物理竞赛-力学_舒幼生_第四章角动量定理天体运动

2 vdt
1
d r (t)
O
过去 未来
41
牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性
阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等
不具有时间反演对称性
f
v
时间倒流在真实世界是不可能发生的
42
时间平移对称性 系统在时间平移，即在
mi ghi mihi g mghG
i
i
ri (mi g)
mi ri
g
mrG
g
rG
mg
i
i
重心是质点系重力分布中心
猫的空中转体
26
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
27
例 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质9量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫
角动量 L 守恒，横向力为零
F 2mvr 2Lr 2
径向力应合成mar
Fr
m
d 2r dt 2
r
d
dt
2
mr 2
2mv
mr 2 2Lr 1 L2 (1 2 2r 2 )r 3
m
22
*** 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
外力矩是质点系角动量变化的原因
合力为零的外力矩
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。
mv
2 0
(3
4 1)
它恰好等于小球的动能增量
Ek
1 2
mv2
1 2
mv02
1 2
mv02 (3
4
1)
16
*** 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
M内 0
i
质点系角动量定理：
质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和
等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
)l
2d
sin0
h l
2(m1
m2 )gh
1 2
(m1
m2
)l
2 2 0
此即机械能守恒
0
2 l
(m1 m2 )gh m1 m2
20
例 水平大圆盘绕中心竖直轴 8 以角速度ω旋转，质量m的
小球从中心出发，沿阿基米德螺 线运动，角动量 L 守恒。 试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量。
⊙ω O
在 dt 时间
质点位移为 vdt，转过角度dθ
r 便会扫过面积 dS
dS
1
r vdt
r (t
dt)
vdt
2
面积速度
dS
1
r v
dt 2
d r (t)
O
速度 动量 动量定理
面积速度 角动量 角动量定理
3
质点在 S 系中相对 参考点O的 角动量 L L r mv r p
角动量随时间的变化与什么有关呢？
角动量
L mvd 2
9
例2 匀速圆周运动
选择圆心O为参考点
力矩
M 0
角动量 L mvR ⊙
角动量守恒
其它任何点则没有这种情况
v
R F心
O
O
10
例3 地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
11
例 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m， 4 取悬挂点O为参考点，
求摆球所受力矩和摆球角动量。
z
m2
l
m1
lO h
求ω0至少多大时，右端少年可着地？
力矩
M z m1gl cos m2gl cos
系统角动量 Lz (m1 m2 )l 2
19
角动量定理
Mz
dLz dt
(m1 m2 )l 2
d
dt
(m1 m2 )l 2
d d
积分
0
0
(m1
m2
)
gl
c
os
(d
)
0 0
(m1
m2
诺特
最伟大的女数学家
Emmy Noether (1882-1935)
46
诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系
连续变换的对称性都对应一条守恒定律
时间平移对称性 能量守恒定律 空间平移对称性 动量守恒定律 空间转动对称性 角动量守恒定律
47
牛顿定律 惯性系 质点
小结
动量定理 动量守恒定律 动能定理 机械能守恒定律 角动量定理 角动量守恒定律
第四章
角动量定理 天体运动
1
§4.1 角动量定理
*** 质点角动量定理
质点的运动状态：
(r ,
v)
d (mv) Fdt
v
r
d
(
1
mv
v)
F
dr
2
转动 相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r
速度v
2
惯性系 S 中的一个运动质点 在运动过程中相对某参考点O的径矢 r 会相应的旋转
极坐标系 角动量守恒 能量守恒
51
建立极坐标系
太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m， 某时刻 M至 m的径矢 r和 m的速度 v。
在径矢 r和速度 v确定的平面上， 建立以 M为原点的极坐标系。
vr
dr dt
,
v
r
d
dt
M
dr r vr
d v
v
m
F r
52
利用角动量 L 和能量 E 守恒
mrv L
摆球受张力和重力
L
张力对O点力矩为零
摆球所受力矩 M mgl sin ⊙
O
l
T
O mg
摆球角动量
L mvl
方向如图
选另一参考点 O
12
例 导出单摆的摆动方程 5
力矩和角动量都只有 z 轴分量
M z mgl sin
Lz
mlv
ml 2
d
dt
采用小角度近似 sin
O
l
⊙z
T
mg
利用角动量定理
t t t0
变换下具有的不变性。 牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性
自然界中除了与时空变换有关的对称性以外， 还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。
43
§4.2.2 对称性原理
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1v120
1 2
m2v220
v1
(m1
m2 )v10 2m2v20 m1 m2
rG
mi ri
i
m
质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心
25
质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量
质点系各质点重力作功之和 等于质点系重力作用于重心处所作的功
(mi g) dri g
mi dri
g
d
mi
ri
mg
drG
i
i
i
重力势能 重力的力矩
32
空间变换对称性
z
O
y
x
系统相对点、线、面的变换
33
镜面反演对称性
镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的变换。
一个系统若在镜面反演变换下保持不变， 则称这一系统具有镜面反演对称性。
34
35
空间平移对称性
系统在空间平移，即在
r
r
R(R为常矢量
)
变换下具有的不变性。
R
电 场
强
度
R
半径
39
时间变换对称性
一维的时间只能改变方向和平移， 所以只有两种变换：
时间反演对称性
t t
时间平移对称性
t t t0
40
时间反演对称性 时间反演即时间倒流
未来 过去
t t dt dt
v
dr
,
v v
dt
a
dv
,
a a, F F
dt
r (t dt)
真实力 非惯性系 惯性力
质点系
我们周围的世界
48
§4.3 天体运动
太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星
m木
M太 1047.35
太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。 卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。
多体问题 两体问题 单体问题
49
§4.3.1 天体运动
轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v
系统动量守恒 麦管移入桌面长度
m(u v) Mv
t
x vdt
m
t
udt
m
L
0
M m 0
M m
28
分两种情况讨论：
（1） M m, x L 2
麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。
dL
d(r
p)
dr
p
r
dp
dt dt dt
dt
其中
dr
p
v
p
0,
dp
F
dt
dL
dt
r
F
dt
L
p r
4
质点所受力相对参考点 O 的力矩
M rF
质点角动量定理： 质点所受力相对某参考点的力矩
等于质点相对该参考点角动量的变化率。
M
dL
dt
处理转动的所有公式都是从这个公式导出
天体运动的开普勒三定律
第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆， 太阳在椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内 扫过相等的面积。
第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴 A 的三次方 与轨道运动周期 T 的二次方之比值 为相同的常量，即
A3 T2
k
50
牛顿力学结合万有引力定律 推导天体运动的开普勒三定律
阿基米德螺线 r
角动量 L 守恒 L mr2 d
m
dt
d L r2, dr d L r2
dt m
dt dt m
21
d 2
dt 2
2
L2 m2
r 5,
d 2r dt 2
2 2
L2 m2
r 5
圆盘系中小球所受合力
F
m
2
r
2mv
合力的横向分量 F 2mvr
合力的径向分量
Fr mr 2 2mv
M外
dL dt
17
质点系角动量守恒定律
若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。 若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零， 则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。
非惯性系中质点系的角动量定理
M惯
M外
dL dt
18
例 质量可略、长2l的跷跷板 7 静坐着两少年，左重右轻，
左端少年用脚蹬地， 获得顺时针方向角速度ω0。
36
轴转动对称性（轴对称性）
系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下 具有的不变性。
37
空间反演对称性（点对称性）
系统在空间反演，即在
r r (x x, y y, z z)
变换下具有的不变性。
38
点转动对称性（球对称性）
系统在绕着某点作任意旋转的变换下 具有的不变性。
均匀带电球体相对球心具有球对称性， 它的空间场强分布也具有此种对称性。
（2） M m, x L 2
麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足
(m m)g L x Mgx
m M m m
2
M m
29
双摆
30
§4.2 对称性与守恒律
*** 对称性
31
德国数学家魏尔（H. Weyl）
对称性：系统在某种变换下具有的不变性。 例 左右对称，
上下对称， 也称镜面对称
1 2
m(vr2
v2 )
G
Mm r
E
首先可得到角向速度和径向速度
v
L mr
vr
2E 2G M L 2
m
r mr
53
行星轨道
方案1：参数方程
r r(t)
Mi
r
Fi
r
间一对作用力与反作用力
F1
1
r21
2
F2
相对于同一参考点力矩之和必为零。
r1
r2
r1 F1 r2 F2 r1 F2 r2 F2 (r2 r1) F2 r21 F2 0
7
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
T0
m
v02 r0
（2）
角动量守恒 mvr mv0r0
圆周运动
mv2 r
2T0
2mv02 r0
v3
2v0 ,
r
r0 32
v0
A
O
r0
B T
15
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
T
mv 2 r
mv
2 0
r02
r3
W
r0 / 3 2 r0
mv02r02 dr r3
1 2
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例 相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
1
参考点A：
A
重力矩 角动量 参考点B：
M mgd1 L0
d2 B
d1
v
mg
重力矩
M mgd1
d 2
dt 2
g
l
13
例6 小球绕O作圆周运动，如图所示。
v0
A
O
r0
（1）求B端所受竖直向下的外力T0
（2） T0极缓慢增到 2T0，求v （3）用功的定义式求拉力所作的功。
B
T
分析物理过程 以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。
T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。
14
解
（1）
M 外
(ri R) Fi
i
ri Fi R Fi
i
i
ri
O
R
Fi
ri
M外
O
23
一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力
F2
M r12 F1 r21 F2
r21
2
1
r12
力偶的力矩不依赖于参考点的选择
F1
24
重心
位于rG的几何点称为质点系的重心
5
力矩
M rF sin Fh
力臂 h：点 O 到力 F 作用线的距离。 在直角坐标系中，M 可用行列式表述成
i x Fx M r F j y Fy
k z Fz
它的三个分量： M z xFy yFx ,
F
r
h
6
质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和， 等于合力F相对该参考点的力矩。
,
v2