清华大学数学系硕士生入学考试试题

准考证号 系别 考试日期 2003.01 专业 考试科目 数学分析 试题内容：

一、（15分）设（20分）设y)f(x,在R 2\)}y ,{(x 00上定义，0

),(lim y y x x y x f →→=A ,且∃

ρ>0使得

当0＜｜y -y 0｜＜ρ 时，=→0

),(lim x x y x f Ф(y)存在。

求证：A y x f x x y y =→→0

0,)],(lim[lim

二、（20分）设半径为r 的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x 2+y 2+z 2=a 2

(a>0) 上，问当r 取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？ 三、（20分）设

f 0(x)C ∈[﹣a,a](a>0), f n (x)=⎰x

f

n-1(t)dt,(n=1,2,…).

求证：{f n (x) }在[﹣a,a]上一致收敛于0.

四、（20分）设f (x,y ）在R 2

上二阶连续可微，f (x,2x ）=x, 'f x (x,2x ）=x 2

, 且''f xx (x,y)=

''f yy (x,y),R y x ∈∀),(2.

求：'f y (x,2x ）, ''f yy (x,2x) 及''f xy (x,2x). 五、（25分）设'f (0）存在，f (0)=0,x n =

)/(1

2

∑=n

k n

k f .

求证：n n x ∞

→lim 存在，且n n x ∞

→lim ＝)0(f '/2.

六、（25分）设f (x)]1,0[C ∈且在(0,1)上可导，且

f (1)=⎰

2

/10

)(2dx x xf .

求证：存在)1,0（∈ξ， 使得'f （ξ）= -f (ξ)/ξ

七、（25分）设f ，g 在R 上连续， f οɡ(x)= ɡοf (x);R x ∈∀, 并且f (x)≠ɡ(x) ,R x ∈∀.

求证：f οf (x)≠ ɡοɡ(x) R x ∈∀

准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2003.01 专业 考试科目 高等代数 试题内容：

一、（20分）设f （X ）=(X+1)4

(X-1)3

为复方阵A 的特征多项式，那么A 的Jordan 标准型J 有几种可能？（不计Jordan 块的次序） 二、（20分）设方阵

A ＝⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛012326113

－－－－－

A 在实数域R 上是否相似域对角形（即有实方阵P 使P -1AP 为对角形）？在复数域C 上呢？给出证明。 三、（20分）判断以下论断是否成立，证明自己的判断：对任意n 阶可逆方阵A ，存在方阵P,L,T 使得

PA=LT,其中P 为对换方阵（即对换单位方阵I 的某两行所得方阵）之积，L 为下三角形方阵且对角线元素均为1， T 为上三角形方阵。 四、（20分）任给互异复数a,b 和a 0，a 1，a 2，b 0，b 1，b 2是否存在多项式)(x f 使得

i i i i b b f

a a f

==)(,)()

()

( (i=0,1,2)？证明之。

（其中)()

(a f i 表示f (X)的次微商在a 的取值）

五、（20分）设方阵

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-1101010

n c c c C

＝， 试求：（1）C 的特征多项式f (X)； （2）C 的极小多项式m(X); (3)与方阵C （乘法）可交换的方阵全体C 。

六、（30分）1、设V 是域F 上n 维线性空间，以V ﹡

表示定义域V 上的线性函数全体，试证

明V ﹡对适当定义的运算是F 上线性空间（称为对偶空间），求其维数dim V

﹡

2设V 1,V 2为F 上m,n 维线性空间，σ﹡:V 1→V 2为线性映射，则有线性映射σ*

:V 1→V 2，

f σ。f （称为σ的伴随映射）

。若σ对于V 1,V 2的某基的方阵表示为A ，试在V 1﹡,V 2﹡

的适当基下求σ﹡

的方阵表示A ﹡

.

3、当V 1＝V 2＝V 为欧几里得空间时，上述化为何种形式？当V 1＝V 2＝V 为酉空间时又如何？ 七、（20分）设ｇ,ｈ是n 维欧几里得空间V 上两个对称双线性型，h 非退化，由下式定义V

的线性变换

ϕ:))(,(),(βϕαβαh g =（对任意),V ∈βα。如果ϕ由n 个线性无关的特

征向量，能否断定ｇ,ｈ可同时对角化（即存在V的基使ｇ,ｈ的方阵均为对角形）？反之呢？均证明之。

清华大学硕士生入学考试试题专用纸

准考证号 系别 考试日期 2001.1 专业 考试科目 微分方程 试题内容： 一、（共40分）求下列方程的通解 1．5

1

'+++-=

x y x y y

2.2

2

2

')1(y x xy y x +=+ 3.01)'("1(2

)

2=+++y y x

4.

X dt

dx ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣⎡--=211102113 二、（20分）

1证明方程

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=∂∂-x u h x x a t u h x 22222)1()1( （h>0,a>0为常数）的通解可以表示成

x

h at x G at x F t x u -++-=

)

()(),(

其中F,G 为任意的二次连续可微函数。 2．求方程（1）满足定解条件

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∞<≤=∂∂∞<≤====0

,

00),(0),(000t u x x t u x x u x t t ψϕ 三、（20分）证明边值问题

⎩

⎨

⎧==<<=++,0)()0()

0(,0)()()'')((l y y l x y x y x q y x p λρ 的对应于不同特征值的特征函数带权)(x ρ彼此正交。 四、（20分）设u(x)是定解问题

⎩

⎨

⎧=Ω

∈=+∆Ω∂0),()(u x x f u x c u －