数学分析知识点总结第二章 1

第二章

1数列极限的概念

定义（1）；设{}为数列，a 为定数。若对任给的的正数，

n a 总存在正整数n.使得当n N 时，有|a -a|<,则称数列{a }

n ℑn 的极限，记作a =a.( >0.N,当

n N 时，有|a -a|<成

lim x →∞

n ∀ℑ∃≥n ℑ立，则)。lim n x a a →∞

=注意：1：为任意正数，可以随意小，但一经给出，就

ℑℑ被确定下来，有时还用表示。2：N 的依赖性但不

2/2,s ℑℑ+唯一性，N 是依赖于，但不由唯一确定。比如n>N 时，

ℑℑN=100，自然N=|0|也成立，所以，N 不是唯一确定的。

1.

定义（1）；0.a;){a }

n ℑℑ 任给若在（之外数列中的项至多有有限个。则称数列收敛于。定义1的否定：存在，

{a }n a 00ℑ 若在，

N a;){a }{a } a.n ℑ（之外的数列中的项有无穷多个，则称数列不收敛于而不能说明。

N

{}a

无极限注意：定义1 通常用来说明数列无极限，而定义1 的否定

只说明。

{a }a {a }

n n 不收敛于，而不能说明无极限定义（2）：若。

lim

a 0,{a }n n x →∞

=则称为无穷小数列定理2.1；数列{}收敛于a 的充要条件是：

a n 。定义

{}n a a -为无穷小数列{a }0N n N a |n n ∀M M

满足：对，总存在正整数，始得当时，有|成立

则称数列。{a }lim a n n x →∞

=∞发散与无穷大，记坐注意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐

仍为发散数列，无极限给定数列

，得到数列

n lim ,{a }n x a →∞

=∞但。则数列与

{b }n {}n a {b }同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相同。

n

2收敛的性质

定理2.2：唯一性，若数列。

n {}a 收敛，则他只有一个极限定理2.3：有界性，若数列，则{a }为有界数列，则

n {}a 收敛n 存在正数M ，使得对一切正整数n 有|n a |M

≤收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛。

定理2.4:若，都存在

lim

=a 0(a 0),a '(0,)x a →∞

><∀∈∈

或则对（或a"(a,0))N ，使得（保号性）当n >N 时，有'(a ')

n n a a a ><或成立。摧论：设，则存在N ，使得当n>N 时有lim

,lim ,n n x x a a b b a b →∞→∞

==<。

a n n

b <证明：a ()/2,()/2

a b a b b a b <∴<+>+ 有由定理2.4，保号性知：,n a ()/2

n N N

a b ∃><+当时，有

22

,n>N b ()/2

n N a b ∃>+当时，有

1,2N=max{}n N N N

>取当时，a n N

b < 定理2.5（保不等式性），设{，若存在正

a }{

b }

n n 与均为收敛性数时有0N ，使得当n>N 0,.lim

a lim n n n n x x a

b b →∞→∞

≤≤则证明

设lim ,lim n n x x a a b b →∞→∞

==10,,n>N |a |.

a 22

n n N a a a ℑℑ∴∀ℑ>∃--

<<+当时，有即有

22|b |,b 2

22n n N b b b ℑ

ℑℑ

∃-<

-

<<+当n>N 时，有即有取N=max 0,12{,},n a 22

n n N N N N a b b ℑℑ>-<≤<+

当时，

lim a lim n x x a b a b b

→∞

→∞

∴<+ℑ∴≤≤即定理2.6（迫敛性）设收敛数列{

，当n>0},{}a {c }

N n n n a b 都已为极限，数列满足；存在数0N 时有

,a {c }

lim c n n n n n x c b a

→∞

≤≤=则数列收敛，且{}{}{}

{1,1

2,2012lim lim .

0,.

0,.

=max ,,,

,

,.

lim .

2.7n n n n n n n n n

n n n n n n n n n a b a N a a a a a N n N b a a b a N N N N n N

c b a a c a c a c a a b a εεεεεε

εεε

εεεε→∞

→∞→∞

==∀>∃-<-<<+∀>∃>-<-<<+>≤≤<+∴-<<+-<∴=+证明：设则有当n>N 时，有成立，即当时，有成立，即取当时，有a-

}{}{}

{}{}

{121212,,*0,lim 0,,,,.

1,2,,2.8n

n n n n n n n n n n k k n n nk n nk

k k n

n

n n b a b a b a b b b a n n n a a a a a k n a a a a a a a →∞

-⎧⎫⎪≠≠⎨⎬⎪⎭

⎩<<<<≤

也都是收敛数列。

假设及则有为收敛数列。定义：设为数列，为正整数集，且n 则数列称为数列的一个子列，记作注意：、、也为的子列。定理：数列的充要条件是：的任何子列都收敛。