上海市重点中学高二数学上学期期末考试试题

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上海市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案．【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

上海市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．在等差数列中，已知，，则__．{}n a 12a =34a =-4a =【答案】7-【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解.【详解】设公差为，则， d 3132a a d -==-所以.437a a d =+=-故答案为：7-2．等比数列中，若，，则_____． (){*}n a n ∈N 2116a =512a =8a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以(){*}n a n ∈N q 35212a a q ⨯==38q =2q =， 3581842a a q =⨯⨯==故答案为：．43．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【分析】代入球的表面积公式:即可求得.2=4S R π表【详解】， 2R = 由球的表面积公式可得,∴2=4S R π表,2=42=16S ππ⨯⨯球表故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.4．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】 16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种, 2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1甲､乙两人都没有被选到的概率为. ∴165．已知正项等差数列的前项和为，，则________．{}n a n n S 25760a a a +-=11S =【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出．62a =【详解】正项等差数列的前项和为.{}n a n n S 由得，所以，（舍）25760a a a +-=26620a a -=62a =60a = 611111*********a a a S +=⨯=⨯=故答案为：22【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】(4,3,2)-【详解】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以,1DB (4,3,2)(4,0,0),(0,3,2)A C 所以.1(4,3,2)AC =-7．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.【答案】0.9## 910【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：.0.50.70.30.9P =+-=故答案为：0.9.8．如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所M ABCD BC 1AB =2BC =ABCD AD 得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为1V MCD △CD 2V 12V V ________【答案】6【分析】分析几何体的结构，计算出、，由此可得出结果.1V 2V 【详解】将矩形绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，母线长为的圆柱，ABCD AD 12所以，，21122V ππ=⨯⨯=将绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，高为的圆锥，MCD △CD 11所以，. 2211133V ππ=⨯⨯⨯=因此，. 126V V =故答案为：.69．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，()318cm O 则球的体积等于__． O ()3cm 【分析】先由题目条件可得三棱柱的棱长，后可结合图形确定球O 的球心，后可得答案.【详解】如图，三棱柱是直三棱柱，且所有棱长都相等，111ABC A B C -该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为18，O 设三棱柱的棱长为，则， a 1sin 60182a a a ⨯⨯⨯︒⨯=解得，分别设上下底面中心为、，a =1O 2O 则的中点即为三棱柱外接球的球心，12O O O ，22O A ==所以球的半径，R ===则球的体积等于．O 34π3⨯=10．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进AO )1OA = 1A y 1A 到达点，再沿的方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进112OA 2A 1OA 2A 1212A A 3A y 3A 到达点，，这样无限前进下去，则质点最终到达的点的坐标为__．2312A A 4A L A【答案】 83【分析】根据已知前进规律,再应用无穷等比数列求和公式可得横纵坐标.【详解】等比数列前项和公式当, n ()11,1n n a q S q -=-,110n q q ∞→+-<<≠，1,1n a S q→-根据已知前进规律,探究轴正方向的规律，得， y 1111181121441616314++++++=⨯=-同理也可发现x==故质点最终到达的点的坐标为．A8)3故答案为:8)3二、单选题11．设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（）A B A BA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.【详解】由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件．A B A B故选：B．12．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与1111A B C D ABCD-E F1A A BC11ADD A平面平行的直线（）DEFA．有一条B．有二条C．有无数条D．不存在【答案】C【分析】设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.l⊂11ADD A//l DE//l DEF【详解】设平面，且，又平面，平面，l⊂11ADD A//l DE DE⊂DEF l⊂DEF平面，显然满足要求的直线l有无数条.//l∴DEF故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.13．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（） 2a b +A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b +件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞ b 2a b +若能构成等差数列，则a+b= 2a b +2a b +解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a b a b +>>>，得2a b b a +=+于是b ＜3a4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b +故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．14．已知正项等比数列满足，若存在两项，，则的{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +最小值为（）A ．B ．C ．D ．不存在3243256【答案】A【分析】根据求出公比得到，结合均为正整7652a a a =+2q =14a =6m n +=,m n 数，得到五组值，代入求出最小值.【详解】设正项等比数列的公比为，{}n a 0q >因为，所以，7652a a a =+25552a q a q a =+化为，，解得．220q q --=0q >2q =因为存在两项，,m n a a 14a =14a =化为．6m n +=则，；，；，；，；，．1m =5n =2m =4n =3m =3n =4m =2n =5m =1n =则当，时，， 1m =5n =1449155m n +=+=当，时，， 2m =4n =1413122m n +=+=当，时，， 3m =3n =14145333m n +=+=当，时，， 4m =2n =1419244m n +=+=当，时，， 5m =1n =14121455m n +=+=故最小值为. 32故选：A ．15．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则()f x R {}n a 10110a >的值（） ()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为D ．可正可负0【答案】A 【分析】根据函数的性质可判断函数值正负，从而结合等差数列性质推出()f x 12021()()0f a f a +>，进而将结合等差数列的性质即可判断答案.()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ 【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数，()f x R 所以，且当时，；当时，．(0)0f =0x >()0f x >0x <()0f x <因为数列是等差数列，，故．{}n a 10110a >1011()0f a >再根据，所以，则，12021101120a a a +=>12021a a ->120212021()()()f a f a f a >-=-所以．12021()()0f a f a +>同理可得，，，22020()()0f a f a +>32019()()0f a f a +>L 所以()()()()()12320202021f a f a f a f a f a +++++ ，1202122020101210101011[()()][()()][()()]()0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++> 故选：．A三、解答题16．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：(1)甲乙同时射中目标的概率；(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.【答案】(1)0.12(2)0.58【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可，（2）利用对立事件性质求解即可.【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件，A B 则，且事件，相互独立，()()0.4,0.3P A P B ==A B 所以甲乙同时射中目标的概率为.()()()0.40.30.12P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件，C 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：，A B ⋅则. ()()()()()()11110.410.30.58P C P A B P A P B =-⋅=-⋅=---=17．如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且AB ⊥BCD BC BD ⊥AD BCD 30︒.2AB BC ==(1)求三棱锥的体积；A BCD -(2)设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）M BD AD CM【答案】(2)【分析】（1）由题目条件可得BD ，后可由三棱锥体积公式得答案；（2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可AB N ，CN MN //MN AD CMN ∠AD CM 由余弦定理得答案.【详解】（1）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， AB ⊥BCD ADB ∠AD BCD所以，所以 o 30ADB ∠=o tan 30AB BD ==所以三棱锥的体积 A BCD -1111223632A BCD BCD V S AB BC BD AB -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯A （2）取中点，连接，则，AB N ，CN MN //MN AD 所以即为异面直线与所成角，CMN ∠AD CM 又平面，平面，则，AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB BD ⊥得. 1422，AD MN AD ====CN CM ====则在中，，CMN A 2，MN CN CM ===所以， 222cos 2CM MN CN CMN CM MN +-∠=⋅所以异面直线与所成角的大小为AD CM18．已知数列满足，且.{}n a 11a =123n n a a +=+(1)令，求证：是等比数列；3n n b a =+{}n b (2)求数列的通项公式及数列的前项和.{}n a n a {}n a n 【答案】(1)证明见解析(2)，数列的前项和为 123n n a +=-{}n a n 2234n n +--【分析】（1）根据题意结合等比数列定义运算分析；（2）根据题意结合等比数列的通项公式求得，再利用分组求和以及等比数列的求和公123n n a +=-式运算求解.【详解】（1）因为，所以， 123n n a a +=+()1323n n a a ++=+又∵，则，且，3n n b a =+12n n b b +=14b =所以是以首项，公比的等比数列.{}n b 14b =2q =（2）由（1）得，所以，11422n n n b -+=⋅=123n n a +=-所以 ()()()()23123412323...23222...23n n n S n ++=-+-++-=++++-. ()2412312324n n n n +-=-=---19．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异1OO AB BC O A D 于、的点．B C(1)求证：平面；CD ⊥ABD (2)若，，，求圆柱的侧面积．2BD =4CD =6AC =1OO 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定AB ⊥BCD AB CD ⊥得出结论；（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.【详解】（1）证明：底面，且底面，AB ⊥Q BCD CD ⊂BCD ，AB CD ∴⊥又，且，平面，CD BD ⊥ AB BD B = AB 、BD ⊂ABD 平面；CD \^ABD （2）在中，，，Rt BCD ∆2BD =4CD =BC ∴==又在中，，Rt ABC ∆6AC =．4AB ∴==4，∴圆柱的侧面积为．∴1OO 24π=20．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列{}n a i j i j ≠k k i j a a a =⋅具有“性质”.{}n a P （1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；a P （2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；2{}n a P 1a （3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.12a ={}n a P d【答案】（1）答案见解析；（2），且；（3）或.12ma =1m ≥-m Z ∈1d =2d =【分析】（1）根据性质计算，由解得或，可得结论； P 2i j k a a a a a ===0a =1a =（2）通项公式，然后由求出，由的范围可得的值的形式；112n n a a -=⋅k i j a a a =⋅1a 1m k i j =+--1a （3）由得，由对于任意的正整数，存在整数和，使得，1k n a a a =221d k n =-+n 1k 2k 11k n a a a =⋅，两式相减得.首先确定，得是整数，因此也是整数，22k n a a a =⋅21()n da k k d =-0d ≠21n a k k =-d 然后说明不合题意（取较大的，使得即可得），时只有或2，并说明符0d <m 11m m a a a +>0d >1d =合题意．【详解】解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，都存在正整数{}n a P i j i j ≠，使得，所以，解得或.k k i j a a a =⋅2a a =0a =1a =所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且0a =1a =P P 0a ≠1a ≠时，数列不具有“性质”.{}n a P （2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，i j i j ≠k k i j a a a =⋅111111222k i j a a a ---⋅=⋅⋅⋅，令，则.112k i j a +--=1k i j m Z +--=∈12m a =当且时，则，对任意正整数，，，由得1m ≥-m Z ∈11122n m n n a a -+-=⋅=i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，所以存在正整数使111222m k m i m j +-+-+-=⋅1k i j m =++-1i j m ++-1k i j m =++-得成立，数列具有“性质”.k i j a a a =⋅P 若，取，，，不是中的项，不合题意．2m ≤-1,2i j ==12112222m m m a a ++=⨯=21m m +<212m +{}n a 综上所述，且.12m a =1m ≥-m Z ∈（3）.对于任意的正整数，存在整数，使得得. 2(1)n a n d =+- n k 1k n a a a =⋅221d k n =-+对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得. n 1k 2k 11k n a a a =⋅22k n a a a =⋅21()n da k k d =-当时，显然不合题意.0d =当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.0d ≠21n a k k =-d 若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，0d <()2102m m a a a <⎧⎪⎨->=⎪⎩m 211m d m ⎧>-+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.211m m m a a a a +⋅>>k 1m m k a a a +⋅=0d <P 是正整数，都是正整数，因此或2． 221d k n =-+,k n 1d =当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得1d =1n +i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.1(1)(1)k i j +=+⋅+k i j i j =++⋅i j i j ++⋅P 当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得2d =2n i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.222k i j =⋅2k i j =⋅2i j ⋅P 综上所述或.1d =2d =【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查学生的创新意识，推理能力．解题关键是理解新定义并能运用新定义解题．性质，即对任意的，存在，使得，只要根据P ,*m n N ∈*k N ∈k m n a a a =这个恒成立式求得数列即可．。

上海市高二第一学期期末考试数学试卷含答案(共5套)

上海市高二第一学期期末考试数学试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1、计算=-+ii11 。

（i 为虚数单位） 2、已知向量(3,4)a =与(2,0)b =，则a 在b 方向上的投影为_______。

3、过点(1,5)A -,且以(2,1)n =-为法向量的直线的点法向式方程为_______。

4、直线y x m =+被圆221x y +=，则m =_______________。

5、已知直线032=++a y ax 和07)1(3=-+-+a y a x 平行，则a =___________。

6、椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 最大时点P 的坐标为。

7、以抛物线x y 162=的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以()1,3-=p、()1,3=q为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。

8、如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则=S 。

9、下列四个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ?，则直线l 的倾斜角[,]44p pa ?；②直线l ：1y kx =+与以(1,5)A -、(4,2)B -两点为端点的线段相交，则4k ?或34k ?；③如果实数x y 、满足方程22(2)3x y -+=，那么yx的最大值为3；④直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ³.其中正确命题的序号是________。

10、如图2，设椭圆171622=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为。

上海名校高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．与的等差中项是____________________． 327【答案】15【分析】利用等差中项的定义即得解. 【详解】3与27的等差中项为：． 327152+=故答案为：15．2．已知等差数列满足，则公差__________; {}n a 371,5a a ==d =【答案】1【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得 73441d a a d ==⇒=-故答案为：13．在等比数列中，若，则__________; {}n a 131,9a a ==5a =【答案】81【分析】由等比中项即可求解.【详解】由等比中项可得， 3315522181a a a a a a =⇒==故答案为：814．计算:__________;114ii +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】13【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接求出答案即可.【详解】因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 1114414n n+⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭14n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭1414所以.1111414314ii +∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭-∑故答案为：.135．有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须排在一起的排法共有________种.（用具体数字回答）【答案】720【分析】根据相邻问题捆绑法即可由分步乘法计数原理求解.【详解】第一步：利用捆绑法把3名老师看做一个整体与学生全排列，则有,55A 120=第二步：解绑，3位老师之间的顺序为，33A 6=由乘法计数原理可得，5353A A 1206720=⨯=故答案为：7206．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数l (1,2,1)d =-α(,4,2)n x =- //l α_______．x =【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值.x 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，//l αl α即，解得：.(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=10x =故答案为：107．若的二项展开式中的常数项为，则实数a =___________.62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭160-【答案】1-【分析】由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a 即可.662162rr r r r T a C x --+=⋅【详解】由题设，二项式展开式通项为， 6662166(2)(2rrr r r r r r aT C x a C x x---+==⋅∴当，常数项为，可得.3r =333362160160a C a ⋅==-1a =-故答案为：.1-8．已知若三向量共面，则实数______．(1,1,3),(1,4,2),(1,5,),a b c x =-=--= ,,a b cx =【答案】5【分析】利用空间向量共面定理即可求解.【详解】因为三向量共面，所以，,,a b ca b c λμ=+ 即(1,1,3)(1,4,2)(1,5,),x λμ-=--+所以，解得，145123x λμλμλμ-+=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩23135x λμ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩故答案为:5.9．用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等(31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈1n k =+式左边与时的等式左边的差等于___. n k =【答案】3k+2【详解】试题分析：当时，等式的左边为，当时，等式的n k =(1)(2)()k k k k ++++++ 1n k =+左边为，所以当时等式左边与时的等式左(2)(3)(1)(11)k k k k k k +++++++++++1n k =+n k =边的差等于. (1)(11)(1)32k k k k k k ++++++-+=+【解析】数学归纳法.10．对于数列满足:，记满足条件的所有数列中，{}n a {}()11121,,,,N,1n n n a a a a a a n n +=-∈∈≥ {}n a 的最大值为，最小值为，则__________;10a a b a b -=【答案】502【分析】先根据求，，观察规律可得，进而可得答案. 1a 2a 34,a a ,a b 【详解】因为，所以，即， 11a ={}211a a a -∈211a a -=所以；22a =，所以或，即或； {}3212,a a a a -∈321a a -=322a a -=33a =34a =，所以或或或，{}43123,,a a a a a -∈431a a -=432a a -=433a a -=434a a -=即或或或或；44a =45a =46a =47a =48a =以此类推，可得的最小值为，的最大值， 10a 10b =10a 92512a ==所以. 51210502a b -=-=故答案为：50211．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图.则级分形图的周长为L n 、n__________;【答案】1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周n 长，从而可求出周长.【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个13图形的边长又是第2个图形边长的，……，13所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，13所以第个图形的边长为，n 1113n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭由图可知，各个图形的边数,构成首项为3，公比为4的等比数列，所以第个图形的边数为，n 134n n b -=⨯所以第个图形的周长为，n 1433n n n a b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭故答案为：1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭12．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于{}()1,2,3,,N,2P n n n =∈≥ P A B B A 中最大的数，则不同的和共有__________个组合. A B 【答案】1221n n n --+【分析】先分析集合A ,分别有多少种选择方法，根据分步计数原理相乘，再对、求和即可求B l k 得结果.【详解】设A 中最大的数为，中最大的数为，依题意有.k B l 1k l n ≤<≤记，，.因为中最小的数大于A 中最{}1,2,,1M k =- {}1,2,,1S k k l =++- {}1,2,,N l l n =++ B 大的数，所以A 中其它元素只能取自集合，有种选择方{}1,2,,1M k =- 0111111C C C 2k k k k k -----+++=法；中其它元素只能取自集合，有种选择方法；B {}1,2,,N l l n =++ 01C C C 2n l n ln l n l n l -----+++= 内的数既不属于A 也不属于.根据分步计数原理，集合A ，的选择方法有{}1,2,,1S k k l =++- B B 种. 因为，所以满足题目条件的所有集合A ，的选择方法种数为122k n l --⋅1k l n ≤<≤B ()1122k n l k l n--≤<≤⋅∑()111122n nk n lk l k ---==+=⋅∑∑()11121212k n k n k ---=-=-∑()111221n k n kk ---==-∑()111122n n k k ---==-∑. 1112(1)212n n n ---=---11(1)221n n n --=--+1221n n n -=-+【点睛】本题求解的关键是：把集合分成三部分，利用分步计数原理求出集合A ,B 的选择方法，利用等比数列的求和公式求和，综合了集合子集，数列求和，计数原理三模块的知识.二、单选题13．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3）a b c d ,,,2222,,,a b c d ,,ab bc cd ，必成等比数列的个数为（） ,,a b b c c d ---A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子a b c d ,,,q 1q ≠进行判断.【详解】成等比数列，设公比为，则均不为0，且， a b c d ,,,q a b c d ,,,b c dq a b c===，故成等比数列，且公比为， 2222222b c d q a b c ===2222,,,a b c d 2q 因此成等比数列，且公比为， 22,,bc c cd d q q ab a bc b====,,ab bc cd 2q ，当时，成等比数列，且公比为，()()()()21,11,1a b a q b c b q aq q c d aq q -=--=-=--=-1q ≠q 但当时，不是等比数列， 1q =故选：C14．设等差数列的前项和为，若，则（） {}n a n n S 19290,0a a a a +>+<A ．且 B ．且 90S >100S >90S <100S >C ．且 D ．且90S >100S <90S <100S <【答案】C【分析】根据题意，利用等差数列求和公式和等差中项性质可判断，的正负.9S 10S 【详解】因为，所以， 190a a +>()1999=02a a S +>因为，所以，290a a +<()()11029101010022a a a a S ++==<故选：C.15．设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的12345,,,,A A A A A 123450MA MA MA MA MA ++++=点的个数为（） M A ．0 B ．1C ．5D ．10【答案】B【详解】【解析】向量的加法及其几何意义．分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．解：根据所给的四个向量的和是一个零向量， 123450MA MA MA MA MA ++++=当A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是平面上给定的5个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B ．16．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使,成等{}n a 3382022a =k 1a 338k a a ,比数列，则公差的所有可能取值的个数为（） d A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】利用等差数列的通项表示出的关系式，结合,成等比数列，分类讨论可得答1,a d 1a 338k a a ,案.【详解】根据题意可知，，化简可得， 33813372022a a d =+=16337a d +=因为各项均为正整数，则， {}n a N d ∈故是337的倍数，且，1a 16337a ≤⨯因为，成等比数列，所以，1a 338k a a ,222223381202232337k a a a ===⨯⨯则，又因为， 222132337k a a ⨯⨯=1(1)=+-k a a k d分为以下情况讨论：① 若，则，可得，1337a =16d +=5d =，解得，合乎题意；3375(1)36337k a k =+-=⨯2360k =②若，则，可得，12337a =⨯26d +=4d =，解得，合乎题意；23374(1)18337k k a =⨯+-=⨯1349k =③ 若，则，可得，13337a =⨯36d +=3d =，解得，合乎题意；33373(1)12337k k a =⨯+-=⨯1012k =④若，则，可得， 14337a =⨯46d +=2d =，解得，不合乎题意； 43372(1)9337k a k =⨯+-=⨯16872k =⑤若，则，可得，15337a =⨯56d +=1d =此时不是整数，不合题意；222323375337k a ⨯⨯=⨯⑥若，则，可得，此时是常数列，且每一项均为，合乎题意； 16337a =⨯66d +=0d ={}n a 2022综上所述，公差的所有可能取值的个数为. d 4故选：C.三、解答题17．已知数列是公差大于零的等差数列，且，求数列的通项公式以{}n a d 34346,8a a a a +=-⋅={}n a 及前项和.n n S 【答案】，210n a n =-29n S n n =-【分析】通过联立方程组解得和的值，求出首项和公差，通过等差数列的通项公式和前3a 4a 1a d n 项和公式，求出数列的通项公式以及前项和{}n a n n S 【详解】依题意，，解得或，公差大于零，343468a a a a +=-⎧⎨⋅=⎩3424a a =-⎧⎨=-⎩3442a a =-⎧⎨=-⎩ d ∴43a a >（舍去），，，， 3424a a =-⎧⎨=-⎩∴3442a a =-⎧⎨=-⎩∴432d a a =-=1324228a a d ∴=-=--⨯=-， ∴1(1)8(1)2210n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， ∴21()(8210)922n n n a a n n S n n +-+-===-数列的通项公式； ∴{}n a 210n a n =-数列的前项和.∴{}n a n 29n S n n =-18．如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，请运用空间向量方法1111ABCD A B C D -,E F 111,AA A B （建系如图）.求解下列问题:(1)求异面直线与所成角的大小; EF 1BC (2)求到平面的距离. E 1BC D 【答案】(1) 60︒【分析】（1）根据题意得到各点的坐标，从而得到与，再利用空间向量夹角的余弦表示即EF 1BC可得解；（2）先求得与平面的一个法向量，再利用点到平面距离的向量解法即可得解.DE1BC D 【详解】（1）根据题意，得，，，，，，()0,0,0D ()2,0,0A ()0,2,0C ()2,2,0B ()10,0,2D ()10,2,2C ，，()2,0,1E ()2,1,2F.则，， ()0,1,1EF = ()12,0,2BC =- 设异面直线与所成的角为，则，EF 1BC α090α︒<≤︒所以，则，1111cos cos ,2EF BC EF BC EF BC α⋅====60α=︒所以异面直线与所成的角为.EF 1BC 60︒（2）由（1）得，，，()2,0,1DE = ()2,2,0DB =()12,0,2BC =- 设是平面的一个法向量，则，即，(),,n x y z = 1BC D 100n DB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220220x y x z +=⎧⎨-+=⎩取，则，故，1x =1,1y z =-=()1,1,1n =-所以点E 到平面的距离为1BC D DE n n ⋅==19．已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和. {}n a 116n S n (1)若公比为2，求满足的最小正整数; 15128n S >n (2)若，设，求数列的前项和的最小值. 325416S S =-()log 1n a n b a a =>{}n b n n T 【答案】(1) 2(2) 210log a -【分析】（1）根据首项和公比，写出的公式，再解不等式即可； n S 15128n S >（2）根据，代入首项即可求得公比，进而求得的通项公式，根据等差数列的定义325416S S =-{}n b 可证明为等差数列，进而求得，化简后根据二次函数性质求最小值即可.{}n b n T【详解】（1）因为等比数列首项为，公比为， {}n a 11621q =≠所以，，()()14112111621121615128nnnn a qq S ->--===---*N n ∈即，，因为， 4212832n ->*N n ∈321121281162332281282=<<=所以只需即可，解得，， 42122n -≥2n ≥*N n ∈故满足的最小正整数； 15128n S >2n =（2）因为等比数列首项为，设公比为，代入中有： {}n a 1161q ≠325416S S =-，解得（舍）或， ()()2115141161616q q q ++=⨯+-1q =2q =所以，故， 1512216n n n a --=⨯=()5log log 25log 2n n a n a a b a n -=-==因为， ()()14log 25log 2log 2n n a a a b b n n +=---=-所以是等差数列，且， {}n b 14log 2a b =-所以()()()4log 25lo 2g 229log 2a a n a n n T n n --==+-， ()22log 2lo 9819222g 42a a n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，且有，1a >log 20a >*N n ∈所以当或时，取得最小值，最小值为. 4n =5n =n T 4510log 2a T T ==-20．已知数列满足.{}n a ()1*1111,N ,2,R 9n n n a a t a n n t --⎛⎫==⋅+∈≥∈ ⎪⎝⎭(1)若，求数列的通项公式; 1t ={}n a (2)若，求证:数列为等差数列，并求的通项公式; 19t ={}9nn a {}n a (3)对于（2）中的数列，设，则数列是否有最大项，如有，请求出是第几项，若{}n a 8nn n b a =⋅{}n b 没有，请说明理由. 【答案】(1) 118998n n a --⨯=(2)19n n n a -=(3)有, 第8项和第9项【分析】（1）将代入，再用累加法即可求得的通项公式；1t ={}n a （2）将代入，令，根据等差数列的定义即可证明，再根据的通项公式，即可求19t =9n n n c a ={}n c 得的通项公式；{}n a （3）先求出的通项公式，若有最大项，只需该项大于等于其前一项以及后一项，建立不{}n b {}n b 等式解出即可.【详解】（1）因为，所以， 1t =()1*11N ,29n n n a a n n --⎛⎫=+∈≥ ⎪⎝⎭当时，，，，， 2n ≥1119n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭21219n n n a a ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭L 12119a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上述式子累加，可得 1211111999n n n a a --⎛⎫⎛+⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝+⎭⎭， 119811111191899n n --⎛⎫- ⎪-=⨯=-⎝⎭因为，所以， 11a =118998n n a --⨯=当时，，符合通项公式， 1n =10118998a =-=⨯故； 118998n n a --⨯=（2）因为，所以， 19t =()1*11N ,2199n n n a a n n --⎛⎫=+∈≥ ⎪⎝⎭两边同时乘以，可得，9n ()1*1999N ,2n n n n a a n n --=+∈≥令，上式即为，9n n n c a =()*19N ,2n n c c n n -=+∈≥即，因为，()*19N ,2n n c c n n --=∈≥1199c a ==故，即为以9为首项，9为公差的等差数列，{}n c {}9n n a 所以，即，解得；9n c n =99n n a n =19n n na -=（3）由（2）知，所以， 19n n na -=189nn n n b -=假设数列最大项为，则有， {}n b m b 11m m m mb b b b +-≤⎧⎨≤⎩即，解得， ()()111211889918899m mm m m m m m m m m m +----⎧+≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩89m ≤≤所以数列有最大项，最大项为第8项和第9项.{}n b 【点睛】思路点睛：该题考查数列的综合应用，属于中难题，关于求数列最大项和最小项的思路有：（1）将数列视为函数，当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相对应的函()f x *N x ∈()f x 数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求得数列的最值项；()f x （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用，确定最大项，利用n a 11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩()2n ≥确定最小项. ()11,2n n nn a a n a a -+≤⎧≥⎨≤⎩21．设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”. {}n a n n S ()112N,12n na n n a +≤≤∈≥{}n a (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围; {}n a 39811,,,,2416x x (2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; {}n a n ()2134n S n n =+{}n a (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.{}n a q {}n a {}n S q 【答案】(1) 819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)数列为“紧密”数列；理由见详解.{}n a (3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果； 0x ≠142291812216x x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论； ()2*13(N )4n S n n n =+∈1122n a n =+1n n a a +（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧1q =1q ≠11n n a a q -=()111nn a q S q -=-{}na 密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果. 112q ≤<12q <≤1n n S S +【详解】（1）若数列为“紧密”数列，{}n a 则，且， 0x ≠142291812216x x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得：， 819322≤≤x 即的取值范围为. x 819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）数列为“紧密”数列；理由如下：{}n a 数列的前项和， {}n a ()2*13(N )4n S n n n =+∈当时，； 1n =()1111314a S ==⨯+=当时，， 2n ≥()()2211111313(1)4422n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+-+--=+⎣⎦又，即满足， 111122a +==11a =1122n a n =+因此， 1122n a n =+*(N )n ∈所以对任意，， *n ∈N ()111121*********n n n a n a n n n ++++===++++所以， 1111221n n a a n +<=+<+因此数列为“紧密”数列；{}n a （3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，{}n a q n n T 当时，有，，1q =1n a a =1n S na =所以，，满足题意； 11122n na a +≤=≤1111122n n S n S n n ++≤==+≤当时，，，1q ≠11n n a a q -=()111n n a q S q -=-因为为“紧密”数列，{}n a所以， 1122n n a a q +≤=≤即或， 112q ≤<12q <≤当时， 112q ≤<， 1111111n nn n nn S q q S q q ++--=>=--， ()()121111112111n n n nn n n n n n q q S q q q S q q q+++---=<==+<---所以，满足为“紧密”数列； 1111221n n nn S q S q ++-≤=≤-{}n S 当时，，不满足为“紧密”数列； 12q <≤2211121S q q S q-==+>-{}n S 综上，实数的取值范围是. q 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

上海市高二上学期数学期末考试试卷含答案

第一学期高二数学期末考试试卷注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2，则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上的一点，D ，E 分别是VB ，VC 的中点，求异面直线DE 与AC 所成的角的大小为________．16、（本题8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ，D 为PB 的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A ．BC ⊥平面P ABB ．AD ⊥PCC ．AD ⊥平面PBCD ．PB ⊥平面ADC17、（本题10分）从2名男生（记为1A,2A）和2名女生（记为1B,2B）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间 ;（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;（3）若2名男生1A,2A所处年级分别为高一、高二,2名女生1B,2B所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值：(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）19、（本题12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长．参考答案注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；二、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．【答案】240【详解】抽取比例为50160012=，设该年级的女生人数是x，则男生人数为600x-，因为女生比男生少抽了10人，所以11(600)101212x x=--，解得240x=，故答案为：240.2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．【答案】0；【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该空间图形不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该空间图形不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该空间图形的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．【答案】3【解析】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA ，PB ，PC 相交于一点P ，且PA ，PB ，PC 不共面，则PA ，PB 确定一个平面PAB ，PB ，PC 确定一个平面PBC ，PA ，PC 确定一个平面PAC .4、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都是2，则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为【答案】144；【解析】如图，连接AB 1，∵BC ∥B 1C 1，∴∠AC 1B 1就是异面直线AC 1与BC 所成的角．在△AC 1B 1中，AC 1＝AB 1＝22，B 1C 1＝2，∴cos ∠AC 1B 1＝122＝24.∴sin ∠AC 1B 1＝144. ∴异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为144. 5、如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为________．【答案】34a 【解析】延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连接GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．【答案】45＋62；【解析】由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .【答案】③；【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC ；8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0【解析】若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1，∴直线方程为y ＝x .若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2.9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．【答案】(－3，－3)【解析】如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到()24121-=n n ，解得：8n =故答案为：8；二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高【答案】A【解析】用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台，B 错误．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C 错误．立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，D 错误．12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE【答案】B【解析】∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM ∥BN ，且AM ＝BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，∴MN ∥AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B. 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-， ∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：D ．14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3【答案】D【解析】令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB上的一点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AC所成的角的大小为________．【答案】90°【解析】∵在△VBC中，E，D分别为VC，VB的中点，∴DE∥BC，∴异面直线DE与AC所成的角即为BC与AC所成的角，即为∠ACB＝90°.16、（本题8分）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；∴AD ⊥PC ，故B 正确． 17、（本题10分）从2名男生（记为1A ,2A ）和2名女生（记为1B ,2B ）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间Ω;（2）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”,求事件M 发生的概率;（3）若2名男生1A ,2A 所处年级分别为高一、高二,2名女生1B ,2B 所处年级分别为高一、高二,设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N 发生的概率.【答案】(1){}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ；(2)23；(3)12【详解】（1）解:由题知,样本空间Ω为{}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M 得结果数有4个；故()4263M P ==; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N 得结果数有3个；故()3162N P ==.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值： (2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）【答案】(1)0.006a =；(2)众数75；中位数76.4(1)由(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=,得0.006a =(2)50名学生竞赛成绩的众数为7080752+= 设中位数为m ,则0.040.060.22(70)0.0280.5m +++-⨯=，解得76.4m ≈ 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.419、（本题12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，求AB 的长．【解析】（1）证明以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)．故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E —→＝－a 2·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.（2）解假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即n ·DP →＝0，a 2－az 0＝0，解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，B 1C ，B 1E ⊂平面DCB 1A 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面DCB 1A 1即平面A 1B 1E 的一个法向量，且AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 2×1＋a 24＋a 2. ∵平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22×1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。

上海高二数学第一学期期末复习卷A版重点中学版2含解析

高二数学第一学期期末复习卷2本卷说明：1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考，具体考察范围及难度系数由不同学校而定。

2、考察内容：数列及数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵与行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线及线性规划、圆锥曲线一、填空题〔每题3分，总分值36分〕1、假设数列{}的前n项与＝＋，那么{}的通项公式是＝.解析：由＝＋得：当n≥2时，－1＝－1＋，∴当n≥2时，＝－2，又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴＝(－2)n－1.－12、数列{}满足a1＝1，＋1＝3＋2，那么＝.[解析] ∵＋1＝3＋2，∴＋1＋1＝3(＋1)，∴＝3，∴数列{＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴＋1＝2·3n－1，∴＝2·3n －1－1.3、数列{}满足a1＝1，a2＝2，且＝(n≥3)，那么a2 013＝.解析：将a1＝1，a2＝2代入＝得a3＝＝2，同理可得a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，故数列{}是周期数列，周期为6，故a2＝a335×6＋3＝a3＝2.0134、设，分别是等差数列{}，{}的前n项与，＝，n∈N*，那么＋＝.解析：由等差数列性质，＋＝＝＝＝＝＝.5、向量OA＝(0,1)，OB＝(1,3)，OC＝(m，m)，假设AB∥AC，那么实数m＝.解析：由题意知，AB＝OB－OA＝(1,3)－(0,1)＝(1,2)，AC＝OC －OA＝(m，m)－(0,1)＝(m，m－1)，∵AB∥AC，∴存在实数λ使得AB＝λAC，即(1,2)＝λ(m，m－1)．解得，λ＝－1，m＝－1. 6、向量a＝( x，x)，b＝(1,2)，且a∥b，那么x＝.解析：由a∥b，得2 x＝x，那么x＝.7、设e1，e2为单位向量，非零向量b＝x e1＋y e2，x，y∈R.假设e1，e2的夹角为，那么的最大值等于．解析：当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．8、直线θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是．解析：由题知k＝－θ，故k∈，结合正切函数的图像，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.9、点A(1，2)，B(3，1)，那么线段的垂直平分线的点向式方程是.10、过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，那么线段的长为．解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知：＝5，∴＝＝2.在△中，·＝·，∴＝＝2.∴＝2＝4.11、2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的条件．解析：假设＋＝1表示椭圆，那么有∴2＜m＜6且m≠4，故2＜m＜6是＋＝1表示椭圆的必要不充分条件．12、双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，那么双曲线的方程为．解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ＞0)．因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为－＝1.二、选择题〔每题3分，总分值12分〕1、假设M为△所在平面内一点，且满足(MB－MC)·(MB＋MC－2MA )＝0，那么△的形状为〔〕解析：由(MB －MC )·(MB ＋MC －2MA )＝0，可知CB ·(AB ＋AC )＝0，设的中点为D ，那么AB ＋AC ＝2AD ，故CB ·AD CB ⊥AD .又D 为的中点，故△为等腰三角形．2、如下图，程序框图(算法流程图)的输出结果是〔〕．A. B. C.D.解析：由流程图知s ＝0＋＋＋＝. 3、过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．假设＝3，那么的长为〔〕. A. B. C. D.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y＝2，∴A (2,2)，∴直线的方程为y ＝2(x －1)．又解得或 431211242521211232由图知，点B的坐标为，∴＝－(－1)＝.4、直线y＝x＋b及平面区域C：的边界交于A，B两点，假设≥2，那么b的取值范围是〔〕．A.[－2，2]B.[－2，0]C.[0，2]D.[－2，2]解析：不等式对应的区域如图，因为直线y＝x＋b的斜率为1，由图像可知＝＝2，要使≥2，那么－2≤b≤2，即b的取值范围是[－2,2]．三、解答题〔本大题总分值44分〕1、数列中，a2＝1，前n项与为，且＝.(1)求a1；(2)证明数列为等差数列，并写出其通项公式；(3)设＝，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，，成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；假设不存在，说明理由．解：(1)令n＝1，那么a1＝S1＝＝0.(2)证明：由＝，即＝，①得＋1＝.②②－①，得(n－1)＋1＝.③于是，＋2＝(n＋1)＋1.④由③④，得＋2＋＝2＋1，即＋2＋＝2＋1.又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列．所以＝n－1.(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，，成等比数列，那么b1，，成等差数列，于是＝＋.所以q＝3q(－)．⑤易知(p，q)＝(2,3)为方程⑤的一组解．当p≥3，且p∈N*时，－＝<0，故数列(p≥3)为递减数列，于是－≤－<0，所以此时方程⑤无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p，q)＝(2,3)，使b1，，成等比数列．2、向量m＝( 2x＋2，x)，n＝(1,2 x)，设函数f(x)＝m·n.(1)求f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)在△中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，假设f (A )＝4，b ＝1，△的面积为，求a 的值．[自主解答] 因为m ＝( 2x ＋2， x )，n ＝(1,2 x )，函数f (x )＝m ·n ，所以f (x )＝ 2x ＋2＋22x＝ 2x ＋ 2x ＋3＝2＋3.(1)f (x )的最小正周期为T ＝＝π.由2k π－≤2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ，得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .所以f (x )的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－+，，k ∈Z . (2)因为f (A )＝4，所以2＋3＝4，即＝.由于0<A <π，所以2A ＋＝，即A ＝.又因为S △＝ A ＝且b ＝1，所以c ＝，解得c ＝2.在△中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2 A＝1＋4－2×1×2×＝3，所以a＝.3、用矩阵变换的方法求解以下方程：4、直线l过点M(2,1)，且分别及x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△面积最小时，求直线l的方程；(2)当·取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，，B(0，1－2k)，△的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵＝，＝，∴·＝·＝2 ≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.5、圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P及圆M 外切并且及圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是及圆P，圆M都相切的一条直线，l及曲线C交于A，B 两点，当圆P的半径最长时，求.[自主解答] 由得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P及圆M外切并且及圆N内切，所以＋＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于－＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2l的倾斜角为90°，那么l及y轴重合，可得＝2.假设l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l及x轴的交点为Q，那么＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l及圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.所以＝2－x1|＝.当k＝－时，由图形的对称性可知＝.综上，＝2或＝.。

上海高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是______． {}1,2,3,4a {}1,2,3b b a >【答案】##0.25 14【分析】首先根据题意用列举法写出全部基本事件，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为， {}1,2,3,4a {}1,2,3b 共有：，，，，，，，，，()1,1()1,2()1,3()2,1()2,2()2,3()3,1()3,2()3,3，，，共12个基本事件，()4,1()4,2()4,3则有，，，共有3个基本事件， b a >()1,2()1,3()2,3所以的概率为. b a >31124=故答案为：142．正方体中，分别为的中点，则与面所成的角是：_____ 1111ABCD A B C D -,E F 1,AA AB EF 11A C CA 【答案】30°【分析】作出线面角，根据等比三角形的性质求出线面角的大小.【详解】由于分别是的中点，所以，直线和平面所成的角的大小,E F 1,AA AB 1//EF A B EF 11A C CA 等于直线和平面所成的角.根据正方体的几何性质可知平面，所以1A B 11A C CA BD ⊥11A C CA 1OA B∠即直线和平面所成的角.在等边三角形中，是的中点，故，所以1A B 11A C CA 1A BD O BD 1AO BD ⊥.1160302OA B ∠=⨯=【点睛】本小题主要考查线面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.3．已知三角棱O -ABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，设OA＝，＝，＝，则＝__________________（用基底（，，）表示）a OBb OC cOG a b c 【答案】1()4a b c ++【分析】画出几何体图形，根据条件知G 为MN 的中点，连接ON ，从而可得，1()2OG OM ON =+根据M ，N 是OA ，BC 的中点即可用表示出．,,a b c OG【详解】∵如上图，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，∴G 为MN 的中点，连接ON ，且M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，则：.1()2OG OM ON =+ 1()4OA OB OC =++1()4a b c =++ 故答案为：.1()4a b c ++4．如图,在正方体中,M 是的中点,O 是底面ABCD 的中心,P 是上的任意点,1111ABCD A B C D -1C C 11A B 则直线BM 与OP 所成的角为__________ .【答案】90︒【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP 所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM 与此平面垂直. 【详解】如图,取AD ,BC 的中点分别为E ,F ,连接EF ,FB 1,EA 1, 易得,∴BM ⊥B 1F ,1Rt BFB Rt CMB ≅A A 又∵AB ‖EF ,AB ⊥平面BCC 1B 1,∴EF ⊥平面BCC 1B 1, ∵BM ⊂平面BCC 1B 1,∴EF ⊥BM , 又∵EF ∩B 1F =F ,∴BM ⊥平面A 1B 1FE , 又∵OP ⊂平面A 1B 1FE , ∴BM ⊥OP ,∴BM 与OP 所成的角为90°, 故答案为：90°.5．已知一组数据4，，，5，7的平均数为4，则这组数的方差是________． 2a 3a -【答案】3.6【分析】先根据这组数据的平均数为4，求得a ，再利用方差公式求解.【详解】因为一组数据4，，，5，7的平均数为4， 2a 3a -所以， ()14235745a a ++-++=解得，1a =所以这组数据为，4,2,2,5,7所以这组数据的方差为 ()()()()()22222214424245474 3.65S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：3.66．已知数列中，，则__．{}n a 111,n n a a a n +==+n a =【答案】222n n -+【分析】利用累加法求解即可．【详解】当时，，2n ≥11n n n a a -=--所以，121321()()()112(1)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=++++- 222n n -+=又，符合，所以．11a =222n n n a -+=7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有．【答案】①④【分析】利用三棱柱与三棱锥，可得判定②、③错误，利用平面的基本性质与推理证明正确结论①、④正确，即可求解.【详解】由三棱柱的三条侧棱两两平行，可得②错误；由三棱锥的三条侧棱，两两相交于一点，可得③错误；选项①中，如图①所示，由题意可设直线m 与点A 所确定的平面为， α则再由平面的基本性质，可得直线、也在内．l n α选项④中，如图④所示，由题意可设直线m 与直线n 所确定的平面为， α则点A 与点B 均在平面内，则再由平面基本性质，可得直线也在平面内， αl α综合可得，①④正确；故答案为：①④．8．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上30升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过__分钟． 2370【答案】4【分析】设热气球在第分钟上升的高度为米，分析可知数列为等比数列，确定该()n n *∈N n a {}n a 数列的首项和公比，求出数列的前项和，利用数列的单调性可得出，由此可{}n a n {}n S 3470S S <<得出结果.【详解】设热气球在第分钟上升的高度为米，()n n *∈N n a 则数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 3023经过分钟，热气球上升的总高度米，n 2301329012313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎣⎦==⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-则数列单调递增，{}n S 因为，， 3321909017033S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦4426509017039S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以该气球至少要经过分钟才能上升到米． 470故答案为：.49．棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别是棱，a 1111ABCD A B C D -O E F 1AA 1DD 的中点，则直线被球截得的线段长为__．EF O【分析】先求正方体外接球的半径R ，再根据过球心和点,的大圆的截面图，可得直线被O E F EF 球截得的线段为，进而可求解．QR 【详解】因为正方体内接于球，所以， 2R=R =过球心和点,的大圆的截面图如图所示，O E F则直线被球截得的线段为，过点作于点， QR O OP QR ⊥P 所以在中，． QPOA 2QR QP ===10．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________. 【答案】0.21##21100【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可,,A B C 求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A ，B ，C则，则 ()()0.86()()0.35()()()1P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩()0.21P B =故答案为：0.2111．设数列的前n 项之积为，且．则数列的前n 项和{}n a n T *2(1)log ,2n n n T n N -=∈{}n a n S =_______．【答案】21n -【分析】由的定义求得，然后由等比数列的前项和公式计算． n T n a n 【详解】因为，所以，2(1)log 2n n n T -=(1)22n n n T -=则，1121a T ===时，，也适合． 2n ≥()()()1212112222n n n n n n n n T a T -----===11a =所以，为等比数列，．12n n a -=122112nn n S -==--故答案为：．21n -12．已知数列满足，若不等式恒成立，则实{}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++2410n ta n n ++≥数的取值范围是__________ t 【答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到，利用等差数列的通项公式化简得，把1111(1)n n n a na +-=+1(1)n a n n =+不等式，转化恒成立，结合基本不等式，即可求解. 2410nta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-【详解】由数列满足， {}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++可得，且，1111(1)n n n a na +-=+112a =所以数列表示首项为，公差为的等差数列，1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21所以，所以， 111=+(1)1n n n na a -=+1(1)n a n n =+又由恒成立，即对恒成立，2410n ta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-n N *∈因为，(4)(1)4(5)5)9n n n n n ++-=-++≤-=-当且仅当时取等号，所以， 2n =9t ≥-即实数的取值范围是.t [9,)-+∞二、单选题13．已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： m l αβ①若垂直于内两条相交直线，则； l αl α⊥②若且，则； ,m l αβ⊂⊂l m ⊥αβ⊥③若，则； ,l l βα⊂⊥αβ⊥④若且，则． ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m 其中正确的序号是（） A ．①③ B ．①②③ C ．①③④ D ．②④【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【详解】①若垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，正确；l αl α⊥②若且，则可能相交或平行，错误 ,m l αβ⊂⊂l m ⊥,αβ③由，，根据面面垂直的判定有，正确； l β⊂l α⊥αβ⊥④若且，则或异面都有可能，错误； ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m ,l m 因此正确命题的序号为①③. 故选：A ．14．已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递{}n a q 2log ,n n b a n ={}n b 减，则的取值范围是（） q A ． B ． (0,1)(0,2)C ． D ．(0,1)(1,2) (1,)+∞【答案】A【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求解. 【详解】因为数列严格递减，所以，即，即， {}n b 1n n b b +<212log log n n a a +<12log 0n na a +<即，解得, 22log 0log 1q <=01q <<所以的取值范围为. q (0,1)故选: A.15．在无穷等比数列中，，则的取值范围是（） {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1a A ．B ．1(0,)211(0,)(,1)22C ．D ．(1,1)-(1,0)(0,1)- 【答案】B【分析】根据无穷等比数列的极限存在条件及不等式的性质即可求解. 【详解】在无穷等比数列中，，得，，且， {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1112a q =-||1q <0q ≠即，，且， ()1112a q =-11q -<<0q ≠因为，且，所以，且， 11q -<<0q ≠101a <<112a ≠所以的取值范围是.1a 11(0,(,1)22故选：B.16．已知正方体的棱长为M ，N 为体对角线的三等分点，动点P 在三角1111ABCD A B CD -1BD 形内，且三角形的面积P 的轨迹长度为（） 1ACB PMN PMN S =△A B C D 【答案】B【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据N 1ACB PN 的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.PN P 1ACB 【详解】如图所示：连接，因为四边形是正方形，所以， 11BC B C O = 11BCC B 11BC B C ⊥因为平面，平面，所以， 11D C ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 11D C ⊥1B C 又平面，平面， 11111,BC D C C BC =⊂ 11BC D 11D C ⊂11BC D 所以平面，所以， 1B C ⊥11BC D 11B C D B ⊥同理可知：，11B A D B ⊥又因为平面，平面，， 1B C ⊂1ACB 1B A ⊂1ACB 111B C B A B = 所以平面，1D B ⊥1ACB根据题意可知：为正三角形，所以1116,D B AB B C AC =====1ACB A ，160∠=︒B AC所以，设到平面的距离为，112ACB S =⨯=A B 1ACB h 因为，所以，所以，11B ACB B ABC V V --=111133ACB ACB S h S BB ⋅⋅=⋅⋅A A 11ACB ACB S h S BB ⋅=⋅A A，所以，(2h ⨯=1123h D B ==h BN =所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以， N 1D B 1ACB 1D B ⊥1ACB MN PN ⊥所以 11222PMN S MN PN PN PN =⋅=⋅⋅==A在正三角形中，高 1ACB sin 60AO AC =︒==所以内切圆的半径，13r AO ==<AN <=取的两个三等分点，连接，所以，1B C ,E F ,EN FN 1//,//NE AB NF AC所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以的圆，圆NEF A PN P N，在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一1ACB A 60︒，故选：B.【点睛】思路点睛：空间中轨迹问题的解答思路：（1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系；（2）通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状；（3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD M N ，的中点．AB PD(1)求证：平面；MN ∥PBC (2)若，求直线与平面所成角． PA AD =MN PCD 【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可； PC （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，进而可求得线面角．【详解】（1）取中点为，连接，， PC E BE NE 因为，分别为，的中点， E N PC PD 所以，．EN CD ∥12EN CD =又四边形为正方形，所以，， ABCD CD AB ∥CD AB =又因为为的中点，所以，， M AB EN BM ∥EN BM =所以四边形为平行四边形，所以，BMNE MN BE ∥又平面，平面，所以平面．BE ⊂PBC MN ⊂PBC MN ∥PBC （2）以点A 为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．AB AD AP x y z设，则，||||2PA AD ==(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(0,1,1)D C P M N ，，，(1,1,1)MN =- (2,2,2)PC =- (0,2,2)PD =-u u u r设平面的法向量为，PCD (,,)m x y z =则，即，令，则，00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩1y =(0,1,1)m = 设直线与平面所成角为， MN PCD θ则||sin ||||MN m MN m θ⋅===⋅所以直线与平面所成角为． MNPCD 18．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考5000试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机20003000抽取人，作检测成绩数据分析.100（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成100绩的平均分；【答案】（1）见解析；（2）92.4【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，由题意，从示范性高中抽取人， 2000100405000⨯=从非师范性高中抽取人； 3000100605000⨯=（2）由频率分布直方图估算样本平均分为(600.005800.0181000.021200.0051400.002)2092.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．19．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩(2500)t t …n 余资金为万元n a （1）判断是否为等比数列？并说明理由； {}2n a t -（2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过万元，求1500t =()m m N*∈21000的最小值.m (lg 20.3010;lg 30.4771)≈≈【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）由题意得，从而得15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-，而当，即时，所以不是等比数列；133232222n n n n a t a t a t a t +--==--2500t =120a t -={}2n a t -（2）由（1）可知，，由可得，13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭133000()3000210002m m a -=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭然后利用单调递增，可得答案32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】解：（1）由题意得， 15000(150%)7500,a t t =+-=-. 13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-当时，即时，2500t <12750030a t t -=->133232222n n n n a ta t a t a t +--∴==--是以为首项，为公比的等比数列.{}2n a t ∴-1275003a t t -=-32当，即时，不是等比数列2500t =120a t -={}2n a t -（2）当时，由（1）知，1500t =13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即，133000()3000210002m m a -∴=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭法一：易知单调递增，32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭又，， 4381()6216=< 53243()6232=>，，15m ∴-≥6m ≥的最小值为6 m ∴法二：， 32lg 6lg 2lg 30.30100.47710.77811log 6 4.423lg 3lg 20.47710.30100.1761lg 2m ++∴->==≈=≈--，的最小值为6.6m ≥m ∴【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20.解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体11ACB D .11111111111133B ACB A AB DC B CD D ACD ACB D V V V V V V V ----=----==四面体正方体正方体（1）类似此解法，如图2，求此四面体的体积；（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个ABCD AB CD =AC BD =AD BC =面都是锐角三角形；（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，m m 构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？m [及变形，当且仅(),,03a b c a b c ++≤>()3,,03a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭当时取得等号]a b c ==【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）时,. m =【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案；（2）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明△ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）当2条长为m的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最值.【详解】（1）类似地，构造一个长方体，1111-ABCD A B C D设从同一个顶点出发的三条棱的棱长分别为，则有：1AB x AD y AA z ===、、，解得： 22222251013x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1111111111B ACB A AB D C B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----四面体长方体11111111123123123123123232323232=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=即此四面体的体积为2. （2）证明：在四面体中，因为，，，ABCD AB CD =AC BD =AD BC =所以四面体的四个面都是全等的三角形，只需证明一个面为锐角三角形即可. ABCD 设长方体的长、宽、高分别为abc ，则，，， 222AB a c =+222BC b c =+222AC a b =+所以， 222222222AB BC b c a c AC a b +=+++>=+即，所以B 为锐角；222AB BC AC +>同理可证：A 为锐角，C 为锐角，所以△ABC 为锐角三角形. 所以这个四面体的四个面都是锐角三角形.（3）因为长度为的线段不相邻，所以2条长为m 的线段不在同一个三角形中，如图，m不妨设AD = BC = m ，AB =BD =CD =AC =2，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，而AE ∩DE =E ，∴BC ⊥平面AED ，则三棱锥的体积，1·3AED V S BC =A 在△AED 中,AD =m ，AE DE==所以1122AEDS m m ==A所以11·36AED V S BC m m ====A， ≤当且仅当，即时等号成立. 22=162m m-m 即时,. m 【点睛】（1）求几何体体积的常用的方法有：①直接法；②等体积法；③补形法；④向量法；（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”① “一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．21．设数列的前n 项和为，已知，（）． {}n a n S 11a =121n n S S +-=*n ∈N （1）求证：数列为等比数列； {}n a （2）若数列满足：，． {}n b 11b =1112n n n b b a ++=+① 求数列的通项公式；{}n b ② 是否存在正整数n ，使得成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理14ni i b n ==-∑由．【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2）， {}n a 12n n nb -=2n =【分析】（1）由题设的递推关系式，得到（），即可证得数列为等比数列． 12n na a +=2n ≥{}n a （2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的12n n a -=11221n n n n b b -+-={}12n n b -等差数列，即可求得． 12n n nb -=②利用乘公比错位相减法，求得，进而得到，显然当 14(24)(2nn T n =-+⨯122n n n-+=2n =时，上式成立，设，由，所以数列单调递减，进而得到结12()2n n f n n-+=-(1)()0f n f n +-<{}()f n 论.【详解】（1）解：由，得（）， 121n n S S +-=121n n S S --=2n ≥两式相减，得，即（）． 120n n a a +-=12n na a +=2n ≥因为，由，得，所以， 11a =()12121a a a +-=22a =212a a =所以对任意都成立， 12n na a +=*n N ∈所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．{}n a （2）① 由（1）知，，12n n a -=由，得， 1112n n n b b a ++=+1122n n n b b +=+即，即， 11221n n n n b b -+=+11221n n n n b b -+-=因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．11b ={}12n n b -所以，()12111n n b n n -=+-⨯=所以． 12n n nb -=② 设，1n n i i T b ==∑则，12111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，得，0121111111222222n n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11121212nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭-()1222n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭所以．()14242nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭由，得，即． 14ni i b n ==-∑()142442nn n ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭122n n n -+=显然当时，上式成立， 2n =设（），即． ()122n n f n n-+=-*n N ∈()20f =因为， ()()()113221222011n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤++⎛⎫⎛⎫+-=---=-+<⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以数列单调递减， (){}f n 所以只有唯一解，()0f n =2n =所以存在唯一正整数，使得成立．2n =14ni i b n ==-∑【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。

上海高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．已知点在幂函数的图像上，则幂函数__．1,93⎛⎫⎪⎝⎭()f x =【答案】2x -【分析】设幂函数的解析式，将点坐标代入，得函数解析式. 【详解】设，则，所以，所以.()f x x α=193α⎛⎫= ⎪⎝⎭2α=-2()f x x -=故答案为：.2x -2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________． a R ∈(1)()i a i ++=a 【答案】.1-【详解】试题分析：由题意得. (1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-【解析】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.3．直线与直线的夹角为__（用反三角表示）． 10x y +-=320x y --=【答案】3arctan 2【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案. 1k =-3k '=【详解】因为直线的斜率为， 10x y +-=1tan 1k θ==-直线的斜率为， 320x y --=2tan 3k θ'==设两条直线的夹角为，则， θ()1212tan tan 11(1)323k k kk θθθ-'--=-===+'+-⋅因为，所以．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3arctan 2θ=故答案为：3arctan 24．以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________．221916x y -=【答案】()22254x y -+=【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.【详解】依题意，所以渐近线为，右焦点，3,4,5a b c ===43y x =±()5,0右焦点到渐近线.44303y x x y =⇒-=4=所求圆的方程为. ()22254x y -+=故答案为：()22254x y -+=5．已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围为__．22302 x x x a ⎧--≤⎪⎨-≤⎪⎩a 【答案】或.5a >3a <-【分析】分别解不等式得到，，根据题意得到或，解得13x -≤≤22a x a -≤≤+23a ->21a +<-答案.【详解】由得，由得， 2230x x --≤13x -≤≤||2x a -≤22a x a -≤≤+由题意得或，所以或. 23a ->21a +<-5a >3a <-故答案为：或.5a >3a <-6．已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为__． O (4)y k x =-P ||2OP =k【答案】k ≤≤【分析】解不等式即得解. 2d =≤【详解】由题得直线的方程为， 40kx y k --=所以原点到直线的距离，2d =≤所以，213k ≤解得k ≤≤故答案为：k ≤≤7．将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，ABCD AB 3AB =2BC =O EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是_______. O EFG -【答案】4【分析】三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ，当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S △EFG ）max =，由14242⨯⨯=此能求出三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值．【详解】∵将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形， ∴三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ， ∴当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S △EFG ）max =，14242⨯⨯=∴三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值V max ==．1()3EFG max S AB ⨯⨯A 14343⨯⨯=故答案为4．【点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 8．直线m 和平面所成角为，则直线m 和平面内任意直线所成角的取值范围是_____α6πα【答案】,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为，由三垂线定理可得当该平面内的6π直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为，达到最大值．由此即可得到本题答案．2π【详解】直线为，平面为，为内的任意一条直线．m αl α根据直线与平面所成角的定义，可得与平面所成的角是与平面内所有直线所成角中最小的角，m αm α直线与平面内的直线所成角的最小值为，∴m α6π当平面内的直线与直线在平面内的射影垂直时，，与也垂直， αl m n l m 此时，所成的角，达到所成角中的最大值．l m 2π因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．棱长为1的正方体的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1111ABCD A B C D -、的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________ 1AA 1DD. 【详解】分析：详解：正方体的外接球球心为O 2和线段EF 相较于HG 两点，连接OG ，取GH 的中点为D 连接OD ，则ODG 为直角三角形，OD=，根据勾股定理得到12，故.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10．已知双曲线的渐近线方程为，抛物线：的焦点与双222:1y E x b-=y =C 22(0)y px p =>F 曲线的右焦点重合，过的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若向量与的E F l C ,M N O OM ON夹角为，则的面积为_____. 120 MON ∆【答案】【分析】根据双曲线的几何性质，求得抛物线的方程为，设直线的斜率为，则直线的28y x =l k l 方程为，代入抛物线的方程，由根与系数的关系，求得， (2)y k x =-121216,4y y x x =-=设，根据向量的数量积的运算，求得，即可求解的面积．,OM m ON n ==24mn =OMN ∆【详解】由题意，双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，222:1y E x b -=x 1a =又由渐近线方程为，所以， y =b a =b =2213y x -=所以双曲线的右焦点，(2,0)又因为抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，即， C 22(0)y px p =>F E 22p=解得，所以抛物线的方程为， 4p =28y x =设直线的斜率为，则直线的方程为，l k l (2)y k x =-代入抛物线的方程消去，可得， x 28160y y k--=设，由根与系数的关系，求得， 1122(,),(,)M x y N x y 121216,4y y x x =-=设，则，,OM m ON n ==1cos1202OA OB mn mn ⋅==-又因为， 121241612OA OB x x y y ⋅=+=-=- 则，解得，1122mn -=-24mn =所以的面积为 OMN ∆11sin1202422S mn ==⨯=【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质求得抛物线的方程，再根据直线抛物线的位置关系，利用根与系数的关系，利用向量的数量积求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．mn 11．在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为不全为，类似地，在空间直角0(,ax by c a b ++=0)坐标系中，平面的一般式方程为不全为，则以坐标原点为球心，且与平面0(,,ax by cz d a b c +++=0)相切的球的表面积为__．2360x y z ++-=【答案】727π【分析】利用球心到平面的距离公式以及球的表面积公式，计算可得答案.【详解】球心到平面的距离，d ==故所求球的表面积为. 27247ππ⋅=故答案为：727π12．已知P 为抛物线上的动点，点B 、C 在y 轴上，是△PBC 的内切圆.则22y x =()2211x y -+=最小值为_______.PBC S ∆【答案】8【详解】设、、， ()00,P x y ()0,B b ()0,C c 不妨设，，即． b c >00:PB y bl y b x x --=()0000y b x x y x b --+=又圆心到的距离为1．()1,0PB 1=故． ()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+易知，上式化简得．02x >()2000220x b y b x -+-=同理，．()2000220x c y c x -+-=所以，，．则． 0022y b c x -+=-002x bc x -=-()()222000204482x y x b c x +--=-因为是抛物线上的点，所以，．则． ()00,P x y 202y x =()()222004222x x b c b c x x -=⇒-=--故． ()()000000142448222PBC x S b c x x x x x =-=⋅=-++≥=--A 当时，上式取等号，此时，，． ()2024x -=04x =0y =±因此，的最小值为8．PBC S A二、单选题13．平面外的两条直线、，且，则是的（） αa b //a α//a b //b αA ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面的平行关系及充分必要条件的定义即可判断【详解】，，且，故，充分； //a α//a b b α⊄//b α，，则，或相交，或异面，不必要.//a α//b α//a b ,a b ,a b 故为充分不必要条件，故选：A14．设函数，则的最小正周期 2()sin sin f x x b x c =++()f x A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【详解】试题分析：，其中21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222x x f x x b x c b x c b x c -=++=++=-+++当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故0b =cos 21()22x f x c =-++π0b ≠2πc 选B ．【解析】降幂公式，三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数()f x b c 的最小正周期．()f x15．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且(2,1)A -(1,1)B -O P OP mOA nOB =+m R n ∈，则动点的轨迹是（）2222m n -=PA B ．焦距为C D ．焦距为【答案】D【分析】动点，由得到，，进而得到(,)P x y OP mOA nOB =+m x y =+2n x y =+，化简可得答案.222()(2)2x y x y +-+=【详解】设动点，因为点满足，其中、， (,)P x y P OP mOA nOB =+m R n ∈且，所以，所以，，2222m n -=(,)(2,)x y m n n m =--2x m n =-y n m =-所以，，所以，m x y =+2n x y =+222()(2)2x y x y +-+=即，表示焦距为. 2212x y -=故选：D16．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点ABC A 为，，，且欧拉线方程为，则的重心到垂心的距离为(0,0)A (,0)B m (2,)C n 250x y +-=ABC A （）A B C D 【答案】D【分析】确定重心为，代入方程得到，确定垂心，代入方程得到,332G m n ⎛⎫⎪⎝⎭+213m n +=(2,)H a ，根据，解得，得到答案.32a =1HB AC k k ⋅=-45n m =⎧⎨=⎩【详解】的顶点为，，，所以重心， ABC A (0,0)A (,0)B m (2,)C n ,332G m n ⎛⎫⎪⎝⎭+代入欧拉线方程，得，即， 225033m n++-=213m n +=因为，都在轴，，故可设垂心， (0,0)A (,0)B m x (2,)C n (2,)H a 代入欧拉线方程，得，，垂心， 2250a +-=32a =32,2H ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得到，13222HB ACk k n m =⋅-⋅=-438m n =+，解得，故重心为 213438m n m n +=⎧⎨=+⎩45n m =⎧⎨=⎩74,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭=故选：D三、解答题17．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，111AAO O 1OO A AC 23π长为，其中与在平面的同侧.A 11AB 3π1B C 11AAO O(1)求三棱锥的体积；111C O A B -(2)求异面直线与所成的角的大小. 1B C 1AA【答案】(1). 4π【详解】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角1h =1r =1113π∠A O B =形面积公式计算后即得.111S O A B A （2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与1B B 11//BB AA 1C ∠B B 1C B 1AA 所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可． π3C ∠OB =1C B =1π4C ∠B B =试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径． 1h =1r =由的长为，可知． A 11A B π31113π∠A O B =11111111111sin 2S A O A B =O A ⋅O B ⋅∠O B =A1111111V 3C O A B S h -O A B =⋅=A （2）设过点的母线与下底面交于点，则， 1B B 11//BB AA 所以或其补角为直线与所成的角． 1C ∠B B 1C B 1AA 由长为，可知，A AC 2π32π3C ∠AO =又，所以， 111π3∠AOB =∠A O B =π3C ∠OB =从而为等边三角形，得． C OB A 1C B =因为平面，所以． 1B B ⊥C AO 1C B B ⊥B 在中，因为，，，所以， 1C B B A 1π2C ∠B B =1C B =11B B =1π4C ∠B B =从而直线与所成的角的大小为． 1C B 1AA π4【解析】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.18．在△ABC 中，(1)求B 的大小；222a c b +=(2)cos A ＋cos C 的最大值．【答案】（1）（2）1 π4【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得；（2）222cos 2a c b B ac +-===⇒4B π∠=由（1）知当时，34A C π∠+∠=⇒3cos cos()4A C A A π+=+-cos()4A π=-⇒4A π∠=取得最大值．cos A C +1试题解析：（1）由余弦定理及题设得 222cos 2a c b B ac +-==又∵，∴；（2）由（1）知，0B π<∠<4B π∠=34A C π∠+∠=3cos cos()4A C A A π+=+-A A A =，因为，所以当取得最大cos()4A A A π==-304A π<∠<4A π∠=cos A C +值．1【解析】1、解三角形；2、函数的最值.19．已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且E 22221x y a b+=0a b >>(3,1)P 12, F F . 126F P F P ⋅=-(1)求椭圆的方程；E (2)若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明,M N 5x =12F M F N ⊥MN C 理由．【答案】(1) (2) 圆必过定点和 221182x y +=(8,0)(2,0)【详解】试题分析：解：（1）设点的坐标分别为，则12,F F (,0),(,0)(0)c c c ->，故，可得，12(3,1),(3,1)F P c F P c =+=- 212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=- 4c =所以，122a PF PF =+==a =∴，所以椭圆的方程为． 22218162b a c =-=-=E 221182x y +=（2）设的坐标分别为，则，. 由，可得,M N (5,),(5,)m n 1(9,)F M m = 2(1,)F N n = 12F M F N ⊥ ，即，1290F M F N mn ⋅=+= 9mn =-又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即C (5,),2m n +2m n -C 222(5)(()22m n m n x y -+-+-=，也就是，令，可得或， 22(5)()0x y m n y mn -+-++=22(5)()90x y m n y -+-+-=0y =8x =2故圆必过定点和．C (8,0)(2,0)【解析】椭圆的定义，直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系，以及椭圆的定义的运用属于九重天。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.如果复数（其中为虚数单位），那么（即的虚部）为__________。

2.在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.3.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为___________．4.双曲线的一个焦点是，则的值是__________．5.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。

则双曲线的方程为。

6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.7.某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.9.若且，则的最大值是_______.10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。

已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 c m、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面的同侧，则△ABC的重心到平面的距离为___________。

12.过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条。

13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________.14.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的面积的最大值是。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算．2.已知复数，则= ．3.经过点的直线l的点方向式方程是．4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 44.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。

3.(本题满分10分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知直线讨论当实数m为何值时，(1)4.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知直线l：与双曲线C：相交于A、B两点．(1)求实数a的取值范围；(2)当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．5.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.计算．【答案】【解析】略2.已知复数，则= ．【答案】【解析】略3.经过点的直线l的点方向式方程是．【答案】【解析】略4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．【答案】【解析】略5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．【答案】【解析】略6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .【答案】【解析】略7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．【答案】【解析】略8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .【答案】【解析】9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .【答案】【解析】略10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．【答案】【解析】略11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)【答案】【解析】略12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】略二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )【答案】D【解析】略2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )【答案】D【解析】略3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 4【答案】C【解析】略4.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)【答案】B【解析】略三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．【答案】当时，解，得，即方程的根为．当时，解，得，即方程的根为．【解析】本题满分8分．解由题可知，是实数，又，……………………………………2分∵是方程的两个虚数根，∴．……………………4分∴，即，解得．……………6分当时，解，得，即方程的根为．…………………7分当时，解，得，即方程的根为．…………………8分2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.直线的倾斜角为，则的值是___________.2.若实数满足不等式组，则的最大值为 .3.设复数满足，则.4.已知直线与圆相切，则的值为__ ___.5.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__ ____.6.若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________________.7.过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为__________. 8.已知点P 是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________. 9.若点O 和点F 分别为双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________. 10.双曲线的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上，且满足：，则的面积是 . 11.若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是 . 12.已知点在直线上，点在直线上，PQ 的中点为，且,则的取值范围是 .二、选择题1.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A ．B ．C ．D ．3.设曲线C 的参数方程为为参数，直线的方程为，则曲线C 上到直线的距离为的点的个数为（）A ．1B ． 2C ．3D ．44.已知曲线：（），下列叙述中正确的是（）A．垂直于轴的直线与曲线存在两个交点B．直线（）与曲线最多有三个交点C．曲线关于直线对称D．若为曲线上任意两点，则有三、解答题1.求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.2.设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求.3.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.4.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？5.椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。

上海市重点中学高二数学上学期期末考试试题

上海市某重点高中2021-2021学年度第一学期高二数学期终答案〔总分值100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上〕一、填空题：本大题共12题，总分值36分。

请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。

每题填写正确得3分，否那么一律得0分。

1、过点(23)A ，，且垂直于的直线方程为。

解：一个法向量(23)n =，，所以方程为2(2)3(3)0x y -+-=，即23130x y +-=。

▋2、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，〔θ∈R 〕，那么直线l 倾角α的取值范围是。

解：tan cos [11]αθ=∈-，，所以倾角α的取值范围是3[0][)44πππ，，。

▋ 3、直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=及2l ：2(3)230k x y --+=平行，那么k 的值是。

解：342(3)(5)02(3)2k kk k k --=--=--，所以3k =或5k =。

当3k =时，二直线分别为1l ：10y +=，2l ：230y -=，平行；当5k =时，二直线分别为1l ：210x y -+=，2l ：4230x y -+=，平行。

▋4、直线l 的一个方向向量(12)d =，，那么l 及0x y -=的夹角大小为。

〔用反三角函数表示〕解：1(11)d =，，所以夹角θ满足cos θ==，所以夹角为。

▋5、圆C 及直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，那么圆C 的方程为。

解：22(1)(1)2x y -++=。

▋6、等轴双曲线C及椭圆221106x y +=有公共的焦点，那么双曲线C 的方程为。

解：椭圆的焦点坐标为1(20)F -，，2(20)F ，。

由22224aa +==，所以22a =。

所以，双曲线C的方程为22122x y -=。

▋7、有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽米。

上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷+解析版)

故答案为：①③.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
二、选择题
13.“ ”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简条件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，结合的范围进行判定.
10.已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为， .记的面积为，则 __________.
11.已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当m=___________时，点B横坐标绝对值最大．
12.已知椭圆：左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③ 的最小值为2；④ 最大值为，其中正确命题的序号是______.
二、选择题
13.“ ”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要
14.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
15.给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题个数是（）
19.假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5.

上海高二数学第一学期期末复习卷A版(重点中学版)1(含解析)

高二数学第一学期期末复习卷1本卷说明：1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考，具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容：数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线一、填空题（每题3分，满分36分）1、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于________．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1， ∴a n ＝a 1＋ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫21⎝⎛⎭⎫32⎝⎛⎭⎫43…⎝⎛⎭⎫n n －1＝2＋ln n .2、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.[解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3. 3、已知数列{a n }满足a s t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.4、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________.解析：a n ＝lg n 2＋3n ＋2n (n ＋3)＝lg(n 2＋3n ＋2)－lg [n (n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg n ]－[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝[lg(n ＋1)－lg n ]＋[lg n －lg(n －1)]＋…＋(lg 2－lg 1)－{[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]＋[lg(n ＋2)－lg(n ＋1)]＋…＋(lg 4－lg 3)}＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3]＝lg n ＋1n ＋3＋lg 3.5、已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于________．解析：由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．6、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于________．解析：BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．7、已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0. 若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．解析：以a 和b 分别为x 轴和y 轴正向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．8、在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4＜(m －2)2＋4＜16，所以－23＋2＜m ＜23＋2，且m ≠2. 答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)9、若直线的法向量恰好为直线的方向向量，则实数m 的值为________.解析：m =1或－210、设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ，又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.11、已知椭圆的焦点为双曲线x 216－y 29＝1的顶点，且经过抛物线x 2＝12y 的焦点，则椭圆的方程为________．解析：双曲线x 216－y 29＝1的顶点为(－4,0)，(4,0)．由题意，知椭圆的焦点为(－4,0)，(4,0)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝4.03)2(=++-my x m 03=--my x抛物线x 2＝12y 的焦点为(0,3)，由点(0,3)在椭圆上，可知点(0,3)为椭圆短轴的一个端点，故b ＝3. 所以a 2＝b 2＋c 2＝32＋42＝25. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.12、已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则NF ＝NH ＝32MN ，如图． ∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.二、选择题（每题3分，满分12分）1、已知P 为锐角三角形ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA ＋3PC |的最小值为（） A. B. C. 6 D. [自主解答] 因为PC ＝AC －AP ，所以|PA ＋3PC |2＝|3AC －4AP |2＝9AC 2－24AP ·AC ＋16AP 2.设|AP |＝x ，则|PA ＋3PC |2＝16×9－48x ＋16x 2＝16(x 2－3x ＋9)．因为三角形ABC 是锐角三角形，所以0<x <8，则当x ＝32时，|PA ＋3PC |2取得最小值为16×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫322－3×32＋9＝108，故|PA ＋3PC |的最小值为108＝6 3.2、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a ＝________.A. 3B. 4C. 5D. 6⎝⎛⎭⎫11－12＋解析：依框图知：当k ＞a 时，S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.当S ＝95时，k ＝4，接着继续计算“k ＝k ＋1”，所以4≤a ＜5.那么，a =43、已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是（）．A. B. C. D.33363924252628解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)．因为P 到此抛物线准线的距离d 1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，所以d 1＋d 2的最小值为点F 到直线x ＋y －10＝0的距离|－2＋0－10|2＝6 2.4、若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1，0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，已知点N (3，3)，则线段MN 长度的最大值是（）．A.5＋ 2B. 5－ 2C.5D.62,解析：由题可知2b ＝a ＋c ，∴直线方程为2ax ＋(a ＋c )y ＋2c ＝0，即a (2x ＋y )＋c (y ＋2)＝0，∴动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点A (1，－2)．设点M (x ，y )，由MP ⊥MA 可求得点M 的轨迹方程为圆Q ：x 2＋(y ＋1)2＝2，故线段MN 长度的最大值为|QN |＋r ＝5＋ 2.三、解答题（本大题满分44分）1、已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝16且S n ＝2S n －1＋n ＋4(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项a n ；(2)令b n ＝na n ，求{}b n 的前n 项和T n ，并判断是否存在唯一不等于1的n 使T n ＝22n －17成立？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知S n ＝2S n －1＋n ＋4，可得S n －1＝2S n －2＋n ＋3(n ≥3，n ∈N *)，两式相减得，S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)＋1，即a n ＝2a n －1＋1，从而a n ＋1＝2(a n －1＋1)，当n ＝2时，S 2＝2S 1＋6，则a 2－a 1＝6，又a 1＋a 2＝16，所以a 1＝5，a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＝2(a n －1＋1)，n ≥2，n ∈N *. 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1a n －1＋1＝2(n ≥2，n ∈N *)，即数列{}a n ＋1是以6为首项，2为公比的等比数列，则a n ＋1＝6·2n －1，故a n ＝3×2n －1.(2)由(1)，知T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6，T n －(22n －17)＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2－22n ＋23＝3(n －1)·2n ＋1－12(n 2＋45n －46)＝12(n －1)[6·2n ＋1－(n ＋46)]，令f (n )＝6·2n ＋1－n －46，因为f (n ＋1)－f (n )＝6·2n ＋1－1>0，所以f (n )单调递增，观察可知f (2)＝6·23－(2＋46)＝0，所以存在唯一不为1的n 使T n ＝22n －17成立，此时n ＝2. 2、已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 3、已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．4、已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的点方向式方程，并写出线段BC 的中垂线的点法向式方程．解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式由方程为6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式由方程为7x －y －11＝0，点方向式方程略.5、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 6、已知：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得AC ＝BC ？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，c a 2=设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵AC ＝BC ，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ≤12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .。

上海重点高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．等比数列中，且，则公比为______． {}n a 11a =1238a a a =-【答案】2-【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出，再求出公比作答.2a 【详解】在等比数列中，因为，则，所以公比． {}n a 321238a a a a ==-22a =-212a q a ==-故答案为：2-2．已知空间向量，，且与垂直，则等于 ___．()3,2,5a =- ()1,,1b x =- a bx 【答案】4【分析】根据向量垂直数量积等于列方程即可求解.0【详解】因为向量，，且与垂直，()3,2,5a =- ()1,,1b x =- a b所以，可得，3250a b x ⋅=-+-=4x =故答案为：.43．圆锥底面半径为1cm ，母线长为4cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角______． θ=【答案】π2【分析】直接利用弧长公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径为1cm ，所以侧面展开图对应的扇形的弧长为， 2π2πr =所以圆锥侧面展开图的圆心角． 2ππ42θ==故答案为：π24．已知无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则______. {}n a n n S 13a =q lim 2n n S →∞=q =【答案】##-0.512-【分析】根据无穷等比数列前n 项和的极限可知且，可得，结合已知求即可. 0q ≠||1q <121a q=-q 【详解】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且， {}n a n n S 13a =q lim 2n n S →∞=∴且，0q ≠||1q <，则. 13211a q q ∴==--12q =-故答案为：.12-51，则球的表面积为______．【答案】16π【分析】计算半径为，再计算表面积得到答案.2R =【详解】球的半径，故球的表面积为． 2R ==24π16πR =故答案为：16π6．甲､乙､丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，若对这三人进行一次231543、、100米跑检测，则三人都合格的概率是___________（结果用最简分数表示）. 【答案】110##0.1【分析】利用独立事件的概率求解.【详解】因为甲､乙､丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，231543、、所以三人都合格的概率是，231154310p ⨯⨯==故答案为：1107．在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线AB EF BC EF 、120ABC ∠=︒所成角的大小为______．BC EF 、【答案】60︒【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案.【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线， BC EF 、AB EF 所以与所成角即为异面直线、所成角， AB BC BC EF 因为，且异面直线所成角的范围是， 120ABC ∠=︒(0],90︒︒所以异面直线、所成角的大小为, BC EF 60︒故答案为：60︒8．如图的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次体育测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则______．x y -=【答案】2【分析】根据茎叶图和题中所说的平均数和中位数计算未知量即可. 【详解】由茎叶图得甲组数据为：9，12，，24，27，10x +因为甲组数据的平均数为18，所以， 91210242751890x +++++=⨯=解得;8x =由茎叶图可知乙组数据为：9，15，，18，24， 10y +乙组数据的中位数为16，所以，解得， 1016y +=6y =所以． 2x y -=故答案为：29．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S ____________ 【答案】12-【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 4a n n S 【详解】取得最小值，则公差，或， n S 0d >410a =-40a =（1）当 17474530,0,770,5102a a a d S a S a +=>=⨯====-，1130,51010a d a d ⇒+=+=-，16,20,28,2804n n a d a n a n n ⇒=-=>=-=-≤⇒≤所以的最小值为. n S 4146241212S a d =+=-+=-（2）当，不合题意. 1747410,0,77702a a a d S a +=->=⨯==-综上所述：的最小值为. 457=0,= 10,0,n a S S S -=12-故答案为：12-10．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的2323表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．24π【答案】163π【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可.【详解】设球的半径为，由题意得球的表面积为，r 224243r ππ=⨯所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，2r =所以最多可以注入的水的体积为．2341624233πππ⨯⨯-⨯=故答案为：163π11．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动11111ABCD A B C D -12,P P 1,AB BD 点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是___________. 12PP 11A ADD 121PP AB 【答案】124【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ，， 121//PP AD 12PP B ∴A 1ADB A 112211PB PP P B AB AD BD ==设，则，到平面的距离为，则, 1,(0,1)PB x x =∈12PP =2P 11AA B B h 2111P B hA D BD =所以，所以四面体的体积为， h x =121PP AB 22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+当时，四面体的体积取得最大值：． 12x =121PP AB 124所以答案应填：． 124【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出121//PP AD 12PPB ∴A 1ADB A ，则，到平面的距离为，表示出四面体的体1,(0,1)PB x x =∈12PP =2P 11AA B B x121PP AB 积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．12．已知数列和，其中的小数点后的第n 位数字，（例如{}n a {}n b n a 1.41421356237= 14a =，），若，且对任意的，均有，则满足的所有n 的值为63a =11b a =N n *∈1n n b b a +=2022n b n =-______．【答案】或20242026【分析】计算得到为周期数列，考虑，，三种情况，代入数据计算得{}n b 32n k =-31n k =-3n k =到答案.【详解】当时，，当时，， 1n =114b a ==2n =1242b b a a ===当时，，当时，， 3n =2321b b a a ===4n =3414b b a a ===当时，，当时，，5n =4542b b a a ===6n =5621b b a a ===故为周期数列，，，{}n b 4,322,311,3 n n k b n k n k =-⎧⎪==-⎨⎪=⎩*N k ∈当时，，所以， 32n k =-20224n b n =-=2026n =当时，，所以， 31n k =-20222n b n =-=2024n =当时，，所以（舍去）， 3n k =20221n b n =-=2023n =综上所述：或2024． 2026n =故答案为：或20242026二、单选题13．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得()323121111n n a a a a a a++-+⋅⋅⋅+=≠-++1n =项是（） A ．1 B ．1a +C ． D ．21a a ++2341a a a a ++++【答案】D【分析】根据数学归纳法求解即可.【详解】表达式的左边是从开始加到结束，131n a +所以验证成立时等式左边计算所得项是. 1n =2341a a a a ++++故选：D14．某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（）A ．1260B ．1230C ．1120D ．1140【答案】C【分析】由男生所占抽取样本容量的比例求出男生的总人数，进而求出女生总人数. 【详解】由男生人数为，所以女生人数为. 12160048040⨯=16004801120-=故选：C ．15．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更2小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过11程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角243形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为10（）AB ． CD1【答案】A【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判n n a 1n +1n a +n a 1n a +断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求. {}n a 【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为， n n a 1n +1n a +由条件可知：，1243a =又由图形可知：，所以，222112122cos 603333n n n n n aa a a a +⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211,03n n n a a a +=>所以，所以是首项为的等比数列， 1n n a a +={}n a 243所以，所以，所以，1243n n a -=⨯11n n a -=10a所以最小的正三角形的面积为：， 12=故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.16．已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，则下α12O O AB 、12O O α列个命题中真命题的个数是（） 4①总存在直线且与异面； ,l l α⊂l AB ②总存在直线且； ,l l α⊂l AB ⊥③总存在平面且； ,AB ββ⊂βα⊥④总存在平面且. ,AB ββ⊂//βαA ．l B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间位置关系可直接判断.【详解】解：由已知得直线与平面可能平行，也可能相交， AB α所以一定存在直线，且与异面，故①正确； l l ⊂αl AB 一定存在直线，且，故②正确； l l ⊂αl AB ⊥一定存在平面，且，故③正确；βAB β⊂βα⊥当直线与平面相交时，不存在存在平面，且，故④错误； AB αβAB β⊂//βα所以4个命题中真命题的个数是3个. 故选：C三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD 与平面PAB 所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高 2r =OP ==所以圆锥的体积为. 2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以， OD D PA 122OD PA ==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB ⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O ⊥⋂=所以平面，所以是直线CD 与平面PAB 所成角的平面角. OC ⊥PAB ODC ∠在中，，所以.Rt ODC A ,22COD OD OC π∠===4ODC π∠=即直线CD 与平面PAB 所成角的大小为.4π18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两,A B 组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体A B 积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为. C 5.5()P C 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；,a b （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) ，；(2) ，.0.35a =0.10b = 4.056【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.()0.70P C =a b 【详解】(1)由题得，解得，由，解得0.200.150.70a ++=0.35a =0.050.151()10.70b P C ++=-=-.0.10b =(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙离子残留百分比的平均值为 0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后2012每一年都比前一年增加万元.0.2(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求1()*n n N ∈n S n S 的表达式；(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每617一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当10%()*n n N ∈n C 时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 0n n =n C 6n >n C 0n 0n 【答案】(1) 22920,100*1n n nN S n ++∈=(2)5010 1.15,6,*;7n n C n n N n n -⨯-=>∈=【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而20.2得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得； ()*n n N ∈2191010n n +229201010n n n S =++（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，进而得1.1 1.1年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可*,(6)n n N n ∈>510 1.15n -⨯-得.07n =【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 120.2所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为， 20.2所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为， ()*n n N ∈0.2 1.8n a n =+所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，()*n n N ∈()20.2 1.821921010n n n n ++=+因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 1()*n n N ∈n 所以. 2219292020,10101010*n n n n N n nS n =+++=∈++（2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 6n >10%所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为， 1.1 1.1所以从第七年起，第年的养护保险费用为，*,(6)n n N n ∈>61.1,*n n N -∈所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，*,(6)n n N n ∈>()651.11 1.1610 1.151 1.1n n --⨯-+=⨯--所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.6n >()*n n N ∈510 1.15,6,*n n C n n N n-⨯-=>∈经计算器计算得时，最小.07n =n C 20．已知梯形中，，，，，分别是ABCD //AD BC 2ABC BAD π∠=∠=24AB BC AD ===E F AB，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）．CD //EF BC AE x =EF ABCD AEFD ⊥EBCF（1）当时，①证明：平面；②求二面角的余弦值； 2x =EF ⊥ABE D BF E --（2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由． D FBC -ABE FDC -49【答案】（1）①见解析，2）当时，三棱锥的体积等于几何体2AE =D FBC -体积的. ABE FDC -49【分析】（1）①可证，从而得到平面.②如图，在平面中，过,EF AE EF BE ⊥⊥EF ⊥ABE AEGD 作且交于.在平面中，过作且交于，连接.可证D DG EF ⊥EF G DBF D DH BF ⊥BF H GH 为二面角的平面角，求出和的长度后可求二面角的余弦值.DHG ∠D BF E --DG GH（2）若存在，则，利用体积公式可得关于的方程，解方程后可得，故假设5=4B ADFE D BFC V V --x 2x =成立.【详解】（1）①在直角梯形中，因为，故，ABCD 2ABC BAD π∠=∠=,DA AB BC AB ⊥⊥因为，故.//EF BC EF AB ⊥所以在折叠后的几何体中，有，,EF AE EF BE ⊥⊥而，故平面.AE BE E =I EF ⊥ABE ②如图，在平面中，过作且交于.AEFD D DG EF ⊥EF G 在平面中，过作且交于，连接.DBF D DH BF ⊥BF H GH 因为平面平面，平面平面， AEFD ⊥EBCF AEFD ⋂EBCF EF =平面，故平面，DG ⊂AEFD DG ⊥EBCF 因为平面，故，而，BF ⊂EBCF DG BF ⊥DG DH D = 故平面，又平面，故，BF ⊥DGH GH ÌDGH GH BF ⊥所以为二面角的平面角，DHG ∠D BF E --在平面中，因为，故，AEFD ,AE EF DG EF ⊥⊥//AE DG 又在直角梯形中，且， ABCD //EF BC ()132EF BC AD =+=故，故四边形为平行四边形，//EF AD AEGD 故，2DG AE ==1GF =在直角三角形中，，因为三角形内角， BEF 2tan 3BFE ∠=BFE ∠故sin BFE ∠=1sin GHBFE =⨯∠=故，因为三角形内角，故tan DHG ∠=DHG∠cosDHG ∠=所以二面角D BF E --（2）若三棱锥的体积等于几何体体积的， D FBC -ABE FDC -49则即. 9=4B ADFE D BFCD BFC V V V ---+5=4B ADFE D BFC V V --由（1）的证明可知，平面，DG ⊥BEFC 同理可证平面，.BE ⊥AEFD AE DG =故，其中为直角梯形的面积. 113B ADFE V BE S -=⨯⨯1S ADFE 而， 1133D BFC BCF BCF V DG S AE S -=⨯⨯=⨯⨯A A 在直角梯形中，过作的垂线，与分别交于，ABCD D BC ,EF BC ,M N 则，故，所以， 24FM x =2x FM =22x FE =+所以. 21112242222x x S x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. ()()22111444432262B ADFE x x V x x x x -⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又， ()1242BCF S BE BC x =⨯⨯=-A 故，所以， ()1243D BFC V x x -=⨯⨯-()()215144246243x x x x x ⎛⎫⨯-⨯+=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得，2x =故当时，三棱锥的体积等于几何体体积的. 2AE =D FBC -ABE FDC -49【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.21．设数列与满足：的各项均为正数，.{}n a {}n b {}n a cos , n n b a n *=∈N （1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式； 233ππ, 43a a =={}nb {}n b（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列； 1π02<≤a {}n a {}n b （3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件121≤≤+n m {}n b 21m +的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.06π (121)<≤≤≤+n a n m {}n a 21m +21m S +100πm【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.1n n b -⎛= ⎝【解析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；q （2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：，公比为23πcos4b ==3π1cos 32b ==q =由解得， 2213b b b =⋅11b =数列的通项公式为.{}n b 1n n b -⎛= ⎝（2）证明：反证法，设存在则，此时 21π02a a <<<21cos cos 0a a >>公比21cos 1cos a q a =>，考虑不等式11cos cos ()n n a a q -=⋅11cos 1n a q -⋅>当时，即时，11log (cos )q n a >-11[1log (cos )]q n a ≥+-有(其中表示不超过x 的最大整数)，cos 1n a >[]x 这与的值域为矛盾()cos f x x =[1,1]-假设不成立，得证∴（3）解：， 121()(21)02+++=m b b m ∴1210m b b ++=由等差数列性质221210 (11, )*+-++=+=≤≤+∈N i m i m b b b b i m i 即，特别地，，22cos cos 0i m i a a +-+=10m b +=现考虑的最大值21m S +为使取最大值，应有，21m S +[]5π,6πn a ∈否则在中将替换为，且，21m S +n a n a 'cos cos n n a a '=[]5π,6πn a '∈将得到一个更大的21m S +由可知，特别地，； 22cos cos 0i m i a a +-+=2211π211π2i m i a a +-+=⋅=111π2m a +=于是 ()21max 11π(21)11π(11π)10022++⋅=⋅+=≤m m S m π解得，所以的最大值为8. 18922m ≤m 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．。

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上海市某重点高中２0１1-2０12学年度第一学期高二数学期终答案(满分100分,９0分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题:本大题共１2题，满分36分。

请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。

每题填写正确得3分，否则一律得0分。

1、过点(23)A ，，且垂直于ＯA 的直线方程为___＿__________＿。

解：一个法向量(23)n =，,所以方程为2(2)3(3)0x y -+-=,即23130x y +-=。

▋2、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，（θ∈R )，则直线l 倾角α的取值范围是_______。

解:tan cos [11]αθ=∈-，,所以倾角α的取值范围是3[0][)44πππ，，。

▋3、已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行,则k 的值是＿_＿__＿____＿_。

解:342(3)(5)02(3)2k kk k k --=--=--,所以3k =或5k =。

当3k =时，二直线分别为1l ：10y +=，2l :230y -=，平行；当5k =时，二直线分别为1l :210x y -+=,2l ：4230x y -+=,平行。

▋4、直线l 的一个方向向量(12)d =，,则l 与0x y -=的夹角大小为_＿＿___＿___。

(用反三角函数表示)解：1(11)d =，,所以夹角θ满足cos θ=,所以夹角为。

▋5、已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切,圆心在直线0x y +=上，则圆Ｃ的方程为＿＿＿__＿_＿__＿________＿____。

解:22(1)(1)2x y -++=。

▋6、等轴双曲线C 与椭圆221106x y +=有公共的焦点，则双曲线Ｃ的方程为_____＿___＿__。

解：椭圆的焦点坐标为1(20)F -，，2(20)F ，。

由22224a a +==,所以22a =。

所以，双曲线Ｃ的方程为22122x y -=。

▋7、有一抛物线形拱桥,中午12点时，拱顶离水面2米,桥下的水面宽4米;下午２点，水位下降了1米，桥下的水面宽_＿_＿＿___＿米。

解：设抛物线方程为22x py =-,其过点(22)-，,所以1p =，22x y =-，当3y =-时，x =，所以桥下的水面宽8、直线1l ：31y x =-绕原点逆时针旋转90的直线2l ,则1l 与2l 的交点坐标为＿＿_＿__＿。

解:2l :1(1)3y x =--,与31y x =-联立，解得交点为21()55，。

▋9、已知方程2222(2)(2)(22)340ax a y a x a y a +-+++-++=表示圆,则a =___________。

解：令22a a =-，解得1a =-或2a =。

（1)当1a =-时,方程化为2210x y x +--=,方程表示圆;（2)当2a =时,方程化为222350x y x y ++++=,判别式2223450+-⋅<，方程不表示圆。

所以1a =-。

▋10、已知过抛物线C :22y px =(0p >)焦点Ｆ的直线l 和y 轴正半轴交于点A ,并且ｌ与C 在第一象限内的交点M 恰好为A 、F 的中点,则直线的斜率k =_＿__＿_＿_＿_＿＿_。

解:22y px =的焦点为(0)2p F ，,设(0)A a ，(0a >），所以()42p aM ，,将()42p aM ，代入22y px =,得a =,所以直线的斜率0202a ak p p -==-=--11、 (200９上海市秋季高考文科第12题）已知1F 、2F 是椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且120PF PF ⋅=。

若12PF F ∆的面积为9,则b =＿＿_＿__＿__。

解：有121222212||||2||||18||||4PF PF aPF PF PF PF c⎧+=⎪⋅=⎨⎪+=⎩，可得224364c a +=，即229a c -=,故有3b =。

▋12、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，Ａ、Ｂ为切点,那么PA PB ⋅的最小值为＿____＿_＿_____。

解：设PA PB x ==(0x >），APO α∠=，则2APB α∠=,所以PO =sin α=，||||cos 2PA PB PA PB α⋅=⋅⋅22222(1)(12sin )1x x x x α-=⋅-=+令21x t +=,所以1t ≥，所以(1)(2)233t t PA PB t t t --⋅==+--+≥当且仅当2t t=,即t =即x =所以PA PB ⋅的最小值为3-+二、选择题:本大题共４题,满分１６分。

请选择你认为最正确的答案(每小题有且只有一个）写在括号内。

每题填写正确得4分，否则得0分。

13、 (2009海南宁夏秋季高考文科第5题)已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（）(A) 22(2)(2)1x y ++-= ﻩ（Ｂ)22(2)(2)1x y -++=ﻩ（C) 22(2)(2)1x y +++=ﻩﻩﻩ(D) 22(2)(2)1x y -+-=解：设圆2C 的圆心为()a b ，,则依题意，有111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得:22a b =⎧⎨=-⎩,对称圆的半径不变,为1,故选(Ｂ)。

▋14、（2010湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）若直线y x b =+与曲线3y =,则b 的取值范围是ﻩﻩ( )(A ）[11-+， (Ｂ)[11-+ (C)ﻩ[13]-ﻩﻩﻩﻩ(Ｄ)[13]ﻩ解：曲线方程可化简为22(2)(3)4x y -+-=(13y ≤≤),即表示圆心为(23)，,半径为2的半圆。

依据数形结合,直线y x b =+与此半圆相切,即圆心(23)，到直线y x b =+距离等于2,解得1b =+1b =-当直线过(03)，时,解得3b =，故13b -≤，所以选（C)。

▋15、给出下列3个命题：①在平面内，若动点M 到1(10)F -，、2(10)F ，两点的距离之和等于2,则动点Ｍ的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点1(50)F -，、2(50)F ，,若动点P 满足12||||8PF PF -=，则动点Ｐ的轨迹是双曲线；③在平面内,若动点Q 到点(10)A ，和到直线220x y --=的距离相等，则动点Q 的轨迹是抛物线。

其中正确的命题有（ ﻩ)(A ）ﻩ０个 ﻩﻩ(B)１个ﻩﻩ(C)ﻩ２个ﻩﻩﻩ(Ｄ) ３个解:选(A)。

▋16、已知直线ｌ：ｙ＝k （ｘ+2)（k >0)与抛物线C :28y x =相交于A 、B 两点,Ｆ为Ｃ的焦点，若||2||FA FB =,则k =ﻩﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ ( )(A)ﻩ13ﻩﻩﻩ(B)(C)23ﻩ ﻩ(D解:设抛物线Ｃ:28y x =的准线为2x =-,直线y =k (x +２)(k >０）恒过定点(20)P -，。

如图过Ａ、B 分别作A Ｍ⊥l 于M ，ＢN ⊥l 于N ，由|FA |=2|ＦＢ|,则|AM ｜=2|ＢN |，点B 为AP 的中点。

连结OB ，则1||||2OB AF =，∴|OB ｜＝｜BF |,点B 的横坐标为1,故点Ｂ的坐标为(1，，∴k ==,∴选(D)。

▋三、解答题：本大题共５题，满分48分。

请在题后空处写出必要的推理计算过程。

17、（本题满分8分)已知直线l ：20x +-=与x 轴交于点A ；以Ｏ为圆心，过Ａ的圆记为圆O 。

求圆Ｏ截l 所得弦A Ｂ的长。

解：在20x -=中，令0y =，得(20)A ，,所以圆C 的半径2r =,ﻩ……2分圆心O 到直线l 的距离1d ==。

ﻩﻩ ﻩﻩ……3分所以弦长||AB ==ﻩ ﻩﻩﻩﻩ……３分18、 (本题满分8分)已知双曲线C 关于两条坐标轴都对称,且过点(21)P ，，直线1PA 与2PA （1A ，2A 为双曲线C 的两个顶点）的斜率之积121PA PA k k ⋅=，求双曲线C 的标准方程。

解：（1)当双曲线的焦点位于x 轴上时,设C :22221x y a b -=,所以1(0)A a -，，2(0)A a ，，1221111224PA PA k k a a a ⋅=⋅==+--,解得23a =。

ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ……2分将23a =，(21)P ，代入双曲线方程,得24113b-=,解得23b =。

……２分所以双曲线C 的标准方程为22133x y -=。

ﻩﻩﻩ ﻩﻩ……2分(2)当双曲线的焦点位于y 轴上时,设Ｃ：22221y x a b -=,所以1(0)A a -，，2(0)A a ，,1222241111PA PA k k a a a ⋅=⋅==+--,解得23a =-（舍去）。

ﻩﻩﻩﻩﻩ……2分综上，所求双曲线C 的标准方程为22133x y -=。

▋19、 (本题满分１0分）过点(42)P ，作直线l 交x 轴于A 点、交ｙ轴于Ｂ点,且P 位于AB 两点之间。

（Ⅰ）3AP PB =，求直线l 的方程；(Ⅱ）求当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程。

解:显然直线l 的斜率k 存在且0k ≠,设l ：(4)2y k x =-+,得2(40)A k -，，(024)B k -，。

ﻩﻩﻩﻩﻩ……2分因为Ｐ位于AB 两点之间,所以244k ->且242k ->,所以0k <。

2(2)AP k =，，(44)PB k =--，。

ﻩﻩﻩﻩﻩ……2分(Ⅰ）3AP PB =，所以23(4)k =⋅-,所以16k =-。

直线ｌ的方程为6160x y +-=。

ﻩﻩ ﻩﻩﻩ ……3分(Ⅱ)18(()())16AP PB k k ⋅=-+-≥，当1k k -=-即1k =-时,等号成立。

所以当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程为60x y +-=。

▋ﻩﻩﻩ……3分 20、 (本题满分1０分)已知曲线Ｃ在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1。

(Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）过点Ｋ(-1，0)的直线ｌ与C 相交于Ａ、B 两点,点Ａ关于ｘ轴的对称点为D 。

证明：点Ｆ在直线BD 上;解:(Ⅰ）根据题意知，C 上每一点到点F (1，0)的距离等于它到直线1x =-的距离。

所以，曲线Ｃ上每一点在开口向右的抛物线上，ﻩﻩ ……2分其中2p =，所以抛物线方程为24y x =。

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