精品《数学建模》练习题

《数学建模》作业
一、
计算题1. 求差分方程 ⎩⎨
⎧===++++0
)1(,1)0(0
)(6)1(5)2(x x k x k x k x 的初值解。

2. 求差分方程 (2)3(1)2()0
(0)1, (1)2x k x k x k x x ++++=⎧⎨==⎩
的初值解。

二、1.某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。

根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。

全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。

储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。

问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
2. 已知某人有债务25000元，月利率为1%，计划在未来12个月用分期付款的方式付清债务，每月要偿还多少元？（利息按照复利计算，即把利息加入本金后一起计算利息的算法）。

三．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：x
N
n rx t x
1)(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同。

设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =。

讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*
0x 。

四. 在鱼塘中投放0n 尾鱼苗。

随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。

（1）设尾数)(t n 的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。

分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。

（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量()n ϕ表示，记作E ，单位时间捕获量是)(t En 。

问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大。

五．
1．0)()1(3)2(3)3(=++++++n x n x n x n x ;
2．⎪⎩
⎪⎨
⎧==+=++-+1)2(,0)1(1
)()1(2)2(2
x x n n x n x n x . 六．人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

七．论资金积累、国民收入与人口增长的关系。

（1）若国民平均收入x 与按人口平均资金积累y 成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k 大于人口的相对增长率r 时，国民平均收入才是增长的。

（2）作出)(x k 和)(x r 的示意图，说明二曲线交点是平衡点，讨论它的稳定性。

（3）分析人口激增会引起什么后果。

八. 对于蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格
1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定。

如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与以
前的结果进行比较。

（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1－k y 确定。

试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

九、在人口动力学中，人口的阻滞增长Logistic 模型为
)1(k
x
rx dt dx -= 其中k 表示人口的最大容纳量,r 表示人口的固有增长率. 1) 给出上述模型的初值解； 2) 计算)(lim t x t ∞
→。