集合全章复习学生3

《集合》全章复习巩固

【学习目标】

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：集合的基本概念

1．集合的概念

一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。

2．元素与集合的关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。要注意“∈”的方向，不能把a∈A 颠倒过来写.

。

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A

3．集合中元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；

（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。 （3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。 4．集合的分类

集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。 无限集：含有无限个元素的集合。 要点诠释：

把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅，空集归入有限集。 要点二：集合间的关系

1．子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ，对于任何集合A 规定A ∅⊆。

两个集合A 与B 之间的关系如下：

A B A B B A A B A B A B

A B

⎧=⇔⊆⊆⎧⊆⎪⎨

≠⇔⎨⎩⎪

⎩且 其中记号A

B （或B A ）表示集合A 不包含于集合B （或集合B 不包含集合A ）。

2．子集具有以下性质： （1）A

A ，即任何一个集合都这是它本身的子集。

（2）如果A B ⊆，B A ⊆，那么A=B 。

（3）如果A B ⊆，B C ⊆，那么A C ⊆。 （4）如果A

B ，B

C ，那么A C 。

3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x ∈A ，可以推出x ∈B ，那么A B ⊆（或B A ⊇）。 不包含的定义也可以表述成：两个集合A 与B ，如果集合A 中存在至少一个元素不是集合B 的元素，那么A

B （或B A ）。

4．有限集合的子集个数：

（1）n 个元素的集合有2n 个子集。

（2）n 个元素的集合有2n －1个真子集。 （3）n 个元素的集合有2n －1个非空子集。 （4）n 个元素的集合有2n －2个非空真子集。 要点诠释：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 要点三：集合的基本运算

1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。

2．用维恩图表示交集与并集。

已知集合A 与B ，用阴影部分表示A ∩B ，A ∪B ，如下图所示。

3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：

（1）A ∩A=A ，A ∩∅=∅，A ∩B=(B ∩A)⊆A （或B ）； A ∪A=A ，A ∪∅=A ，A ∪B=(B ∪A)⊇A （或B ）。 （2）()U A

A =∅；()U A A U =。

（3）德摩根定律：()()()U

U U

A B A B =

；()()()U U U

A B A B =

。；

（4）A

B A A B =⇔⊆；A B A B A =⇔⊆。

4．全集与补集 （1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在A U ⊆时，由所有不属于A 但属于U 的元素组成的集合，记作U

A 。数

学表达式：若A U ⊆，则U 中子集A 的补集为

{|}U

A x x U x A =∈∉且。

（2）补集与全集的性质 ①

()U

U A A =

②A U ⊆，U

A U ⊆。

③

U

U =∅，U U ∅=。

5．空集的性质

空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A ，有∅⊆∅，{}∅∈∅；A

∅=∅；

A A ∅=；A ∅⊆。

【典型例题】

类型一：集合的含义与表示

例1．选择恰当的方法表示下列集合。 （1）“mathematics ”中字母构成的集合； （2）不等式2

10x +≤的解集； （3）函数4y x =的自变量的取值范围。

【变式1】将集合⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎩⎨

⎧=-=+125|),(y x y x y x 表示成列举法，正确的是（ ）

A.{2，3}

B.{（2，3）}

C.{x=2，y=3}

D.（2，3） 【变式2】已知集合(){,A x y =

∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，

且}y x =，则A B ⋂的元素个数为 （ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

例2．若含有三个元素的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

，也可以表示为{}

2,,0a a b +，求20092009a b +的值。

举一反三：

【变式1】若{}

233,21,1a a a -∈-++。求实数a 的值。

例3．已知集合{}

2|230,A x mx x m R =-+=∈ （1）若A 是空集，求m 的取值范围。 （2）若A 中只有一个元素，求m 的值。

（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围。

类型二：集合的基本关系

例4．设集合A={x ｜1≤x ≤3}，B={x ｜x －a ≥0}，或A

B ，则a 的取值范围是________。