数学课程与教学论

《数学课程与教学论》
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1．当前，我国已由原来的仅适合精英教育的数学课程,向着大众化、层次化教育的课程转变。

2．当前中学数学教学改革的三大趋势是大众数学、服务性学科、问题解决。

3．数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。

4．数学具有高度的抽象性、逻辑的严密性和应用的广泛性。

5.数学概念是指反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式。

6．数学教育是传承人类数学文化的教育活动。

7．数学学习的特点有哪些?
答：数学学习是数学语言的学习，也是一种科学的公共语言的学习；数学学习是一个“数学化”的过程，需要较强的抽象概括能力；数学学习是一个逻辑推理过程，需要较强的逻辑推理能力；数学学习是一个再创造的过程，需要极强的非逻辑思维能力；数学学习是能使学习者形成良好心理品质、科学态度、富于创造开拓精神和良好素质。

8．中学数学学习的特点有哪些？
答：中学数学学习是人类发现基础上的再发现；是有目的、有计划地进行学习；中学数学学习的重点在于知识的学习和能力的培养。

9．数学概念学习的基本方式是什么？什么是概念形成？什么是概念同化？答：有概念形成和概念同化。

概念形成的学习过程一般是主体对客观事物反复感知和进行分析、比较、抽象的基础上，概括出某一类事物的本质性的过程. 概念同化的学习过程一般是接受他人以定义方式给出的概念，主体进行认知磨合，得其要领，掌握概念。

10.以概念形成理论为基础的数学概念教学的基本步骤是什么？
答：数学概念教学的基本步骤依次是：（1）创设情境引入数学概念；（2）分析、比较不同的例证，对相关属性进行概括和综合；（3）从例证中概括出共同特征；（4）抽象出概念的本质属性；（5）形成概念的定义，并用符号表示数学概念；（6）概念正反例证辨析，进一步明确概念的内涵和外延；（7）概念的初步应用，建立与相关概念的联系。

11．影响数学概念学习的原因有那些？答主要有数学概念意象化；受直觉的影响；游离于概念本质；认知惯性；概念僵化；概念简单化。

12．什么是数学概念？答：数学概念是指反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式。

13．智力是保证人们成功地进行认识活动的各种稳定心理特点的综合，在数学中智力一般是由注意力、观察力、记忆力、想象力与思维能力等基本因素组成。

14．非智力因素是有利于人们进行各种活动（包括学习活动）的智力因素以外的全部心理因素的总称。

它是由动机、兴趣、情感、意志、性格等因素。

15．合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括试验和实践的结论）以及个人的经验和直觉等推测某些结果和推理过程。

归纳、类比是合情推理常用的思维方法。

合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。

16．归纳推理——是一种由特殊到一般的推理，即从个别的或特殊的实物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程。

17．类比推理——是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，判断他们在别的质上也可能有这些相同或相似属性的思维形式。

18．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

19．在数学证明中，如果推理方向是从已知到求证，这种思考方法叫做综合法。

如果推理方向是从求证出发追索到已知，这种思考方法叫做分析法。

20．演绎推理的一般模式“三段论”是由哪几部分组成的？答：演绎推理的一般模式“三段论”是由大前提（已知的一般原理），小前提（所研究的特殊情况）和结论（根据一般原理，对特殊情况作出判断）三部分构成．
21．中学数学主要课型有哪些？答：主要有新授课、练习课、复习课、讲评课等．22．中学数学传统的教学方法有讲解法、谈话法、练习法、讲练结合法、教具演示法、读书指导法等. 各种方法的定义及特点怎样？
引导发现法：是指教师不直接把知识传授给学生，而是学生在教师的指导下，通过阅读、观察、实验、思考、讨论等方式去探索发现一些问题，总结一些规律，共享知识的发现。

这样的教学方法称引导发现法。

讲解法：由教师对新教材作系统概括、重点深入的启发性讲解，学生集中注意力倾听教师的讲述，并认真思考教师提出的各种问题，适当的作些笔记。

这样的教学方法叫做讲解法。

谈话法：教师不直接讲授现成的教材，而用谈话的方式，引导学生自己主动去获得新知识的方法称为谈话法。

练习法：指在教师指导下，学生用已学的数学知识，通过作业来巩固知识，形成技能技巧，并发展智力的一种教学方法。

讲练结合法：
教具演示法：
23．在数学中，为了从一些特殊概念来认识一般的概念，常把某一概念的内涵逐步减少，使概念的外延逐步扩大，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的概括。

24．把一个属概念分为若干个全异种概念的逻辑方法称概念的划分。

25．课程标准是国家课程的基本纲领性文件, 是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求。

26．数学思维的常用方法有哪些？答：观察、实验、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、具体化、特殊化、系统化、类比、归纳、演绎、想象和直觉等。

27．数学观是人们对数学本质、规律和活动的各种认识的总和。

28．什么叫给概念下定义，答：给概念下定义就是用已知的概念来认识未知的概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。

29．什么是概念的外延？什么是概念的内涵？答：概念的外延是把适合于该概念的所有对象的范围(或集合)，叫做这个概念的外延。

概念内涵是指事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵。

30．什么是上位概念？什么是下位概念？答外延较大的概念称为种概念，上位概念。

外延较小的概念称为类概念，下位概念。

31．概念的定义是由哪几部分组成的？答：概念的定义都是由已下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念)这两部分组成的。

32．什么叫种概念？什么叫属概念？这是根据概念的从属关系，通过改变原概念外延大小得到的新概念。

逻辑学中规定，如果一个概念的外延全部包含在另一个概念的外延之中，而后者的外延并不全部包含在前者的外延之中，则这两个概念之间就具有属种关系，前一概念是后一概念的种概念。

33．什么是推理？答：推理是指从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式．其中已知的命题是前提，得出的新命题是结论。

34．什么是论证？论证是用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式，通常由论题、论点、论据和论证方式构成。

35．论证的基本方法：直接证明、间接证明。

36.“推理与证明”是数学的基本思维过程，推理一般包括合情推理和演绎推理。

问：（1）合情推理和演绎推理的特点、作用分别是什么？（2）合情推理和演绎推理之间有什么区别和联系？
答：（1）合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括实验和实践的结果）以及个人的经验和直觉等推测某些结果和推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法.是由部分到整体，由个别到一般和有特殊到特殊的推理方法的特点。

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

演绎推理是由一般到特殊的推理特点。

演绎推理用于确认预期的猜测和发现结论的正确性，或者用反例推翻错误，对于培养学生的思维严谨性和对数学结构的确信性，以及提高学生准确表达能力等方面起着重要的作用；（2）归纳、类比是合情推理常用的思维方法，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

合情推理用于探索，猜测一些数学结论，演绎推理用于确认结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。

但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理，合情推理和演绎推理之间联系紧密，相辅相成。

37．在高中数学课程标准中，高中数学课程分必修课和选修课，必修课程和选修课程内容确定的基本原则分别是什么？答：必修课程和选修课程内容确定所遵循的原则有：一是满足未来公民的基本数学需求；二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

38．高中数学课程标准指出，高中数学课程要有助于学生认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性作用。

39．义务教育数学课程总目标是什么？第三学段（7-9）的目标是什么？
40．义务教育新课程的性质是什么？
41．义务教育新课程的理念什么？
42．普通高中数学新课程目标什么
43．普通高中数学新课程的性质是什么？
44．普通高中数学新课程的理念什么？
45．课程目标提出通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．46．在普通高中新课程中有三个重要内容贯穿于整个高中数学课程，这些内容不单独设置，只参透在每个模块或专题中，这三个重要内容分别是数学探究、数学建模、数学文化。

47.形式逻辑的基本规律有同一律和矛盾律、排中律、充足理由律。

48.长久和稳定地存在于数学教学全过程的三个基本矛盾关系是：数学教学内容与学生原有水平之间的矛盾关系、数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系、数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系。

49.中学数学教学应遵循的基本原则有哪些？
答：（1）为解决数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：科学性和思想性相统一原则；知识传授与能力培养相统一原则；智力因素与非智力因素相统一原则等。

（2）为解决数学教学内容与学生原有水平之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：可接受性原则；直观性原则；因材施教原则；循序渐进原则；及时反馈原则等。

（3）为解决数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：启发性原则；教师主导作用与学生自觉性、积极性相统一原则等。

其次，数学教学还应遵循自身的特殊原则：模型抽象与现实背景相统一原则；实际运用与思维训练相结合的原则；独立钻研与合作探讨相结合的原则。

50．数学素养主要包括数学知识与边缘知识，边缘知识主要涉及数学文化表现、数学史、数学哲学、数学应用的相关背景知识等．
51.数学教学设计是教师根据学生的认知发展水平和课程培养目标，来制订具体教学目标，选择教学内容，设计教学过程各个环节的过程。

在进行数学教学设计时注意充分体现数学课程标准的基本理念、重视课程资源的开发和利用、重视学
生的主体作用、重视预设与生成的辩证统一、整体把握教学活动的结构。

52.教学设计应做到认真学习课程标准、钻研教材内容、学习课程资源、确定教学目标、选择和组织教学内容、了解学生、确定课型和教法.
53．中学数学详细教案主要包括哪些内容？
答：（1）课题；（2）教材分析；（3）学情分析；（4）教学目标；（5）课型与教法；（6）教具；（7）教学过程；（8）板书设计；（9）课后反思。

54.素质教育的内涵是什么？答：素质教育是指，依据人的发展和社会发展的实际需要，以全面提高全体学生的基本素质为根本目的，以尊重学生主动性和主动精神、注重开发人的智慧潜能、注重形成人的健全个性为根本特征的教育。

55.数学教学论是研究数学教学过程中教与学的联系、相互作用及其统一的科学。

56.中学数学主要课型有新授课、练习课、复习课讲评课等
57.中学数学教学应遵循的基本原则有哪些？
答：（1）为解决数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：科学性和思想性相统一原则；知识传授与能力培养相统一原则；智力因素与非智力因素相统一原则等。

（2）为解决数学教学内容与学生原有水平之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：可接受性原则；直观性原则；因材施教原则；循序渐进原则；及时反馈原则等。

（3）为解决数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：启发性原则；教师主导作用与学生自觉性、积极性相统一原则等。

其次，数学教学还应遵循自身的特殊原则：模型抽象与现实背景相统一原则；实际运用与思维训练相结合的原则；独立钻研与合作探讨相结合的原则.
58.对学生数学学习的评价，既要关注学习的结果，又要关注学习的过程.2
59.通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力．
60.什么是几何直观？在数学教学中如何培养学生的几何直观能力？
答：数学是研究数量关系与空间形式的科学。

空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本的、主要的研究对象。

在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学——几何——图形”这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。

《课程标准（2011版）》明确指出：“几何
直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

”另外，在《普通高中数学课程标准（实验）》中也对几何直观十分关注：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。

”
在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。

几何课程的教育价值，最主要的应该有两各方面：一方面，几何能培养学生的逻辑推理能力；另一方面，它也能培养学生几何直观能力。

因此，我们在教学中，应注意从以下几方面培养学生的几何直观能力。

（1）在教学中使学生逐步养成画图习惯
在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。

可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处。

无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。

在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。

（2）重视变换——让图形动起来
几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。

一方面，在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形，例如，球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等，都是“不同程度对称图形”；另一方面，在认识、学习、研究“不对称图形”时，又往往是运用这些“对称图形”为工具的。

变换又可以看做运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看做一个刚体，通过围绕中心(两条对角线的交点)旋转180，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。

充分地利用变换去认识、理解几何图形是培养几何直观的好办法。

（3）学会从“数”与“形”两个角度认识数学
在前面的论述中，多次反复强调了这一点，数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。

以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

（4）掌握、运用一些基本图形解决问题
把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。

例如，除了上面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等。

在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。

61.什么是符号意识？在数学教学中如何培养学生的符号意识？
答：（1）符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

（2）在数学教学中，首先，在各学段数学教学中，要紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识。

概念、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分，它们常常是数学教学的重点，而它们又和数学符号的表达和使用密切相关。

正因为如此，《课程标准(2011年版)》在学段目标和各学段课程内容中都提出了具体要求。

如：“理解符号<，=，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小”“认识小括号”(第一学段)；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”“能用方程表示简单情境中的等量关系”(第二学段)；“能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示”“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识”(第三学段)。

其次，结合现实情境培养学生的符号意识。

一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。

这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。

第三，在数学问题解决过程中发展学生的符号意识。

符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到
应有的效果的。

引导学生经历发现问题，提出问题(这实际上需要运用符号抽象和表达问题)、分析问题、解决问题(这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考)的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。

逐步促进学生符号意识得到提高。

62.什么是空间观念？
63.什么是推理能力？
64.什么是运算能力？
65.什么是数感？
66.什么是数据分析观念？
67.什么是模型思想？
68.什么是应用意识？
69.什么是创新意识？
70.什么是推理？其作用是什么？
答：根据判断间的关系，从一个或几个已有的判断作出一个新的判断的思维过程叫做推理．在实践中有两方面的作用，一是帮助人们从已知的知识推出新的知识;二是证明的工具；。