2017年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法

抛物线内接三角形面积的计算通法

一、问题的提出

(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A ，(0,3)B 两点.

(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;

(2)如图1(1)，动点E ，从O 点出发，沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀

速运动，同时，动点F 从点A 出发，沿着AB /秒的速度向终点B 匀速运动，当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AEF V 为直角三角形?

(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标;如果不存在，请简要说明理由.

本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究.

二、几种特殊情况

1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ，A 点的纵坐 标记为为A y )

如图2(1)，有

1122

ABC A B C S AB OC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(2)，有

1122

ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(3)，有 1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=

⨯=-⨯. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1)，有

1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=

⨯=-⨯-, 或1122

ABC B A D C S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-; 如图3(2)，有 1122

ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABC

B A D

C S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-.

在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积.

三、建立模型

当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢?

解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.

如图4，过点C 作“轴的垂线交AB 于点D ,则ABC ∆被分成了两个以CD 为一公共边的三角形.

过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，则

11()22

ABC CDA ABC S S S CD AE CD BF CD AE BF ∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯+，

C D CD y y =-，

C A B C AE BF x x x x +=-+-.

A C

B x x x <

A B AE BF x x ∴+=-,

12

ABC A B C D S x x y y ∆∴=---. 综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接ABC ∆的面积公式: 设,A B D a x x h y C y =-=-- .

a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽; h 表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:

12

ABC S ah ∆=. 此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. 当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设A C B x x x <<. 则A a x x B =--，即是水平宽.

过点C 作x 轴的垂线，与直线AB 的交点记为D ，则C D h y y =-，即是铅直高，于是有

1122

ABC A B C D S ah x x y y ∆==-⋅-. 四、问题解决

上述问题中，过点P 作//PN x 轴，垂足为N ，交AB 于点M (如图1(2))，抛物线解析式为

2

23y x x =-++,

直线AB 的解析式为

3y x =-+.

设(,3)N x x -+，则2(,23)M x x x -++.

于是有 12

ABC A B P M S x x y x ∆=-⋅- 21(30)(23)(3)2

x x x ⎡⎤=-⋅-++--+⎣⎦ 23922

x x =-+

23327()228

x =--+, 即当32

x =时，ABP V 面积最大，最大面积是278，此时P 点的坐标为327(,)28. 五、模型应用(动点B 在定点A 与C 之内)

例1 如图5，二次函数与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ，B 为直线AC 下方抛物线上一点，求ABC V 面积的最大值.

解 易得点(0,4)A -，点(6,0)C ，则水平宽6A C a x x =-=.

直线AC 的解析式为243

y x =

-. 设点B 的坐标为213(,4)34

x x x --, 则点D 的坐标为2(,4)3x x -. 铅垂高22144(4)323

B D h y y x x =-=----2123x x =-+, 故222116(2)6(3)923

ABC S x x x x x ∆=⨯⨯-+=-+=--+. 06x <

当3x =时，即当点(3,5)B -时，ABC ∆面积最大，最大面积是9.

评注 题中的ABC ∆满足公式中的,A C 为定点，B 为一动点，但在运动过程中，B 的横坐标介于,A C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得.由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.

六、模型拓展(动点P 在定点A 与C 之外)

例2 如图6(1)，二次函数与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，直线AB 与x 轴平行，且点B 在抛物线上，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点，是否存在点P ，使2P A C A B C S S ∆∆

=,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.