人教版数学高一学案1.3算法案例(一)

学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质；3.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序．

知识点一求两个数的最大公约数的算法

思考注意到8251＝6105×1＋2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？

梳理一般地，求两个数的最大公约数有2种算法：

(1)辗转相除法

①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的____________的古老而有效的算法．

②辗转相除法的算法步骤

第一步，给定________________．

第二步，计算________________．

第三步，________.

第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于____；

否则，返回________．

(2)更相减损术的运算步骤

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是，用____约简；若不是，执

行________．

第二步，以________的数减去________的数，接着把所得的差与________的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

知识点二求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值的算法

思考衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？

梳理秦九韶算法的一般步骤：

把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：

(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算________________一次多项式的值，即v1＝________________，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2＝________________，

v3＝________________，

…

v n＝________________，

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求________________的值．

类型一辗转相除法

例1试用辗转相除法求325、130、270的最大公约数．

反思与感悟辗转相除法的实质：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余

数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数．

跟踪训练1用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是________．类型二更相减损术

例2试用更相减损术求612、396的最大公约数．

反思与感悟用更相减损术的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.

第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.

第三步，d＝m－n.

第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2k d(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数．

跟踪训练2用更相减损术求261和319的最大公约数．

类型三秦九韶算法的基本思想

例3已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．

反思与感悟秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．

跟踪训练3用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．

1．下列说法中正确的个数为()

①辗转相除法也叫欧几里得算法；

②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；

③求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法；

④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．

A．1B．2C．3D．4

2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()

A．10B．9C．12D．8

3．已知a ＝333，b ＝24，则使得a ＝bq ＋r (q ，r 均为自然数，且0≤r ＜b )成立的q 和r 的值分别为________．

4．187和253的最大公约数是________．

5．分别用辗转相除法和更相减损术求1734和816的最大公约数．

1．辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数．

2．更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数．

3．用秦九韶算法求多项式f (x )当x ＝x 0的值的思路为(1)改写；(2)计算⎩⎪⎨⎪⎧

v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n )；

(3)结论f (x 0)＝v n .

答案精析

问题导学

知识点一

思考显然8251与6105的公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数．

梳理

(1)最大公约数两个正整数m，n m除以n所得的余数r m＝n，n＝r m第二步

(2)偶数2第二步较大较小较小相等

知识点二

思考从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算．

梳理

最内层括号内a n x＋a n－1v1x＋a n－2v2x＋a n－3v n－1x＋a0

n个一次多项式

题型探究

例1解∵325＝130×2＋65,130＝65×2，∴325与130的最大公约数是65.∵270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2，∴65与270的最大公约数是5，故325、130、270这三个数的最大公约数为5.

跟踪训练1 3

解析用辗转相除法可得204÷85＝2……34,85÷34＝2……17,34÷17＝2，此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果．

例2解方法一612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.所以612、396的最大公约数为9×22＝36.

方法二612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612、396的最大公约数．

跟踪训练2解∵319－261＝58,261－58＝203，

203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29，

∴319与261的最大公约数为29.