(完整版)习题课：向心力来源的实例分析
向心力的实例分析
2、如果是用杆固定小球使球绕杆另一端做圆周 运动时，经过最高点的线速度至少需要多大? 学生分析讨论，自己得出结论： 如果是用杆固定小球使球绕杆另一端做圆 周运动经最高点时，由于所受重力可以由 杆给它的向上的支持力平衡，由 F向＝mg－F=m
v r
2
＝0
刚好过最高点的速 度特征和就可经过最高点。
思考：
运动员转弯的 向心力由什么 力提供？
转弯时的向心力实例分析
思考：
火车靠什么力 来转弯？
火车拐弯向心力分析
思考讨论：
1、在平直轨道上匀速行驶的火车，受几个力 的作用？这几个力的关系如何？ 2、转弯和直进有何不同? 3、当火车转弯时，它在水平方向做圆周运动 请问是什么力提供火车做圆周运动所需的 向心力呢？ 4、如何减轻轮缘和铁轨之间的挤压呢？ 5、什么情况下可以完全使轮缘和铁轨之间的 挤压消失呢？
平直轨道上匀速行驶的火车
此时火车受四个力：重力、支持力、
牵引力、摩擦力；合力为零。
内外轨道一样高时：
FN
F
G
a：此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。 b：外轨对轮缘的弹力F提供向心力。 c：由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量 很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损坏铁轨。
N
V
G
r
思考:⑴ 汽车静止在桥顶与通过桥顶受到哪些力作用？
⑵ 汽车过拱桥桥顶的向心力如何产生？方向如何？
⑶这时的压力比汽车的重力大还是小？ 解：⑴由牛顿第二定律，有：F向＝ G N m v
2
v2 由牛顿第三定律，有：汽车对桥的压力 F压 G m r
得： F压＜G
r
得： N G m r
物理：4.3_向心力的实例分析简化完整
实例：水流星不能正常运转时过不了上半圆
2、离心现象的应用 ●甩干雨伞上的水滴 ●投掷链球时先作高速旋转 ●洗衣机的脱水程序 ●离心分离器 ●制作“棉花”糖 ●嫦娥一号飞船奔月 先绕地球做离心运动， 后绕月球做向心运动
3、离心运动有害的一面 ●火车转弯时，要按规定速度行驶，防止 车轮和铁轨受损 ●汽车及其他车辆在水平路面转弯时，要 控制车速，避免离心运动和翻车 ●砂轮、飞轮转动时不得超过允许的最大 转速，并要安装防护罩，避免内部分子作用 力不足以提供所需的向心力，因离心现象而 破裂飞出釀成事故
v
Fn 0
mv Fn R
2
Fn
o
mv2 Fn R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
返
②实供向心力突然消失 点播 物体沿切线方向飞出 (2)成因分析 供 ①当F供向心< F需向心=(mv² )/R时， 不 m、v不变，R增大 应 ②当F供向心=0时， m、v不变，r→∞ 求 (3)条件 F供向心< F需向心 (4)实质 ——惯性的表现 注意：离心现象并不是物体受离心力作用 (5)相反情况 ——向心运动 当F供向心> F需向心=(mv² )/R时， 转 m、v不变，R减小 (供过于求) ( )
2、请你根据上面分析汽车通过凸形桥的思路，分析 一下汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力（如图）。 这时的压力比汽车的重量大还是小？
解析：
mv F–G= r mv 2 F=G+ r F>G
2
F
G
小结：汽车过拱桥或凹桥
• 经凸桥最高点时 v2 mg FN m R v2 FN mg mg R
v
FN
G F向= G —FN
r
理论分析：
(完整版)向心力典型例题(附详解)
1、以下图，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块 a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使 a 不下滑，则圆筒转动的角速度ω起码为（）A. B. C. D.2、下边对于向心力的表达中，正确的选项是（）A.向心力的方向一直沿着半径指向圆心，所以是一个变力B.做匀速圆周运动的物体，除了遇到其余物体对它的作用外，还必定遇到一个向心力的作用C.向心力能够是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也能够是这些力中某几个力的协力，或许是某一个力的分力D.向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小3、对于向心力的说法，正确的选项是（）A.物体因为做圆周运动而产生了一个向心力B.向心力不改变圆周运动物体速度的大小C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力D.做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变5、以下图，质量为 m 的木块，从半径为 r 的竖直圆轨道上的 A 点滑向 B 点，因为摩擦力的作用，木块的速率保持不变，则在这个过程中A.木块的加快度为零B.木块所受的合外力为零C.木块所受合外力大小不变，方向一直指向圆心D.木块所受合外力的大小和方向均不变6=80 kg,M=40 kg，当面拉着弹簧秤做、甲、乙两名滑冰运动员， M 甲乙圆周运动的滑冰表演，以下图，两个相距 0.9 m，弹簧秤的示数为 9.2 N，下列判断正确的选项是（）A.两人的线速度相同，约为 40 m/sB.两人的角速度相同，为 6 rad/sC.两人的运动半径相同，都是0.45 mD.两人的运动半径不一样，甲为 0.3 m,乙为 0.6 m7、以下图，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一同转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，以下说法正确的选项是（）A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大B.物体所受弹力增大，摩擦力减小C.物体所受弹力减小，摩擦力也减小D.物体所受弹力增大，摩擦力不变8、用细绳拴住一球，在水平面上做匀速圆周运动，以下说法中正确的选项是（）A.当转速不变时，绳短易断B.当角速度不变时，绳短易断C.当线速度不变时，绳长易断D.当周期不变时，绳长易断9、如图,质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，假如因为摩擦力的作用使得木块的速率不变A.因为速率不变，所以木块加快度为零 C.木块下滑过程中的摩擦力大小不变B.木块下滑的过程中所受的合外力愈来愈大D.木块下滑过程中的加快度大小不变 ,方向时辰指向球心分析：木块做匀速圆周运动，所受合外力大小恒定，方向时辰指向圆心，故选项 A、B 不正确 .在木块滑动过程中，小球对碗壁的压力不一样，故摩擦力大小改变,C 错. 答案：D10、以下图，在圆滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m 和 M 的两球，两球用轻微线连结 .若 M＞m，则（）A.当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动B.当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动C.若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为 2ω时两球也不动D.若两球相对杆滑动，必定向同一方向，不会相向滑动分析：由牛顿第三定律可知 M、m 间的作使劲相等，即 F M =F m，F M=Mω2r M，F m=mω2rm，所以若 M、m 不动，则 r M∶r m=m∶M ，所以 A 、B 不对， C 对（不动的条件与ω没关）.若相向滑动，无力供给向心力， D 对. 答案：CD 11、一物体以 4m/s 的线速度做匀速圆周运动，转动周期为 2s，则物体在运动过程的任一时辰，速度变化率的大小为（）222D.4 π m/sω =2π/T=2 π/2= πv= ω *r所以r=4/πa=v ∧2/r=16/(4/π)=4 π12、在水平路面上安全转弯的汽车，向心力是（）A.重力和支持力的协力B.重力、支持力和牵引力的协力C 汽车与路面间的静摩擦力 D.汽车与路面间的滑动摩擦力二、非选择题【共3道小题】1、以下图，半径为 R 的半球形碗内，有一个拥有必定质量的物体 A，A 与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴 OO′匀速转动时，物体 A 恰巧能紧贴在碗口邻近随碗一同匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度 .分析：物体A 随碗一同转动而不发生相对滑动，物体做匀速圆周运动的角速度 A 做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心 O，故此向心力不是重力而是由碗壁对物体的弹力供给，此时物体所受的摩擦力与重力均衡 .分析：物体 A 做匀速圆周运动，向心力： Fω2Rn=m而摩擦力与重力均衡，则有μF即 F n=mg/μn=mg由以上两式可得： mω2μ即碗匀速转动的角速度为：ω=R= mg/.2、汽车沿半径为 R 的水平圆跑道行驶，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大不可以超出多少 ?分析：跑道对汽车的摩擦力供给向心力，1/10mg=mv2/r，所以要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大值为 v=. 答案：车速最大不可以超出3、一质量 m=2 kg 的小球从圆滑斜面上高 h=3.5 m处由静止滑下，斜面的底端连着一个半径 R=1 m 的圆滑圆环（以下图），则小球滑至圆环极点时对环的压力为，小球起码应从多高处静止滑下才能经过圆环最高点， hmin=_________(g=10 m/s2).匀速圆周运动典型问题分析匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热门，同时它又简单和很多知识综合在一同，形成能力性很强的题目，如除力学部格外，电学中“粒子在磁场中的运动”波及的好多问题仍旧要用到匀速圆周运动的知识，对匀速圆周运动的学习可要点从两个方面掌握其特色，第一是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分波及的典型问题作点滴说明。
物理：4.3_向心力的实例分析
总结：竖直平面内的变速圆周运动
绳
m A L O
杆
m A L
圆管
mA
O
R O
B
B
B
m的受力 情况 最高点A 的速度
重力、绳 的拉力
重力、杆的拉 重力、外管壁 的支持力或内 力或支持力
管壁的支持力
vA gL
vA 0
vA 0
最低点B 的速度
vB 5gL vB 4gL vB 4gL
2
所以，当转弯过快（v过大）或转弯半径太小（r太小）
时，摩擦力不足以提供汽车转弯时所需向心力。
这时候摩托车将向外打滑。
赛道的设计:外高内低
受力分析：
N 依靠重力与支持力的合力F提供向心力
F
v F向 mg tan m r
G
2
v gr tan
由此可知：弯道的限速取决于弯道半径及倾角。
问题2：火车转弯
火车在 平直轨道上 匀速行驶时， 所受的合力 等于0，那 么当火车转 弯时，我们 说它做圆周 运动，那么 是什么力提 供火车的向 心力呢？
1、内外轨道一样高时
FN
F
G
a：此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。 b：外轨对轮缘的弹力F提供向心力。 c：由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量 很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损坏铁轨。
(1)当 v gr 时，Ｎ＝０，水在杯中刚好不流出， 此时水作圆周运动所需向心力刚好完全由重力提供， 此为临界条件。 (2)当 v gr 时，Ｎ>０，杯底对水有一向下的 力的作用，此时水作圆周运动所需向心力由Ｎ和重力 Ｇ的合力提供。 (3)当 v gr 时，Ｎ<０，实际情况杯底不可能给 水向上的力，所以，此时水将会流出杯子。
实际生活中向心力的来源分析例析
实际生活中向心力的来源分析例析广西 秦付平众所周知在圆周运动的学习中，对向心力的来源分析是一个重点和难点，对大多数的同学来说是比较头痛的．向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种性质力，它是根据力的效果来命名的．同学们在解有关圆周运动和向心力时，往往容易错误分析受力，多分析了向心力，导致求解出错．求解向心力问题的关键是找准向心力的来源，下面通过例题来说明实际生活中向心力的来源．一、重力提供向心力例1 如图1所示，“时空之旅”飞车表演时，演员驾着摩托车，在球形金属网内壁上下盘旋，令人惊叹不已，摩托车沿图示竖直轨道做圆周运动的过程中，若摩托车的速率为v =20m/s 时，刚好通过最高点A ，设摩托车车身的长不计，取g=10 m/s 2，则竖直圆轨道的半径为（ ）A ．10mB ．20mC ．30mD ．40m解析：由于摩托车刚好能顺利到达A 点，此时摩托车的速率不为零，且在竖直面内作圆周运动，即有一个向心力，此时摩托车和人作为整体只受重力作用，根据向心力只有重力提供，又由牛顿运动定律得：2v mg m R=，解得gR v =，代入数据解得R =40m ．因此答案为D 选项．二、弹力提供向心力例2 如图2所示，洗衣机的甩干桶竖直放置，桶的内径为20cm ，工作被甩的衣物贴在桶壁上，衣物与桶壁的动摩擦因数为0.025．若不使衣物滑落下去，甩干桶的转速至少多大？ 解析：根据题意得，在竖直方向重力与摩擦力平衡有：mg F N =μ，又因为弹力提供向心力则：r m F N 2ω=，圆周运动有：n f ππω22==，联立代入数据解得：min /600/1042r s r R g n ===μπ． 三、摩擦力提供向心力例3 如图3所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s ＝0.4 m ．设物体所受的最大静摩擦力等于滑图1 图2动摩擦力，取重力加速度g =10 m/s 2．求：（1）物块做平抛运动的初速度大小v 0；（2）物块与转台间的动摩擦因数μ．解析：（1）物体做平抛运动，在竖直方向上有：212H gt =，在水平方向上有：0s v t =，联立上面两式代入数据得01v ==m/s ． （2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有：200v f m R=，又因为最大静摩擦力等于滑动摩擦力则：0f N mg μμ==，联立上式代入数据得：200.2v gRμ==．四、重力与拉力提供向心力例4 某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成是一个质点，则可简化为如图4所示的物理模型．其中P 为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO ′转动，设绳长l =10m ，质点的质量m =60kg ，转盘静止时质点与转轴之间的距离d =4m ．转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ=370．（不计空气阻力及绳重，绳子不可伸长，sin370=0.6，cos370=0.8，g =10m/s 2）求质点与转盘一起做匀速圆周运动时绳子的拉力及转盘的角速度．解析：对质点受力分析，如图5所示，根据重力与绳子的拉力提供向心力可得：2tan mg m D θω=．又因为根据三角函数关系，其中绳子的拉力750cos mg T θ==N ，根据几何关系可得sin D d l θ=+，联立上式代入数据得：ω=rad/s ． 五、重力与阻力提供向心力例5 质量为m 的直升飞机以恒定速率v 在空中水平盘旋，如图6所示，做匀速圆周运动的半径为R ，重力加速度为g ，则此时空气对直升飞机的阻力大小为（ ）A ．2v m RB ．mgO / 图4 图5C．D．解析：如图7所示，直升飞机在盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的阻力两个力的作用，合力提供向心力2nvF mR=．飞机运动情况和受力情况示意图如图7所示，根据平形四边形定则得：F==C选项正确．六、弹力与摩擦力力提供向心力例6 如图8所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N．现使此平面绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？（取g=10m/s2）解析：根据题意有，当ω比较小时物体M有向O点滑动的趋势，拉力与摩擦力之差提供向心力有：rMfmg21ω=-，代入数据解得12.9/rad sω==；当ω比较大时M有背离O运动的趋势，拉力与摩擦力之和提供向心力即：rMfmg22ω=+，代入数据解得：sradMrfmg/5.62=+=ω．所以角速度取值范围为sradsrad/5.6/9.2≤≤ω．点评：从以上的几个例题中可以发现，实际生活中向心力的来源很多，除此之外还有重力与杆的合力、重力与摩擦力的合力提供向心力等等。
高中物理向心力的来源分析 新人教版必修2
向心力的来源分析
对于向心力的来源分析，它有三种情况1、某个力提供，2、某几个力的合力提供，3、某个力的分力提供。
例1 下列物体做匀速圆周运动时，向心力分别由什么力提供？
1、人造地球卫星线地球运动时；——由万有引力提供；
2、电子绕原子核运动时；——由库仑力提供；
3、小球在光滑的水平桌面上运动（如图2）；——由重力、支持力、拉力的合力提供；
4、小球在水平面内运动（如图3）；——由重力、拉力的合力提供（如图6）
5、玻璃球沿碗（透明）的内壁在水平面内运动；或者漏斗里的运动（如图4）（不计摩擦）——由重力、支持力的合力提供（如图7）
6、使转台匀速转动，转台上的物体也随之做匀速圆周运动，转台与物体间没有相对滑动（如图5）——由静摩擦力提供即合力（如图8）
7、汽车过拱桥和汽车过凹桥
8、水平面上汽车的转弯，在倾斜面上的汽车转弯
9、圆柱内壁上物体的圆周运动
10、转动的试管分析里面的液体运动的向心力
11、在竖直面上的物体的运动，细绳小球模型，杆球模型
12、套在光滑杆上的圆环的向心力
13、单摆，及变型摆
14、圆锥摆拓展
15、双星模型及类双星模型
小结：分析匀速圆周运动向心力的来源，在具体问题中首先要对物体进行受力分析，根据受力来加以确定，由合力提供，也可能弹力、摩擦力等中的某一种力提供。
专题3.2 向心力的来源分析与计算(解析版)
第三部分专项提能优化训练专题3.2 向心力的来源分析与计算目录一、从动力学角度分析向心力来源 (1)类型1单一性质的力提供向心 (3)类型2多种性质的力的合力提供向心力 (5)二、从向心力来源角度分析圆周运动的临界问题 (7)类型1水平面上的圆周运动 (8)类型2竖直平面内的圆周运动 (11)类型3复合场中的圆周运动 (13)三．专题强化训练 (15)一、从动力学角度分析向心力来源做圆周运动的物体必须有外力提供其向心力，向心力既可以由某一个力来提供，也可以是由几个力的合力或某一个力的分力来提供。
圆周运动及其相关问题，往往都需要寻找向心力来源，然后根据“供”“需”关系列出合外力提供向心力的动力学关系式求解相关问题。
【例1】如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上固定一带负电的点电荷A，一带正电的点电荷B绕A在椭圆轨道上沿逆时针方向运动，椭圆轨道的中心在O点，P1、P2、P3、P4为椭圆轨道与坐标轴的交点。
为使B绕A做圆周运动，某时刻起在此空间加一垂直于xOy平面的匀强磁场，不计B受到的重力。
下列说法中可能正确的是()A．当B运动到P1点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场B．当B运动到P2点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场C．当B运动到P3点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场D．当B运动到P4点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场【答案】C【解析】过P1点以A点为圆心的圆如图所示当点电荷B运动到P1点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，根据左手定则可知点电荷B受到的洛伦兹力方向指向A，点电荷B一定相对于原来的轨道做向心运动，不可能在轨道1上做匀速圆周运动，故A错误；当B运动到P2点或P4点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，根据左手定则可知粒子受到的洛伦兹力方向向外，洛伦兹力和电场力的合力不指向A点，不可能绕A做匀速圆周运动，故B、D错误；当B运动到P3点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，根据左手定则可知洛伦兹力方向指向A，此时粒子相对于原来的椭圆做向心运动，可能绕图中轨道2做匀速圆周运动，其向心力为洛伦兹力和电场力的合力，故C正确。
(完整版)向心力向心加速度·典型例题解析
向心力向心加速度·典型例题解析【例1】如图37－1所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是半径的1/3．当大轮边缘上的P点的向心加速度是0.12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？解析：P点和S点在同一个转动轮子上，其角速度相等，即ωP＝ωS．由向心加速度公式a＝rω2可知：a s/a p＝r s/r p，∴a s＝r s/r p·a p＝1/3×0.12m/s2＝0.04m/s2．由于皮带传动时不打滑，Q点和P点都在由皮带传动的两个轮子边缘，这两点的线速度的大小相等，即v Q＝v P．由向心加速度公式a＝v2/r可知：a Q/a P ＝r P/r Q，∴a Q＝r P/r Q×a P＝2/1×0.12m/s2＝0.24 m/s2．点拨：解决这类问题的关键是抓住相同量，找出已知量、待求量和相同量之间的关系，即可求解．【问题讨论】(1)在已知a p的情况下，为什么求解a s时要用公式a＝rω2、求解a Q时，要用公式a＝v2/r？(2)回忆一下初中电学中学过的导体的电阻消耗的电功率与电阻的关系式：P＝I2R和P＝U2/R，你能找出电学中的电功率P与电阻R的关系及这里的向心加速度a与圆周半径r的关系之间的相似之处吗？【例2】如图37－2所示，一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一个木块，当圆盘匀角速转动时，木块随圆盘一起运动，那么[ ] A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同D．因为摩擦力总是阻碍物体的运动，所以木块所受到圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反解析：从静摩擦力总是阻碍物体间的相对运动的趋势来分析：由于圆盘转动时，以转动的圆盘为参照物，物体的运动趋势是沿半径向外，背离圆心的，所以盘面对木块的静摩擦力方向沿半径指向圆心．从做匀速圆周运动的物体必须受到一个向心力的角度来分析：木块随圆盘一起做匀速圆周运动，它必须受到沿半径指向圆心的合力．由于木块所受的重力和盘面的支持力都在竖直方向上，只有来自盘面的静摩擦力提供指向圆心的向心力，因而盘面对木块的静摩擦力方向必沿半径指向圆心．所以，正确选项为B．点拨：1．向心力是按效果命名的，它可以是重力、或弹力、或摩擦力，也可以是这些力的合力或分力所提供．2．静摩擦力是由物体的受力情况和运动情况决定的．【问题讨论】有的同学认为，做圆周运动的物体有沿切线方向飞出的趋势，静摩擦力的方向应该与物体的运动趋势方向相反．因而应该选取的正确答案为D．你认为他的说法对吗？为什么？【例3】如图37－3所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O；一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝1kg的小球A，另一端连接质量为M＝4kg 的重物B．(1)当小球A沿半径r＝0.1m的圆周做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10rad/s时，物体B对地面的压力为多大？(2)当A球的角速度为多大时，B物体处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态？(g＝10m/s2)点拨：小球A作匀速圆周运动，由绳子的拉力提供向心力，从而使B对地面的压力减少．当B物体将要离开而尚未离开地面时，小球A所需的向心力恰好等于重物B的重力参考答案(1)30N(2)20rad/s【例4】小球A和B用细线连接，可以在光滑的水平杆上无摩擦地滑动，已知它们的质量之比m1∶m2＝3∶1，当这一装置绕着竖直轴做匀速转动且A、B两球与水平杆子达到相对静止时(如图37－4所示)，A、B两球做匀速圆周运动的[ ] A．线速度大小相等B．角速度相等C．向心力的大小之比为F1∶F2＝3∶1D．半径之比为r1∶r2＝1∶3点拨：当两小球随轴转动达到稳定状态时，把它们联系在一起的同一根细线为A、B两小球提供的向心力大小相等；同轴转动的角速度相等；两小球的圆周轨道半径之和为细线的长度；两小球的线速度与各自的轨道半径成正比．【问题讨论】如果上述装置的转速增大，当转速增至某一数值时，细线会被拉断，断了细线后的A、B两个小球将如何运动？参考答案BD跟踪反馈1．如图37－5所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于这个小球的受力情况，下列说法中，正确的是[ ] A．受重力、拉力、向心力B．受重力、拉力C．只受重力D．以上说法均不正确2．如图37－6所示的皮带传动装置中，O为轮子A和B的共同转轴，O′为轮子C的转轴，A、B、C分别是三个轮子边缘上的质点，且R A＝R C＝2R B，则三质点的向心加速度大小之比a A∶a B∶a C等于[ ] A．4∶2∶1 B．2∶1∶2C∶1∶2∶4 D．4∶1∶4 3．如图37－7所示，水平光滑圆盘的中央有一小孔，让一根细绳穿过小孔，一端连结一个小球，另一端连结一个弹簧，弹簧下端固定在地板上，弹簧处在原长时，小球恰好处在圆心小孔处，让小球拉出小孔并使其作匀速圆周运动，证明其角速度为恒量，与旋转半径无关．4．用一根细绳拴一物体，使它在距水平地面高h＝1.6m处的水平面内做匀速圆周运动，轨道的圆周半径r＝1m．细绳在某一时刻突然被拉断，物体飞出后，落地点到圆周运动轨道圆心的水平距离S＝3m，则物体做匀速圆周运动的线速度为多大？向心加速度多大？参考答案1．B 2．A 3．由题意可得kΔL＝mω2ΔL，km/m 4v5m/s a25m/s2∴ω＝．＝，＝。
第三节 向心力实例分析
下面让我们从分析向心力角度进一步研究几个实例：
回顾向心力的表达式：
F
v2 m
mr 2
r
回顾向心力的来源
N
T
T G
G
T T1 T2
G
向心力的来源：
可以是某一个力, 也可以是某些力的合力, 也可以是某个力的分力.
向 心力的实例 分析
1 提问，匀速圆周运动的物体受到向心 力．向心力是怎样产生的？
例如： （1）绳拉物体做匀速圆周运动，绳的 拉力提供向心力． （2）物体随水平圆盘做匀速周围运动， 静摩擦力提供向心力．
小结：向心力是由物体实际受到的一个力或 几个力的合力提供的
分析和解决匀速圆周运动的问题，关键 是要把向心力的来源搞清楚。
mg tan m v2
r
即v2 rg tan
即v rg tan
N
F
mg
所以每一次火车提速，对铁轨弯道重新 设计或者重新修铁路
例1.铁路转弯处的圆弧半径是300m,轨 距是1435mm,规定火车通过这里的速度是 72km/h,内外轨的高度差应该是多大,才能 使外轨不受轮缘的挤压?保持内外轨的这 个高度差,如果车的速度大于或小于 72km/h,会分别发生什么现象?说明理由.
解：汽车通过底部时，受力情况如图。
由牛顿第二定律：
N
v2 N - mg = m
r N = m(g + v2 )
r N / = N = m(g + v2 )
r
h
G
N’
小节:此问题中出现的汽车对桥面的 压力大于或小于车重的现象，是发生 在圆周运动中的超重或失重现象
例谈向心力的来源
例谈向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，不是某种性质的力。
同学们在解有关圆周运动和向心力时，往往容易错误分析受力，多分析了向心力，导致求解出错。
求解向心力问题的关键是找准向心力的来源，下面通过例题来说明向心力的来源。
一、向心力可以由重力、弹力或摩擦力中的某一个力提供 1、弹力提供向心力例1、洗衣机的甩干桶竖直放置。
桶的内径为20厘米，工作被甩的衣物贴在桶壁上，衣物与桶壁的动摩擦因数为0.025。
若不使衣物滑落下去，甩干桶的转速至少多大？ 解：竖直方向重力与摩擦力平衡有mg F N =μ 弹力提供向心力r m F N 2ω= n f ππω22==得min /600/1042r s r R g n ===μπ2、摩擦力提供向心力例2、在匀速转动的水平盘上,沿半径方向放着三个物体A 、B 、C ，M A =M C =2M B ，它们与盘面间的摩擦因数相等，它们到转轴的距离的关系为R A <R B <R C ,当转盘的转速逐渐增大时哪个物体先开始滑动，相对盘向哪个方向滑？ A 、B 先滑动，沿半径向外。
B 、B 先滑动，沿半径向内。
C 、C 先滑动，沿半径向外 D 、C 先滑动，沿半径向内。
解析： 物体相对盘滑动是由于提供的向心力小于维持做圆周运动所需的向心力。
故可以先求出开始滑动的临界角速度，rr m mg μωωμ=∴=2，由于R A <R B <R C 所以A B c ωωω〈〈，即C 先开始滑动，滑动时物体做离心运动，故滑动方向沿半径向外。
故C 正确3、重力提供向心力例3、如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求当小球在恰好能过最高点圆上最高点，求过最高点时小球的速度？ 解：小球做完整圆周运动过最高点的临界条件是重力提供向心力rvmmg 2=s m gr v /2==二、向心力可以由几个力的合力提供 1、由重力和弹力的合力提供例4、沿半径为R 的半球型碗底的光滑内表面，质量为m 的小球正以角速度ω，在一水平面内作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。
第三节 向心力的实例分析分解
v2 F向 T mg m r
15
三、竖直面轨道圆周运动——线模型
(1)临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg ＝m v
2
临界 ⇒v R
＝ 临界
gR。
(2)能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力或轨道对球产生压力。
(3)不能过最高点的条件：v<v 临界(实际上球还没到最 高点时就脱离了轨道)。
那么当汽车的速度为多少时汽车对桥毫无附着力，会完全失控？Fra bibliotekv gR
10
三、竖直面轨道圆周运动——汽车过桥（凹底问题）
若是凹形圆桥面汽车对桥的压力等于多少？
N
mg
v2 m
N
R
N mg m v2 mg R
G
由牛顿第三定律可知，汽车对桥及轮胎的压力都大于重力， 汽车有爆胎的危险！
对比上面的研究可以看出来，不同圆桥能够
在最高点处对过山车受力分析： 重力G与压力N为过山车提供向心力
mg N m v2 R
思考：当车速度为多少时，对轨道无挤 压？
Nv
G
R
N’
G
13
三、竖直面轨道圆周运动——过山车
过山车：(在最高点和最低点) (1)向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提 供向心力。
(2)向心力方程：
在最高点：
行驶 v gr ，否则将发生事故。
思考
在现实生活中，公路和铁路的弯道通 常是外高内低，为什么这样设计呢？
6
二、倾斜轨道圆周运动——赛车拐弯
拐弯情景： N
受力分析：
h
G 可得：F mg tan m v2
r
N
若倾角θ很小时，可
向心力的实例分析
如果 v gr ，轻绳对 小球存在拉力。 如果 v gr ，小球无法 到达圆周的最高点
例：如图，在“水流星”表演中，绳长为1m， 水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的速度 为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
v r
2、轻杆作用下的竖直面的圆周运动（杆的模型）
如图所示轻杆栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 经过最高点的线速度需要多大?
问题情境：
汽车过拱桥
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆 弧半径为r，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高 点时对桥面的压力？
a：选汽车为研究对象 b：对汽车进行受力分析：受到重力和桥 对车的支持力
c：上述两个力的合力提供向心力、 且向心力 方向向下
d：建立关系式：
2 v F向 mg N 即mg N m r
1、轻绳作用下的竖直面的圆周运动（绳的模型）
如图所示轻绳栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 经过最高点的线速度至少需要多大?
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r T=mv2/r-mg≥0 小球经过最高点的速度：
线或绳
v0 ≥ gr
线或绳
当 v gr时，细绳对 小球没有拉力作用。向心 力只由小球所受重力提供。
e:又根据牛顿第三定律，所以
2 v N N mg m r
且
N mg
v N mg m r
2
失重现象
试讨论上面情况中，汽车行驶的速度越大，汽车对桥的压力 如何变化；当汽车对桥的压力刚好减为零时，汽车的速度有 多大．当汽车的速度大于这个速度时，会发生什么现象?
2、请你根据上面分析汽车通过凸形桥的思路，分析 一下汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力（如图）。 这时的压力比汽车的重力大还是小？
向心力的实例分析
光滑的圆轨道AB部分平直，BC部分是处于 竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径 r<<R,有一质量为m，半径比r略小的光滑 小球以水平初速度v0射入圆管。（1）若要 小球能从C端出来，初速度v0 是多少？（2） 小球从C端从来瞬间，对管壁压力有哪几种 典型情况，初速度v0应各满足什么条件
生活中的圆周运动：
N+mg=mv2/r
∵N≥0
①当
∴v≥
gr
v gr 时，Ｎ＝０，水在杯中刚好不流出
gr 时，Ｎ>０
② 当v
③
当
v gr 时，Ｎ<０，此时水将会流出杯子。
实例6:轻杆与球：如图所示，一 质量为m的小球，用长为L轻杆固 定住，使其在竖直面内作圆周运 动。 (1)小球做的是什么运动？
(2)小球在运动过程中，受到哪 些力？有哪些力对物体做功？ 小球的运动过程有什么特点？ (3)小球能在竖直平面内作圆周 运动，必须满足的条件是什么？
gr
汽车飞出去了。
汽车质量为1.5x104kg, 以不变的速率驶过 凹形路面和凸行路面，路面圆弧半径为15m 如果路面承受的最大压力不得超过2x105N， 汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率 驶过路面的最小压力是多少？
实例3:细绳与球：如图所示，一质量为 m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖 直面内作圆周运动。 (1)小球做的是什么运动？ mg
(2)小球在运动过程中，受到哪 些力？有哪些力对物体做功？ 小球的运动过程有什么特点？
O
(3)小球能在竖直平面内作圆周 运动，必须满足的条件是什么？
如图所示，一质量为m的小球，用长 为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运 动。
(1)若过小球恰好能通过最高点， 则小球在最高点和最低点的速度 分别是多少？小球的受力情况分 别如何？
第四章 第3节 向心力的实例分析
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2．轻杆模型
结束
如图 4-3-10 所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内
运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小
球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或
等于零，小球的受力情况为：
图 4-3-10
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结束
(1)v＝0 时，小球受向上的支持力 N＝mg。 (2)0<v< gr时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小。 (3)v＝ gr时，小球只受重力。 (4)v> gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大 而增大。 即杆类的最高点的临界速度为 v 临＝0。
转弯时有 mgtan α＝mRv02
①
当火车以实际速率 v 转弯时，车轮对外轨的侧压力与外轨
对车轮的侧压力是一对相互作用力，此时有
Nsin α＋Fcos α＝mRv2
②
Ncos α－Fsin α＝mg
③
联立①②③式，解得 F＝vv2－04＋v0g22mRg2 。
[答案]
v2－v02mg v04＋g2R2
结束
(2)如图 4-3-4 所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内 侧倾斜身体？
图 4-3-4 提示：倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦 力，从而获得做圆周运动所需要的向心力。
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结束
(3)过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动，如图 4-3-5 所示， 过山车驶至轨道的顶部，车与乘客在轨道的下方，为什么车 与乘客不会掉下来？
图 4-3-3
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习题课：向心力的来源实例分析
★知识链接
一．圆周运动的分析方法
匀速圆周运动：合外力提供向心力，产生向心加速度n a ，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
变速圆周运动：法向的合外力提供向心力，产生向心加速度n a ，只改变速度的方向；切向的合外力产生切向的加速度t a ，只改变速度的大小。
规律总结：不管是匀速圆周运动还是变速圆周运动，都是由法向（指向圆心）的合外力提供向心力。
二．向心力来源的分析方法
确定圆心所在的平面→找出圆心、半径→受力分析→指向圆心的合力即为向心力。
★实例分析 1．单摆 例1．如图所示，一小球用细线悬挂于O 点，将其拉离
竖直位置一个角度后释放，小球将以O 点为圆心做圆周运动，
则运动中小球所需的向心力是（ D ）
A ． 绳的拉力
B ． 小球的重力
C ． 绳的拉力与小球的重力的合力
D ． 绳的拉力与小球的重力沿绳方向的分力的合力
解析：
法向：L v m mg F 2cos =-α 得：L
v m mg F 2
cos +=α
切向：t sin ma mg =α 总结：
（1）当小球由高向低运动时，t a 与v 方向一致，v 逐渐增大；α逐渐减小，αcos 逐渐增大，F 逐渐增大。
（2）当小球由低向高运动时，t a 与v 方向相反，v 逐渐减小；α逐渐增大，αcos 逐渐减小，F 逐渐减小。
（3）小球在最高点，速度为零，拉力最小；小球在最低点，速度最大，拉力最大。
cos mg
2．圆锥摆
例2．如图所示，长为L 的细线，一端拴一质量为m 的小球，另一端固定于O 点。
让小球在水平面内做匀速圆周运动。
当细线与竖直方向成θ角时，求： （1）细线的拉力F ． （2）小球运动的线速度v ．
（3）小球运动的角速度ω．
（4）小球运动的周期T ．
解析：
竖直方向：mg F =θcos ，得θ
cos mg
F = θ越大，θcos 越小，F 越大。
练1．如图所示，一质量为m 匀速圆周运动，轨道平面水平。
已知小球与球心O 的连线与竖 直方向的夹角为α，碗的半径为R ，求： （1）碗壁对小球的支持力N F ； （2）小球运动的线速度v 。
解析： （1）N F α
cos mg
=
（2）由α
αsin tan 2
R v m mg =得：ααsin tan gR v =
θ
sin 2
L v m θωsin 2L m θπsin 422
L T
m 水平方向：==θθtan sin mg F
得：θθsin tan gL v = θ越大，v 越大
θ
ωcos L g
=
θ越大，ω越大
g
L T θ
π
cos 2= θ越大，T 越小 mg θ
θ F θcos F θsin F
O '
O O
O ' mg
N F 合F
α
R
r
3．漏斗摆
竖直方向：mg F =αsin N ，得α
sin N mg
F =
α越大，N F 越小。
得：αcot gr v =，r 越大，v 越大。
r
g α
ωcot =
，r 越大，ω越小。
α
πcot 2g r
T =，r 越大，T 越小。
练2．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线竖直， 圆锥筒固定不动。
有质量相同的两个小球A 和 B 紧贴圆锥筒的内壁在水平面内做匀速圆周运 动，如图所示，已知A 的半径大于B 的半径， 则（ C D E ）
A ．A 球的向心力大于
B 球的向心力
B ．A 球对筒壁的压力大于B 球对筒壁的压力
C ．A 球的运动周期大于B 球的运动周期
D ．A 球的角速度大于B 球的角速度
E ．A 球的线速度大于B 球的线速度
水平方向：=αcos N F r
v m 2 r m 2ω
r T m 22
4π
N F αsin N
或==αcot mg F 合 r
v m 2 r m 2ω
r T
m 22
4π
F
F
练3．如图所示，一圆盘可以绕一个通过圆盘中心且垂
直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一木块，当圆盘匀
速转动时，木块随圆盘一起运动，那么（ B ）
A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心
B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心
C．因为木块与圆盘一起做匀速转动，所以它们之间没有摩擦力D．因为摩擦力总是阻碍物体运动的，所以木块受到圆盘对它的摩擦力的方向与木块运动方向相反
解析：如图所示，木块放在盘面上的A点，随盘面
一起做匀速圆周运动。
若盘面突然光滑，木块将沿切向
做匀速直线运动，经过较短的时间，盘面与之接触的A
点会转动到A'点，在相同的时间内，木块运动到B点，
因此木块相对与之接触的点而言相对运动趋势的方向并不是沿切向而是沿法向背离圆心的，所以，木块受到的静摩擦力的方向并不是沿切向与运动的方向相反，而是指向圆心的，提供向心力。
O
A
A'B
v ω。