处从略（证明过程见美国数学月刊那篇文章）。
上面说的远一些，不过皆在说明，如何从更高的观点看待数学中的那些反例。
还是说一些熟悉的例子吧，先说说狄利克雷函数()1,()0Q ;R Q ,D x x D x x =∈∈−=将()D x 限制在区间[0,1]上就是一个著名的黎曼不可积函数的反例。
换一个角度看待这个反例。
因为有理数可数，将区间[0,1]上的有理数编号为123,,,q q q ⋅⋅⋅，构造函数列1231,,,,,()0,nn x q q q q D x ⎧=⋅⋅⋅⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其它显然函数列()n D x 是[0,1]上的黎曼可积函数，积分值为0且()()n D x D x →. 于是可大胆猜想，用下面的极限来定义()D x 的新的积分：111000lim ()lim ():()n n n n D x dx D x dx D x dx →∞→∞==∫∫∫ 当然，这里选用区间[0,1]比较整齐，对于一般的点集E （需要引入测度），推广阶梯函数到简单函数，然后用其极限来定义Lebesgue 积分，这是一种思路。
不做一般化讨论，对单个例子()D x ，直接用黎曼积分的极限来定义即可。
细心发现这里的关键在于“极限与积分符号交换运算次序”，这个性质太重要了。
这个反例告诉我们在黎曼积分意义下，极限与积分符号未必可以交换顺序，即便可以交换，也未必相等。
这个问题与之后的对级数是否可以逐项积分是等价的，都是重要问题。
数学分析教材是通过引入一致收敛概念来解决的，更一般的结论是Lebesgue 控制收敛定理（当然要用Lebesgue 积分了）。
花费这么多笔墨，无非想说明如此重温狄利克雷函数()D x 反例，可以温故而知新。
其它著名的反例，如《新讲》中的反例，这个反例否定了人们对连续函数在只有少数点不可导的直观猜想。
反例构造如下：记()x ϕ表示x 与离它最近整数的距离，则(1)()x x ϕϕ+=. 动手画画图，发现这是一个“锯齿函数”令0(4)4R ()n n n x f x x ϕ∞==∈∑，此函数一致收敛，故为连续函数，这个函数处处连续处处不可导。
这里不去讨论具体细节（见《新讲》第三册），给出一个 直观描述：随着n 的不断增大，锯齿函数(4)n x ϕ不断加密，而这些锯齿函数的叠加就“更锯齿”了（多画画图）。
其实，分形几何中有名的雪花曲线，也是这方面的反例。
换一个角度，人们之前为什么没有认识到“处处连续处处不可导函数”的存在呢？一种想法是，通常人们受直观影响，想象中的函数都是分段单调的。
而“处处连续处处不可导函数”是无处单调的连续函数。
证明很简单，根据实变函数中的定理：单调函数几乎处处可导。
利用泛函分析中的贝尔“纲定理”，可知道在连续函数中，处处连续处处不可导函数”占绝大多数。
这一惊人结论堪比，超越数比代数数多得的的结论。
《新讲》中还给出了填满正方形的皮亚诺曲线，直圆柱的内接折面面积可以任意大（对比下曲线内接折线，可知这个反例很出乎意料），等反例，这里不一一介绍了。
最后，在说一个不那么初等的反例吧。
这个反例太有名了，以至于数学系大三水平都应该知道-----她就是传说中的“米尔诺7维怪球”，是微分拓扑学建立的标志。
陈省身老爷子在《微分几何讲义》中给出了米尔诺最初的反例构造方法，不过太过于拓扑技巧化，这里采用后人发现的更简单而深刻的7维怪球反例，大致方法如下：约定如下讨论的流形都是紧致可定向的。
根据Thom 的工作，设7M 是一个闭7维流形，则存在某个8维流形8B ，以7M 为其边界，即78M B =∂. 应该指出，满足78M B =∂的8B 不唯一。
米尔诺利用上述结论，并结合示性类理论和符号差定理，对7M 巧妙定义了一个mod 7整数微分同胚不变量7()M λ。
这里在mod 7意义下，7()M λ不依赖于8B 的具体选取，故为7M 的微分同胚不变量。
对于标准的7维球面7S ，有7()0S λ=。
米尔诺构造了这样一个7维流形7M ，它同胚于标准球面7S ，但是7()0M λ≠. 于是利用反证法可知这个“7维怪球7M ”不微分同胚于标准球面7S . 在拓扑等价意义下，也称标准球面7S 上具有奇异微分结构。
7维怪球的构造：定义解析函数：123532221254435(,,,,)f z z z z z z z z z z =++++ , i z ∈C 方程12345(,,,,)0f z z z z z =的解集确定了一个通过原点的8维超曲面85M ⊂C .再设12392222245:||||||||||1S z z z z z ++++=为标准的9维单位球面。
最后，令789K M S =I ，拓扑上可以证明8M 与9S 横截相交，于是7K 是一个7维光滑流形。
进一步证明光滑流形7K 满足：7K 同胚于标准球面7S ，但是7()0K λ≠.上述例子与米尔诺原始论文中的例子等价（微分同胚），但要简单和深刻的多。
深入研究发现，超曲面8M 不是处处光滑的，它在原点5O ∈C 有一个孤立奇点（偏导数等于0），正是这个奇点导致了789K M S =I 的怪异性（具有怪异微分结构）。
这个例子也说明了超曲面奇点附近的拓扑结构非常奇妙，后来发展出了所谓的“奇点理论”。
上述工作是几何（拓扑）与分析结合的典范。
进一步研究发现，标准球面7S 共有28种互不相容的微分结构，这28种怪球可表示如下：613222912345(61,3,2,2,2):0r r z z z z z S −∑−++++=I其中，1,2,3,2,8r =L . 显然7(5,3,2,2,2)K =∑.在7维怪球上发现了怪异微分结构之后，人们继续研究其它维数的怪球有无微分结构。
如果有，有多少种？目前这方面工作可见下表：球面微分结构分类表这里3n =情况是Perelman 证明Poincare 猜想的结果的推论，即对3维球面同胚与微分同胚等价。
目前剩下的难题是：4维球面4S 上是否存在怪异微分结构？但是，7维球面球面比较已经比较复杂了，而且维数多少有些特殊（至少不太整齐）。
比n 维球面更简单的非平凡流形就是n R 了，这方面的一个著名结论是：当4n ≠时，欧氏空间n R 有惟一的微分结构。
这个结论没有出乎意料，想想也是很自然的事情，毕竟欧氏空间整体上算是比较“平坦”的了。
不过当4n =时，却难住了大家，很长时间没有实质性的突破。
或者说没有找到合适的“不变量”来分类。
关于4R 空间的实质性突破来自数学家Donaldson ，他在研究Yang-Mills 方程（来自数学物理领域）时发现了一组新的不变量，可以对四维流形进行细致的分类。
利用此不变量，人们相继在4R 上发现了若干怪异微分结构。
特别地，利用反证法证明了：4R 上存在不可数个互不相容的微分结构。