2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷

中考数学一模试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.-3的相反数是（）
A. B. C. 3 D. -3
2.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）
A. 65°
B. 115°
C. 125°
D. 130°
3.下列运算正确的是（）
A. 2a+3a=5a2
B. （a+2b）2=a2+4b2
C. a2×a3=a6
D. （-ab2）3=-a3b6
4.发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（）
A. B. C. D.
5.一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=-6x的图象平行且经过点A（1，-3），则
这个一次函数的图象一定经过（）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限
D. 第二、三、四象限
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC
的角平分线，AC=6，则点D到AB的距离为（）
A.
B.
C. 2
D. 3
7.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E在边BC上，若
AE平分∠BED，则BE的长为（）
A.
B.
C.
D. 4-
8.如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，
交BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（）对．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
9.已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB=6cm，弦
AC、BD相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为
（）
A. π-
B. π-
C. π-
D. π-
10.已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴没有交点，过A（-2、y1）、B（-3，y2）、C（1，y2）、
D（，y3）四点，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A. y1＞y2＞y3
B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2
D. y3＞y2＞y1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.在实数-3，0，π，-，中，最大的一个数是______．
12.菱形ABCD的边AB=6，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为______．
13.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标
为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与
点D的反比例函数表达式为______．
14.如图，已知在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，
AC=，则四边形ABCD面积的最小值是______．
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）
15.计算：-×（-）-3+|2-3|-（-）0
16.化简求值：÷（-1）+1，其中x选取-2，0，1，4中的一个合适的数．
17.尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在
△ABC的边上找一点E，使S△ADE：S△ABC=1：4．（保留作
图痕迹，不写作法）
18.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，
DF⊥AE，垂足为F，连接DE．证明：AB=DF．
19.某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分
学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______图①中m的值为______；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是______小时，中位数是______小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
20.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼
在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）
21.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用
水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x立方米时，应交水费y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
2
月份四月份五月份六月份
交费金额30元34元47.8元小明家这个季度共用水多少立方米？
22.如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标
有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为
120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，
则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次
（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动
转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率；
（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O
分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求FG的长．
24.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D
为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25.问题背景
（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．
问题解决
（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
拓展应用
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE=AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB=8，CD=11，tan∠C=2，S△DEP=9，求sin∠APB的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：（-3）+3=0．
故选：C．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．2.【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°-50°=130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴∠AED=180°-65°=115°，
故选：B．
根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】
解：A、2a+3a=5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、=a5，故此选项错误；
D、（-ab2）3=-a3b6，正确．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】
解：从左边看是一个矩形平均分成2个，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=-6x的图象平行，
∴k=-6，
∴y=-6x+b，
把点A（1，-3）代入y=-6x+b得-6+b=-3，解得b=3，
∵k=-6＜0，b=3＞0，
∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据两条直线相交或平行问题由一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行得到k=2，然后把点A（1，-3）代入一次函数解析式可求出b的值，根据k、b的值即可判断一次函数的图象经过的象限．
本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．6.【答案】C
【解析】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=30°，
∵AC=6，
∴CD=AC，
又AC=6，
∴CD=2，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=2，
故选：C．
作DE⊥AB于E，根据角平分线的定义得到∠CAD=30°，根据直角三角形的性质得到
CD=5，根据角平分线的性质得到答案．
本题考查的是角平分线的性质和直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE平分∠BED，
∴∠AEB=∠AED，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
在Rt△DCE中，CD═3，
∴CE==
∴BE=BC-CE=4-，
故选：D．
由已知条件和矩形的性质易证△ADE是等腰三角形，所以AD=DE=4，在直角三角形DEC
中利用勾股定理可求出CE的长，进而可求出BE的长．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证明AD=DE 是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE，
∴△ABE∽△FDA，
∴图中相似三角形有5对．
故选：B．
根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG 相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．
9.【答案】B
【解析】解：连接OD、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE=BC，
∴∠DBC=∠CEB=45°，
∴的度数为90°，
∴∠DOC=90°，
∴S阴影=S扇形-S△ODC=-×3×3=-．
故选：B．
连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB，进而得出∠DBC=∠A+∠ABD，从而求得+=，得出∠DOC=90°，根据S阴影=S扇形-S△ODC即可求得．
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积等，有一定的难点，求得∠DOC=90°是本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：令x=0，则y=-2，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，-2），
∵抛物线y=ax2+bx-2与y轴交于负半轴，且与x轴没有交点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x==-1．
∵|-1-（-2）|＜|1+1|＜|+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
由题意可知抛物线开口向下，对称轴为x==-1，然后根据点A（-2、y1）、B（-3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11.【答案】π
【解析】解：∵π＞＞0＞-＞-3，
∴在实数-3，0，π，-，中，最大的一个数是π．
故答案为：π．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12.【答案】18
【解析】解：如图所示：过点A作AE⊥DC于点E，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴∠D=60°，AB=AD=DC=4cm，
∴AE=AD•sin60°=3，
∴菱形ABCD的面积S=AE×DC=6×3=18，
故答案为：18．
根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出AE的长，即可得出菱形的面积．
此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出AE的长是解题关键．
13.【答案】y=
【解析】解：∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，A（1，m），C（3，m+6），
∴B（1，m+6）、D（3，m），
∵B、D在反比例函数图象上，
∴1×（m+6）=3m，
解得：m=3，
∴B（1，9），
故反比例函数表达式为：y=．
故答案为：y=．
根据矩形的性质得出B点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确得出B点坐标是解题关键．14.【答案】8-8
【解析】解：如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，
AD旋转至AB处，
∵AC=AP，∠CAP=60°，
∴△APC为等边三角形
∴AP=CP=AC=4，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABC+S△ABP=S△APC-S△BPC，
∵∠BCD=30°，
∴∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC，
=360°-∠ADC-∠ABC，
=∠BAD+∠BCD，
=60°+30°，
=90°，
∴点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．
连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，
∴S△CPB的最大值为×4×2=8，
∵S△APC=×4×4sin60°=8，
∴S四边形ABCD的最小值=S△APC-S△CBP的最大值=8-8．
故答案为：
将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，易得△APC为等边三角形，可得AP=CP=AC=2，易得S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABC+S△ABP=S△APC-S△BPC，由已知条件可得∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC，所以点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，分析知当S△CPB的最大值，四边形ABCD面积的最小，即可得出结论．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质以及多边形面积的求法，作出辅助线，利用旋转的性质是解答此题的关键．
15.【答案】解：原式=3-×（-8）+3-2-1，
=3+1+3-2-1，
=+3．
【解析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、零次幂的性质、负整数指数幂的性质进行计算，再算加减即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16.【答案】解：原式=÷（-）+1
=•+1
=+
=
当x=1时，原式=4．
【解析】可先把分式化简，再把x的值代入计算求值．
此题考查了分式的化简求值，难度不大，主要考查了因式分解和分式的混合计算；注意代入求值时保证所有分母不能为0．
17.【答案】解：如图，作∠ADE=∠B，交AC于点E．
点E即为所求．
【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可在在△ABC的边上找一点E，使S△ADE：S△ABC=1：4．
本题考查了作图-复杂作图、三角形的面积，解决本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
18.【答案】证明：在矩形ABCD中
∵BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，AE=BC=AD，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB=DF．
【解析】根据矩形性质推出BC=AD=AE，AD∥BC，根据平行线性质推出∠DAE=∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA即可．
本题考查了平行线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和运用，关键是求出∠DAF=AEB和AE=AD，进一步推出△ABE≌△DFA．
19.【答案】40 25 5 6
【解析】解：（1）接受随机抽样调查的学生人数：12÷30%=40（人），
m%=10÷40×100%=25%，
则m=25，
故答案为：40；25；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是5小时，中位数是6小时，
故答案为：5；6；
（3）1800×=540（人），
答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数为540人．
（1）利用课外阅读时间为5小时的人数除以所占百分比可得本次接受随机抽样调查的学生人数，然后再求m的值即可；
（2）根据众数和中位数定义可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：（1）如图，
过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF+FC=x+25，
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，
tan22°=，
则=，
解得：x=20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．
在Rt△AME中，cos22°=．
∴AE=，
即A、E之间的距离约为48m
【解析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可
此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键
21.【答案】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤20时，y=2x，
当x＞20时，y=20×2+（x-20）×2.6=2.6x-12，
由上可得，y=；
（2）∵x=20时，y=40，
∴令30=2x，得x=15，
令34=2x，得x=17，
令47.8=2.6x-12，得x=23，
即四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米，
15+17+23=55（立方米），
答：小明家这个季度共用水55立方米．
【解析】（1）根据题意，可以写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据，可以求得四月、五月和六月的用水量，从而
可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】解：（1）∵标有数字“1”的扇形的圆心角为120°，
∴转出的数字是1的概率是=；
2
-2-21133
-2-4-4-1-111
-2-4-4-1-111
1-1-12244
1-1-12244
3114466
3114466
由表可知共有种等可能结果，其中两次分别转出的数字之和为正数的有24种，
则两次分别转出的数字之和为正数的概率是=．
【解析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之和为正数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：（1）证明：连接OF，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠FGB=90°，
∴FG⊥AB；
（2）解：连接DF，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=AB=5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF=BC=4，
∴DF==3，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，
∴FG==．
【解析】（1）连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B=90°，即可得到FG⊥AB；（2）连接DF，先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，利用面积法即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
24.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（4，0）
∴
解得，
∴抛物线解析式为：y=x2-3x-4；
（2）∵抛物线y=x2-3x-4与y轴交于点C，
∴点C（0，-4），
∴OC=4，
设点D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，
∴×OB×y=OB×4，
∴y=4，
∴点D（0，4）
（3）∵OB=OC=4，
∴∠OCB=45°，
∵点D关于直线BC的对称点为D′．
∴∠DCB=∠D'CB=45°，CD=CD'，
∴∠DCD'=90°，
∴CD'∥OB，
∴点D'的纵坐标为-4，
∴-4=x2-3x-4，
∴x1=0（舍去），x2=3，
∴CD=CD'=3，
∴点D（0，-1）
（4）若点D在点C上方，如图1，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD'=90°，CD=CD'，
∴∠CDD'=45°，
∵∠D'DP=90°
∴∠HDP=45°，且PH⊥y轴，
∴∠HDP=∠HPD=45°，
∴HP=HD，
∵∠CDD'=∠HDP，∠PHD=∠DCD'=90°，DP=DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD=CD'=HD=HP，
设CD=CD'=HD=HP=a，
∴点P（a，-4+2a）
∴a2-3a-4=-4+2a，
∴a=5，a=0（不合题意舍去），
∴点P（5，6）
若点D在点C下方，如图2，
∵DD'=DP，∠DCD'=90°，
∴CD=CP，∠DCP=∠COB，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为-4，
∴-4=x2-3x-4，
∴x1=0（舍去），x2=3，
∴点P（3，-4）
综上所述：点P（5，6）或（3，-4）．
【解析】（1）由待定系数法可求解析式；
（2）由三角形面积关系可求点D坐标；
（3）由对称性可求∠DCD'=90°，可得CD'∥OB，可得点D'的纵坐标为-4，代入解析式可
求点D'坐标，可得CD'=CD=3，可求点D坐标；
（4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求点坐标．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数，三角形的面积求法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
25.【答案】解：（1）问题背景：
如图1，设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，
则∠CA′B＞∠P，
而∠CA′B=∠CAB，
∴∠BPC＜∠BAC；
（2）问题解决：
如图2，过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，
∵x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，
∴∠APB最大，即cos∠APB最小，
由点B、A的坐标，根据中点公式得，点C的纵坐标为（2+4）=3，
设点P（x，0），则点C（x，3），
∵点P、B都是圆上的点，
∴CB=CP，
∴x2+（4-1）2=32，解得：x=±2（舍去负值），
故点P的坐标为：（2，0）；
（3）拓展应用：
过点B作BH⊥CD于点H，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM到点N使MN=AM，
过点N作DE的平行线l，过点F作FG⊥l于点G，FG交DE于点Q，以AB为直径作⊙F 交直线l于点P′，
在梯形ABCD中，AB=8，CD=11，则CH=11-8=3，
∵tan C===2，解得：BH=6=AD=AE，
在等腰直角三角形ADE中，S△ADE=×AD×AE=18，
∵MN=AM，
∴S△DEN=S△ADE=9，
∵直线l∥DE，
∴S△P′ED=S△DEN=9=S△DEP，
∴从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合，
∵FG⊥l，而直线l∥DE，
∴GF⊥DE，
而∠AEB=45°，
故△EFQ为等腰直角三角形，
∵BE=AB-AE=8-6=2，
∴EF=BF-BE=4-2-2，则FQ=EF=，
∴FG=EQ+QG=MN+QG=AM+=3+=＜BF，
∴⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
故sin∠APB的最大值为1．
【解析】（1）问题背景：设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，由外角的知识即可求解；
（2）问题解决：过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，即可求解；
（3）拓展应用：求出S△ADE=×AD×AE=18，而S△P′ED=S△DEN=9=S△DEP，从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合；由FG=EQ+QG=＜BF，则⊙F与直线l
有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，即可求解．
此题属于圆的综合题，涉及了梯形和等腰直角三角形的性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注
意将所学知识贯穿起来．。