离散数学计算机专15试卷B
国家开放大学电大考试计算机专业历年《离散数学》试题解析
计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．D1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．10 B．100 C．1024 D．12．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <a，1>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R33．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、14．若完全图G中有n个结点(n≥2)，m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为则G有（）．A．6点，8边B．6点，6边C．5点，8边D．5点，6边二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}} ．7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2，R2-R1中对称关系有 4 个．8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去 1 条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式( x)(A(x)∧B（x））消去量词后的等值式为(A (a)∧B (b))∧(A（a）∧B（b））．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．设P：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会，（2分）P∧Q．（6分）12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．设P：小王来，Q：小李去（2分）P → Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，极小元不存在． 错误． （3分）对于集合A 的任意元素x ，均有<x , a >R （或xRa ），所以a 是集合A 中的最大元．（5分）但按照极小元的定义，在集合A 中b ,c ,d 均是极小元． （7分）14．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永假式．错误． （3分）┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真， （5分）如果P 的值为假，则┐P 与P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． （7分）另种说明：┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真． （5分）可以看到，不论P 的值为真或为假，┐P ∧（P →┐Q ）与P 总有一个为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． （7分）或用等价演算┐P ∧（P →┐Q ）∨P ⇔T 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x y |=1或x y =0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．15．（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图如图二：图二 （6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的． （9分）因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的．（12分） abcd 图一16．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试(1) 画出G 的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出图G 的补图的图形． 16．（1）关系图如图三：（3分）（2）邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110010010100010100100110 （6分） （3）deg(v 1)=2deg(v 2)=2deg(v 3)=2deg(v 4)=2deg(v 5)=2 （9分）（4）补图如图四（12分）17．求P →Q ∧R 的合取范式与主析取范式．P →（R ∧Q ）⇔┐P ∨(R ∧Q ) （4分）⇔ （┐P ∨Q ）∧（┐P ∨R ） （合取范式） （6分）P →（R ∧Q ）⇔┐P ∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q) )∨(R ∧Q ) （7分）⇔(┐P ∧┐Q )∨(┐P ∧Q)∨(R ∧Q ) （8分）⇔((┐P ∧┐Q )∧ (┐R ∨R ))∨(┐P ∧Q )∨(R ∧Q ) （9分）⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q )∨(R ∧Q ) （10分）⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨((┐P ∧Q )∧(┐R ∨R ))∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨((┐P ∨P )∧(R ∧Q ))⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨ v 1 v 2 v 3 v 4 图三 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 图四 v 5(┐P ∧Q ∧R )∨ (P ∧R ∧Q ) （主析取范式） （12分）说明：此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．六、证明题（本题共8分）18．设连通无向图G 有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G 中可能有的顶点数．证明： 可利用数列可图化及握手定理解答顶点度数和为214=28， （2分）28-（34+43）=4，则知其他顶点度数和为4， （4分）对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：2个2度点；1个2度点和2个1度点；4个1度点， （6分）即对应图的顶点数分别至少为9、10、11． （8分）2011年 7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．C 3．C 4．D 5．B1．若集合A ={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A ．{2}AB ．{1，2}AC ．1AD ． 2 A2．设G 为无向图，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．无向图G 的结点的度数等于边数的两倍．B ．无向图G 的结点的度数等于边数．C ．无向图G 的结点的度数之和等于边数的两倍．D ．无向图G 的结点的度数之和等于边数．3．图G 如图一所示，以下说法正确的是( ) ． A ．{(a ，b )}是边割集B ．{ a ，c }是点割集C ．{d }是点割集D ．{ (c ，d )}是边割集 图一4．设集合A ={1}，则A 的幂集为( )．A ．{{1}}B ．{1，{1}}C ．{，1}D ．{，{1}}5．设A (x )：x 是人，B (x )：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”可符号化为（ ）．A ．┐(∃x )( A (x ) → ┐B(x))B ．┐(∃x )( A (x )∧┐B (x ))C ．┐(∃x )( A (x )∧B (x ))D ．(∀x )( A (x )∧B (x ))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∨的真值是 真（或T ，或1） ．7．若无向图T 是连通的，则T 的结点数v 与边数e 满足关系v= e +1 时，T 是树．8．无向图G 是欧拉图的充分必要条件是 G 是连通的且结点度数都是偶数 ．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<2,2>,<1,2>}，则在R 中仅需加入一个元素 <1, 1> ， a b c de f就可使新得到的关系为自反的．10．( x )(P (x )→R (y )∨S (z )) 中的约束变元有 x ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．设P ：雪是黑色的， （2分）则命题公式为：P ． （6分）12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．设 P ：如果明天下雨， Q ：我们在室内上体育课， （2分）则命题公式为：P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>，<1, 4>}，则f 是A 到B 的函数． 错误． （3分）因为A 中元素1有B 中两个不同的元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数． （7分）14．设G 是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G 有6个面．正确． （3分）因G 是一个连通平面图，满足欧拉定理，有v -e +r =2，所以r =2-（v -e ）=2-（5-9）=6 （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出P →（R ∧Q ）的合取范式．P →（R ∧Q ）┐P ∨（R ∧Q ） （6分）(┐P ∨R ) ∧（┐P ∨Q ）（合取范式） （12分）16．设A ={{1}, {1, 2}，1}，B ={ 1, 2, {2}}，试计算（1）（A ∩B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∩B ）A ．（1）（A ∩B ）={1} （4分）（2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} （8分）（3）（A ∩B ）A = （12分）17．试画一棵带权为2, 3, 3, 4, 5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．最优二叉树如图二所示．（10分） 图二权为23+33+32+42+52=39 （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R 与S 是集合A 上的对称关系，则R ∩S 也是集合A 上的对称关系．证明：设x ，y A ，因为R 对称，所以若<x , y >R ，则<y , x >R ． （2分）因为S 对称，所以若<x , y >S ，则<y , x >S ． （4分）于是若<x , y >R ∩S 则<x , y >R 且<x , y >S2 3 3 4 5 5 10 7 17即 <y , x >R 且<y , x >S （6分）也即<y , x > R ∩S ，故R ∩S 是对称的． （8分）中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题2011年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C1．若集合A ＝{ a ，{1}}，则下列表述正确的是( )．A ．{1}∈AB ．{1}⊆AC ．{a }∈AD ．∅∈A2．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．E v V v =∑∈)deg( D ．E v Vv 2)deg(=∑∈ 3．如图一所示，以下说法正确的是 ( )． A ．(e , c )是割边 B ．(d, e )是割边 C ．(b , a )是割边 D ．(b, c )是割边4．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( ) ．A ．PB ．（P ∧Q ）C ．（P ∨P ）D ．（P ∨Q ）5．下列等价公式成立的为( )．A ．P ∧Q P ∨QB ．Q →P P →QC ．⌝P ∧P ⌝Q ∧QD ．⌝P ∨P Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={0, 1, 2}，B ={1,2, 3, 4,}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<1, 1>，<1, 2>，<2, 1>，<2, 2>} ．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ．8．设G ＝<V , E >是有20个结点，25条边的连通图，则从G 中删去 6 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 所有结点的度数全为偶数且 连通 ．10．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ∀消去量词后的等值式为 A (1) ∧A (2) ．a b c d 图一 e三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．11．设P ：小李学习努力，Q ：小李会取得好成绩， （2分） P Q ． （6分）12．设P ：小张学习努力，Q ：小王取得好成绩， （2分） P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1R 2是自反的． 14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．13．正确． （3分）R 1和R 2是自反的，x ∈A ，<x , x > ∈ R 1，<x , x > ∈R 2，则<x , x > ∈ R 1R 2，所以R 1R 2是自反的． （7分）14．正确． （3分）因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数． （7分） 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A ={{2},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．16．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)}，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．17．设谓词公式),()),,(),((z y yC z y x zB y x A x ∀∧∀∧∃，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．15．（1）A B ={2,{2}} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{2},1>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）16．（1）G 的图形表示如图三：图二v 1 v 2 v 3 v 4 图三 v 5（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010000110110110110000100 （6分） （3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，2，1 （9分） （4）补图如图四：（12分）17．（1）x 量词的辖域为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧， （2分） z 量词的辖域为),,(z y x B , （4分）y 量词的辖域为),(z y C ． （6分）（2）自由变元为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧中的y ，以及),(z y C 中的z （9分）约束变元为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧中的x 与(,,)B x y z 中的z ，以及(,)C y z 中的y ． （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．18．证明：设S = A ⋃ (B ⋂C )，T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，（1分）即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． （2分）也即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， （3分）即 x ∈T ，所以S ⊆T ． （4分）反之，若x ∈T ，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， （5分）即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ， （6分）也即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ． （7分）因此T =S ． （8分）2011年1月v 1 v 2 v 3 v 4图四 v 5一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．B1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，{ a ，b }}，则（ ）．A ．A ∉B B ．A BC ．A BD ．A B2．集合A ={x |x 为小于10的自然数}，集合A 上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（ ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递且对称的D ．反自反且传递的3．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( )．图一A ．（a ）仅为弱连通的B ．（b ）仅为弱连通的C ．（c ）仅为弱连通的D ．（d ）仅为弱连通的4．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110 则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 5．下列公式 ( )为永真式．A ．⌝P ∧⌝QP ∨Q B ．(P →(Q →P ))(⌝P →(P →Q )) C ．(Q →(P ∨Q )) (⌝Q ∧(P ∨Q )) D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) Q 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ＝{1，2，3}，那么集合A 的幂集是 {,{1},{2 },{3 },{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ． 7．设A ={a ，b }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 4 ．8．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x A , y A , x +y <4}，则R 的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>} ．9．无向连通图在结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系时是树．10．(∀x )(A (x )→B (x ))∨C (x ，y )中的自由变元为 C (x ，y )中的x 与y ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．11．设P ：他们去旅游，Q ：明天天晴， （2分）P →Q ． （6分）12．设P ：今天下雪， （2分）P ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．汉密尔顿图一定是欧拉图．错误． （3分）存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）反例见图二． （7分）14．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）（F （x ）→G （y ）） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） ES （1）．1、错误． （3分）（2）应为F （a ）→G （y ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A ={0，1，2，3，4，5，6}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <1}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．R ={<0,0>} （2分）S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）R S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>} （6分）R -1={<0,0>} （8分）S -1= S （10分）r (R )=I A ． （12分）16．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 6的最优二叉树,计算它们的权．最优二叉树如图四：图四 （10分）权为：13+23+23+33+61=30 （12分）注: 其他正确的最优二叉树参照给分．17．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式，合取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ） 1 2 2 3 3 6 8 5 14图二（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分） (P ∧Q )∨（R ∨Q ） (P ∨R ∨Q )∧(Q ∨R ∨Q ) (P ∨R ∨Q ) 析取、合取范式 （12分）注: 其他正确答案参照给分．六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )， 若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ． （4分）反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ．因此T =S ． （8分）2010年 7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．D 3．B 4．C 5．B1．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A ．2AB ．{1}AC ．1AD ． 2 A2．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( )．A ．6B ．4C ．3D ．5 3．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101110011000011100111110, 则G 的边数为( )． A ．1 B ．7 C ．6 D ．144．设集合A ={a }，则A 的幂集为( )．A ．{{a }}B ．{a ，{a }}C ．{，{a }}D ．{，a }5．下列公式中 ( )为永真式．A ．⌝A ∧⌝ B⌝A ∨⌝B B ．⌝A ∧⌝ B ⌝(A ∨B ) C ．⌝A ∧⌝ BA ∨B D ．⌝A ∧⌝ B ⌝(A ∧B ) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∧的真值是 假（或F ，或0） ．7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 4 ．8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = t -1 ．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 <2, 1> ，就可使新得到的关系为对称的．10．( x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．设P ：今天上课， （2分）则命题公式为：P ． （6分）12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间， （2分）则命题公式为：P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>}，则f 是A 到B 的函数．14．设G 是一个有4个结点10条边的连通图，则G 为平面图．13．错误． （3分）因为A 中元素2没有B 中元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数． （7分）14．错误． （3分）不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ） ┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ） （4分）(┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ） （8分）(┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式） （12分）16．设A ={{1}, 1, 2}，B ={ 1, {2}}，试计算（1）A ∩B （2）A ∪B （3）A （A ∩B ）．（1）A ∩B ={1} （4分）（2）A ∪B ={1, 2, {1}, {2}} （8分）（3） A （A ∩B ）={{1}, 2} （12分）17．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , d ), (b , c ), (b , d ), (c , d )}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试（1）画出G 的图形；（2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．（1）G 的图形表示如图一所示：图一a b c d 112 4 5 3（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101111011110 （6分） （3）最小的生成树如图二中的粗线所示：（10分）权为：1+1+3=5 （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．证明：设x A ，因为R 自反，所以x R x ，即< x , x >R ；又因为S 自反，所以x R x ，即< x , x >S ． （4分）即< x , x >R ∩S （6分）故R ∩S 自反． （8分）2010年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．C 3．B 4．B5．D 1．若集合A ＝{ a ，{a }}，则下列表述正确的是( )．A ．{a }⊆AB ．{{{a }}}⊆AC ．{a ，{a }}∈AD ．∅∈A2．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( )A ．（P ∧Q ）B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．（P ∨Q ）D ．（P ∧Q ）3．无向树T 有8个结点，则T 的边数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．94．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( )．A ．a 是割点B ．{b, c }是点割集C ．{b , d }是点割集D ．{c }是点割集图一5．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q P ∨QB ．P →Q ⌝P →Q 图二ab c d 1 1 2 453C ．Q →P PD ．⌝P ∧(P ∨Q )Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={2, 3, 4}，B ={1, 2, 3, 4}，R 是A 到B 的二元关系，},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>}，<3, 4>，<4, 4>} ．7．如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含<a , a >，< b , b > 等元素．8．设G ＝<V , E >是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G 中删去 5 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图，则m 等于 n +k 2 ．10．设个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 大于1”，则谓词公式()()x A x ∃的真值为 真（或T ，或1） ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．设P ：今天考试，Q ：明天放假． （2分）则命题公式为：P ∧Q ． （6分）12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．设P ：我去旅游，Q ：我有时间， （2分）则命题公式为：P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．错误． （3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图． （7分）14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二错误． （3分）集合A 的最大元与最小元不存在，a 是极大元，f 是极小元，． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．（1）x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→， （3分）z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分）（2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ， （9分）约束变元为x 与z ． （12分）16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．（1）A B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100 （6分） （3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A A=B B ，则A=B ．证明：设x A ，则<x ，x >A A ， （1分）因为A A=B B ，故<x ，x >B B ，则有x B ， （3分）所以A B．（5分）设x B，则<x，x>B B，（6分）因为A A=B B，故<x，x>A A，则有x A，所以B A．（7分）故得A=B．（8分）2009年10月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．C 3．B 4．C 5．A1．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图2．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．传递的D．反自反3．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．极大元C．最小元D．极小元4．图G如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, d)}是割边B．{(a, d)}是边割集C．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D．{(b, d)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(∃x)(A(x)∧B(x)) B．(∀x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，则A∩B=空集（或）．7．设集合A={1，2，3}上的函数分别为：f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,} ．8．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|（或“边数的两倍”）．9．无向连通图G的结点数为v，边数为e，则G当v与e满足e=v-1 关系时是树．10．设个体域D＝{1, 2, 3}，P(x)为“x小于2”，则谓词公式(∀x)P(x) 的真值为假（或F，或0）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．设P：他是学生，（2分）则命题公式为：P．（6分）12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游， （2分）则命题公式为： P Q ．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）F （x ）→G （x ） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误． （3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）14．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．图二错误． （3分）因为图G 为中包含度数为奇数的结点． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与合取范式．（P ∨Q ）→R （P ∨Q ）∨R （4分）(P ∧Q )∨R （析取范式） （8分）(P ∨R )∧(Q ∨R) （合取范式） （12分）16．设A ={0，1，2，3}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤2}，试求R ，S ，R •S ，S -1，r (R )．R =, S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>} （3分）R S =， （6分）S -1= S ， （9分）r (R )=I A ={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}． （12分）17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．最优二叉树如图三所示（10分） 图三权为13+23+22+32+42=27 （12分）1 22 3 3 4 7 5 12六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C) ．证明：设S= A⋃ (B⋂C)，T=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，若x∈S，则x∈A或x∈B⋂C，即x∈A或x∈B且x∈A 或x∈C．也即x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈T，所以S⊆T．（4分）反之，若x∈T，则x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，也即x∈A或x∈B⋂C，即x∈S，所以T⊆S．因此T=S．2009年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．B 3．B 4．D 5．C1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A B，且A B B．A B，但A BC．A B，但A∉B D．A B，且A∉B2．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．34．如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．┐(∃x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为1024 ．7．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为8 ．8．若A={1,2}，R={<x, y>|x A, y A, x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>} ．9．结点数v与边数e满足e=v-1 关系的无向连通图就是树．10．设个体域D＝{a, b, c}，则谓词公式(∀x)A(x)消去量词后的等值式为A (a) ∧A (b)∧A（c）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）P Q ． （6分）12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．设P ：今天下雨， （2分）P ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）F （x ）→G （x ） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误． （3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．图二错误． （3分）集合A 的最大元不存在，a 是极大元． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的合取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ）（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分）(P ∧Q )∨（R ∨Q ）(P ∨R ∨Q )∧(Q ∨R ∨Q ) (P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式 （12分）16．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．R =, （2分）S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）R S =， （6分）R -1=， （8分）S -1= S ， （10分）r (R )=I A ． （12分）17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．1 2 2 3 3 4 7 5 12权为13+23+22+32+42=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G 是G的补图)．证明：因为n是奇数，所以n阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分）因此，若G中顶点v的度数为奇数，则在G中v的度数一定也是奇数，（6分）所以G与G中的奇数度顶点个数相等．（8分）2008年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．B 3．A 4．C 5．D1．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R32．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、13．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．14．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为，则G有（）．A．5点，8边B．6点，7边C．6点，8边D．5点，7边二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是{,{a,b},{a},{b }} ．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)A(x)∧（∃x）B（x）消去量词后的等值式为(A (a)∧A (b))∧(B（a）∨B（b）) ．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消，（1分）P Q．（4分）12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．设P：今天有人来，（1分）P．（4分）13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，（1分）(x)(P(x)Q(x))．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．15．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图一14．正确．（3分）┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）另种说明：┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P⇔T15．正确．（3分）对于集合A的任意元素x，均有<x, a>R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）16．设集合A={1，2，3，4}，R={<x, y>|x, y∈A；|x y|=1或x y=0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图为（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。
离散数学考试试题（A、B卷及答案）
离散数学考试试题（A、B卷及答案）离散数学考试试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取(Q->p)证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律( A∧(P?Q))∨C(A∧(P?Q))→C2) ?(P↑Q)??P↓?Q。
证明:?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。
二、分别用真值表法与公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式,并写出其相应的成真赋值与成假赋值(15分)。
主析取范式与析取范式的区别:主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明:公式法:因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P ∨R∨?R) (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)4M使(非P析取Q析取R)为0所赋真值,即100,二进制为4M∧6M∧50m∨1m∨2m∨3m∨7m所以,公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式,其相应的成真赋值为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
真值表法:0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0111111111111111111为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
学历类《自考》自考专业(计算机应用)《离散数学》考试试题及答案解析
学历类《自考》自考专业(计算机应用)《离散数学》考试试题及答案解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________1、下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。
A 、2,3,4,5,6,7 B 、1,2,2,3,4 C 、2,1,1,1,2 D 、3,3,5,6,0 正确答案：B 答案解析：暂无解析2、下列几个图是简单图的有( )。
A 、G1=(V1,E1),其中V1={a,b,c,d,e},E1={ab,be,eb,ae,de}B 、G2=(V2,E2)其中V2=V1,E2={,,,,,}C 、G=(V3,E3),其中V3=V1,E3={ab,be,ed,cc}D 、G=(V4,E4),其中V4=V1,E4={（a,a ）,（a,b ）,（b,c ）,（e,c ）,（e,d ）}。
正确答案：B 答案解析：暂无解析3、下列图中是欧拉图的有( )。
A 、 B 、 C 、 D 、 正确答案：B 答案解析：暂无解析4、与命题公式P→(Q→R)等价的公式是( ) A 、 B 、 C 、 D 、 正确答案：B 答案解析：暂无解析5、命题公式(A∧(A→B))→B 是一个矛盾式。
1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析6、任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析7、根树中最长路径的端点都是叶子。
1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析8、若集合A上的关系R是对称的，则R∧-1也是对称的。
1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析9、数集合上的不等关系(≠)可确定A的一个划分。
1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析10、设集合A、B、C为任意集合，若A×B=A×C，则B=C。
1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析11、函数的复合运算“。
”满足结合律。
离散数学复习题
离散数学复习题一、单项选择题1.下列命题公式为重言式的是【 A 】。
A．p→(p∨q) B．(p∨┐p)→qC．q∧┐q D．p→┐q2．下列语句中不是．．命题的是【 A 】。
A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
3．设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}，则A上包含关系“⊆”的哈斯图为【 C 】4．在公式)QyzPyxP∧∀→x∃y∃中变元y是【 B 】。
(z()))y,(()())((,A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元5．设A={1，2，3}，A上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S是【 D 】。
A．自反关系B．反自反关系C．对称关系D．传递关系6．图中从v1到v3长度为3 的通路有【 D 】条。
离散数学试卷（B）第1页（共6页）离散数学试卷（B ）第2页（共6页）A ．0；B ．1；C ．2；D ．3。
7．在下列代数系统中，不是环的只有【 C 】。
A ．<Z ，+，*)，其中Z 为整数集，+，*分别为整数加法和乘法。
B ．(Q ，+，*)，其中Q 为有理数集，+，*分别为有理数加法和乘法。
C ．<R ，+，*>，其中R 为实数集，+为实数加法，a*b=a+2b 。
D ．<M n (R)，+，*>，其中M n (R)为实数集n×n 阶矩阵结合，+，*是矩阵加法和乘法。
8．下列整数集对于整除关系都构成偏序集，而能构成格的是【 B 】。
A ．{l ，2，3，4，5} B ．{1，2，3，6，12} C ．{2，3，7}D ．{l ，2，3，7}9．结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【 D 】。
A ．欧拉图 B ．汉密尔顿图 C ．非平面图D ．不存在的10．无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且【 C 】。
计算机 离散数学-试题及答案
计算机离散数学-试题及答案1、下列语句中，不是命题的有（）A、 5能被2整除B、太阳系以外的星球上有生物C、现在开会吗？D、小李在宿舍里答案： C2、下列命题中真值为T的有（）A、若2+2=4,则3+3¹6;B、若2+2=4,则3+3=6;C、 2+2=4,当且仅当3+3¹6;D、 2+2¹4,当且仅当3+3=6;答案： B3、用P表示：天下大雨；Q表示：他乘公共汽车上班。
将“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。
”符号化正确的是（）A、 P®QB、Q®PC、PÙQD、PÚQ答案： A4、集合{a,b,c}的幂集的元素个数为（）A、 6B、 9C、 7D、 8答案： D5、对于集合S={,{1},{1,2}},下列表达式正确的是A、{1,2}ÎSB、2ÎSC、1ÎSD、{2}ÎS答案： A6、与谓词公式~P®Q等价的公式是A、~PÚQB、P~ÚQC、~P~ÚQD、PÚQ答案： D7、集合A={a,b}与集合B={1,2}的笛卡儿乘积为A、 {(a,1(b,2)}B、 {(a,2)(b,1)}C、 {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2)}D、 {(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}答案： D8、无向图的关联矩阵中“关联”指的是A、顶点与顶点的关联B、边与边的关联C、边与顶点的关联D、都不是答案： C9、与公式A等价的公式是（）A、公式A的前束范式B、公式A的斯柯林范式C、公式A的前束范式和斯柯林范式D、都不是答案： A10、I为整数集，下列系统中不是代数系统的有（）A、 (I,÷ )B、 (I, +)C、 (I,× )D、都不是答案： A11、设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A、 10B、 12C、 16D、 14答案： D12、在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A、 b∧(a∨c)B、 (a∧b)∨(a’∧b)C、 (a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D、 (b∨c)∧(a∨c)答案： A13、设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A、 <{1},·>B、〈{-1},·〉C、〈{i},·〉D、〈{-i},·〉答案： A14、设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A、〈Z，+，/〉B、〈Z，/〉C、〈Z，-，/〉D、〈P(A)，∩〉答案： D15、下列各代数系统中不含有零元素的是( )A、〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B、〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C、〈Z，〉，Z是整数集，定义为xxy=xy,x,y∈ZD、〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算答案： D16、设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A、 R∪IAB、 RC、 R∪{〈c,a〉}D、 R∩IA答案： C17、设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A、｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B、 {〈c,b〉，〈b,a〉}C、 {〈c,a〉，〈b,a〉}D、 {〈a,c〉，〈c,b〉}答案： D18、下列式子正确的是( )A、Ø∈ØB、Ø⊆ØC、{Ø}⊆ØD、{Ø}∈Ø答案： B19、若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为A、 P∨QB、 P∧┐QC、 P→┐QD、 P∨┐Q答案： B20、以下命题公式中，为永假式的是( )A、 p→(p∨q∨r)B、 (p→┐p)→┐pC、┐(q→q)∧pD、┐(q∨┐p)→(p∧┐p)答案： C21、设R1，R2是集合A＝{1，2，3，4}上的两个关系，其中R1＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(4，4)}，R2＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，4)}，则R2是R1的( )闭包．A、自反B、反对称C、对称D、以上都不是答案： C22、与P®Q等价的公式有( )A、PÚQB、~PÚ Q--C、~(PÙ~Q)D、~PÙQ答案： C23、A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},下列关系中A到B的关系不正确的是( )A、 {(d,1),(c,3)}B、 {(a,1),(b,3),(c,3)}C、 {(1,a),(2,b)}D、 {(a,4),(b,3),(c,2),(d,1)}答案： C24、整数集I上的关系“”是( )A、自反的B、对称的C、非对称的D、非传递的答案： C25、集合A={a,{a},{b,c}}的子集不正确有（）A、ÆB、 {b}C、 {a,{a},{b,c}}D、 {a}答案： B26、下列句子中，（）是命题。
计算机数学基础离散数学试题
《计算机数学基础》离散数学试题一、单项选择题(每小题2分，共10分)1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2. 设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )))()(()A (x G x C x ⌝∧⌝∀ ))()(()B (x G x C x ⌝→⌝∀ ))()(()C (x G x C x ⌝→⌝∃ ))()(()D (x G x C x ⌝∧⌝∃3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A (C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}5. 如第5题图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是 ( )二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 设集合A ={∅,{a }}，则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝8.图G 如第8题图所示， 那么图G 的割点是9. 连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是 .10.设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为三、化简解答题(每小题8分，共24分)11. 简化表达式)()))(()))((((A C A B B A C B A -⋂--⋃⋂-⋃.12. 设代数系统(R *, ︒)，其中R *是非0实数集，二元运算︒为：∀a ,b ∈R , a ︒b =ab. 试问︒是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元.13. 化简布尔表达式)(b a c b a a +⋅⋅+.四．计算题(每小题8分，共32分)14. 求命题公式)()(Q P Q P ⌝∨⌝∧∧的真值表.15.试求谓词公式),()),(),()((y x A y x yR y x xQ x P x ∨∃→∃∧∀中，∀x ,∃x ,∃y 的辖域，试a b f c e d第8题图问R (x ,y )和A (x ,y )中x ,y 是自由变元，还是约束变元？ 16.设R 1是A 1＝{1,2}到A 2＝(a ,b ,c )的二元关系，R 2是A 2到A 3＝{βα,}的二元关系， R 1= {<1,a >,<1,b >,<2,c >}, R 2={<a ,β>,<b ,β>} 试用关系矩阵求R 1∙R 2的集合表达式.v 2v 4 v 3第17题图五、证明题(第18题10分，第19题9分) 18. 证明S S P R R Q Q P ⌝⇒⌝∨∧⌝∧∨⌝∧→))())(()( 19. 设G 为9个结点的无向图，每个结点的度数不是5就是6，试证明G 中至少有5个度数为6的结点，或者至少有6个度数为5的结点.《计算机数学基础》离散数学试题解答一、单项选择题(每小题2分，共15分) 1.B 2.D 3. C 4.A 5.C二、填空题(每小题3分，共15分) 6. }}}{,{}},{{},{,{a a ∅∅∅7.{<6,3>,<8,4> } 8.a , f 9. D 中每个结点的入度＝出度. 10. 见第10题答案图.三、化简解答题(每小题8分，共24分)11 )()))(()))((((A C A B B A C B A -⋂--⋃⋂-⋃分）（分）（分）（分）（86)~4)())((2)()))(~((∅=⋂⋂=-⋂⋂⋃=-⋂⋃⋂⋃=A C A A C B A A A C A B B A12. ∀a ,b ,c ∈R *, a ︒b =ab =ba =b ︒a ，可交换； (2分) (a ︒b )︒c =ab ︒c =abc =a (bc )=a ︒(bc )=a ︒(b ︒c )，可结合. (4分) 易见，单位元为1. (6分)对∀a ∈R *, a ︒a －1=aa －1=1=a －1a ＝a －1︒a ，故a 的逆元：aa 11=- (8分) c 第10题答案图17 图G 如第17题图求图G 的最小生成树.13.)(b a c b a a +⋅⋅+＝b a a c b a a ⋅+⋅⋅⋅+ (2分)＝b a a ⋅+ (5分) ＝b a b a a a +=+⋅+)()( (8分) 四、计算题(每小题8分，共32分)表中最后一列的数中，每对1个数得2分.15. ∀x 的辖域：)),(),()((y x yR y x xQ x P ∃→∃∧ (2分) ∃x 的辖域：Q (x ,y ) (4分) ∃y 的辖域：R (x ,y ) (6分)R (x ,y )中的x ,y 是约束变量，A (x ,y )中的x ,y 是自由变量. (8分)16. ,1000111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R M (2分)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0010102R M (4分) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∙10001121R R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010001010 (6分) },1{21><=∙βR R (8分)v 2v 4 v 3第17题答案图 五、证明题(第18题10分，第19题9分，共19分) 18.①⌝Q ∨R P （2分） ②⌝R P (4分)③⌝Q ①，②析取三段论17 图G 的最小生成树， 如第17题答案图. 首先选对边(v 1,v 2)得2分， 再每选对一条边得1分.④P→Q P (7分)⌝③，④拒取式⑤P⑥P∨⌝S P⑦⌝S⑤，⑥析取三段论 (10分)19. 由第5章定理1(握手定理)的推论，G中度数为5的结点个数只能是0,2,4,6,8五种情况；(3分)此时，相应的结点度数为6的结点个数分别为9，7，5，3，1个，(6分)以上五种对应情况(0,9),(2,7),(4,5),(6,3),(8,1)，每对情况，两数之和为9，且满足第2个数大于或等于5，或者第1个数大于或等于6，意即满足至少有度数为6的结点5个，或者至少有度数为5的结点6个, (9分)。
专升本《离散数学》_试卷_答案
专升本《离散数学》一、（共75题,共150分）1. 集合，则（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B2. 集合，则下列哪个不是的元素（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B3. 设，在条件且下与（）集合相等。
（2分）A.或B.或C.，或D.，或标准答案：C 4. 集合上的关系，则是（）（2分）A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的标准答案：B5. 集合,下列不是到的关系的是（）（2分）A.B.C.D.标准答案：A6. ，表示求两数的最小公倍数的运算（表示整数集合），对于运算的零元是（）（2分）A.B.C.D.不存在标准答案：D7. 下面各集合都是的子集，（）集合在普通加法运算下是封闭的。
（2分）A.B.C.D.标准答案：A8. 设集合，“”为整除关系，则代数系统（）（2分）A.是域B.是格，不是布尔代数C.是布尔代数D.不是代数系统标准答案：C9. 在（）中，补元是唯一的。
（2分）A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格。
标准答案：D10. 下列语句中，真命题的是( ) （2分）A.请把门关上B.是素数C.D.太阳从西边升起标准答案：B11. 是自然数集，是小于等于关系，则是（）。
（2分）A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格标准答案：C12. 下列函数中，（）是双射（2分）A.B.（除以的余数）C.D.标准答案：D13. 设为集合，，在上有（）种不同的关系。
（2分）A.B.C.D.标准答案：D14. 设是个结点、条边和个面的连通平面图，则等于（）。
（2分）A.B.C.D.标准答案：A15. 对于独异点，则下列说法正确的是（）（2分）A.不一定有单位元B.满足交换律C.一定是半群D.独异点就是群标准答案：C16. 群中，当（）时，该群一定是循环群。
（2分）A.B.C.D.标准答案：B17. 设，为普通乘法，则是（）（2分）A.代数系统B.半群C.群D.都不是标准答案：D18. 下列各图哪个一定是树（）（2分）A.有个结点，条边的连通图B.每对结点之间都有路的图C.有个结点，条边的图D.以上说法都不正确标准答案：A19. 在如下各图中是欧拉图的是（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B20. 下列等价关系正确的是（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B21. 下列哪些关系是对称关系（）（2分）A.B.C.D.标准答案：A,D22. 的合取范式为（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B,D23. 关于复合运算，下列说法正确的是（）（2分）A.置换的复合不一定是置换B.置换在复合运算下是封闭的C.可数集的无限子集仍是可数集D.以上说法都正确标准答案：B,C24. 为命题，则下述公式中是重言式为（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B,D25. 令我上街；我去书店看看；我很累则命题“如果我上街，我就去书店看看，除非我很累”可以符号化为（）（2分）A.B.C.D.标准答案：A,D26. 若集合，则（）（2分）A.且B.但C.但D.且标准答案：A27. 在（）下有。
东华大学《离散数学》2021-2022学年第一学期期末试卷B卷(B)
东 华 大 学 试 卷2021-2022学年第 1 学期 课号课程名称 离散数学 （期末; 闭卷） 适用班级（或年级、专业）1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =⋂⋃-2、构造下面命题推理的证明如果我学习，那么我数学不会不及格；如果我不热衷于玩游戏机，那么我将学习；但我数学不及格，因此我热衷与玩游戏机。
二 、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2、3、4小题各10分，总计35分） 1、画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
2、设()(){}212,，，个体域为为，整除为<x x Q y x y x P ，求公式： ()()()()()x Q y x P y x →∃∀,的真值。
3、一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。
4、设集合{}A d c b a A ,,,,=上的关系 {}d c c b a b b a R ,,,,,,,=，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。
三、设{}15,9,5,3=A 上的整除关系{}212121,,,a a A a a a a R 整除∈=，R 是否为A 上的偏序关系？若是，则：1、画出R 的哈斯图；2、求A 的极大值和A 的极小值。
（本大题10分）四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。
（本大题10分） 五、设自然数集N 上的关系R 定义为：{}I m n n N n n n n R m ∈=∈=,2/,,,212121，证明：R 是N 上的等价关系。
（本大题10分）六、设+R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+→R R f :为r r f 10)(=，证明 ),(),(⨯++R R f 到是从的同构映射。
（本大题10分）七、设I 是整数集合，＋是普通加法，试证明>+<,I 是一个群。
离散数学试题(2016)_B(答案)-推荐下载
第1页 共6页第2页 共 6页一、填空题（每小题3分，共15分）1.设F (x )：x 是苹果，H (x ，y )：x 与y 完全相同，L (x ，y )：x =y ，则命题“没有完全相同的苹果”的符号化（利用全称量词）为∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧⌝L (x ，y )→⌝H (x ，y ))．2.命题“设L 是有补格，在L 中求补元运算‘′’是L 中的一元运算”的真值是 0 ．3.设G ={e ，a ，b ，c }是Klein 四元群，H =〈a 〉是G 的子群，则商群G /H ={〈a 〉，{b ，c }}={{e ，a }，{b ，c }}．4.设群G =〈P ({a ，b ，c })，⊕〉，其中⊕为集合的对称差运算，则由集合{a ，b }生成的子群〈{a ，b }〉 ={∅，{a ，b }}．5.已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图有n (n -1)/2-m 条边．二、选择题（每小题3分，共15分）1.命题“只要别人有困难(p )，小王就会帮助他(q )，除非困难已经解决了(r )”的符号化为 【B 】A ．⌝(p ∧r )→q ．B ．(⌝r ∧p )→q ．C ．⌝r →(p ∧q )．D ．⌝r →(q → p )．2.设N 为自然数集合，“≤”为通常意义上的小于等于关系，则偏序集〈N ，≤〉是 【C 】A ．有界格．B ．有补格．C ．分配格．D ．布尔代数．3.设n (n ≥3) 阶无向图G =〈V ，E 〉是哈密尔顿图，则下列结论中不成立的是 【D 】A ．∀V 1⊂V ，p (G -V 1)≤|V 1|．B ．|E |≥n ．C ．无1度顶点．D ．δ(G )≥n /2．4.设A ={a ，b ，c }，在A 上可以定义 个二元运算，其中有 个是可交换的，有 个是幂等的． 【A 】A ．39，36，36．B ．39，36，33．C ．36，36，33．D ．39，36，39．5.下列图中是欧拉图的有【C 】A ．K 4，3．B ．K 6．C ．K 5．D ．K 3，3．三、计算与简答题（每小题10分，共50分）1.利用等值演算方法求命题公式(p ∨q ) → (q →p )的主合取范式；利用该主合取范式求公式的主析取范式，并指出该公式的成真赋值和成假赋值．(p ∨q ) → (q →p ) ⇔⌝(p ∨q )∨(⌝q ∨p ) ⇔(⌝p ∧⌝q )∨(⌝q ∨p )⇔(⌝p ∨⌝q ∨p )∧(⌝q ∨⌝q ∨p ) ⇔⌝q ∨p ⇔p ∨⌝q哈尔滨工程大学试卷考试科目：离散数学（061121，061131）考试时间： 2008.07.09 9:00-11:00题号一二三四五总分分数评卷人第5页 共6页第6页 共 6页=(a ∧b )∨((a ∨c )∧(b’ ∨c’ ∨c ))=(a ∧b )∨(a ∨c )=(a ∨(a ∨c ))∧(b ∨a ∨c )=(a ∨c )∧(a ∨c ∨b )=a ∨c四、证明题（共20分）1.在自然推理系统中，构造推理证明：前提：∀x (F (x )∨G (x ))结论：⌝∀xF (x )→ ∃xG (x )证明：(1) ⌝∀xF (x ) 附加前提引入(2) ∃x ⌝F (x ) (1)置换(3) ⌝F (c )(2)EI 规则(4) ∀x (F (x )∨G (x )) 前提引入(5) F (c )∨G (c ) (4)UI 规则(6) G (c )) (3)(5)析取三段论(7) ∃xG (x )(6)EG 规则2.设代数系统〈A ，*〉是独异点，e 是其单位元．若∀a ∈A ，有a *a =e ，证明：〈A ，*〉是Abel 群．证明：由于对∀a ∈A ，有a *a =e ，因此，A 中任意元素a 都有逆元，且a=a -1．又〈A ，*〉是有单位元的独异点，从而〈A ，*〉是群．∀a ，b ∈A ，有a *b ∈A ，且a=a -1，b=b -1，(a *b )-1=a *b ．又(a *b )-1=b -1*a -1=b *a ，因此 a *b =b *a ，即〈A ，*〉是Abel 群．3.证明：若无向图G 为欧拉图，则G 无桥．证明：（1）假设G 中有桥，不妨设e =(u ，v ) 为其一座桥．这样，从中删去边e =(u ，v )后，所得图G ’一定不连通（G ’至少含有两个连通分支）．由于G 为欧拉图，因此它是连通图，且有经过每条边一次且仅一次的回路，这条回路必经过G 的所有顶点．从而存在顶点v 1，v 2，…，v s ，使得uv 1v 2…v s vu 是G 的一条回路．从G 中删去边e =(u ，v )后，所得图G ’仍有从u 到v 的通路uv 1v 2…v s v ，这样G ’仍是连通图．矛盾．因此，G 中一定无桥．（2）由于G 为欧拉图，其每个顶点的度数均为偶数．假设G 中有桥，不妨设e =(u ，v ) 为其一座桥．这样，从中删去边e =(u ，v )后，所得图G ’至少有两个连通分支．而且，顶点u ，v 的度数都是奇数，这与每个连通分支为图矛盾（与握手定理矛盾），因此，G 中一定无桥．。
离散数学(B卷)参考答案
2007-2008学年第2学期期末考试试卷（B卷）参考答案及评分标准一、填空题（4小题，每空2分，共20分）1、2n2、T3、225，220，52，55，5！4、ℵ，ℵ0二、判断题（4小题，每小题2分，共8分。
正确的划√，错误的划×。
）1、√2、×3、√4、√三、计算或简答题（5小题，共36分）1、在命题逻辑中把下列命题符号化（3小题，每题3分，共9分）（1）设P：别人有困难，Q：老王帮助别人，R：困难解决了。
符号化为(P∧⌝R)→Q或⌝R→(P→Q)（2）设P：我今天上街，Q：我有时间。
符号化为Q→P（3）设P：n是整数，Q：n是偶数，R：n能被2整除。
符号化为(P∧Q)⇄R2、在谓词逻辑中把下列命题符号化（3小题，每题3分，共9分）（1）设P(x)：x是无理数，Q(x)：x能表示成分数。
符号化为⌝∃x (P(x)∧Q(x)) 或∀x(P(x)→⌝Q(x))（2）设P(x,y)：x=y，Q(x)：x是实数，符号化为∀x(Q(x)∧⌝P(x,0)→∃y(Q(y)∧P(xy,1)))或者∀x∃y (Q(x)∧⌝P(x,0)→(Q(y)∧P(xy,1)))（3）设P(x)：x是人，Q(x)：x努力，R(x)：x成功。
符号化为∀x(P(x)∧R(x)→Q(x))3、用等价演算法求下面公式的主析取范式.主合取范式：P→(Q→R)⇔⌝P∨(⌝Q∨R) ⇔⌝P∨⌝Q∨R...............[斟酌给0～2分]公式的所有极小项有⌝P∧⌝Q∧⌝R，⌝P∧⌝Q∧R，⌝P∧Q∧⌝R，⌝P∧Q∧R，P∧⌝Q∧⌝R，P∧⌝Q∧R，P∧Q∧⌝R，故主析取范式为...........................[斟酌给0～2分] (⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)........................................................[斟酌给0～1分] 4、求下面公式的前束范式（5分）∀x(∃yF(x,y)→⌝∀y(G(x,y)∧∃zH(x,y,z)))⇔∀x(∃yF(x,y)→∃y(⌝G(x,y)∨∀z⌝H(x,y,z)))........................[斟酌给0～1分]⇔∀x(∃uF(x,u)→∃y(⌝G(x,y)∨∀z⌝H(x,y,z))) ........................[斟酌给0～2分]⇔∀x∀u∃y∀z (F(x,u)→(⌝G(x,y)∨⌝H(x,y,z))) .....................[斟酌给0～2分] 5、解：不满足自反性、反自反性、反对称性和传递性。
离散数学期末考试题b及答案
离散数学期末考试题b及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集是指：A. 包含该集合所有子集的集合B. 包含该集合所有元素的集合C. 包含该集合所有非空子集的集合D. 包含该集合所有元素的子集的集合答案：A2. 逻辑表达式p ∧ ¬p 的值是：A. 真B. 假C. 真值表不确定D. 既是真也是假答案：B3. 如果函数f: A → B 是单射的，那么对于任意的 a1, a2 ∈ A，以下哪项是正确的？A. 如果 f(a1) = f(a2)，则 a1 = a2B. 如果 a1 = a2，则 f(a1) = f(a2)C. 如果f(a1) ≠ f(a2)，则a1 ≠ a2D. A和B都正确答案：D4. 在图论中，一个无向图的度是指：A. 该图中顶点的个数B. 该图中边的个数C. 该图中每个顶点的边的个数D. 该图中顶点的度数之和答案：C5. 以下哪个命题是命题逻辑中的重言式？A. p → (q → p)B. ¬p → ¬qC. p ∧ ¬pD. p ∨ ¬p答案：D6. 以下哪个选项是布尔代数的基本运算？A. 与B. 或C. 非D. 所有以上答案：D7. 在图论中，一个图是连通的，当且仅当：A. 任意两个顶点之间都有一条边相连B. 任意两个顶点之间都存在一条路径C. 至少有一个顶点与所有其他顶点相连D. 图中没有孤立的顶点答案：B8. 以下哪个不是关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 单射性答案：D9. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索（DFS）B. 广度优先搜索（BFS）C. 动态规划D. 所有以上答案：D10. 以下哪个是二元关系？A. 等价关系B. 偏序关系C. 函数关系D. 所有以上答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 如果一个集合A有n个元素，那么它的幂集有__2^n__个元素。
2020-2021大学《离散数学》期末课程考试试卷B(含答案)
2020-2021《离散数学》期末课程考试试卷B一、选择题（在下列各题的括号处选择一最恰当的答案，共5小题，每小题3分，共15分）1．设S 表示二年级大学生的集合,R 表示计算机科学系学生的集合,T 表示选修离散数学的学生的集合,G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，则命题“听离散数学课的学生都没有参加星期一晚上的音乐会。
”可表示为 （ ）。
A 、T ⊆GB 、T ∩G=φC 、G ⊆TD 、(R ∩T)⊆G2．下列推理错误的是（ ）（1）如果今天是1号，则明天是5号。
今天是1号，所以明天是5号。
（2）如果今天是1号，则明天是5号。
明天是5号，所以今天是1号。
（3）如果今天是1号，则明天是5号。
明天不是5号，所以今天不是1号。
（4）如果今天是1号，则明天是5号，今天不是1号，所以明天不是5号。
A 、（3） B 、（1）（2）（4） C 、（2）（4） D 、（2）（3） 3．n 阶无向完全图K n 的边数m 是多少？（ ）A 、nB 、n 2C 、n(n-1)D 、2)1(-n n4．设有序对<2x+3,8>=<9,2x+y>则x 与y 分别是（ ）。
A 、3，2B 、-3，2C 、-3，-2D 、3，-25．已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图G 有( )条边。
A 、21)-n(n B 、n(n-1) C 、m n n --2)1( D 、m二、在命题逻辑中将下列命题符号化（共2小题，每小题3分，共6分）1．只有6能被2整除，6才能被4整除。
2．除非你努力，否则你将失败。
三、在一阶逻辑中将下列命题符号化（共2小题，每小题5分，共10分）1．没有不能表示成分数的有理数。
2．在北京卖菜的人不全是外地人。
四、设A={a ，b ，c ，d}，R={<a ，b>，<b ，a>，<b ，c>，<c ，d>}，求R 4。
离散数学试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z， 〉，Z是整数集， 定义为x xy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
离散数学期末考试题b及答案
离散数学期末考试题b及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示"属于"关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 命题逻辑中，以下哪个符号表示"非"？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 以下哪个选项是图的邻接矩阵的正确定义？A. 矩阵的元素表示顶点之间的路径数量B. 矩阵的元素表示顶点之间的边的权重C. 矩阵的元素表示顶点之间的距离D. 矩阵的元素表示顶点之间的连接关系答案：D4. 在布尔代数中，以下哪个运算是幂等的？A. 与运算B. 或运算C. 非运算D. 异或运算答案：C5. 以下哪个选项是哈希函数的基本特性？A. 快速计算B. 容易逆向C. 容易碰撞D. 难以预测答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 有限自动机的三个组成部分是____、____和____。
答案：状态集、输入字母表、转移函数2. 在图论中，一个图的度是指图中一个顶点的____的个数。
答案：边3. 逻辑等价是指两个逻辑表达式在所有可能的变量赋值下都有____的真值。
答案：相同4. 在关系数据库中，____是用于唯一标识关系表中每行数据的属性或属性组。
答案：主键5. 一个算法的时间复杂度是指算法执行时间随输入规模增长的____。
答案：增长趋势三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是图的连通分量。
答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图，即图中任意两个顶点之间都存在路径。
2. 解释一下什么是闭包。
答案：闭包是指在关系数据库中，对于一组属性，如果它们之间存在某种函数依赖关系，则称这组属性的闭包包含了所有依赖于它们的属性。
3. 什么是归纳法证明？答案：归纳法证明是一种数学证明方法，它包括两个步骤：基础步骤（证明当n取第一个值时命题成立）和归纳步骤（假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立）。
4. 请描述一下什么是欧拉路径和欧拉回路。
离散数学期末考试题及答案B
离散数学期末考试题及答案B一、选择题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都不是偶数。
D. 所有偶数都不是整数。
答案：A3. 如果一个函数是单射的，那么它一定是：A. 满射B. 双射C. 单射D. 非单射答案：C4. 在图论中，一个完全图是指：A. 所有顶点都相连的图B. 没有边的图C. 没有环的图D. 只有一个顶点的图答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集有______个元素。
答案：2^n2. 在布尔代数中，逻辑与运算符通常用符号______表示。
答案：∧3. 如果一个图的边数是顶点数的两倍，那么这个图是______。
答案：连通的4. 在命题逻辑中，如果P是真命题，那么¬P是______命题。
答案：假三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：如果一个图是连通的，那么它的任意两个顶点之间至少有一条路径。
证明：假设图G是连通的，这意味着对于G中的任意两个顶点u和v，都存在一条从u到v的路径。
如果不存在这样的路径，那么图G就不是连通的，这与假设矛盾。
因此，如果一个图是连通的，那么它的任意两个顶点之间至少有一条路径。
2. 给定一个有向图G，其中包含顶点A、B、C和D，边AB、BC、CD和DA。
请确定G是否包含环。
解答：观察给定的有向图G，我们可以发现边AB、BC、CD和DA形成了一个环ABCDA。
因此，G包含环。
四、计算题（每题20分，共20分）1. 给定一个布尔函数f(x, y, z) = (x ∧ y) ∨ (¬x ∧ z)，计算f(0, 1, 1)的值。
解答：将x=0, y=1, z=1代入函数中，我们得到：f(0, 1, 1) = (0 ∧ 1) ∨ (¬0 ∧ 1) = 0 ∨ (1 ∧ 1) = 0 ∨ 1 = 1因此，f(0, 1, 1)的值为1。
离散数学试题推荐及答案
离散数学试题推荐及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是命题逻辑中的有效公式？A. (P∧¬P)→QB. (P∨Q)∧¬(P∨Q)C. (P∧Q)∨¬(P∧Q)D. (P→Q)∧(Q→P)答案：A2. 在图论中，以下哪个选项不是连通图？A. 树B. 环C. 完全图D. 非连通图答案：D3. 以下哪个选项是二元关系的自反性质？A. 如果aRb，则bRaB. 如果aRb，则aRaC. 如果aRb，则bRbD. 如果aRa，则aRb答案：B4. 在集合论中，以下哪个选项表示集合A和集合B的交集？A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∈B答案：B5. 以下哪个选项是图论中的路径？A. 从顶点v1到顶点v2的边B. 从顶点v1到顶点v2的边序列C. 从顶点v1到顶点v2的边序列，且边不重复D. 从顶点v1到顶点v2的边序列，且顶点不重复答案：D6. 在命题逻辑中，以下哪个选项是德摩根定律？A. ¬(P∧Q)≡¬P∨¬QB. ¬(P∨Q)≡¬P∧¬QC. ¬(P∧Q)≡¬P∧¬QD. ¬(P∨Q)≡¬P∨¬Q答案：B7. 在集合论中，以下哪个选项表示集合A和集合B的差集？A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∈B答案：C8. 在图论中，以下哪个选项是树的性质？A. 至少有一个环B. 至少有两个顶点C. 没有环D. 至少有三个顶点答案：C9. 在命题逻辑中，以下哪个选项是逻辑等价？A. P∧Q≡Q∧PB. P∨Q≡Q∨PC. P→Q≡Q→PD. P∧Q≡P∨Q答案：A10. 在集合论中，以下哪个选项表示集合A是集合B的子集？A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 在命题逻辑中，合取（AND）的符号是________。
计算机学院 离散数学(上)B卷和参考答案及评分标准
《离散数学（上）》考试试卷（B 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单选题（每小题2分，共20分）1. 若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P ∨QB.P ∧┐QC.P →┐QD.P ∨┐Q2. 设个体域为{,}D a b =,(,)(,)0F a a F a b ==,(,)(,)1F b a F b b ==,则下列公式为真的是( ）A. (,)x yF x y ∃∀；B. (,)x yF x y ∀∃；C.(,)x yF x y ∀∀；D.(,)x yF x y ∃∃¬。
3. 设B 是不含变元x 的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B 4. 对任意集合C B A ,,，下列各式中一定成立的是（ ）A.)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃；B. )()()(C A B A C B A ⋃⋂⊕=⋂⊕；C. )()()(C A B A C B A ⋃⊗⋃=⊗⋃；D. )()(C B A C B A ⨯⨯=⨯⨯。
5. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A6. 设X={a,b,c},Ix 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( )A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉}C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 7. 下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅8. 以下命题公式中，为永假式的是( )A.p →(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p) 9. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列集合一定是A 的划分的是（ ）A.12ππ B.12ππ C.12ππ- D.1211()ππππ-10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ ）A.RB.NN C.()N ρ D.nN （n N ∈）二、判断题（每小题2分，共10分。
(完整版)《离散数学》试题及答案解析,推荐文档
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设 G、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G＝xP(x), H＝xP(x),则一阶逻辑公式
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界
(D)以上答案都不对
6
4 下列语句中，( )是命题。
5
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
3
4
2
5 设 I 是如下一个解释：D＝{a,b}, P(a, a) P(a, b) P(b, a) P(b, b)
1
1010
AB＝_________________________;A－B＝ _____________________ . 7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是______________________,
________________________, _______________________________. 8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
(1)
1
4
2
3
1 0 0 0
(2)
MR
1 1
1 1
0 1
0 0
1 1 1 1
3. (1)•＝((x))＝(x)+3＝2x+3＝2x+3.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
系 专业 班 学号 姓名
一、单项选择题(24分, 每题3分，共8题)
1．下列式子正确的是 ( ) A. ∅∈∅ B. ∅⊆∅
C. {}∅⊆∅
D. {}∅∈∅
2．以下命题公式中，为矛盾式的是 ( ) A.P →(P ∨Q ∨R) B.(P →┐P)→┐P C.┐(Q →Q)∧P D.┐(Q ∨┐P)→(P ∧┐P)
3．谓词公式∀x(P(x,y)→∃zQ(x,z)∧∀yR(x,y))中变元y ( ) A.是约束变元但不是自由变元 B.不是自由变元也不是约束变元 C.既是自由变元又是约束变元 D.是自由变元但不是约束变元 4．下列各代数系统中不含有零元素的是 （ ） A.〈Q ，*〉Q 是全体有理数集，*是数的乘法运算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n 阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算
C.〈Z ， 〉，Z 是整数集， 定义为x y=xy,∀x,y ∈Z
D.〈Z ，+〉，Z 是整数集，+是数的加法运算
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
《试题模版》使用说明
注：本模版适用于非卷面考核时出题使用。
1、第一页的填写要求：
（1）第一行填写试卷类型，如：“A、B、C”等；
（2）第二行空格部分为课程名称，请务必按照执行计划填写标准课程名称全称；
（4）第三行
“使用专业年级”应填写准确，如：数学04、信计03（范围广的公共课程可简写）；
“考试方式”填写相应方式，如“口试、写论文”等；
“共页”填写总页码；
（5）第四行为记分登记栏，在题号后面的格子中依次填写大题题号，如：“一、二……”2、每页设置了固定的版面大小，当本页内容已满请换至下一页输入，以免版面变形或有文字打印不出。
3、本模版仅设置了14页，如试题页数超过14页请自行复制添加，奇数页带有“密封线”，偶数页为带边框的空白页。
4、打印时按试卷的实际页数设置打印页码范围。
说明：填写试卷类型：、苏州科技学院试题、使用专业年级、考核方式：、共页时，一定要在下划线的中间位置开始输入相关文字，下划线会自动拉长。