喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间

EX1.矢量空间

练习 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 11112ψψψψψψ+=+=+=（）

只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7）

00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得

)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2）

上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ

由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得

ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-⇒)1( #

练习 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）

证明 由题意可知，在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则有

(1ψ,)ϕ－(2ψ,)ϕ=0 (1)

于是有

()0,21=-ϕψψ (2)

由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则可取21ψψϕ-=,则有

()2121,ψψψψ--=0 成立 （3）

根据数乘的条件（12）可知，则必有

021=-ψψ

（4） 即21ψψ=

故命题成立，即必有21ψψ=. #

练习 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 #

练习 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量B A 和内积的定义改为θB A ⋅或

θ2

1

B A ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4*

43*

32*

21*

1432,m l m l m l m l m l +++=

空间是否仍为内积空间？

（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

()()⎰⎰==b

a

b

a dx

x x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2

*

*)()()(),()()()(),(或

空间是否仍为内积空间？

（完成人：张伟 审核人：赵中亮）

解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。

因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为

A ，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零

矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。

（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：

C B C B +≠+,即有

() ,=+C B A θC B A +θθC A B A ⋅+≠=()()C A B A ,,+

所以内积的定义改变之后不是内积空间。

（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下： i

()()m l m l m l m l m l l m l m l m l m l m ,432)432(,4*43*32*21*1*4*43*32*21*1*=+++=+++=

ii ．

()()()n l m l n l n l n l n l m l m l m l m l n m l n m l n m l n m l n m l ,,)432()432()

(4)(3)(2)(,4*

43*

32*

21*

14*

43*

32*

21*

144*433*322*211*1+=+++++++=+++++++=+ iii ．

()()

m l a m l m l m l m l a a

m l a m l a m l a m l ma l ,)432(432,4*

43*

32*

21*

14*43*32*21*1=+++=+++= iv.()0||4||3||2||,24232221≥+++=l l l l l l ，对任意l 成立 若()0,0,0,4321======l l l l l l l 即则必有

综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间

（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

()⎰=b

a

xdx x g x f x g x f )()()(),(*后，空间不是内积空间。

因为()⎰⎰==b

a

b

a

xdx x f xdx x f x f x f x f 2

*

)()()()(),(，积分号内的函数是一个

奇函数，它不能保证对于任意的()x f 积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。

在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

()⎰=b

a

dx x x g x f x g x f 2*)()()(),(后，空间是内积空间。

证明如下:

i ()()**

2

*2

*

)(),()()()()()(),(x f x g dx x x f x g dx x x g x f x g x f b a b

a

=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰

ii

()()()()()

x h x f x g x f dx x x h x f dx x x g x f x h x g x f b

a

b

a

),()(),()()()()()(),(2*2*+=+=+⎰⎰ iii ()())(),()()()()()(),(2*2

*

x g x f a dx x x g x f a dx ax x g x f a x g x f b

a

b

a

===⎰⎰

iv ()成立对任意ψ,0)()(),(22

≥=⎰b

a dx x x f x f x f

若()0)()(),(22

==⎰b

a

dx x x f x f x f ，则必有()0=x f

综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。 #

练习 若a 为复数，证明若a ψϕ=时，Schwartz 不等式中的等号成立。 （完成人：肖钰斐 审核人：谷巍）

证明：当若a ψϕ=时，分别带入Schwartz 不等式的左边和右边。 左边=()2

,ψψψa a =

右边=2

ψψψa a =⋅

左边=右边，说明当a ψϕ=时，Schwartz 不等式中的等号成立。 #

练习 证明当且仅当 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与ϕ正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟）

证明：解：当||||a a ϕψϕψ-=+对一切数a 成立时，有