方差分析与回归分析
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第八章方差分析与回归分析
§1单因素试验的方差分析
试验指标:研究对象的某种特征。 例各人的收入。
因素:与试验指标相关的条件。
例各人的学历,专业,工作经历等与工资有关的特征。
因素水平:因素所在的状态
例学历是因素,而高中,大学,研究生等,就是学历因素水平;数学,物理等就是专业的水平。
问题:各因素水平对试验指标有无显着的差异? 单因素试验方差分析模型 假设
1)影响试验指标的因素只有一个,为A ,其水平有r 个:1,,r A A ;
2)每个水平i A 下,试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。
3)2~(,)i i i X N μσ,且22i j σσ=。
问题:分析水平对指标的影响是否相同
1)对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤,由其检验假设: 原假设0:i j H μμ=,,i j ∀;备选假设:1:i j H μμ≠,,i j ∃; 2)如果拒绝原假设,则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。
注
1)接受假设即认为:各个水平之间没有显着差异,反之则有显着差异。
2)在水平只有两个时,问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。
检验方法
数据结构式:ij i ij i ij X μεμδε=+=++,偏差2
~(0,)ij N εσ是相互独立的,1
1r
i i i n n μμ==∑。不难验证,
1
0r
i
k δ
==∑。
各类样本均值
水平i A 的样本均值:1
1
i
n i ij
j i
X X
n ==
∑;
水平总样本均值:11111i n r r
ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑,1
r
i i n n ==∑;
偏差平方和与效应 组间偏差平方和:
2
221
1
()r
r
A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑;(衡量由不同水平产生的差异)
组内偏差平方和:
2
2
211
1
1
()()i i
n n r r E ij i ij i i i j i j S X X X n X =====-=-∑∑∑∑;
(衡量由随机因素在同一水平上产生的差异) 总偏差平方和:
2
2
211
1
()i
n r
r
T ij i ij i j i S X X n X nX ====-=-∑∑∑;
(综合衡量因素,水平之间,随机因素的差异) 定理1(总偏差平方和分解定理)T A E S S S =+。
即2
2
211
11
11
()()()i
i
i
n n n r
r
r
ij ij i i i j i j i j X X X X X X ======-=-+-∑∑∑∑∑∑,或直接证明。
注:利用11
()()0i
n r ij i i i j X X X X ==--=∑∑即可证明。
定理2(统计特性)
2
()E ES n r σ=-,2
21(1)r
A i i
i ES r n σδ==-+∑,2
21
(1)r
T i i i ES n n σδ==-+∑。
证2222221
1
1
1
()(())i i
n n r r E ij
i i
i i i i j i j ES EX n EX n σμσμ=====-=+--∑∑∑∑
定理3
1)22/~()E S n r σχ-,且E S 与A S 独立;
2)如果假设0H 成立,那么,22/~(1)T S n σχ-;且如果假设i n m =,1i r ≤≤,则还有,
22/~(1)A S r σχ-。
证1)由于不同水平的样本间的独立性,E S 较易处理。对固定的i , 2~(,)ij i i X N μσ,1,
,i j n =,且独立,所以由第五章定理2的结论,
22
2
11()~(1)i
i
n n ij i
ij i i i i j j X X X X n μμχσσ==⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭∑∑, 利用2
χ可加性,即得2
2
21
/~()()r
E i i S n r n r σχχ=-=-∑,且i X 与E S 独立。
注意到1
1r
i i i X n X n ==∑,因此X 也与E S 独立,从而A S 也与E S 独立。
注这里只需方差假设相同,不需要假设均值相同。 2)
~(0,1)ij i
X N μσ
-,且独立,同样利用第五章定理2,
22,,1
(
)~(1)ij i
i j i i j
i j X X n n μμχσ
σ
'''''---
-∑∑。 但在假设成立时,222,,,1
1(
)()ij i
i j i ij i j i j i j
X X X X n μμσ
σσ'''''---
=-∑∑∑,即得结论。且X 与T S 独立。 同时,2
22
1()()/~(1)r
i A i X X S r μμσχσ=⎛⎫---=- ⎪⎝⎭
∑。