排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合公式排列组合公式
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
排列组合公式排列组合公式
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
排列组合公式排列组合公式
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。
。
(2x13x25x3)6
x13x2 x32
(x1x2 xr)n
项，其中
n n1 1, nn 22, ,n r为 nrn非负 n1整 n2n 数 nrx1n1x2n2 xrnr
排列组合公式排列组合公式
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
排列组合公式排列组合公式
多边形
排列组合公式排列组合公式
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示.pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1.2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cn,m 表示.cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m;3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/n1!*n2!*...*nk!.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m.排列Pnmn为下标，m为上标Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n组合Cnmn为下标，m为上标Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。
特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。
两条性质两公式，函数赋值变换式。
1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 分步②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 分类2. 排列有序与组合无序Anm=nn-1n-2n-3…n-m+1=n!/n-m! Ann =n!Cnm = n!/n-m!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=k+1!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑插空法解决相间问题间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：1把具体问题转化或归结为排列或组合问题;2通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;3分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;4列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①a+bn=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：1+xn=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
(新)高中数学排列组合公式排列组合计算公式(供参考)
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合1. 排列组合公式quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。
quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则：Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)!begin{aligned}amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!}amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!}end{aligned}Anr=n(n1)(nr1)=(nr)!n!Cnr=r!Anr=r!(nr)!n!quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=12. 二项式及公式推广quad二项式展开公式为：(a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?iquad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。
由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b}中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。
quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；quad(2)Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m+n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n}C _{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j)∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合算法总结(基于C++实现)全排列n!1.1 递归法设一组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p –{rn}。
则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。
当n = 1时perm(p} = r1。
如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列1、首先看最后两个数4, 5。
它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。
由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。
2、再看后三个数3, 4, 5。
它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、4 53、 5 34、 5 4 3 六组数。
即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.#include iostreamusing namespace std;void Perm(int start, int end, int a[]) {--得到全排列的一种情况，输出结果if (start == end) {for (int i = 0; i end; i++)cout a[i] ' ';cout endl;for (int i = start; i end; i++) {swap(a[start], a[i]); --交换Perm(start + 1, end, a); --分解为子问题a[start+1.,end-1]的全排列swap(a[i], a[start]); --回溯int main() {int i, n, a[10];while (cin n, n) {for (i = 0; i n; i++)a[i] = i + 1;Perm(0, n, a);return 0;C(n,k)，n个数中任取k个数2.1 递归法实际上就是在n个数中，标记k个数，然后输出这k个数的过程。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式(全)
欢迎阅读排列组合公式排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号(1)(2)准确理解；(3)(4)(1)12．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2各步计例1：用集合A集合B把集合AS（A）S（B）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。
这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则S（B）=S（C）*6！S（C）=9！/3！/6！这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。
但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。
大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。
我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。
例3：999所以集合D例4：用集合A中1排在2在集合B C 中相同数字。
排列组合公式以及排列组合计算公式word版
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5 本不同的书分给3 个人,有几种分法. "排列"把 5 本书分给 3 个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n 为下标1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式排列组合计算公式文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P1；小于50 000的五位数，2万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6在(x- )10的展开式中，x 6的系数是() -27CB.27C 410-9CD.9C 410解设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6， 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C 410(- )4=9C 410 故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x ２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为 在(x-1)6中含x 3的项是C 36x 3(-1)3=-20x 3，因此展开式中x 2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+ )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为()解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有() 种种种种解分医生的方法有P 22＝2种，分护士方法有C 24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合计算公式举例说明
排列组合计算公式举例说明排列组合是数学中常用的计数方法，用于计算一些集合中的元素的不同组合和排列的总数。
排列是从集合中选择一定数量的元素进行组合，并按照一定的顺序进行排列。
组合是从集合中选择一定数量的元素进行组合，不考虑元素的顺序。
下面将分别说明排列和组合的计算公式，并给出具体的例子。
一、排列：排列的计算公式是P(n,r)=n!/(n-r)!，其中P表示排列，n表示集合中的元素总数，r表示选择的元素数量，!表示阶乘。
例1：有5只猫排成一排，问有多少种不同的排列方式。
解：根据排列的计算公式，可以得到P(5,5)=5!/(5-5)!=5!/0!=5!=5×4×3×2×1=120，所以有120种不同的排列方式。
例2：有10本书，从中选出3本书排成一排，问有多少种不同的排列方式。
解：根据排列的计算公式，可以得到P(10,3)=10!/(10-3)!=10!/7!=10×9×8=720，所以有720种不同的排列方式。
二、组合：组合的计算公式是C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C表示组合，n表示集合中的元素总数，r表示选择的元素数量，!表示阶乘。
例1：有6只猫，从中选择3只猫，问有多少种不同的组合方式。
解：根据组合的计算公式，可以得到C(6,3)=6!/(3!×(6-3)!)=6!/(3!×3!)=6×5×4/(3×2×1)=20，所以有20种不同的组合方式。
例2：有8个人，从中选出4个人组成一个委员会，问有多少种不同的组合方式。
解：根据组合的计算公式，可以得到C(8,4)=8!/(4!×(8-4)!)=8!/(4!×4!)=8×7/(2×1)=28，所以有28种不同的组合方式。
排列组合在实际生活中有很多应用，例如：1.彩票中奖号码的排列组合：在选择彩票号码时，我们有时会从1到49中选择6个数字组成一组号码，这就是一种排列组合的问题。
cni-kjt_i排列组合和排列组合计算公
!_世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生活。
在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的床铺上，那他便十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩……人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。
－－别林斯基排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块，找个推导都难！真是的！一、排列(在乎顺序)全排列：P(n,n)=n!n个人都排队。
第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列：P(n,m)=n!-(n-m)!n个人，选m个出来排队，第一个位置可以选n个，…，最后一个可以选n-m+1个，以此类推得：P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。
二、组合(不在乎顺序)n个人，选m个人出来。
因为不在乎顺序，所以按排列算的话，每个组合被选到之后还要排列，是被算了m!遍的。
即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得：C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质：1、C(n,m)=C(n,n-m)。
就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。
2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。
递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排：Q(n,n)=（n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。
想想坐成一圈后，分别以每个位置为头断开，可以排成一个序列，就是将n个人全排列中的一种。
这样可以得到n个序列，但是在圆排中是视为同一种坐法的。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排：Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个)：n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak，求这n个球的全排列数。
把每种球重复的除掉就好了。
假如第一种球有a1个，那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法，然而它们都是一样的，就是说重复了a1!次。
排列组合
排列组合排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
定义及公式!-阶乘排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
C(n,m)==A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。
（n>=m)其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。
符号C-Combination 组合数A-Arrangement 排列数（在旧教材为P-Permutation）N-元素的总个数M-参与选择的元素个数常见的一道题目一些公式：排列组合常见公式组合恒等式基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Anm(n为下标，m为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Anm(n为下标，m为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
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字符串的排列组合算法合集全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。
所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。
对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。
首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。
一、字符串的排列用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba一、全排列的递归实现为方便起见，用123来示例下。
123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。
首先考虑213和321这二个数是如何得出的。
显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。
然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。
同理可以根据213和321来得231和312。
因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。
找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了：view plaincopy#includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBegin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}?另外一种写法：view plaincopy--k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); if(k==m){staticintnum=1;--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swap(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap(*(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}?如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。
二、去掉重复的全排列的递归实现由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。
我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。
如122，第一个数与后面交换得212、221。
然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数与第三个数是不相同的，交换之后得到221。
与由122中第一个数与第三个数交换所得的221重复了。
所以这个方法不行。
换种思维，对122，第一个数1与第二个数2交换得到212，然后考虑第一个数1与第三个数2交换，此时由于第三个数等于第二个数，所以第一个数不再与第三个数交换。
再考虑212，它的第二个数与第三个数交换可以得到解决221。
此时全排列生成完毕。
这样我们也得到了在全排列中去掉重复的规则——去重的全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面非重复出现的数字交换。
下面给出完整代码：view plaincopy#includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?--在[nBegin,nEnd)区间中是否有字符与下标为pEnd的字符相等?bool?IsSwap(char*?pBegin?,?char*?pEnd)?{?char?*p;?for(p? =?pBegin?;?p?pEnd?;?p++)?{?if(*p?==?*pEnd)?return?false;?}? return?true;?}?void?Permutation(char*?pStr?,?char?*pBegin)? {?assert(pStr);?if(*pBegin?==?'0')?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(char?*pCh?=?pBegin;?*pCh?!=? '0';?pCh++)?--第pBegin个数分别与它后面的数字交换就能得到新的排列?{?if(IsSwap(pBegin?,?pCh))?{?swap(*pBegin?,?*pCh);?Permu tation(pStr?,?pBegin?+?1);?swap(*pBegin?,?*pCh);?}?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?"baa";?Permutation(str?,?str);? return?0;?}?OK，到现在我们已经能熟练写出递归的方法了，并且考虑了字符串中的重复数据可能引发的重复数列问题。
那么如何使用非递归的方法来得到全排列了？三、全排列的非递归实现要考虑全排列的非递归实现，先来考虑如何计算字符串的下一个排列。
如"1234"的下一个排列就是"1243"。
只要对字符串反复求出下一个排列，全排列的也就迎刃而解了。
如何计算字符串的下一个排列了？来考虑"926520"这个字符串，我们从后向前找第一双相邻的递增数字，"20"、"52"都是非递增的，"26 "即满足要求，称前一个数字2为替换数，替换数的下标称为替换点，再从后面找一个比替换数大的最小数（这个数必然存在），0、2都不行，5可以，将5和2交换得到"956220"，然后再将替换点后的字符串"6220"颠倒即得到"950226"。
对于像“4321”这种已经是最“大”的排列，采用STL中的处理方法，将字符串整个颠倒得到最“小”的排列"1234"并返回false。
view plaincopy#includeiostream?#includealgorithm?#includecstring?using namespacestd;#includeassert.h--反转区间?void?Reverse(char*?pBegin?,?char*?pEnd)?{?while(pBegin?p End)?swap(*pBegin++?,?*pEnd--);?}?--下一个排列?bool?Next_permutation(char?a[])?{?assert(a);?char?*p?,?*q?,?*pFind;?char?*pEnd?=?a?+?strlen(a)?-?1;?if(a?==?pEnd)?r eturn?false;?p?=?pEnd;?while(p?!=?a)?{?q?=?p;?p--;?if(*p?*q )?--找降序的相邻2数,前一个数即替换数?{?--从后向前找比替换点大的第一个数?pFind?=?pEnd;?while(*pFind?*p)?--pFind;?swap(*p?,?*pFind );?--替换点后的数全部反转?Reverse(q?,?pEnd);?return?true;?}?}?Reverse(a?,?pEnd);?--如果没有下一个排列,全部反转后返回false?return?false;?}?int?cmp(const?void?*a,const?void?*b)? {?return?int(*(char?*)a?-?*(char?*)b);?}?int?main(void)?{?c har?str[]?=?"bac";?int?num?=?1;?qsort(str?,?strlen(str),siz eof(char),cmp);?do?{?printf("第%d个排列t%s",num++,str);?}while(Next_permutation(str));?return?0;?}至此我们已经运用了递归与非递归的方法解决了全排列问题，总结一下就是：1、全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。
2、去重的全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面非重复出现的数字交换。
3、全排列的非递归就是由后向前找替换数和替换点，然后由后向前找第一个比替换数大的数与替换数交换，最后颠倒替换点后的所有数据。
二、字符串的组合题目：输入一个字符串，输出该字符串中字符的所有组合。
举个例子，如果输入abc，它的组合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。
上面我们详细讨论了如何用递归的思路求字符串的排列。
同样，本题也可以用递归的思路来求字符串的组合。
view plaincopy#includeiostream?#includevector?#includecstring?using?na mespace?std;?#includeassert.h?void?Combination(char?*string ,intnumber,vectorcharresult);voidCombination(char*str ing)?{?assert(string?!=?NULL);?vectorchar?result;?int?i?,?l ength?=?strlen(string);?for(i?=?1?;?i?=?length?;?++i)?Combi nation(string?,?i?,result);?}?void?Combination(char?*string ,intnumber,vectorcharresult){assert(string!=NULL); if(number==0){staticintnum=1;printf("第%d个组合t",num++);?vectorchar::iterator?iter?=?result.begin();?for( ;iter!=result.end();++iter)printf("%c",*iter);print f("");?return?;?}?if(*string?==?'0')?return?;?result.push_b ack(*string);?Combination(string?+?1?,?number?-?1?,?result) ;?result.pop_back();?Combination(string?+?1?,?number?,?resu lt);?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Combination(str );?return?0;?}?由于组合可以是1个字符的组合，2个字符的字符……一直到n个字符的组合，因此在函数void Combination(char* string)，我们需要一个for循环。