微积分下册知识点
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微积分下册知识点
第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =
，),,(z y x b b b b = ，
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；
5、 <
6、
7、
向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
222z y x r ++= ；
2） 两点间的距离公式：2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4） 方向余弦：r
z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
5） 投影：ϕcos Pr a a j u
=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。 ￥
（二）
（三）
数量积，向量积
1、 数量积：θ
cos b a b a
=⋅
1）2a a a =⋅
2）⇔⊥b a 0=⋅b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
2、 向量积：b a c
⨯=
>
大小：θsin b a
，方向：c b a
,,符合右手规则
1）0 =⨯a a
2）b a //⇔0
=⨯b a
z
y x z
y x b b b a a a k
j i b a
=⨯
运算律：反交换律 b a a b
⨯-=⨯
（四） 曲面及其方程 1、 ！
2、
曲面方程的概念：0
),,(:=z y x f S
3、 旋转曲面：
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，
绕y 轴旋转一周：
0),(2
2=+±z x y f
绕
z 轴旋转一周：
0),(22=+±z y x f
4、 柱面：
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x F 的柱面
5、 |
6、
二次曲面（不考）
1） 椭圆锥面：2
2222z b
y a x =+ 2） 椭球面：122
222
2=++c z b y a x
旋转椭球面：122
222
2=++c
z a y a x
3）
4）
单叶双曲面：122
2222=-+c
z b y a x
5） 双叶双曲面：122
22
2
2
=--c
z
b y a x
6） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
2
2
7） ！
8）
双曲抛物面（马鞍面）：z b
y a x =-22
22
9） 椭圆柱面：122
2
2
=+b
y
a x
10） 双曲柱面：122
2
2=-b y
a x
11） 抛物柱面：ay x =2
（五）
（六）
空间曲线及其方程
1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
2、 ^
3、
参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt
z t a y t a x sin cos
4、 空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x H
（七） 平面及其方程
1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量：),,(C B A n =
，过点)
,,(000z y x
2、 、
3、
一般式方程：0
=+++D Cz By Ax
截距式方程：
1=++c
z
b y a x
4、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，
22
22
22
21
21
2
1
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 21
2121C C B B A A ==
5、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：
|
2
22000C B A D
Cz By Ax d +++++=
（八） 空间直线及其方程
1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A
2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 0
00-=-=-
方向向量：),,(p n m s =
，过点),,(000z y x
3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt
y y mt x x 000
4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =
，
22
22
22
21
21
21
212121cos p
n m p n m p p n n m m ++⋅++++=
ϕ
: