第03讲 MATLAB-simulink的数值运算

1.5 MATLAB的数值运算
MATLAB具有强大的数值能力，它不仅 能对矩阵和向量进行相应的运算，而且也可 处理多项式的解、数据分析、函数的极值、 线性方程组的解、函数的微积分和函数绘图 等问题。
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1.5.1 矩阵运算
MATLAB的基本数据单元是不需要指定 维数的复数矩阵，它提供了各种矩阵的运算 与操作，因它既可以对矩阵整体地进行处理， 也可以对矩阵的某个或某些元素进行单独地 处理，所以在MATLAB环境下矩阵的操作同 数的操作一样简单。
x^3-6*x^2-72*x-27
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MATLAB中根据矩阵特征多项式求特征 根的函数为roots( )，其调用格式为 V=roots(P) 其中：P为特征多项式的系数向量，而V为特 征多项式的解，即原始矩阵的特征根。
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例：
>>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)
p=
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1. 矩阵的实现
在 MATLAB 语言中不必描述矩阵的维 数和类型，它们是由输入的格式和内容来确 定的，例如当 A＝[1 2]时，把A当作一个2维行向量； A＝5时，把A当作一个标量； A＝1＋2i时，把A当作一个复数。
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(1) 矩阵的赋值
矩阵可以用以下几种方式进行赋值：
直接列出元素的形式； 通过语句和函数产生； 建立在文件中； 从外部的数据文件中装入。
利用语句或函数产生矩阵
利用 size( ) 函数可测取一个矩阵的维数，该 函数的调用格式为 [n, m]=size(A)
其中：A为要测试的矩阵名，而返回的两个参数n和 m分别为A矩阵的行数和列数。
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利用语句或函数产生矩阵
当要测试的变量是一个向量时，当然仍可由 size( )函数来得出其大小，更简洁地，用户可以使 用length( )函数来求出，该函数的调用格式为
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简单矩阵的输入
对于比较小的简单矩阵可以使用直接排列的形 式输入，把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行 内的元素间用空格或逗号分开，行与行的内容用分 号隔开。例如，矩阵
在MATLAB下的输入方式为 >>A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] 或 >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
-0.6667 -0.3333 1.0000
(2) 矩阵的迹
假设一个方阵为 A＝{aij}, i,j=1,2,…,n;则矩阵A 的迹定义为
tr (a ) aii
i 1
n
即矩阵的迹为该矩阵对角线上各个元素之和。由代 数理论可知矩阵的迹和该矩阵的特征值之和是相同 的。 在MATLAB中提供了求取矩阵迹的函数 trace( )，其调用方法为 trace(A) 28

特征多项式一定是n+1维的

特征多项式第一个元素一定是1
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例: a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
p=poly(a)
p=
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的MATLAB描述方法， 我们可用函数文件，显示数学多项式的形式： p1=poly2sym(p) p1 =
(1) 单位矩阵函数eye( )
基本格式：
A＝eye(n) ％产生一个n阶的单位矩阵A A ＝ eye(size(B)) ％产生与 B 矩阵同阶的单位 矩阵A 如:A=eye(5)
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特殊矩阵的实现
(2) 零矩阵函数zeros( )
(3) 1矩阵函数ones( )
(4) 随机元素矩阵函数rand( )
(5) 对角矩阵函数diag( ) (6) 伴随矩阵函数compan( ) (7) 上三角矩阵函数triu( )和下三角矩阵函数 tril( )
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2. 矩阵的基本运算
矩阵运算是MATLAB的基础，MATLAB 的矩阵运算功能十分强大，并且运算的形式 和一般的数学表示十分相似。
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(1) 矩阵的转置
(3) 矩阵的秩
对于n×m维的矩阵A，若矩阵所有的列向量中 共有 rc个线性无关，则称矩阵的列秩为rc，如果 rc=m， 则称A为列满秩矩阵；相应地，若矩阵A的 行向量中有rr个是线性无关的，则称矩阵A的行秩 为rr, 如果rr＝n，则称A为行满秩矩阵。 MATLAB提供了一个内部函数rank( )来用数值 方法求取一个已知矩阵的秩，其调用格式为 k=rank(A)
n=length(x) 其中， x 为要测试的向量名，而返回的 n 为向量 x 的 元素个数。 如果对一个矩阵A用length(A)函数测试，则返 回该矩阵行、列的最大值，即该函数等效于 max(size(A))。 10
(2) 矩阵的元素
MATLAB的矩阵元素可用任何表达式来描述， 它既可以是实数，也可以是复数,例如
>>B=[ -1/3 结果显示： B＝ -0.3333 1.7321 1.3000 0+6.0000i
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1.3; sqrt(3)
(1+2+3)*i]
矩阵的元素
MATLAB允许把矩阵作为元素来建立新的矩阵， 例如，利用A矩阵通过下面的语句 >>C=[A;[10,11,12]] 结果显示： C= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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矩阵的元素
MATLAB还允许对一个矩阵的单个元素进行赋 值和操作，例如如果想将 A 矩阵的第 2 行第 3 列的元 素赋为100，则可通过下面的语句来完成 >>A(2,3)=100 结果显示： A= 1 2 3 4 5 100 7 8 9 这时将只改变此元素的值，而不影响其它元素的值。 13
矩阵的元素
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简单矩阵的输入
对于比较大的矩阵，可以用回车键代替分号， 对每一行的内容分行输入，也可利用续行符号 （…），把一行的内容分两行来输入。例如， >>A=[ 1 2 3 ; 4 5 6 7 8 9] 或 >>A=[1 2 3 ;4 5… 6; 7 8 9] 输入后 A 矩阵将一直保存在工作空间中，除非 被替代和清除，在 MATLAB 的命令窗口中可随时查 看其内容。 6
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(6) 矩阵的翻转
MATLeabharlann BaiduAB还提供了一些矩阵翻转处理的特殊命 令，对n×m维矩阵A，如
B=fliplr(A) % 将矩阵 A 进行左右翻转再赋给 B，即bij＝ai,m+1-j， C=flipud(A) % 将矩阵 A 进行上下翻转再赋给 C，即cij＝an+1-i,j，
D=rot90(A) %将矩阵A逆时针进行旋转90度后 赋给D，即dij＝aj,m+1-i。
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(2) 矩阵的加和减
矩阵的加减法的运算符为“＋”和“－”。 矩阵只有同阶方可进行加减运算，标量可以和矩 阵进行加减运算但应对矩阵的每个元素施加运算。 例如 >>A=[1 2 3;4 5 6]; B=A+1 B=
2 3 4
5 6 7
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(3) 矩阵的乘法
矩阵的乘法运算符为“ * ”。当两个矩阵中前 一矩阵的列数和后一矩阵的行数相同时，可以进行 乘法运算，这与数学上的形式是一致的。例如： >>C＝A*B；
如果给出的行数或列数大于原来矩阵的范围，则 MATLAB 将自动扩展原来的矩阵，并将扩展后未赋值的矩 阵元素置为 0 。例如如果想把矩阵 A 的第 4 行第 5 列元素的值 定义为8，就可以通过下面语句来完成。 >>A(4,5)=8
结果显示：
A= 1 2 7 8 0 0 3 9 0 0 0 0 0 0 8
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
>>r=roots(p) r= 12.1229 -5.7345 -0.3884 显然， r是矩阵a的特征值
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当然我们可用poly令其返回多项式形式 >>p2=poly(r)
p2 =
1.00 -6.00 -72.00 -27.00 MATLAB规定多项式系数向量用行向量 表示，一组根用列向量表示。
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(4) 矩阵的三角分解
矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是 将一个矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角 矩阵U的乘积，亦即可以写成A＝LU。
在MATLAB下也给出了矩阵的LU分解函数 lu( )，该函数的调用格式为
[L,U]=lu(A)
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(5) 矩阵的特征值与特征向量
[V，D]=eig(A) 其中：A为要处理的矩阵，D为一个对角矩阵，其对 角线上的元素为矩阵A的特征值，而每个特征值对 应的V矩阵的列为该特征值的特征向量。该矩阵是 一个满秩矩阵，它满足AV＝VD，且每个特征向量 各元素的平方和均为1。如果调用该函数时只返回 一个变量D，则D为A的特征值。
在MATLAB中还可进行矩阵和标量相乘，其结 果为标量与矩阵中的每个元素分别相乘。
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(4) 矩阵的除法
矩阵的除法有两种运算符“\”和“/”,分 别表示左除和右除。 一般地讲，x= A\B是A*x=B的解， x=B/A是x*A=B的解，通常A\B≠B/A, 而A\B=inv(A)*B, B/A= B*inv(A)
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(6) 矩阵的特征多项式、特征方程和特 征根
MATLAB提供了求取矩阵特征多项式系数的 函数poly( )，其调用格式为 P=poly(A)
其中：A为给定的矩阵，返回值P为一个行向量， 其各个分量为矩阵A的降幂排列的特征多项式系数。 即
P=[ a0 a1 … an]
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MATLAB语言把多项式表达成一个行向量， 该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=a0xn+a1xn-1+…… +an-1x+an 可用行向量 p=[a0 a1 …… an-1 an]表示。 poly (A)—1、产生A矩阵特征多项式系数向量； 2、求根向量A对应的多项式。
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(5) 矩阵的乘方
矩阵的乘方运算符为“＾”。一个方阵的乘方 运算可以用A＾P来表示 。P为正整数，则A的P次幂 即为A矩阵自乘P次。如果P为负整数，则可以将A自 乘P次，然后对结果进行求逆运算，就可得出该乘 方结果。如果P是一个分数，例如P＝n＼m，其中n 和m均为整数，则首先应该将A矩阵自乘n次，然后 对结果再开m次方。
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3. 矩阵的特殊运算
(1) 矩阵行列式和矩阵求逆 求逆：inv(A) >>a=[1 2 3; 4 5 6; 2 3 5]; >>b=inv(a) 求行列式：det(A)
要求矩阵必须为方阵。
b= -2.3333 2.6667 >>det(a) ans = -3
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0.3333
1.0000
0.3333 -2.0000
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(7) 矩阵的超越函数
MATLAB中exp( ),sqrt( ),sin( ),cos( ) 等 基本函数命令可以直接使用在矩阵上，这种运算只 定义在矩阵的单个元素上，即分别对矩阵的每个元 素进行运算。 超越数学函数,可以在函数后加上m而成为矩阵 的超越函数，例如expm(A),sqrtm(A),logm(A)分 别为矩阵指数、矩阵开方和矩阵对数。矩阵的超越 函数要求运算的矩阵必须为方阵。
矩阵转置的运算符为“ ' ”。例如
>>A=[1 2 3;4 5 6];B= A’
结果显示： B= 1 4 2 5 3 6
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矩阵的转置
如果是复数的矩阵，则转置（’）将同时对复数进行 共轭处理，而 （.’）则只是将其排列形式进行转置。 例： >>b=[1+2i 2-7i]' b= 1.0000 - 2.0000i 2.0000 + 7.0000i >>b=[1+2i 2-7i].' b= 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 7.0000i
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4 5 100 0 0
矩阵的元素
MATLAB还允许对子矩阵进行定义和处理。例
如： >>A(1:3,1:2:5) %取 A矩阵的第1行到第3行内， 且位于第1，2，5列上的所有元素构成的子矩阵 >>A(2:3,:) %取A矩阵的第2行和第3行所有元素 构成的子矩阵
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(3) 特殊矩阵的实现
在MATLAB中特殊矩阵可以利用函数来建立。
利用语句或函数产生矩阵
在MATLAB中，矩阵也可利用下面的语 句来产生： s1:s2:s3
其中，s1为起始值；s3为终止值；s2为步矩。 使用这样的命令就可以产生一个由s1开始， 以步距s2自增，并终止于s3的行向量。
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利用语句或函数产生矩阵
例如： >>y=0:pi/4:pi 结果显示： y= 0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 如果S2省略，则可以认为自增步距为1，例如 >>x=1:5 结果显示： x= 8 1 2 3 4 5