北京工业大学高数上第二章习题课PPT课件
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
《高等应用数学》课件第2章 极限与连续
定义 6 设函数 f (x) 在 x0 某个左（或右）邻域内有定义，若 x 从 x0 的左（右）侧无限趋近于 x0（记作 x x0 或 x x0 ）时，函数 f (x) 无限趋近于确定的常数 A，则称 A 为函数 f (x) 在点 x0 处的左（右）极限，记作
lim
x x0
f (x)
A或
f
(x)
A(x
x0 ) ，
lim
x x0
f
(x)
A或
f
(x)
A(x
x0 )
．
1.2 函数的极限 3.左右极限
x 1， x 0，
例 5 设函数 f (x) 0， x 0，讨论其在点 x 0 处的左、右极限以及当 x 0 时的极限．
x 1， x 0，
解 由函数图形（见图 2-6）可知
lim f (x) lim(x 1) 1， lim f (x) lim(x 1) 1．
引例 4 说明：当自变量 x 无限趋近于 x0 时， f (x) 无限趋近于
某个确定的常数 A 与函数 f (x) 在 x x0 处是否有定义无关．
表 2-2
图2-5
1.2 函数的极限 2.当x→x0 时的极限
定义 5 设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域（点 x0 可以除外）内有定义，A 为确定的常数，若当 x x0（但 x x0 ）时，对应的函数值 f (x) 无限趋近于确定的常数 A，则称 A 是函数 f (x) 当 x x0 时的极限，记作
例 2 根据函数图形，考察 y 1 1 当 x 时的极限． x
解 作出函数 y 1 1 的图形（见图 2-1），可以看到， x
当 x 无限增大时，函数 y 1 1 无限趋近于常数 1，所以 x
高等数学上2_课件1.ppt
FFn1
1, F2 Fn1
1 Fn2
,
n2
写出来为
1，1，2，3，5，8，13，….
例 2.3
bn
Fn Fn1
1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , . 2 3 5 8 13 21
bn 是按“大—小—大—小…”依次交错排列的，这
样的数列称振荡数列.显然 bn 是有界的，非单调的.
2
等来代替.
2.1.2 数列极限的概念
●关于数列极限的 N 定义，通过以上几个例子，读 者已有初步认识，再作以下几点注释以便加强.
（2） N 的相应性 一般地， N 随 的变小而变大，
因此有时为强调 N 是依赖 的，也把 N 写作 N ( ) .但这并
不意味 N 是由 唯一确定的.比如对给定的 ，当 N 100 时， n N 便有 xn a 成立，则取 N 101或更大时， n N 时必有 xn a .求 N 的目的在于证实 N 的存在
的项的值随 n 增大而增大，且无限增大. ●若当 n 无限增大时， xn 无限趋向于常数 a ，则说，
当 n 趋于无穷大时，xn 以 a 为极限.
记作
lim
n
xn
a
或
x
a
, (n
)
2.1.2 数列极限的概念
●做定量分析
1n
对例 2.4 中 xn f (n) 1 n
n N 随 n 无限增
大而无限接近 1 的过程做定量分析：
n
它是一个有界的
xn
≤
3
2 振荡数列，图像如图
2.2.
我们会发现，随着 n 的无限增大， xn 以 1 为平衡位置振
荡，而振幅越来越小，并且可以任意的小，即 xn 无限接
高等数学上2_课件2.ppt
达标后的函数值：
f (x) A
2.2.2 x趋于有限值x0时函数的极限
●至此，我们用 N ”、“ X ”、“ ” 的语言定 义了七种极限, 下面将列表类比对照.
极限形式： 接近程度指标：
lim f (x) A
x
实现时刻：
X
实现时刻后的自变量： x X
达标后的函数值：
f (x) A
定义 2.2
＊在定义 2.2 中， 将“ f (x) 在 b, 上有定义”换作 “ f (x) 在 , a上有定义；将“ x X ”换作“ x X ”
lim
x
f
(x)
A或
f
(x)
A(x
)
.
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
定义 2.3 设 f (x) 在 , a b, (a ≤b) 上有定义，A
推 论 若 在 x0 的 某 去 心 邻 域 内 f (x) ≥ 0 （ 或
f
(
x)
≤
0
）且
lim
xx0
f
(x)
A ，则 A≥0 （ A≤0 ）.
2.2.3 函数极限的性质
● 在 2.2.1，2.2.2 中我们共列举了六种类型的极限：
（1）
lim
x
f
(x) ；
（2）
lim
x
f
(x) ；
（3）
lim
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 趋向于无穷大有下面三种方式： x ，表示 x 沿 x 轴无限向右推进，趋于正无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向左推进，趋于负无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向任何一方推进，即 x 趋于 .
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数习题2.2》74PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
授课教师：林加才 班级：高一（1）
时间：2014年10月22日
函数：y=log2x，y=log3x，
y log1 x
2
y log1 x
3
表达式的共同点：
解析式是对数式，真数是单自变 量，函数值是对数。
1、对数函数的定义：
一般地，我们把函数 y log a x（a＞0且a≠1） 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义 域是（0，+∞）,值域是(-∞,+∞). 注意： ① 对数函数对底数的限制;
A.(1,2)B.1,2C.2,D. ,2
训练1：教材P73练习2 训练2:求下列函数的定义域:
(1)
1 y lg(1 x) 1 x
2
(2)
1 y ln(x 1) x2
2
(3) y x 9 log2 ( x 4) (4) y log1 ( x 4 x 5)
2
(2) y loga (4 x)
(3) y loga (9 x 2 ) (4) y log( 2 x 1) (3 x 2)
解:(1)由x2>0得x≠ 0,∴函数y=logax2的 定义域是{x|x≠0}. (2)由4-x>0,得x<4,∴函数y=loga(4-x) 的定义域是{x|x<4}.
3x lg(3x 1) 例3(1)函数 f ( x) 1 x 的定义域是
2
__B___ 1 1 1 1 1 A.( , ) B.( ,1)C.( , ) D.( , ) 3 3 3 3 3
（2）函数 f ( x) log 1 ( x 1) 2 的定义域是 __B___
大一高数课件第二章2-2-1共19页PPT资料
x
y 3 ( 1 2 x 2 3 5 x lo 0 .1 x g1 x 5 x l5 n lo 0 .1 x g 1 x 5 xx l1 0 n .1 )
(3 )[u v ( (x x ) )] u (x )v (x v )2 (x u )(x )v (x ) (v (x ) 0 ).
3x2 y
(1 x 2 )2
18
5 、 ( a ) x ( b ) a ( x ) b (ln a a b ) . bxa b x
三 、 ( b , b 2 4 ac ) . 四 、 2 x 2a y 2 4 a0 和 2 x y 2 0 .
谢谢！
ch2x
例6 设 f(x ) ln 1 x ,( x ),x x 0 0,求 f(x ).
解 当x0时, f(x)(x)1,
当x0时,
f(x)ln1(x)
1
1
x
,
f(0) lx i0m f(0xx )f(0)
当x0时, f(0)lx im 0(0 x x)0 1,
f (0)lx i0 m ln 1[(0 xx) ]0 1,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6
3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为
y
4
6 9
和
y
4 6 9
练习题
一、 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________.
x
dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
高等数学(第二版)上册课件：函数
如图所示
y
1
o
x
-1
(3) 取整函数
y
[
x]，其中[
x
]表示不超过
x
的最大整数。如：
1 5
1，
0 0， 3 1 等等，该函数的定义域 Df (， )，值
域 Rf {整数}, 如图所示
y
4321
-4 -3 -2 -1 -o11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
(4) 最大最小值函数
y max{ f (x), g(x)}
所以函数关系式为：
y
30
x, 2
0 (x
x 30 30), x
0.
该函数是一个分段函数，其图像如图所示：
Y
30
O
x 30
小结
1. 基本概念: 区间, 邻域
2. 函数的概念 3. 函数的特性
有界性
单调性 奇偶性
周期性
4. 反函数, 复合函数
5. 基本初等函数，初等函数 6. 建立函数关系式
2 . 函数 y f (x)，x D 的反函数 x f 1( y), y f (D) 按习惯记法可改为：y f 1(x), x f (D).
如 求 y 2x 3的反函数.
由 y 2x 3 得 x y3 2
所以, y 2x 3的反函数是 y x3 2
定理1.1 (反函数存在定理) 单调函数 y f x 必存在单调的
设函 y f (x) 的定义域为 D , 如果存在一个正数 l, 使得对于任一 xD， x l D，有
f (x l) f (x)
则称 y f (x) 为周期函数， l 称为 f (x) 的周期.
注意 从定义看周期函数的周期不唯一. 通常我们说的周 期指的是最小正周期.
《高等数学第二章》课件
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
大一高数上 PPT课件 第二章
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
高等数学第二版(上)2-1精品课件
注: f ( x0 ) f ( x )
x x0
.
4、利用定义求函数的导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
y f ( x0 x ) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x y (3) 求极限 f ( x0 ) lim . x 0 x
例1 设 f ( x ) c，求 f ( x0 ). 解
(1) y c c 0
(3) f ( x 0 ) lim 0 0
函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右导 结论： 数 f ( x 0 ) 都存在且相等 .
3、导函数 对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的
导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
平均速度
s s(t0 t ) s (t0 ) v t t
当 t 0时, 取极限得瞬时速度
s
o
t0
t0 t
s
s s (t0 t ) s (t0 ) v (t0 ) lim lim t 0 t t 0 t
例2 曲线的切线斜率
如图所示，在曲线上任取两点M,N,作割线MN. 让N沿着曲线趋向M，割线MN的极限位置MT就称为 曲线在点M处的切线.
sin( x x ) sin x x x x sin 2 cos x. limcos( x ) x 0 x 2 2 (sin x ) cos x .
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课《高等数学》(北大第二版)课件《高等数学》(北大第二版)课件一、学习本章的主要要求是：学习本章的主要要求是：(1)掌握导数、微分(及高阶导数)的定义，它们的联系与区别及几何意义，会用定义求导数、微分及高阶导数. (2) 熟练地掌握计算导数与导函数、微分及高阶导数的各种方法，并善于运用相应公式、法则和方法熟练地进行计算；(3)会用微分进行近似计算并估计误差. 二、综合例题f ( x) 处连续，存在，证明f(x)在x=0处可导处可导. 例1 设f(x)在x=0处连续，且lim 在处连续存在，证明在处可导x →0f ( x ) f (0) lim x →0 x 0x 存在，故只要证f(0)=0. 分析需证证设lim f ( x) = A, 则lim f ( x) = lim x f ( x) = 0 A = 0, x →0 x →0 x →0 x x 因为f(x)在x=0处连续，所以f (0) = lim f ( x) = 0. x→0 f ( x ) f ( 0) f ( x) f ′(0) = lim = lim = A 存在，即f(x)在x=0处可导. 故x →0 x→0 x 0 x《高等数学》(北大第二版)课件例2 设f(u)的一阶导数存在，求1 r r lim [ f (t + ) f (t )] r →0 r a r a r f (t + ) f (t ) + f (t ) f (t ) a a 解原式= lim r →0 r r r [ f (t + ) f (t )] [ f (t ) f (t )] 1 1 a a 令r =h = lim + lim r r r r a →0 a →0 a a a a a1 f (t + h) f (t ) 1 f (t ) f (t h) = lim + lim h →0 a h a h →0 h 1 f (t + h) f (t ) 1 f (t h) f (t ) = lim + lim h →0 a h a h →0 hh = x1 12 = f ′(t ) + f ′(t ) = f ′(t ) a a a《高等数学》(北大第二版)课件例3 已知y = xln(x + 1 + x 2 ) 1 + x 2解′( ′ y′ = xln(x + 1 + x 2 )) 1 + x 2) (求y′.x 1+ x2 = ln(1 + 1 + x ) + x. x + 1+ x2 1+ x221+x= ln( 1 + 1 + x ) +2x 1+ x2x 1+ x2= ln( 1 + 1 + x 2 )例4 求y = 解x x x 的导数 .y= x1 1 1 + +2 4 8= x , 所以27 87 8 7 ′= x = y . 8 8 8 x1练习: y = ln1 1+ x, 求y ′.《高等数学》(北大第二版)课件例5设y =a1 x 3x log b14arctan x 2 ( a 0 , b 0 ), 求y ′.1 1 1 x ∵ ln y = ln a + ln log b x + ln arctan x2 , 解2 6 24 1 1 1 ln y = ln a + (ln ln x ln ln b ) + ln arctan x 2 , 2x 6 24 对上式两边求导,得ln a 1 x ′ = y[ y + + ] 2 4 2 2x 6 x ln x 12 (1 + x ) arctan x1 = 2a1 x 3x log b4arctan x 2x 1 ln a [ 2 + ]. 4 2 x 3 x ln x 6 (1 + x ) arctan x《高等数学》(北大第二版)课件例6 设y = y ( x) 由方程e xy + tg ( xy ) = y 确定，求y′(0)解由方程知当x = 0 时y = 1.对方程两变求导：1 e ( y + xy ′) + ( y + xy ′) = y ′2 cos ( xy ) 1 0 1 e (1 + 0 y′(0)) + (1 + 0 y ′(0)) = y ′(0) 2 cos (0)xy故y ′(0) = 2例7 已知xy = e x + y 求y′′解将方程两边对x求导，得y + xy′ = e x + y (1 + y′)(A)y + xy′ = e x + y + y′e x + y再将(B)两边对x求导,得(B)y - ex+y y′ = x + y e x(C)y′ + y′ + xy′′ = e x + y (1 + y′) + y′′e x + y + y′e x + y (1 + y′)《高等数学》(北大第二版)课件e x + y (1 + y′) 2 2 y′ y′′ = x e x+ yy - ex+y 其中y′ = x + y e x.x = ln(1 + t2 ), 例7 已知求y′, y′′, y′′′. y = t arctan t. 1 1 (t - arctant)′ 1+ t2 = t , 解y′ = = 2 2t 2 (ln(1 + t )′ 1+ t2 t ( )′ 1+ t 2 2 y′′ = = , 2 ′ (ln(1 + t )) 4t1+ t 2 ( )′ t 4 1 4t y′′′ = = 3 . (ln(1 + t 2 ))′ 8t《高等数学》(北大第二版)课件例8 设y = f 2 ( x) + f ( x 2 ), 其中f ( x)具有二阶导数, 求y′′. 解y′ = 2 f ( x) f ′( x) + f ′( x 2 )2 x. y′′ = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 2 xf ′′( x 2 ) 2 x = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 ).例9 求下列函数的n 阶导数y ( n ) ( n 3). x4 1 (1) y = ; (2) y = 2 . 2 1 x x ax4 1+1 1 y= = ( x 3 + x 2 + x + 1) 1 x 1 x n! (n) . 当n 3时, y = n +1 (1 x) 1 ( 2) y = 2 (练习). 2 x a解(1)《高等数学》(北大第二版)课件例10 求由方程先求微分，易得导数] 解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为y ln x + y = arctan 所确定的隐函数的导数和微分. x2 22 2d ln x + y ==1 x +y2 2d x + y =2 21 x +y2 2d (x2 + y2 ) 2 x2 + y21 x2 + y22 xdx + 2 ydy 2 x2 + y2=而xdx + ydy , 2 2 x +yy 1 xdy ydx xdy ydx d arctan = = 2 x 1 + ( y )2 x2 x + y2 x∴xdx + ydy xdy ydx = 2 2 2 x +y x + y2∴x+ y dy = dx, x y∴dy x + y y′ = = . dx x y《高等数学》(北大第二版)课件a xb a x b 例11 设f(x) 可导, 求y = f (sin x ) + ( ) ( ) ( ) .的导数, b x a a 其中, a 0, b 0, ≠ 1, x ≠ 0. b a x b a x b 2 解记y1 = f (sin x ) , y2 = ( ) ( ) ( ) , b x a ′ 则y1 = f ′(sin 2 x ) 2 sin x cos x = sin 2 x f (sin 2 x ).2ln y 2 = x (ln a ln b ) + a (ln b ln x ) + b (ln x ln a ),a xb a x b a b a a b ′ ). ∴ y 2 = y 2 [(ln a ln b ) + ] = ( ) ( ) ( ) (ln + b x a b x x x 例12 设y = (ln x ) x x ln x , 求y ′. ln y = x ln(ln x ) + (ln x ) 2 , 解两边取对数, 两边关于x求导1 y ′ = ln(ln x ) + 1 + 2 ln x , y ln x x 1 2 ln x x ln x y ′ = (ln x ) x [ln(ln x ) + ∴ + ]. ln x x练习：设( cosx) y = (sin y ) x求y′《高等数学》(北大第二版)课件例13 解dy 已知y = a + x , a 0为常数, (a ≠ 1), 求 . dx arctan x 2 sin x 设y1 = a , y2 = x .arctan x 2 sin x)′ = ln a a (arctan x 2 )′ 1 arctan x 2 2 ′ = ln a a arctan x 2 2 x . = ln a a (x ) 4 1+ x 1+ x4 对y2 = x sin x两边取对数，得ln y2 = sin x ln x 1 sin x ′ y2 = cos x ln x + , 两边对x求导，得x y2 sin x sin x ′ y2 = x (cos x ln x + ). xarctan x 2arctan x 2′ y1 = (a《高等数学》(北大第二版)课件2 - x, 1 x +∞, 2 例13 设f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1, x 3 , - ∞ x 0. 解第一步，在各开区间内分别求导：1, 1 x f ′( x) = 2x, 0 x 1, 3x 2 , - ∞ x 0.求f ′ (x).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为x = 0,1f (0 + x) f (0) ( x) 2 0 f +′ (0) = lim+ = lim+ =0 x →0 x →0 x x 《高等数学》(北大第二版)课件f (0 + x)f (0) ( x)3 0 f ′ (0) = lim = lim = 0, ∴ f ′(0) = 0 x →0 x →0 x xf (1 + x) f (1) 2 (1 + x) 12 x = lim+ = lim+ = 1 f +′ (1) = lim+ x → 0 x → 0 x → 0 x x xf (1 + x) f (1) (1 + x) 2 12 2 x + ( x) 2 = lim = lim =3 f ′ (1) = lim x → 0 x →0 x → 0 x x x∴ f(x)在x = 1的导数不存在1, 1 x +∞, 故f ( x) = 2x, 0 ≤ x 1, 3x 2 , - ∞ x 0.在x = 1 处f(x)不可导.x ≤ c, sinx, 例14 设f(x) = c 为常数ax + b , x c.试确定a, b的值，使f ′(c) 存在.《高等数学》(北大第二版)课件解因为f ′ (c) 存在，所以f(x) 在c处连续.x →clim- f ( x) = lim- sin x = sin cx →c x →cx →clim+ f ( x) = lim+ (ax + b) = ac + bf ′ (c) = lim∴ sinc = ac + b (1)因为f(x) 在c处可导，sin x sin c f ( x ) f (c ) = lim x →c x →c x c x c x c x c x+c sin 2 sin cos 2 cos x + c = cos c. 2 2 = lim = lim x →c x c x →c 2 x c 2 f ( x ) f (c ) ax + b sin c ax + b (ac + b) = a.f +′ (c) = lim = lim = lim + + + x →c x →c x →c x c x c x c所以，cosc = a (2) 解(1), ( 2) 得，= cosc , b = sinc - ccosc. a《高等数学》(北大第二版)课件x2, x ≤ 1, 习题2-1 15. 设f(x) = ax + b , x 1. 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(x)在x=1处连续，因为x →1lim f ( x) = lim x 2 = 1, x →1x →1x →1lim (ax + b) = a + b, +应有lim f ( x) = lim f ( x) = f (1) +x →1即a+b=1(1)要使f(x)在x=1处可导，因为(1 + x) 2 12 2 x + ( x) 2 f (1 +x) f (1) = lim = 2, f ′ (1) =lim = lim x →1 x →1 x →1 x x x代a + b =1a (1 + x) +b 12 f (1 + x) f (1) a x f +′ (1) = lim = lim = lim = a, + + + x →1 x →1 x →1 x x x应有a=2,代入(1)式得b=-1.《高等数学》(北大第二版)课件6. 假定f ′( x0 )存在，指出下式A表示什么？f ( x) = A, 其中f (0) = 0, 且f ′(0)存在；x →0 x f ( x0 + h) f ( x0 h) (3) lim = A. h→0 h 解(2) ∵ lim f ( x) = lim f ( x) f (0) = f ( x0 ), x →0 x →0 x 0 x (2) lim∴ A = f ( x0 ).(3) ∵ limh →0f ( x0 + h) f ( x0 ) + f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 + h) f ( x0 h) = lim h →0 h h f ( x0 + h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h) + lim h →0 h h = limh →0f ( x0 h) f ( x0 ) 令h = x = f ′( x0 ) + lim ======== f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 ), h →0 h∴ A = 2 f ′( x0 ).《高等数学》(北大第二版)课件9 .如果f ( x)为偶函数，且f ′(0)存在，证明f ′(0) = 0.证f ( x) f ( x0 ) f ( x) f (0) f ( x) f (0) ′( x0 ) = lim (f ) f ′(0) = lim = lim x → x0 x →0 x →0 x x0 x 0 x 0f ( x) f (0) (令x = y ) f ( y ) f (0) = f ′(0) = lim ========== lim x →0 x 0 y →0 y 0∴ 2 f ′(0) = 0,f′(0) = 0.1 例16 设f (t ) = lim t (1 + ) 2tx ,求f ′(t ). x →∞ x 1 x 2t 1 2tx 解lim t (1 + ) = lim t[(1 + ) ] = t e 2t x →∞ x →∞ x xf ′(t )= (t e 2t )′ = (2t + 1)e 2t .《高等数学》(北大第二版)课件1 2 x sin , x ≠ 0; 例15 求f(x) = x 0, x=0一阶导数和二阶导数.1 1 解当x ≠ 0时, f ′( x) =2 x sin cos , x x 1 2 1 1 1 f ′′( x ) = 2 sin cos 2 sin . x x x x x当x=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f (0 + x) f (0) = lim f ( x ) f ′(0) = lim x → 0 x → 0 x x= lim由于x 2 sinx → 01 x = lim x sin 1 = 0; x → 0 x x1 lim f ′( x) = lim(2 x sin 1 cos 1 ) = lim cos x →0x →0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f ′(x ) 在x=0 处不连续是振荡间断点所以f ′(x ) 在x=0不可导即极限不可导 f ′′(0) 不存在不存在.xxx→0x《高等数学》(北大第二版)课件1 g(x)cos , x ≠ 0, 例16 设f(x) = x 0, x = 0.且g(0) = g′(0) = 0 试问：(1) lim f ( x);x →0(2) f(x) 在x = 0处是否连续？(3) f(x) 在x = 0处是否可导？若可导，f ′(0) = ?解(1 lim f ( x) = lim g ( x) cos ) 1 =0 x →0 x →0 x 1 ( ∵ lim g(x) = g(0) = 0; cos 为有界函数) x →0 __ →0(2) ∵ lim f ( x) = 0 = f (0)∵ f(x)在x = 0 处连续.1 1 g ( x ) cos 0 g ( x) cos x x =0 lim (3) f ′(0) = lim x →0 x →0 x 0 x1 g ( x ) g ( 0) g ( x) ( ∵ g′ (0) = lim = lim = 0, cos 有界) x →0 x →0 x 0 x x。
《高等数学(上册)》 第二章
它们在数量关系上的共性，从而引入导数的概念．
2.1.2 导数的定义
1．函数在一点处的导数
定义 1 设函数 y f (x) 在 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 取得
改 变 量 x （ x0 x 仍 在 该 邻 域 内 ， 且 x 0 ） 时 ， 相 应 有 函 数 的 改 变 量
形下，仍简称为导数，记为 y ， f (x) ， dy ， df (x) ，即 dx dx
f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
如果函数 f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导，且 f(a) ， f(b) 都存在，我们称 f (x) 在闭区间[a ，b] 上可导．
极限位置 MT ，则称 MT 为曲线 C 在点 M (x0 ，y0 ) 处的切线．这个定义包含了中学
数学圆的切线定义．
2.1.1 导数产生的背景
下面我们求曲线 C : y f (x) 在点 M (x0 ，y0 ) 处切线的斜率 k ．如果 y f (x) 的
图像是直线，那么只要在直线上取定两点，这两点的纵坐标之差 y 与横坐标之差 x 的比值 y 就是直线的斜率．但现在 y f (x) 的图像是曲线，遇到了直与曲的
微分学内容由导数、微分及其应用组成，导数与微分是它的两个根 本概念．
本章主要介绍导数和微分的概念及其计算方法．导数的应用将在下 一章中研究．
2.1.1 导数产生的背景
为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题 和切线问题．这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系．
例 1 求变速直线运动物体的瞬时速度． 设 某 物 体 做 变 速 直 线 运 动 ， 在 [t1 ，t2 ] 时 间 内 运 动 的 路 程 为 s(t) (t [t1 ，t2 ]) ，求物体在时间 t0 [t1 ，t2 ] 的瞬时速度 v v(t0 ) ． 如果质点做匀速直线运动，那么按照公式
大一高数课件第二章
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
大专高等数学第二章PPT
05
积分
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上的积分和的极限。
定积分的几何意义
定积分的值可以理解为曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面 积。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、不等式性质等。
定积分的运算
不定积分与原函数
01
不定积分是求一个函数的原函数的过程，原函数可以用来计算
04
导数的应用
函数的单调性
判断单调性
通过求导数并分析导数的正负，可以 判断函数的单调性。如果导数大于0， 函数单调递增；如果导数小于0，函 数单调递减。
单调性的应用
单调性在经济学、物理学等领域有广 泛应用，如分析商品价格与需求量之 间的关系、研究物体运动规律等。
函数的极值
极值的定义
函数在其定义域内某点的函数值大于或小于 其邻近点的函数值，则称该点为函数的极值 点，该点的函数值为极值。
微分的概念与运算
微分的概念与运算
微分是导数的几何意义，表示函数在某一点附近的小 变化量。微分的运算包括微分的四则运算法则和复合 函数的微分法则。微分的四则运算法则包括加法法则 、减法法则、乘法法则和除法法则，这些法则可以用 来计算函数的微分。复合函数的微分法则则是通过将 复合函数分解为基本函数，然后对每个基本函数求微 分，再根据复合函数的定义进行微分。
极值的求法
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极 值点。然后通过判断该点左右两侧导数的符 号变化，确定是否为极值点。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性的定义
在曲线上任取两点，如果连接这两点的线段始终位于 这两点之间的曲线上方或下方，则称该曲线为凹曲线 或凸曲线。
拐点的求法
第二章《高等数学(上册)》课件
f (x) 或 y 或 df (x) 或 dy
dx
dx
在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数．
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
（2）算比值 （3）取极限
y f (x x) f (x)
x
x
y lim y x0 x
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
2．左、右导数
既然导数是比值 y 当x 0 时的极限，那么下面两个极
限
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
例2 求抛物线y=x2在点(1，1)处的切线方程和法线方程． 解 因为 y (x2 ) 2x，由导数的几何意义可知，曲线y=x2
大专-高等数学--第二章-PPT
定义１ 设函数 f (x) 在 x0 的某一空心邻域N (xˆ0 , )
内有定义，如果当自变量 x 在N (xˆ0 , ) 内无限接近于 x0
时，相应的函数值无限接近于常数 A ，则 A 为x x0 时
函数
f
( x) 的极限，记作lim xx0
f
(x)
A或
f
(x)
A( x
x0 ) ．
２． x x0 时函数 f (x)的极限
x
定理 2 lim f (x) A的充要条件是 x
lim f (x)= lim f (x) A．
x
x
例 3 由图 5 可知： lim 1 0 ； lim 1 0 ．
x x
x x
由图 6 可知 lim ex 0 ． x
y y ex
y
y
1 x
O
x
O
x
图5
图6
二、数列的极限
1． 数列的概念
设自变量为正整数的函数un f (n)(n 1,2,)，其 函数值按自变量 n 由小到大排列成一列数
6． x 时函数 f (x)的极限
定义 6 设函数 f (x)在(, a)内有定义( a为某个 实数)，当自变量无限变小(或 x 无限变大)时，相应的 函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为 x 时函 数 f (x)的极限，记 lim f (x) A或 f (x) A(x )．
定理 3 (单调有界原理) 单调有界数列必有极限．
三、极限的性质
性质 性质 1 (惟一性) 则A B.
若 lim f (x) A， lim f (x) B，
xx0
xx0
性质 2
(有界性)
若 lim xx0
工学高数上总复习PPT课件
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡, 称 x0为振荡间断点 .
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3.理解闭区间上连续函数的性质 （1）有界性与最大值最小值定理 （2）零点定理与介值定理
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第二章 导数与微分
一、导数与微分的概念 1.导数的定义 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
)
方法： lim xa
f (x) F(x)
lim
xa
f ( x) F ( x)
A（或）
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若 lim f (x) F ( x)
可继续使用洛必达法则
但此时又要注意若出现循环形式就要 另谋他法了。
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例 计算下列极限
tan x sin x (1) lim
x0 x2 sin x
泰勒中值定理
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
1 n!
f
(n)( x0 )( x
x0 )n
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1 (n1)!
f (n1) ( )( x x0 )n1
2. 微分中值定理的主要应 用
(1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
(2) lim 2n sin x
n
2n
5x 4 x
(3) lim
x1
x 1
(4) lim xsin x x0
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三、连续
1.理解函数连续的定义；
设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x) 在 x0 连续.
函数 (1)
在点x0 连续必须具备下列条件:
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解 dx2dt, eydtte ydydy0,
ey
dy
tey
dt 1
dy
ey
ey
dx 2(tey 1) 2 y
18
例4 设函数 yf(x )由x方 y yx (程 x 0 ,y 0 )
所确定, 求
d d
2
x
y
2
.
解 两边取对数 1lny 1lnx, 即 yln yxln x,
2
按定义求导
基本公式
四则运算法则
求
导
数
方法 复合函
数求
导
反 函 数 求 导
隐 函 数, 参 数 方 程 求 导
对 数 求 导 法
高阶导数莱布尼兹公式
3
1、导数的定义
f(x0) lx i0m f(x0 x x )f(x0)
limf(x)f(x0).
xx0
xx0
左导数: f (x) lx i0 m f(x0 x x )f(x0)
适用于: 多个函数相乘和幂函数的情形.
返回 8
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导, 得到含有导数的线性方程, 再解出导数.
(6) 参变量函数的求导法则
若
方 xy程 ((tt))确
dy
定 y与x间
d d
的函
y
数 ,则 关
dy dx
dt dx
(t) ; (t)
d2y dx 2
dny dxn
或
dn f (x) dxn .
10
5、微分的定义
若函数 y f(x)的增量具有表达式 yA x o ( x ),
则yf(x)可微 ,相应的微分为 dyAdx.
微d 分 y叫做函数 y的增 线量 性 . 主部
(微分的实质)
返回 11
6、导数与微分的关系 定理 函 f(x 数 )在 x 0可 点 微 f (x)在
x
y
( 1 ly n ) y lx n 1 , y ln x 1
1 ln y
1(lny1)(lnx1)1yBiblioteka yxy (1lny)2
y(lny1)2x(lnx1)2
x(ylny1)3
19
例5 问a 何值时, 抛物线 yax2与曲y线 lnx
相切, 求出切点与切线方程. P79 9
解 由题意
ax 2 ln x ,
2 ax
1 x
.
解得 a 1 ,x e, 2e
切点为 e , 1 , 2
点x0 处可导 , 且Af(x0).
7、微分的求法
dyf(x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
返回 12
基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(taxn )s e2xcdx d(cox)tcs2xcdx
d(sx i)n coxd sx d (se x)c se xtca xd x n
d(arcxc)ot11x2dx
返回 14
8、 微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则
(1 )d (u v ) d u d v , (2)d(c)ucdu, (3 )d (u) vv d u u d v , (4)d(u v)vduv2udv.
微分形式的不变性
无论x 是自变量还是中间变量, yf(x)的 微分形式总是 dyf(x)dx.
(2) 反函数的求导法则
若函 x 数 (y)的反函 yf数 (x)则,为
f(x) 1 .
(x) 返回
7
(3) 复合函数的求导法则
设yf(u),u(x),则y f[(x)]的导数为
dy dy du 或 y (x )f(u )(x ).
dx du dx
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数, 再利用隐函数的求导 方法求导.
dx
dt dx
返回 dt
dt
9
4、高阶导数
(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 (f(x ))lim f(x x )f(x ),
x 0
x
记作
f(x)
,y,
d2y dx2
或d2 f(x) dx2
.
一般地, f(x)的n1阶导数的导数称为
f (x)的n阶 导 数 ,记 作
返回
f(n)(x),y(n),
解 ln yln x co xln sixn
y1six n ln six n coxc soxs
yx
six n
yx(sx i)c n o x s1 xsix n ln six n c so 2 ix x n s
17
例3 设 yy(x)由 方 t程 eyxy组 2 t 11 0所 确 , 定
第二章 导数与微分
习题课
1
导数
定义
左导f(数 x0),右 导数存在的充要条件
导f(数 x0)
几何意义
切 线k斜 f率 (x0)
可导性与连续性的关系
可 导连 续
微分
求微分 可导与
dyxx0 f(x0)dx
微分的关系
可
导 可
微
一阶微分形式不变性
dyf(u)du
返回 15
典型例题
例1 设 f ( x ) x ( x 1 )x ( 2 ) ( x 1) 求 0 ,f ( 0 0 ). 解 f(0)lim f(x)f(0)
x 0 x0 li(x m 1 )x ( 2 ) (x 1)00
x 0
10!0
16
例2 设 yx(sx i)n co x,s求 y.
d(cosx)sinxdx d (cx s) c cx sccx o d xt
返回 13
d(ax)axlnadx d(arcxs)in 1 dx 1x2
d(ex)exdx
d(arcxc) os 1 dx 1x2
d(loagx)xl1nadx d(arctxa)n11x2dx
d(l nx) 1dx x
右导数: f (x) lx i0 m f(x0 x x )f(x0)
f(x)在x0处可 导f(x0)存在且相. 等
返回 4
2、基本导数公式
（常数和基本初等函数的导数公式）
(C) 0 (six n)coxs (taxn)se2cx
(x)x1
(cox)ssix n (cox)tcs2x c
(sex)c sexctaxn(cs x)ccs xco xt
返回 5
(ax)axlna
(loagx)
1 xlna
(arcsxi)n 1 1x2
(arctxa)n11x2
(ex) ex (lnx) 1
x (arccx)os 1
1x2 (arccx)ot11x2
返回 6
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(1 )(u v) u v , (2)(c)u cu, (3 )(u)v u v u v , (4) (u v)uvv2uv.