考研数学真题点评矩阵的合同与相似
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同1. 矩阵相似矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系。
在讨论矩阵相似之前，我们先来回顾一下什么是矩阵。
1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形阵列，记作A=(a ij)m×n。
其中，a ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵相似的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP，则称矩阵A和B相似。
矩阵相似关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身相似，即A相似于A。
•对称性：如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。
•传递性：如果矩阵A与矩阵B相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似关系可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它保持了矩阵之间的某些性质不变。
2. 矩阵合同矩阵合同是另一种描述矩阵之间关系的概念。
与矩阵相似类似，矩阵合同也是通过一个可逆矩阵来表示两个矩阵之间的关系。
2.1 矩阵合同的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P T AP，则称矩阵A和B合同。
矩阵合同关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身合同，即A合同于A。
•对称性：如果矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。
•传递性：如果矩阵A与矩阵B合同，矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同关系也可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它同样保持了矩阵之间的某些性质不变。
3. 矩阵相似与矩阵合同的关系矩阵相似和矩阵合同都是描述矩阵之间关系的概念，它们之间的区别在于变换矩阵的不同。
对于矩阵相似，变换矩阵是可逆矩阵P，而对于矩阵合同，变换矩阵是可逆矩阵P的转置P T。
矩阵相似和矩阵合同之间的关系可以通过以下定理来描述：定理 1：设A为n阶矩阵，A与对角矩阵D相似，即存在可逆矩阵P，使得D=P−1AP。
则存在正交矩阵Q，使得D=Q T AQ，其中Q是P的标准正交化矩阵。
定理 2：设A为n阶矩阵，A与对称矩阵S合同，即存在可逆矩阵P，使得S=P T AP。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。
2、矩阵等价的充要条件：A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。
考研数学：令人头大的相似、合同、等价
考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。
接下来一起看看三者的纠缠吧。
关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。
分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为m*n矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
2018考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析详解
2018考研数学线代：矩阵合同与相似的
典型题型分析详解
合同矩阵与相似矩阵是线性代数中的两个相近概念，它们既有一定的类似性和关联性，但二者又有区别，它们的含义和性质是不同的，有些同学对这两个概念弄不清楚，搞不明白它们之间到底有什么区别，在主流线性代数教材上也没有对它们进行比较分析，在做涉及到这两个概念的习题时也不知道从何下手，为了帮助这些2018考研的同学解决这个难题，本文对合同矩阵和相似矩阵的主要判别方法做一下总结，并对往年考研数学试题中的这类题做些分析。
一、矩阵合同与相似的主要判别方法
从上面的判别方法和典型例题看到，如果两个实对称矩阵相似，则它们的特征值完全相同(包括特征值的重数也相同)，因此它们的正、负惯性指数也分别相等，从而这两个矩阵是合同的，但如果不是实对称矩阵，则相似矩阵不一定是合同矩阵;另外，合同矩阵不一定是相似矩阵，这些区别希望同学们理解。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵合同和相似
矩阵合同和相似引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在线性代数中，矩阵合同和相似是两个常见的关系，它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。
本文将对矩阵合同和相似进行介绍和讨论。
矩阵合同矩阵合同是指两个矩阵具有相同的秩、特征多项式以及特征值的多重性。
具体而言，设A和B是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B是合同的。
矩阵合同的性质矩阵合同具有以下性质： - 对于任意n阶矩阵，矩阵与自身合同。
- 若矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。
- 若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同的应用矩阵合同在实际应用中具有广泛的应用，例如： - 物体的正交变换：在三维几何中，通过正交矩阵对物体进行旋转、平移和缩放等变换。
这些变换可以表示为合同关系，通过合同矩阵可以实现物体的坐标变换。
- 矩阵的相似性：矩阵合同是矩阵相似性的一种特殊情况。
在线性代数中，矩阵相似是一种重要的关系，它描述了矩阵在不同基下的表示和性质。
矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值。
具体而言，设A和B是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B是相似的。
矩阵相似的性质矩阵相似具有以下性质： - 对于任意n阶矩阵，矩阵与自身相似。
- 若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。
- 若矩阵A与矩阵B相似，且矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似的应用矩阵相似在实际应用中具有广泛的应用，例如： - 矩阵对角化：通过相似变换将矩阵对角化，可以简化矩阵的运算和求解。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，更容易研究和分析。
- 矩阵的特征值问题：矩阵相似性与特征值问题密切相关。
通过矩阵相似变换，可以将复杂的特征值问题转化为简化的形式，从而更容易求解。
结论矩阵合同和相似是矩阵理论中的两个重要概念，它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
矩阵合同与相似
矩阵合同与相似矩阵合同与相似是线性代数领域中重要且相关的概念。
矩阵合同是指两个矩阵A和B满足一定的条件，而矩阵相似是指两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹。
下面将详细介绍这两个概念及其相关性。
首先，我们来定义矩阵合同。
给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是合同的。
换句话说，两个矩阵合同的条件是它们可以通过一次相似变换后得到。
根据矩阵合同的定义，我们可以得出以下结论：1. 矩阵合同是一个等价关系。
即，对于任意的矩阵A、B和C，有以下三个性质：- 自反性：A合同于自身，即A≈A；- 对称性：如果A合同于B，则B合同于A；- 传递性：如果A合同于B，且B合同于C，则A合同于C。
2. 矩阵合同保持矩阵的特征值不变。
如果A合同于B，那么A和B具有相同的特征值。
接下来，我们来介绍矩阵相似。
给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是相似的。
与矩阵合同相似，矩阵相似也是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
矩阵合同和相似的联系在于它们都描述了矩阵之间的一种等价关系。
矩阵相似是一种较强的等价关系，因为它要求矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P。
而矩阵合同是相似的一种特殊情况，它只要求存在一个非奇异矩阵P即可。
因此，矩阵相似是矩阵合同的一种更加严格的要求。
矩阵相似在线性代数中有着广泛的应用。
例如，矩阵相似关系可以帮助我们简化矩阵的计算。
通过寻找一组相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个更加简单的形式，从而便于计算和分析。
此外，矩阵相似还可以帮助我们理解矩阵的几何意义。
对于一个可对角化的矩阵A，如果存在一个相似变换P，使得A=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么矩阵A的几何意义就可以通过对角矩阵D来表示。
换句话说，相似变换可以将原始矩阵的几何性质转化为对角矩阵的几何性质，从而更容易理解。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。
3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
考研数学二(二次型)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设矩阵则A与B( )A．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法．事实上，两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的重数；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数．由此可知相似的实对称矩阵必合同．所以选项C肯定错．为判别其他选项，求矩阵A的特征值即可．因为即矩阵A的特征值为3，3，0，而矩阵B的特征值为1，1，0，所以矩阵A与B不相似；但A与B的秩均为2，正惯性指数也都是2．所以它们是合同的．总之．选项B正确．知识模块：二次型2．设则A与B( )A．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同且不相似．正确答案：A解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的判定．所用的知识点是：任给实对称矩阵A，总存在正交矩阵Q，使得Q一1AQ=QTAQ=A．其中对角矩阵A主对角线上的元素是A的特征值；Q是正交矩阵Q一1=QT．显然A是实对称矩阵，且特征值为4，0，0，0．故存在正交矩阵Q，使得Q一1AQ=QTAQ= B．因此选A．知识模块：二次型3．设A，B为同阶可逆矩阵，则( )A．AB=BA．B．存在可逆阵B，使P一1AP=B．C．存在可逆阵C，使CTAC=B．D．存在可逆阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：D解析：本题主要考查的知识点为矩阵相似、合同、等价、交换等概念．用排除法解此题．矩阵的乘法不满足交换律．事实上，令易知A，B均可逆，但AB ≠BA，排除选项A．注意到矩阵A与B的特征值不一定相同．故A与B不一定相似，排除选项B；若A是对称矩阵，B为非对称矩阵，知A与B不合同，排除选项C．故选项D正确．知识模块：二次型填空题4．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩为_________．正确答案：2解析：本题考查二次型的秩的概念及矩阵秩的求法．二次型f(x)=xTAx的秩为rA．由于f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3—2x2x3的矩阵为对A 施以初等变换得从而r(A)=2．即二次型的秩为2．知识模块：二次型5．已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32—2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，则常数c=________．正确答案：3解析：本题考查二次型秩的概念及当矩阵的秩小于矩阵的阶数时其行列式为零．由于二次型f的矩阵为由r(A)=2，知｜A｜=0，解得c=3．知识模块：二次型6．设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的惯性指数为_________．正确答案：2解析：用配方法把f(x1，x2，x3)化成标准形，或求出特征值，正特征值个数即为正惯性指数．利用配方法化二次型为标准形．f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22一(x22一2x2x3)=(x1+x2)2一(x2一x3)2+x32=y12一y22+y32，其中y1=x1+x2，y2=x2一x3，y3=x3，即由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．知识模块：二次型7．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_____．正确答案：2解析：本题考查二次型对应的对称矩阵A的特征值与二次型的标准形f=6y12的系数之间的关系．注意二次型经正交变换化成的标准形的系数是二次型对应的对称矩阵A的特征值，并且A的特征值的和等于A的迹trA．由于二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3的矩阵且矩阵A的特征值为6，0，0．于是3a=6，所以a=2，故填2．知识模块：二次型8．若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3正定，则t的取值范围是_____________．正确答案：解析：本题考查正定二次型的判定方法．注意正定二次型对应的对称矩阵A 是正定矩阵．A是正定矩阵A的各阶顺序主子式全为正．由于二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3的矩阵知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
如何判断矩阵的等价,相似,合同？
如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A 与B 等价:A 可以经一系列初等变换得B ÛPAQ B =Û()()r A r B =(,A B 同型同型,,,P Q 可逆可逆.).).)判断等价只需同型且秩相等判断等价只需同型且秩相等判断等价只需同型且秩相等. .(2)A 与B 相似:1P AP B -=,P 可逆可逆. .相似有四个必要条件相似有四个必要条件::秩相同秩相同,,特征值相同特征值相同,,特征多项式相同特征多项式相同,,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果,A B 相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知,A B 相似相似. .(3)A 与B 合同(仅限于对称矩阵仅限于对称矩阵)):T C AC B =(C 可逆可逆))ÛA 与B 的正负惯性指数相同惯性指数相同. . 判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可惯性指数相同即可. . 注:,A B 合同®¬,A B 等价等价,A B 相似®¬,A B 等价等价,,例1011,0101A B æöæö==ç÷ç÷èøèø等价但不相似等价但不相似在,A B 实对称的前提下实对称的前提下,,,A B 相似®¬,A B 合同合同. .【例1】 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, , , 哪些合同哪些合同哪些合同? ?111110100000000,001,000,011000000000011A B C D æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷====ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø. 【解】先看等价：()1,()2,()1,()1r A r B r C r D ====，故,,A C D 等价等价. .再看相似：()()()1,()2,r A r C r D r B ====排除B ，考虑,,A C D ，,A C 的特征值为1,0,0，D 的特征值为2,0,0，从而排除D 仅仅考虑,A C ，A 的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，A 相似于对角阵100000000C æöç÷=ç÷ç÷èø，从而,A C 相似相似. . 最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑,C D ，C 的特征值为1,0,0，D 的特征值为2,0,0，C 的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D 的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，,C D 合同合同. .【例2】 判断111111111A æöç÷=ç÷ç÷èø,300000000B æöç÷=ç÷ç÷èø是否等价，相似是否等价，相似,,合同合同,? ,? 【解】()()1r A r B ==，二者等价；，二者等价；A为对称阵一定相似于对角阵300000000Bæöç÷=ç÷ç÷èø；从而A一定合同于对角阵B.。
【7A版】2007年考研数学三真题及完整解析
20GG 年研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1e x -（B ）ln1x-（C ）11x +-（D ）1cos x -[] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--[]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.[]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D)1223312,2,2αααααα+++.[]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A)合同且相似（B ）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为 （A ）23(1)p p -.（B ）26(1)p p -. （C ）223(1)p p -.（D ）226(1)p p -[]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A)()X f x .(B)()Y f y .(C)()()X Y f x f y .(D)()()X Y f x f y .[] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+__________.（12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂__________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y ==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){,||||D x y x y =+（19）(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=. （20）(本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.（21）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a的值及所有公共解. （22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23）(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）求{}2P X Y >； (II)求Z X Y =+的概率密度.20GG答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x+→时，1x--，112x，()211122x x-=，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，000lim lim lim1x xx+++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x=，则()()l i m0xf x f xx→--=，但()f x在0x=不可导，故选（D）. 事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f=.在（C）中，()limxf xx→存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim0x xf x f f xf fx x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】. 5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）. 商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xx x x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e 0x x x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意e x 当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】 10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）. 【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim 0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小； （2）有限个无穷小的乘积为无穷小； （3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y ∂''=-∂， 所以122z zy x xy f f x y x y ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】,【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令yu x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C =⇒=，将11x y==代入左式得e C =，故满足条件的方程的特解为22e e x y x =，即y =，1e x ->. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】,【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩. 【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型. 矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算.图如下：【评注然后利用它们的独立性求得3讲【例11】，《数学】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 【详解】方程ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y '''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222000110d d d d xx x x x y x y x y --⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰(1112=++. 所以(D1(,)d 13f x y σ=+⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时,可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰210r π=⎰⎰=.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.（2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c =于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.【评注】对命题为()()0n f ξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212n n nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑， 所以1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收敛区间为13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组 123123************21x x x x x ax x x a x xx x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵 22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-. 【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零. （II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则 011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II)利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24x x y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II)利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰ 20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】(II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24）(本题满分11分)设总体X 的概率密度为 1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他 12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰， 令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰， 所以()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。
相似矩阵与合同矩阵
相似矩阵与合同矩阵1. 引言在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具。
矩阵可以用于描述线性变换、解线性方程组等问题。
在研究矩阵的性质时，相似矩阵和合同矩阵是两个常常被讨论的概念。
本文将介绍相似矩阵和合同矩阵的定义、性质及其在实际应用中的意义。
2. 相似矩阵2.1 定义给定两个 n × n 的矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP = B，那么我们称矩阵 A 和 B 是相似的，这个可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵。
2.2 性质•相似关系是一种等价关系，即对于任意的 n × n 矩阵 A，A 与自身相似。
•如果 A 和 B 是相似矩阵，则它们有相同的特征值。
•相似矩阵具有相同的迹和行列式。
2.3 应用相似矩阵在实际应用中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是特征值分解。
当一个矩阵与一个对角矩阵相似时，我们可以通过特征值分解的方式，将其转化为对角形式，从而更容易研究矩阵的性质。
此外，相似矩阵还可以用于解决线性方程组、研究线性变换等问题。
3. 合同矩阵3.1 定义给定两个 n × n 的矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P^TAP = B，那么我们称矩阵 A 和 B 是合同的。
3.2 性质•合同关系是一种等价关系，即对于任意的 n × n 矩阵 A，A 与自身合同。
•合同矩阵具有相同的秩。
•如果A 和B 是合同矩阵，则它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
3.3 应用合同矩阵在矩阵的正交相似变换中起着重要的作用。
在实际应用中，合同矩阵可以用于研究二次型、规范形等问题。
合同矩阵也和相似矩阵一样，可以用于解决线性方程组、研究线性变换等问题。
4. 总结相似矩阵和合同矩阵是线性代数中的两个重要概念。
相似矩阵是指两个矩阵通过相似变换关系而相似，拥有相同的特征值、迹和行列式等性质。
合同矩阵是指两个矩阵通过合同关系而相似，拥有相同的秩、正负惯性指数等性质。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
矩阵相似与合同的关系
矩阵相似与合同的关系
在合同范本中，矩阵相似可以被类比为合同双方之间的相似性和对等性。
就像矩阵相似性需要满足特定的条件一样，合同双方也需要遵守特定的条款和条件。
在合同起草过程中，我们需要考虑到双方权利和义务的平衡，确保合同的公平性和有效性。
矩阵相似性要求两个矩阵有相同的特征值，虽然它们的特征向量可能不同。
类似地，合同双方需要在合同条款中达成一致，即使双方在具体执行方式上可能有所不同。
这就需要在合同范本中明确双方的权利和责任，以及在特定情况下的处理方式。
此外，矩阵相似性还可以用来描述一个矩阵可以被对角化为特定形式。
在合同中，双方也可以通过协商和讨论，将合同条款调整为更加适合双方的形式，达成共识并最终签订合同。
作为合同范本专家，我会根据客户的需求和具体情况，为他们提供符合法律要求和双方利益的合同范本。
我会确保合同条款的准确性和完整性，帮助客户理解合同的重要性和具体内容，从而保障他们的合法权益。
希望以上内容能够满足您的要求，如果需要进一步讨论，我会竭诚为您服务。
高等代数 矩阵的相抵合同相似
莆田学院数学系“高等代数选讲”课程论文题目：矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量姓名：阮超英学号：21041132数学系2002级本科（1）班2005 年6月23日矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量[摘要]矩阵的相抵、合同、相似这三种等价关系之间既包含着联系，又蕴涵着差别，以及矩阵在各自关系下的不变量。
[关键词]相抵；合同；相似；等价关系；不变量1首先介绍矩阵的相抵、合同及相似概念的引入及其定义以及等价关系的证明。
1.1矩阵相抵矩阵的相抵是在矩阵的初等变换的基础上引入的，故先了解一下初等变换下的初等矩阵。
定义1[1]由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
显然，初等矩阵是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。
○1互换矩阵E的i行与j行的位置11011(,)1111p i j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭○2把矩阵的i 行乘以一非零数c （c 为数域p 中数） 11(())11p i c c⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭○3把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行，有 11(,())11k p i j k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭同样可以得到与列变换相应的初等矩阵，不难看出，初等矩阵是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵。
定义2 矩阵A 与B 相抵（equivalent 记为~A B 或称为等价）是指对A 进行行和列的有限次的初等变换后可得到B ，亦即存在初等矩阵11,,,,,,s t P P Q Q 使得 11s t P P AQ Q B = 显然，矩阵的相抵是一种等价关系，它满足 ＜1＞ 对称性 若A 与B 相抵,则B 与A 相抵；因为由定义2，有：11s t P P AQ Q B = ， 这样可得到：1111s t A P P BQ ---= ＜2＞ 反身性 若A 和A 本身相抵；因为：11111111t t s sQ Q Q Q AP P P P A ----=＜3＞ 传递性 若A 和B 相抵，B 和C 相抵，则A 和C 相抵。
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1 / 1 考研数学真题点评：矩阵的合同与相似
来源：文都教育
相似与合同是矩阵的两种重要关系，也是考研数学重要考点之一。
今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。
下面我们把相似与合同的判定方法，以及它们之间的关系总结一下：
（）n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 特征值相同，反之不成立
（）n 阶方阵A 与B 特征值相同，且都可对角化⇒n 阶方阵A 与B 相似
（）实对称矩阵 A 与B 相似⇔A 与B 特征值相同
（）实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 具有相同的正惯性指数和秩。
（）实对称矩阵A 与B 相似⇒实对称矩阵A 与B 合同，反之不成立。
（）一般n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 合同
一般n 阶方阵A 与B 合同⇒A 与B 相似
真题解读如下：
证明n 阶矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n 00200100 相似。
【证明】 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111111111 A ，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B 00200100 ， 由0||=-A E λ得A 的特征值为n n n ====-λλλ,011
， 由0||=-B E λ得B 的特征值为n n n ====-λλλ,011。
因为A A T =，所以A 可对角化；
对B ，因为1)()0(==-B r B E r ，所以B 可对角化，
因为B A ,特征值相同且都可对角化，所以B A ~。