2013-2019年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

A．ex+1
B．ex﹣1
C．e﹣x+1
D．e﹣x﹣1
6．（5 分）若双曲线
的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x
wk.baidu.com
B．
C．
D．
7．（5 分）直线 l 过抛物线 C：x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图 形的面积等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
8．（5 分）设关于 x，y 的不等式组
．
13．（5 分）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若
（λ，
μ∈R），则 =
．
第 2页（共 177页）
14．（5 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，
点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为
．
三、解答题共 6 小题，共 50 分．解答应写出文字说明，演算步骤 15．（13 分）在△ABC 中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A． （Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）求 c 的值．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（5 分）函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称，则 f（x）=（ ）
第 1页（共 177页）
第 5页（共 177页）
2013 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5 分）已知集合 A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则 A∩B=（ ）
A．{0}
B．{﹣1，0}
（Ⅰ）若{an}为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列（即对任意 n ∈N*，an+4=an），写出 d1，d2，d3，d4 的值；
（Ⅱ）设 d 是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an} 是公差为 d 的等差数列；
（Ⅲ）证明：若 a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是 1 或者 2，且 有无穷多项为 1．
第 3页（共 177页）
（Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望 （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证
明）
17．（14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形．平 面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=3，BC=5．
2．（5 分）在复平面内，复数（2﹣i）2 对应的点位于（
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
） D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 菁优网版 权所有
绝密★启用前
2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
C．{0，1}
D．{﹣1，0，1}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版 权所有
【专题】5J：集合． 【分析】找出 A 与 B 的公共元素，即可确定出两集合的交集． 【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
19．（14 分）已知 A，B，C 是椭圆 W：
上的三个点，O 是坐标原点．
（Ⅰ）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；
第 4页（共 177页）
（Ⅱ）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理 由．
20．（13 分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记 为 An，第 n 项之后各项 an+1，an+2…的最小值记为 Bn，dn=An﹣Bn．
16．（13 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空 气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重 度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
表示的平面区域内存在点 P
（x0，y0），满足 x0﹣2y0=2，求得 m 的取值范围是（
A．
B．
C．
） D．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．（5 分）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2 的距离等于
．
10．（5 分）若等比数列{an}满足 a2+a4=20，a3+a5=40，则公比 q=
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC； （Ⅱ）求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求 的值．
18．（13 分）设 l 为曲线 C：y= 在点（1，0）处的切线． （Ⅰ）求 l 的方程； （Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线 C 在直线 l 的下方．
；前 n
项和 Sn=
．
11．（5 分）如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D，
若 PA=3，PD：DB=9：16，则 PD=
，AB=
．
12．（5 分）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至
少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是
出符合题目要求的一项．
1．（5 分）已知集合 A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则 A∩B=（ ）
A．{0}
B．{﹣1，0}
C．{0，1}
D．{﹣1，0，1}
2．（5 分）在复平面内，复数（2﹣i）2 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（5 分）“φ=π”是“曲线 y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）