考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

x
x
x
1
( 3 ) 比如 F ( x) f ( xt)dt 0
(这是含参数 x 的定积分 , 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去 ) 在求 F ( x) 时， 先对右端的定积分做变量代换 u xt （把 x 看作常数），此时， dt du ，t 0
x
时， u 0； t 1时， u x ，于是， F ( x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分上限函数：
x
x
x
令 F (x) [ f (t) g(t)dt] 2
f 2 (t )dt g 2 (t )dt. 则 F (a) 0.
a
a
a
求出 F (x) 并证明 F (x) 0. 从而 F ( x) 单调减少 , 于是得 F (b) F (a) 0.
由此可得结论 . 这种证法有一定的通用性 . 例如下例 . 例 16 设 f ( x) 在[0,1] 上连续且单调减少 . 证明 : 对任一 0
(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来 .)
x
x
x
x
在求 F ( x) 时，先将右端化为 xf (t )dt tf (t) dt x f (t )dt tf (t )dt 的形式，再对 x 求
0
0
0
0
导。 分离后左边的部分要按照 (uv)＇ =u＇v + uv ＇进行求导！（重点）
x
（2）比如 F (x) tf (t x)dt 0
x2 sin t dt . 1t
(提示 : 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时
u( x) 为积分上限函数 . 答:
1 (cos 1
1). )
2
例 11 设 f (x) 在 ( , ) 内连续 , 证明
, 总是用分部积分法求解 , 且取
x
xu
f (u)( x u)du [ f (t)dt ]du.
问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（ 3）把两者联系了起来，
从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
1
重要推论及计算公式：
推论 1
d
[
b
f (t) dt ]
dx x
推论 2
d[
( x)
f (t )dt ]
dx c
推论 3 d [
( x)
f (t )dt ]
dx ( x)
b
f ( ) g( x) dx g( ) f ( x)dx . a
x
b
(提示 : 令 F ( x) f (t) dt g(t) dt . 对 F (x) 在 [ a,b] 上用 Rolle 定理即可证得结论 )
a
x
关于积分限函数的奇偶性与周期性
定理 4 设 f x 连续， x
x
f t dt .如果 f x 是奇（偶）函数，则
f ud u
f u du
f u du
x,
0
0
0
0
即 x 为奇函数 .
T
若 f x dx 0 ，则 0
xT
x
xT
T
xT
f t dt f t dt
f t dt x
f t dt x ,
0
0
x
0
即 ( x) 为周期为 T 的周期函数 .
x
例 18 设 f ( x) 在 ( , ) 内连续 , F ( x) ( 2t x) f (t)dt . 证明 : 0
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来 )
在求 F ( x) 时，先对右端的定积分 做变量代换 u t x（把 x 看作常数），此时，dt du ，t 0
时， u x ； t x 时， u 0，这样， F (x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
0
0
0
F ( x) (x u) f (u)du x f (u)du uf (u)du ，然后再对 x 求导。
1
x
再求出其驻点 . 答:
e .)
x
例 9 设 x 0 ，n 为正整数 . 证明 f ( x) (t t 2 ) sin2n tdt 的最大值不超过
1 .
0
(2n 2)(2n 3)
3
(提示 :先求出函数的最大值点 , 然后估计函数最大值的上界 .)
(4) 积分问题
1
例 10 计算 xf (x)dx ，其中 f ( x) 0
,
) 内连续且 f (x) 0, 求证
(x)
0 x
在 ( 0, ) 内单调增加 .
f (t) dt
0
（同济高数课本 Unit5-3 例题 7）
（3） 最大最小值问题 例 8 在区间 [1,e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小 .
y
y = ln x 1
O
1
e
x
x
e
(提示 : 先将面积表达为两个变限定积分之和 : A( x) ln tdt (1 ln t)dt , 然后求出 A (x) ,
sin x
ex ) )
2
（说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解
初值条件隐含在积分方程内 . 答: ( x) cos x sin x ）
. 注意
例 14 设 f ( x) 为正值连续函数 , f ( 0) 1, 且对任一 x 0 , 曲线 y f (x)
在区间 [0, x] 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积 , 求此曲线方程 .
定 理 3 如 果 f ( x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 则 F ( x)
dx
F ( x)
[ f (t) dt ] f (x).
dx a
==========================================
x
f (t) dt 在 [ a, b] 上 可 导 ， 而 且 有
a
注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对 f ( x) 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一
0
x 是偶（奇）函数；
T
如果 f x 是周期为 T 的函数，且 f x dx 0 ,则 x 是相同周期的周期函数 . 0
证 设 f x 奇, 则
x
tu x
x
f奇 x
x
f t dt
f ud u
f u du f u du x ,
0
0
0
0
即 x 为偶函数 .
5
设 f x 偶, 则
x
tux
x
f偶
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x
x
f t dt
0=<|sinx|=<1。 答： 2 ）
x
x
2
例
3
已知极限
lim
x0
e
x
1 bx
x sin t dt
a0 t c
1，试确定其中的非零常数 a, b, c.
（答： a 1, b 1, c 1. ）
（2） 求导问题
t
x 例 4 已知
(1
0
cos u) du , 求
dy .
(参数方程，你懂的！答
:
sin t
1x
F ( x)
f (u)du ，然后再对 x 求导。
x0
有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题：
x2
3
sin 2 tdt
例 1 lim x0
0 x
t (t sin t)dt
0
（提示： 0/0 型，用洛必达法则，答： 12）
x
例 2 lim
sin t dt
0
（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，
下限的。 >
f (x) f [ ( x)] f [ ( x)]
<变上限积分改变上下限，变号。 > ( x) <上限是复合函数的情况求导。 > (x) f [ ( x)] (x) <上下限都是变的时候， 用上限的减去
题型中常见积分限函数的变形和复合情况：
x
（1）比如 F (x) (x t ) f (t )dt 0
( b f (x)g ( x) dx) 2 b f 2 ( x)dx b g 2 (x)dx.
a
a
a
b
说明 : 本题的通常证法是从不等式 [ f ( x) tg (x)]dx 0 出发 , 由关于 t 的二次函数非负的 a
判别条件即可证得结论 . 但也可构造一个积分上限函数 , 利用该函数的单调性来证明 . 提 示如下 :
)
t
y
sin udu.
dx
2 t (1 cost)
0
例 5 已知 y et dt 0
xy
costdt
0
0. 求 dy . (答: dx
ycos( xy)
ey
) x cos(xy )
例6 求 d
x
sin( x
t )2 dt
dx 0
(答: sin x 2 )
x
tf (t)dt
例 7 设 f ( x) 在 (
1, 有
f (x)dx
0
1
f (x)dx.
0
f (x)dx (提示 : 即证 0
1
f ( x) dx
0
. 于是作 F (x)
1
可得结论 .)
x
f (t )dt
0
, 只需证 F (x) 单调减少即
x
利用积分上限函数构造辅助函数 , 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论 . 比如下题 .
例 17 设 f ( x), g( x) 在 [ a, b] 上连续 . 求证 : 存在 (a, b) , 使
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点
x
F ( x) f (t )dt a
形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点： 1、在求导时，是关于 x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间 [ a, x] 上变动。
（即在积分内的 x 作为常数，可以提到积分之外。 ）
0
00
(提示 : 对右端的积分施行分部积分法 .)
例 12 设 f ( x)
x 0 x 1,
2 x 1 x 2,
x
求 ( x) f (t)dt 在 ( , ) 内的表达式 . 0
0 x 0 , x 2.
(说明 : 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到 . 求表达式时 , 注意对任
一取定的 x , 积分变量 t 在 [0, x] 内变动 .
0
x 0,
1 x2
0 x 1,
答: ( x) 2
.)
1 1 (x 2) 2 1 x 2,
2
1
x2
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题
例 13 设函数 ( x) 连续，且满足
( x) ex
x
x
t (t)dt x (t)dt.
求 ( x).
0
0
(答 :
(x)
1 (cos x
(说明 : 根据题设列出的方程将含有 f (x) 的积分上限函数 .
4
答: f ( x) ex e x (x 0)) 2
(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等 . 例 15 设 f ( x), g( x) 均在 [ a,b] 上连续 , 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式 :
步：可积改进为连续；连续改进为可导 。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函
数 f ( x) 经过求导后，其导函数 f ( x) 甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明： 连续函数必存在原函数 ，并通过定积分
的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的
关于积分上限函数的理论 定理 1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续，则 f (x) 在（a，b）上可积，而 f ( x) 可积，则 F ( x)
在 [ a,b] 上连续。
x
f (t) dt
a
定理 2 如果 f ( x) 在 [a, b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x) 在（ a，b）上可积。
(a) 如果 f (x) 是偶函数 , 则 F ( x) 也是偶函数 ;
(b) 如果 f (x) 是单调减少函数 , 则 F ( x) 也是单调减少函数 .
6