方差分析与回归分析

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第八章方差分析与回归分析

§1单因素试验的方差分析

试验指标:研究对象的某种特征。 例各人的收入。

因素:与试验指标相关的条件。

例各人的学历,专业,工作经历等与工资有关的特征。

因素水平:因素所在的状态

例学历是因素,而高中,大学,研究生等,就是学历因素水平;数学,物理等就是专业的水平。

问题:各因素水平对试验指标有无显着的差异? 单因素试验方差分析模型 假设

1)影响试验指标的因素只有一个,为A ,其水平有r 个:1,,r A A ;

2)每个水平i A 下,试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。

3)2~(,)i i i X N μσ,且22i j σσ=。

问题:分析水平对指标的影响是否相同

1)对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤,由其检验假设: 原假设0:i j H μμ=,,i j ∀;备选假设:1:i j H μμ≠,,i j ∃; 2)如果拒绝原假设,则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。

1)接受假设即认为:各个水平之间没有显着差异,反之则有显着差异。

2)在水平只有两个时,问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。

检验方法

数据结构式:ij i ij i ij X μεμδε=+=++,偏差2

~(0,)ij N εσ是相互独立的,1

1r

i i i n n μμ==∑。不难验证,

1

0r

i

k δ

==∑。

各类样本均值

水平i A 的样本均值:1

1

i

n i ij

j i

X X

n ==

∑;

水平总样本均值:11111i n r r

ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑,1

r

i i n n ==∑;

偏差平方和与效应 组间偏差平方和:

2

221

1

()r

r

A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑;(衡量由不同水平产生的差异)

组内偏差平方和:

2

2

211

1

1

()()i i

n n r r E ij i ij i i i j i j S X X X n X =====-=-∑∑∑∑;

(衡量由随机因素在同一水平上产生的差异) 总偏差平方和:

2

2

211

1

()i

n r

r

T ij i ij i j i S X X n X nX ====-=-∑∑∑;

(综合衡量因素,水平之间,随机因素的差异) 定理1(总偏差平方和分解定理)T A E S S S =+。

即2

2

211

11

11

()()()i

i

i

n n n r

r

r

ij ij i i i j i j i j X X X X X X ======-=-+-∑∑∑∑∑∑,或直接证明。

注:利用11

()()0i

n r ij i i i j X X X X ==--=∑∑即可证明。

定理2(统计特性)

2

()E ES n r σ=-,2

21(1)r

A i i

i ES r n σδ==-+∑,2

21

(1)r

T i i i ES n n σδ==-+∑。

证2222221

1

1

1

()(())i i

n n r r E ij

i i

i i i i j i j ES EX n EX n σμσμ=====-=+--∑∑∑∑

定理3

1)22/~()E S n r σχ-,且E S 与A S 独立;

2)如果假设0H 成立,那么,22/~(1)T S n σχ-;且如果假设i n m =,1i r ≤≤,则还有,

22/~(1)A S r σχ-。

证1)由于不同水平的样本间的独立性,E S 较易处理。对固定的i , 2~(,)ij i i X N μσ,1,

,i j n =,且独立,所以由第五章定理2的结论,

22

2

11()~(1)i

i

n n ij i

ij i i i i j j X X X X n μμχσσ==⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭∑∑, 利用2

χ可加性,即得2

2

21

/~()()r

E i i S n r n r σχχ=-=-∑,且i X 与E S 独立。

注意到1

1r

i i i X n X n ==∑,因此X 也与E S 独立,从而A S 也与E S 独立。

注这里只需方差假设相同,不需要假设均值相同。 2)

~(0,1)ij i

X N μσ

-,且独立,同样利用第五章定理2,

22,,1

(

)~(1)ij i

i j i i j

i j X X n n μμχσ

σ

'''''---

-∑∑。 但在假设成立时,222,,,1

1(

)()ij i

i j i ij i j i j i j

X X X X n μμσ

σσ'''''---

=-∑∑∑,即得结论。且X 与T S 独立。 同时,2

22

1()()/~(1)r

i A i X X S r μμσχσ=⎛⎫---=- ⎪⎝⎭

∑。

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