新思维初一数学一元一次方程
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8
所以 x+16 能被 74 整除 所以 x+16=37 x=21 答：乙队原来有 21 人 22. 已知 a、b、c 满足下列表格中的条件，完成表格并求 a b c 的值
解：如上表，当 x 1时，ax 1, 则a 1
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当x 0时，ax2 bx c 0，即：c 5 那么,ax2 bx c x 2 bx 5
1 1 1 1 x 2002 (a 2001)(b 2001) ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) 1 1 1 1 x 2002 2 3 3 4 2002 2003 1 2 1 1 1 1 1 x 1 2 2 3 3 4 1 x 1 2002 2003 2002 x 2002 2003 x 2003 1 1 2002 2002 2003
A． 2 考点： 有理数的除法． 专题： 应用题．
B．2.15
C．2.33
D．2.36
1872787
分析： 去掉圆孔的长度，因为两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等，可以 根据有理数的除法的意义列式计算． 解答： 解：29﹣（2.5×6）=14cm， 14÷7=2cm． 故选 A． 点评： 要根据图形正确数出这 6 个圆孔之间有 7 个空隙． 20. 计算器上有一个倒数键 1/ x ， 能求出输入的不为零的数的倒数 （注： 有时需先按 shift 或 znd 键再按 1/ x 键，才能实现此功能，下面不再说明）例如，输入 2 ，按下键 1/ x ， 则得 0.5，现在计算器上输入某数，再依以下列顺序按键： 1/ x 1 1/ x 1 ， 在显示屏上的结果是 0.75 ，问原来输入的某数是多少？
16
若 a 1 ab 2 0 ， 则 方 程
2 2
x x a b a 1 b 1
a2
x
b2
a 2001 b 2001
A.2001 解：
x
2002 的解是（）
C.2003 D.2004
B.2002
6
a 1 ab 2 0
考点：一元一次方程的解；代数式求值 专题：计算题 分析：此题把 x 的值代入 解答：解：把 x=2 代入方程得： 化简得： ∴ ∴ ， ， ， ． ，得出 与 的值，即可得出此题答案． ，
点评：此题考查的是一元一次方程的解，关键在于解出关于 a，b 的比值．
12. 果 解：
1 1 1 1 2003 ，那么 n ____________ 2 6 12 n n 1 2004
4
已知关于 x 的方程 3 x 2 x 13.
a 3x a 1 5 x 1 有相同的解，那么这个 4 x和 3 12 8
解是________________。
14.若关于 x 的方程 a 2 x b 12 x 5 有无数多个解，则 a ______, b ________ 解：
6. 已知关于 x 的方程 3m 8n x 7 0 无解，则 mn 是（） A.正数 解： B.非正数 C.负数 D.非负数
3m 8n x 7 0 3m 8n x 7
因为方程无解，所以 3m+8n=0
2
8n 2 8n ，所以 mn m 所以 3 3
当x 2时, ax2 bx c的值为1.即： 22 2b 5 1.解得b 4 ax2 bx c即x2 4 x 5; ax 2即x 2
21. 甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的 k（k 是不 等于 1 的正整数）倍还多 6 人.问乙队原有多少人？ 甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的 k（k 是不等于 1 的正整数）倍还多 6 人.问乙队原有多少人？ 解：设乙队原来有 x 人，根据题意得， k +6=96-16 k =96-16-6 k =74 所以 k= 因为 k 是不等于 1 的正整数
4 x 2m 3x 1
4x-3x=1-2m X=1-2m 把 X=1-2m 代入 3x 2m 6 x 1 得，
3(1 2m) 2m 6(1 2m) 1
整理得，8m=4 ∴m=0.5 5. 已知关于 x 的方程 mx 3 2 x m 的解满足 x 2 3 0 ，则 m 的值为（） A.-5 B.1 C.5 或-1 解：∵ -3=0 ∴ =3 ∴x=5 或 x=-1 ∵mx+3=2（x-m） ∴当 x=5 时，5m+3=2（5-m） 解得 m=1 当 x=-1 时，-m+3=2（-1-m） 解得 m=-5 故选 D D.-5 或 1
17. 若关于 x 的一元二次方程 3a 2b x ax b 0 有唯一解，则 x 等于（）
2
A.
b a
B.
b a
C.
2 3
D.
2 3
18. “△”表示一种运算符号，其意义是 a b 2a b ，若 x 1 3 2 ，则 x 等于（） A.1 解： B.
1 3 C. 2 2
5
1 1 1 x a 4 7 10 1 9 6 3 2 1 1 x a 4 7 10 9 6 3 2 1 1 x a 4 7 1 6 3 2 1 xa 4 7 6 3 2 1 xa 4 1 3 2 xa 43 2 xa 1 2 x a 2 2 a 2 a 4
2 2
ab 2 0, 2 2 a 1 =0， ab 2 0
且 a 1 0,
2 2
a 1=0，ab 2=0， a 1, b 2 x x x ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) x 2002 (a 2001)(b 2001)
D.2
x 1 3 2 1 3 2 1 3 1 x 1 2 x (1) 2 x 1 x 1 3 2化为 2x 1 2 解得，x 1 2
7
19. （2004•济南）如图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长 29cm 的木条上钻有 6 个圆孔，每个圆孔的直径均为 2.5cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都 相等并设为 xcm，则 x 为（ ）
因为 n 2 ≥0，所以 mn 应选 B 7. 已知关于 x 的方程 3m 8n x 7 0 无解，则 mn 是（B） A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
8n 2 ≤0 3
8. 关于 x 的方程 ax 3 4 x 1 的解为正整数，则 a 的整数值为（） A.2 B.3 C.1 或 2 D.2 或 3 解：
x 2 0.1x 0.1 3 0.2 0.05 （3） ax 1 bx
（2） 2
3
（4） 4 x b ax 8
10. 已知关于 x 的方程
a x 1 （2）方程 a x x 6 ，问当 a 取何值时（1）方程无解； 3 2 6
有无穷多解 解：∵ +a= x- （x-6） ∴2x+6a=3 x-x+6 ∴（3 -3）x=6a-6 即（ -1）x=2a-2 （1）当 -1=0，且 2a-2≠0 时，方程无解 解得 a=-1 （2）当 -1=0，且 2a-2=0 时，方程有无穷多解 解得 a=1 11. 已知关于 x 的方程 的解是 x=2，其中 a≠0 且 b≠0，求代数式 的值．
一元一次方程
1.算筹方程 “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章 名“方程” 。在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排，如 图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数 x, y 的系数与相应的常数项，如：
2.(1) 对任意有理数 a、b、c、d，规定一种新运算： 则 x= 2 ． 可得
1 2003 n n 1 2004 1 1 2003 ( ) n n 1 2004
1 1 1 2 6 12
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 1 2003 1 n 1 2004 1 1 n 1 2004 n 1 2004 n 2003
1
3. 已知关于 x 的方程 9 x 3 kx 14 有整数解， 那么满足条件的所有整数 k __________。 解：
9 x 3 kx 14 9 x kx 14 3 (9 k ) x 17 x 17 9k
∵k 是整数，∴9-k 是整数， ∵x 是整数，∴9-k 的值是-1,-17,1,17 ∴k 的值是 10，26，8，-8。 4. 已知关于 x 的方程 4 x 2m 3x 1与方程 3x 2m 6 x 1 的解相同，则方程的解为 ______________。 解： 解方程
，已知
，
解析:根据题设以及
x (4) (2) 3 4 x 6 x 4
解此方程得 x 2 （2） 当a_ _ _ ,_ _ _ _
b
时， 方程 ax 1 x b 有唯一解； 当 a ______, b _______ 时，
方程 ax 1 x b 无解；当 a ______, b _______ 时，方程 ax 1 x b 有无穷多个解. 解：∵ ax 1 x b ∴ （a-1）x=-b-1 当 a-1≠0，即 a≠1 时，方程 ax 1 x b 有唯一解 ∵（a-1）x=-b-1 ∴a-1=0，-b-1≠0，即 a=1，b≠-1 时，方程 ax 1 x b 无解 ∵（a-1）x=-b-1 ∴a-1=0，-b-1=0，即 a=1，b=-1 时，方程 ax 1 x b 有无穷多个解.
a 2 x b 12 x 5 2ax ab 12 x 5 2ax 12 x 5 ab (2a 12) x 5 ab
因为有无数多个解，
5 ab=0， 所以 2a 12=0，
b
所以 a=6,
5 6
15. 若 x 2 是方程
1 1 1 x a 4 7 10 1 的解，则 a ____________ 9 6 3 2
ax 3 4 x 1 ax 4 x 1 3 (a 4) x 2 x 2 4a
∵a 是整数，∴4-a 也是整数， ∵x 是正整数，∴4-a 的值是 1，2， ∴a 的值是 3，2 。 应选 D。 9.（1）解下列关于 x 的方程
(1)解： 4 1 3 2 2 x x x 2 4 3 3 8 1 3 2 x 2 x x 3 2 4 3 8 4 3 x x 1 x 3 3 4 4 3 x 1 x 3 4 16 x 12 9 x 16 x 9 x 12 7 x 12 x 1 5 7
所以 x+16 能被 74 整除 所以 x+16=37 x=21 答：乙队原来有 21 人 22. 已知 a、b、c 满足下列表格中的条件，完成表格并求 a b c 的值
解：如上表，当 x 1时，ax 1, 则a 1
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当x 0时，ax2 bx c 0，即：c 5 那么,ax2 bx c x 2 bx 5
1 1 1 1 x 2002 (a 2001)(b 2001) ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) 1 1 1 1 x 2002 2 3 3 4 2002 2003 1 2 1 1 1 1 1 x 1 2 2 3 3 4 1 x 1 2002 2003 2002 x 2002 2003 x 2003 1 1 2002 2002 2003
A． 2 考点： 有理数的除法． 专题： 应用题．
B．2.15
C．2.33
D．2.36
1872787
分析： 去掉圆孔的长度，因为两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等，可以 根据有理数的除法的意义列式计算． 解答： 解：29﹣（2.5×6）=14cm， 14÷7=2cm． 故选 A． 点评： 要根据图形正确数出这 6 个圆孔之间有 7 个空隙． 20. 计算器上有一个倒数键 1/ x ， 能求出输入的不为零的数的倒数 （注： 有时需先按 shift 或 znd 键再按 1/ x 键，才能实现此功能，下面不再说明）例如，输入 2 ，按下键 1/ x ， 则得 0.5，现在计算器上输入某数，再依以下列顺序按键： 1/ x 1 1/ x 1 ， 在显示屏上的结果是 0.75 ，问原来输入的某数是多少？
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若 a 1 ab 2 0 ， 则 方 程
2 2
x x a b a 1 b 1
a2
x
b2
a 2001 b 2001
A.2001 解：
x
2002 的解是（）
C.2003 D.2004
B.2002
6
a 1 ab 2 0
考点：一元一次方程的解；代数式求值 专题：计算题 分析：此题把 x 的值代入 解答：解：把 x=2 代入方程得： 化简得： ∴ ∴ ， ， ， ． ，得出 与 的值，即可得出此题答案． ，
点评：此题考查的是一元一次方程的解，关键在于解出关于 a，b 的比值．
12. 果 解：
1 1 1 1 2003 ，那么 n ____________ 2 6 12 n n 1 2004
4
已知关于 x 的方程 3 x 2 x 13.
a 3x a 1 5 x 1 有相同的解，那么这个 4 x和 3 12 8
解是________________。
14.若关于 x 的方程 a 2 x b 12 x 5 有无数多个解，则 a ______, b ________ 解：
6. 已知关于 x 的方程 3m 8n x 7 0 无解，则 mn 是（） A.正数 解： B.非正数 C.负数 D.非负数
3m 8n x 7 0 3m 8n x 7
因为方程无解，所以 3m+8n=0
2
8n 2 8n ，所以 mn m 所以 3 3
当x 2时, ax2 bx c的值为1.即： 22 2b 5 1.解得b 4 ax2 bx c即x2 4 x 5; ax 2即x 2
21. 甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的 k（k 是不 等于 1 的正整数）倍还多 6 人.问乙队原有多少人？ 甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的 k（k 是不等于 1 的正整数）倍还多 6 人.问乙队原有多少人？ 解：设乙队原来有 x 人，根据题意得， k +6=96-16 k =96-16-6 k =74 所以 k= 因为 k 是不等于 1 的正整数
4 x 2m 3x 1
4x-3x=1-2m X=1-2m 把 X=1-2m 代入 3x 2m 6 x 1 得，
3(1 2m) 2m 6(1 2m) 1
整理得，8m=4 ∴m=0.5 5. 已知关于 x 的方程 mx 3 2 x m 的解满足 x 2 3 0 ，则 m 的值为（） A.-5 B.1 C.5 或-1 解：∵ -3=0 ∴ =3 ∴x=5 或 x=-1 ∵mx+3=2（x-m） ∴当 x=5 时，5m+3=2（5-m） 解得 m=1 当 x=-1 时，-m+3=2（-1-m） 解得 m=-5 故选 D D.-5 或 1
17. 若关于 x 的一元二次方程 3a 2b x ax b 0 有唯一解，则 x 等于（）
2
A.
b a
B.
b a
C.
2 3
D.
2 3
18. “△”表示一种运算符号，其意义是 a b 2a b ，若 x 1 3 2 ，则 x 等于（） A.1 解： B.
1 3 C. 2 2
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1 1 1 x a 4 7 10 1 9 6 3 2 1 1 x a 4 7 10 9 6 3 2 1 1 x a 4 7 1 6 3 2 1 xa 4 7 6 3 2 1 xa 4 1 3 2 xa 43 2 xa 1 2 x a 2 2 a 2 a 4
2 2
ab 2 0, 2 2 a 1 =0， ab 2 0
且 a 1 0,
2 2
a 1=0，ab 2=0， a 1, b 2 x x x ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) x 2002 (a 2001)(b 2001)
D.2
x 1 3 2 1 3 2 1 3 1 x 1 2 x (1) 2 x 1 x 1 3 2化为 2x 1 2 解得，x 1 2
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19. （2004•济南）如图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长 29cm 的木条上钻有 6 个圆孔，每个圆孔的直径均为 2.5cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都 相等并设为 xcm，则 x 为（ ）
因为 n 2 ≥0，所以 mn 应选 B 7. 已知关于 x 的方程 3m 8n x 7 0 无解，则 mn 是（B） A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
8n 2 ≤0 3
8. 关于 x 的方程 ax 3 4 x 1 的解为正整数，则 a 的整数值为（） A.2 B.3 C.1 或 2 D.2 或 3 解：
x 2 0.1x 0.1 3 0.2 0.05 （3） ax 1 bx
（2） 2
3
（4） 4 x b ax 8
10. 已知关于 x 的方程
a x 1 （2）方程 a x x 6 ，问当 a 取何值时（1）方程无解； 3 2 6
有无穷多解 解：∵ +a= x- （x-6） ∴2x+6a=3 x-x+6 ∴（3 -3）x=6a-6 即（ -1）x=2a-2 （1）当 -1=0，且 2a-2≠0 时，方程无解 解得 a=-1 （2）当 -1=0，且 2a-2=0 时，方程有无穷多解 解得 a=1 11. 已知关于 x 的方程 的解是 x=2，其中 a≠0 且 b≠0，求代数式 的值．
一元一次方程
1.算筹方程 “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章 名“方程” 。在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排，如 图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数 x, y 的系数与相应的常数项，如：
2.(1) 对任意有理数 a、b、c、d，规定一种新运算： 则 x= 2 ． 可得
1 2003 n n 1 2004 1 1 2003 ( ) n n 1 2004
1 1 1 2 6 12
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 1 2003 1 n 1 2004 1 1 n 1 2004 n 1 2004 n 2003
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3. 已知关于 x 的方程 9 x 3 kx 14 有整数解， 那么满足条件的所有整数 k __________。 解：
9 x 3 kx 14 9 x kx 14 3 (9 k ) x 17 x 17 9k
∵k 是整数，∴9-k 是整数， ∵x 是整数，∴9-k 的值是-1,-17,1,17 ∴k 的值是 10，26，8，-8。 4. 已知关于 x 的方程 4 x 2m 3x 1与方程 3x 2m 6 x 1 的解相同，则方程的解为 ______________。 解： 解方程
，已知
，
解析:根据题设以及
x (4) (2) 3 4 x 6 x 4
解此方程得 x 2 （2） 当a_ _ _ ,_ _ _ _
b
时， 方程 ax 1 x b 有唯一解； 当 a ______, b _______ 时，
方程 ax 1 x b 无解；当 a ______, b _______ 时，方程 ax 1 x b 有无穷多个解. 解：∵ ax 1 x b ∴ （a-1）x=-b-1 当 a-1≠0，即 a≠1 时，方程 ax 1 x b 有唯一解 ∵（a-1）x=-b-1 ∴a-1=0，-b-1≠0，即 a=1，b≠-1 时，方程 ax 1 x b 无解 ∵（a-1）x=-b-1 ∴a-1=0，-b-1=0，即 a=1，b=-1 时，方程 ax 1 x b 有无穷多个解.
a 2 x b 12 x 5 2ax ab 12 x 5 2ax 12 x 5 ab (2a 12) x 5 ab
因为有无数多个解，
5 ab=0， 所以 2a 12=0，
b
所以 a=6,
5 6
15. 若 x 2 是方程
1 1 1 x a 4 7 10 1 的解，则 a ____________ 9 6 3 2
ax 3 4 x 1 ax 4 x 1 3 (a 4) x 2 x 2 4a
∵a 是整数，∴4-a 也是整数， ∵x 是正整数，∴4-a 的值是 1，2， ∴a 的值是 3，2 。 应选 D。 9.（1）解下列关于 x 的方程
(1)解： 4 1 3 2 2 x x x 2 4 3 3 8 1 3 2 x 2 x x 3 2 4 3 8 4 3 x x 1 x 3 3 4 4 3 x 1 x 3 4 16 x 12 9 x 16 x 9 x 12 7 x 12 x 1 5 7