高等数学(上册)教案18-换元积分法(1)

第4章 不定积分

第一类换元积分法

【教学目的】：

1. 理解第一类换元积分法；

2. 会用第一类换元积分法计算不定积分。

【教学重点】：

1. 用第一类换元积分法计算不定积分。

【教学难点】：

1. 凑微分技巧。

【教学时数】：2学时

【教学过程】：

4.2.1第一类换元积分法

我们先看这样一个例子，求不定积分dx e x ⎰2，因为被积函数x e 2是x 的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：

du e x d e dx e u x x ⎰

⎰⎰==21)2(2122 (令u x =2) C e u +=2

1 C e x +=22

1 (将u x =2代回) 因为x x e C e 22)21(='+，所以C e x +22

1确为x e 2的原函数，说明上述解法正确． 于是有下述定理：

定理1（第一类换元积分法）设函数)(x u ϕ=在所讨论的区间上可微，又设 C u F du u f +=⎰)()(，

则有 C x F x d x f dx x x f +==⎰⎰)]([)()]([)()](['ϕϕϕϕϕ．

第一类换元积分法的解题步骤：

设要求⎰,)(dx x g 如果被积函数)(x g 可化为=)(x g )()](['x x f ϕϕ⋅的形式，则 ⎰dx x g )(=du u f x d x f dx x x f ⎰⎰⎰==)()(])([)(])(['

ϕϕϕϕ=C x F C u F +=+)]([)(ϕ。 注 第一换元积分法的关键是如何选取)(x ϕ，并将dx x )('ϕ凑成微分)(x d ϕ的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法．

（1）利用)(1ax d a dx =，b a b ax d a

dx 、，)(1+=均为常数，且0≠a 凑微分． 例1 求⎰+dx x )12sin(．

解 令12+=x u ，则,2dx du =即,2

1du dx =

所以 C u udu dx x +-==+⎰⎰cos 2

1sin 21)12sin( 再将12+=x u 代入上式，得C x dx x ++-=+⎰)12cos(21)12sin(． 熟练之后，可以省略设u x =)(ϕ这一步，直接进行凑微分．

（2）利用)(11a x d n dx x n n +=-（Z n ∈），，，x d dx x x d dx x 11ln 12-==，x d dx x

21= ，，，，x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx cot csc tan sec sin cos cos sin 22-===-=

，x d dx x arcsin 11

2=-x d dx x arctan 112=+等微分公式凑微分． 例5 求⎰xdx tan ．

解 C x x d x

dx x x xdx +-=-==⎰⎰

⎰cos ln cos cos 1cos sin tan ． （3）利用三角函数恒等式来凑微分． 例7 求⎰xdx 3sin ．

解 x d x x xd xdx x xdx cos )cos 1(cos sin sin sin sin 2223⎰⎰⎰⎰--=-==

C x x +-=cos cos 313． 当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分．

例8 求⎰xdx 2sin ．

解 ⎰⎰⎰⎰-=-=)2cos (2

122cos 1sin 2xdx dx dx x xdx ⎰-=)22cos 21(21x xd x C x x +-=2sin 4

121． 当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式

（22cos 1cos 2x x +=，2

2cos 1sin 2x x -=）对被积函数进行降幂，然后再利用凑微分进行积分． 例10 求⎰xdx 2sin ．

解 方法一 11sin 2sin 22cos 222

xdx xd x x C ==-+⎰⎰． 方法二 2sin 22sin cos 2sin sin sin xdx x xdx xd x x C ===+⎰⎰⎰． 方法三 2sin 22sin cos 2cos cos cos xdx x xdx xd x x C ==-=-+⎰⎰⎰．

在例10中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数C 中，由此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的．

【教学小节】：

本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。

【课后作业】：

无