7.真值表法
实验一利用真值表法求取主析取范式以及主合取范式的实现
联接词运算符定义
cal(b, s): switch b[s] case…(!...&…|…>…-…)
基本思路参考
!: b[s+1]=!b[s] &: b[s+1]=b[s-1]&b[s+1] … 若下标s+2 超出表达式长，则返回b[s+1]，
规范列出所输合式公式的真值表 给出相应主析取和主合取范式
基本思路参考
可用字符数组a记录输入的合式公式（！表示；& 表示；|表示；>表示；-表示）
多重循环显示真值表（1表示T，0表示F，先1后0） 并对公式进行相应赋值得数组b
assign(a, i, j, k): switch a[s] case…(!&|>-: b[s]=a[s]; ‘P’-i; ‘Q’-j; ‘R’-k)
实验目的：通过编程实现主析取范式以及主合 取范式的真值表求法以巩固相关理论的掌握
实验类型：验证 实验学时：4 实验环境：Windows+VC
实验内容
编程实现用真值表法求取含三个以内变量的 合式公式的主析取范式和主合取范式
要求：
从屏幕输入含三个以内变量的合式公式（其中 联结词按照从高到底的顺序出现）
否则返回cal(b, s+2)
?从屏幕输入含三个以内变量的合式公式其中联结词按照从高到底的顺序出现?规范列出所输合式公式的真值表?给出相应主析取和主合取范式基本思路参考?可用字符数组a记录输入的合式公式
实验一
利用真值表法求取主析取范式 以及主合取范式的实现
9月23日周一晚10-12 教2-216
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
离散数学习题解答
离散数学习题解答离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
《逻辑学》模拟试题及参考答案(A)
6．a"甲班学生都是上海人"和b"甲和乙都是上海人"，这两个判断（）。
①都是A判断②a是A判断，b不是③都不是A判断
④a不是A判断，b是
7．若与均真，则（）。
①p与q均真②p真q假③p假q真④p与q均假
8．由并非SAP可推出SOP，其根据是逻辑方阵中的（）关系。
2．普通逻辑研究推理，主要研究的是（）。
①前提的真假②前提与结论的内容联系 ③结论的真假
④前提与结论间的形式联系
3．如肯定，而否定，则（）的要求。
①违反同一律②违反矛盾律 ③违反排中律④不违反逻辑基本规律
4．一个有效的三段论的小前提是E判断，其大前提是（）。
①MAP②PAM③MEP④PIM
5．"《家》、《春》、《秋》是巴金的小说"和"《家》、《春》、《秋》是巴金的《激流三部曲》"，这两个判断（）联言判断。
《逻辑学》模拟试题及参考答案(A)
题号
一
二
三
四
五பைடு நூலகம்
六
总分
得分
得分
评卷教师
一、填空题（请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。每小题2分，共20分）
1、思维的形式结构由和构成。
2、表示对象不具有某种本质属性的概念，称为。
3、由“ ”为假，可知 为， 为。
4、对一真值形式的判定，就是确定它属于、还是。
A、凡人民的勤务员都是好干部B、有些好干部是人民的勤务员
C、有些好干部不是人民的勤务员D、不是人民的勤务员不是好干部
E、并非：好干部都不是人民的勤务员
7、下列结论能通过完全归纳推理得到的是（）（）
离散数学习题解答-第2章命题逻辑
(2) 有 4 个不同的命题变元，使公式的真值为 0 的赋值有 p 0, q 0, r 1, w 0 ；
p 0, q 1, r 0, w 1 ； p 0, q 1, r 1, w 0 ； p 1, q 1, r 0, w 1 ；
3
p 1, q 1, r 1, w 1 ； 使 公 式 的 真 值 为 1 有 赋 值 有 p 0 , q 0 ,r 0 ,w ； 0 p 0, q 0, r 0, w 1 ； p 0, q 0, r 1, w 1 ； p 0, q 1, r 0, w 0 ； p 0, q 1, r 1, w 1 ； p 1, q 0, r 0, w 0 ； p 1, q 0, r 0, w 1 ； p 1, q 0, r 1, w 0 ； p 1, q 0, r 1, w 1 ； p 1, q 1, r 0, w 0 ； p 1, q 1, r 1, w 0 ；
((p q) s) (r t )
3. 列出下列各公式的所有赋值， 并指出哪些赋值使公式的真值为 1， 哪些赋值使公式的真值 为 0。 (1) ( p q) r r (2) (w q) ( p r ) w (3) (( p q) ( p q)) p (4) ((u q) (t r )) (r u) (5) (m q) ((q r ) s) (6) (m q) (t r ) q 解 ： (1) 有 3 个 不 同 的 命 题 变 元 ， 使 公 式 的 真 值 为 0 的 赋 值 有 p 0, q 0, r 0 ；
p 0, q 0, r 1 ； p 0, q 1, r 0 ； p 0, q 1, r 1 ； p 1, q 0, r 1 ； p 1, q 1, r 0 ； p 1, q 1, r 1 . 使公式的真值为 1 有赋值有 p 1, q 0, r 0 .
逻辑学复习资料
1、逻辑学属于思维科学。
逻辑学把思维的形式结构作为特殊研究对象。
思维的形式结构，是思维内容的存在、联系方式，由逻辑常项和逻辑变项构成。
（思维形式结构不表达具体的思维内容，没有真假，但用具体词项或命题，代入思维形式结构中的逻辑变项，这种思维形式结构就被赋予了具体内容，就有了真假。
）2、概念内涵——概念所反映的对象的本质属性外延——概念所反映的对象类集合概念——反映集合体的概念非集合概念——反映类的概念3、概念的关系（欧拉图）⑴、全同关系如果S和P的外延完全重合，即所有的S都是P并且所有的P都是S，那么，S与P之间的关系就是全同关系。
⑵、种属关系如果S的合部外延同P的部分外延相相重合，即所有的S都是P并且有P不是S，那么S与P之间的关系就是真包含于关系。
⑶、属种关系如果S的部分外延同P的全部外延重合，即所有的P都是S并且有S不是P，那么S与P之间的关系就是真包含关系。
⑷、交叉关系如果S和P的外延仅有一部分重合，即有的S是P，有的S不是P，并且有的P不是S，那么，S与P之间的关系就是交叉关系。
⑸、不相容关系P SS PPSSP如果S 和P 的外延没有任何部分重合，即所有的S 都不是P ，那么，S 与P 之间的关系就是不相容关系。
﹡根据某种语境，根据论域，概念的不相容，分为矛盾和对立两种关系。
①、矛盾关系：S 和P 不相容，且二者外延之和等于其论域M ，如图1。
②、对立关系：S 和P 不相容，且二者外延之和小于其邻近属概念M 的外延，如图2。
M M4、定义揭示概念的内涵，即本质属性。
定义的规则：第一，定义项的概念认知度高于被定义项。
违反的称为：晦涩定义 第二，被定义项要恰当归类。
第三，定义项和被定义项的外延必须是全同关系。
违反的称为：定义过宽或定义过窄 第四，定义项中不能直接或间接地包含被定义项。
违反的成为：循环定义第五，定义一般是肯定性陈述，但并非不能使用否定性陈述。
如，亚健康就是非病非健康状态。
普通逻辑学第六讲 命题的判定与自然推理
T
T
T
T
真值表方法还可以用来判定不同真值形 式之间的逻辑关系
p q p q p q TT F F T TF F T F FT T F T FF T T T
p q T F T T
p q F T F F
2、归谬赋值法
• 归谬赋值法的基本思想：为了证明一个蕴涵式是重言式， 必须证明它不可能前件真而后件假。先假设所要判定的 蕴涵式前件真且后件假，并根据这个假设，给每个命题 变项赋值，使其满足前件真而后件假。如果在这样的赋 值过程中出现了矛盾赋值，即必须给同一个命题变项既 赋“真”值又赋“假”值，那么，原假设不成立，因而 该蕴涵式是重言式。
一、重言式
• 1、真值形式：是指由真值联结词和命题变项构成的形式 结构。
• 在现代命题逻辑中，它是复合命题的命题形式，或命题的 逻辑形式。
• 1.1真值联结词：仅仅表示复合命题与肢命题之间的真假关系的联结 词， 通常又叫逻辑联结词。
• 1.2命题逻辑的五种基本真值形式 • 否定式：p • 合取式：p q • 析取式：p q • 蕴涵式： p q • 等值式： p q
• 12、交换律： p q q p； p q q p
• 13、双否律： p p
3、重言式
• 14、结合律：（p q） r p （q r）（合取交换）
•
（p q） r p （q r）（析取交换）
• 15、分配律： p （q r） （p q）（p r）
• [A]表示假设有A； [A]…C表示假设有A，并能从其推演 出C。
用自然推理判定下列推理是否有效
• 如果下雨，地面就会潮湿，地面没潮湿，所以没下雨。
• 前提： p q; q. 结论：p
《数字电子技术基础》习题没答案
《数字电子技术基础》习题第一章第一章数字电子技术概述1．数字信号和模拟信号各有什么特点?描写脉冲波形有哪些主要参数2．和模拟电路相比，数字电路有哪些优点?3．在数字系统中为什么要采用二进制?它有何优点?4．数字电路和模拟电路的工作各有何特点?⒌把下列二进制数转换成十进制数：10010110 11010100 0101001 110110.111 101101.101⒍将下列数转换为十进制数：1101B 4FBH 110.11B⒎将下列数转换为二进制数：7.85D 3DF.2BH 256D⒐将下列数转换为十六进制数：256D 1101.11B 110.11B⒑将下列十进制数转换为对应的八进刺数：21 130 27 250 48 1012 95 100.625⒒分别用842lBCD码、余3码表示下列各数：(9.04)10 (263.27)10 (1101101)2 (3FF)16 (45.7)8⒓列出用BCD码代替二进制的优点⒔列出用BcD码代替二进制的主要缺点j⒕在数字系统的运算电路中使用BCD的主要缺点是什么⒖格雷码的另一个名字是什么⒗二极管电路及输入电压ui的波形如图1-1所示，试对应画出各输出电压的波形。
图1-1⒘半导体三极管的开、关条件是什么?饱和导通和截止时各有什么特点?和半导体二极管比较，它的主要优点是什么?⒙⒙判断图1-2所示各电路中三极管的工作状态，并计算输出电压u o的值。
图1-2⒚N沟造增强型MOS管的开、关条件是什么?导通和截止时各有什么特点?和P沟道增强型MOS管比较，两者的主要区别是什么?第二章第二章集成逻辑门电路⒈请举出生活中有关“与”、“或”、“非”的逻辑概念．并各举两个例子说明。
⒉如图2-1所示，是二极管门电路，请分析各电路的逻辑功能．并写出其表达式。
图2-1⒊电路如图2-2所示，写出输出L的表达式。
设电路中各元件参数满足使三极管处于饱和及截止的条件。
图2-2⒋TTL与非门典型电路中输出电路一般采用电路。
离散数学第四版课后标准答案
离散数学第四版课后答案第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学2023年10月真题
2023年10月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试题(课程代码02324)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.应考者必须按试题顺序在答题卡(纸)指定位置上作答，答在试卷上无效。
3.涂写部分、画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
第一部分选择题一、单项选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.令p:今天我上班，q:今天我休息。
命题“今天我要么上班要么休息”的符号化形式为A.p V qB.q→pC.¬ p∧qD.(¬ q∧p)V(q∧¬ p)2.设令F(x):x是火车，G(x):x是汽车，L(x,y):x比y快。
命题“有的火车比有的汽车快”的符号化形式为A.∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y)))B.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))C.¬∃y(G(y)∧∀x(F(x)→L(y,x)))D.¬∀y(G(y)→∀x(F(x)→L(x,y)))3.下列关于小项和大项的性质表述正确的是A.任意两个不同小项的合取式必为真B.任意两个不同大项的析取式必为假C.任意两个不同小项的析取式必为假D.大项的否定是小项下图中是欧拉图的为4.B. C. D.A.5.设有非空集合A上的全域关系S，则关系S不是A.自反关系B.对称关系C.传递关系D.反对称关系6.简单无向图G有9条边，每个结点都是3度结点，则G的结点数为A.5B.6C.7D.87.下列谓词恒等式，不正确的是A.∀x(P(x)V Q(x))⇔∀xP(x)V∀xQ(x)B.∃x(P(x)V Q(x))⇔∃xP(x)V∃xQ(x)C.∀x(P→Q(x))⇔P→∀xQ(x)D.∃x(P→Q(x))⇔P→∃xQ(x)8.下列度数序列中，不能构成简单无向图的是A.{1,1,1,2,3}B.{1,2,2,3}C.{6,2,2,2,4}D.{3,3,3,3}9.设A={3z|z∈Z),运算为实数加法+和乘法*,则<A,+,*>构成的代数系统是A.环B.整环C.域D.格10.集合A上的自反关系R的关系矩阵为M,则M的元素必定A.对角线上全是0B.关于反对角线对称C.关于对角线对称D.对角线上全是111.已知A、B、C、D是任意集合，则下列各式成立的是A.(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)B.(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)C.(A⊕B)×(C⊕D)=(A×C)⊕(B×D)D.(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)12.要从完全图K4中得到一棵生成树，需要删除的边数为A.1B.2C.3D.413.设有集合A上的关系R1和R2,下列命题为真的是A.若关系R1和R2是自反的，则R₁⁰ R2也是自反的B.若关系R1和R2是对称的，则R₁⁰ R2也是对称的C.若关系R1和R2是传递的，则R₁⁰ R2也是传递的D.若关系R1和R2是反自反的，则R₁⁰ R2也是反自反的14.下图中4个偏序集的图形，能构成格的是d e e g a afb c b d b fc db c c ea ea dA. B. C. D.15.设有穷集合A的元素个数为m，则A到A的不同单射函数的个数为A.m！B.m mC.m2D.2m第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
逻辑学复习题资料
一、单项选择题1．下列命题都具有相同逻辑形式，除了（ E ）以外。
E．只有讲究科学方法，才能取得好成绩2．中国女子排球队多次夺得过世界冠军。
这里“世界冠军”是（ A ）。
A．普遍概念3．在“禁止非司机开车”这个语句中，“非司机”这个语词表达是（ D ）。
D．负概念与非集合概念4．以下划横线的概念，是在（ A ）意义上使用的。
中国人死都不怕，还怕困难吗？A．集合概念5．“企业可分为国有企业、集体企业”，这个划分所犯的逻辑错误是（ B ）。
B．划分不全6．“我最爱阅读外国文学作品，英国的、法国的、古典的，我都爱读。
”这一陈述在逻辑上犯了哪项错误？（ A ）。
A．划分外国文学作品的标准混乱，前者是按国别划分的，后者是按时代划分的7．正方形就是四角相等的四边形。
以下哪项对上述定义的评价最为确切？（ B ）。
B．不正确，定义过宽8．母项S通过划分，得到并且只得到S1和S2两个子项。
如果这一划分是正确的，则S1和S2不可能具有以下关系（ E ）。
（1）属种关系（2）矛盾关系（3）对立关系E．只有（1）和（3）9．“鸡血是红色的，羊血是红色的，鱼血是红色的，可见，一切动物的血都是红色的。
”这段议论犯了（ A ）的逻辑错误。
A．轻率概括10．“吸烟成癖”和“患肺癌”之间是什么关系？（ D ）。
（注：若C项成立，则A和B项自然同时成立。
约定：若选C项，则不选择A或B项）D．前者和后者不构成条件关系11．“相容关系”和“交叉关系”，这两个概念是（ B ）。
B．属种关系12．“人口不少于50万的城市”与“人口多于100万的城市”这两个概念具有（ D ）关系。
D．属种13．“普遍概念”限制为“单独概念”；“中国”限制为“北京”；“科学”限制为“自然科学”；“亚洲”限制为“中国”；“竞争”限制为“人才竞争”。
在上述五组对相应概念的限制中（ B ）。
B．只有二个是正确的14．有些青年是发明家，有些青年是知识分子，所以，有些知识分子是发明家。
离散12习题
第1章习题答案1.说明下列语句哪些是命题及命题的真值？（1）(2)(5)(7)(8)(9)(10)(11)是命题，其中（1）（5）（8）（10）是真命题，（9）的真值现在不知道。
2.将下列命题符号化。
（1）,p q∧其中:p小王聪明，:q小王用功。
（2）,p q∧⌝其中:p天气很冷，:q下雪。
（3）,p q∨其中:p晚上有英语课，:q晚上有数学课。
（4）(),r p q→∨其中:p你年满14岁，:q你身高超过1.4米，:r你坐过山车。
（5）p q→，其中:p产量上升，:q工资提高。
（6）()p q⌝∧，其中:p销量下降，:q价格上涨。
（7）p q→，其中:p你给我发个电子邮件，:q我有你的邮件地址。
（8）p q↔，其中:p两个三角形全等，:q它们的三条对应边相等。
（9）(),r p q s→∧∧⌝其中:p阳光充足，:q在夏天，:s下雨，:r我去游泳。
（10）p q↔，其中:p热带风暴来临，:q下大雨。
3.（1）小王至少会讲汉语或英语的一种。
（2）小王会讲汉语和英语(3) 小王会讲汉语但不会英语（4）小王不会讲汉语或不会讲英语。
（5）小王会讲汉语。
（6）小王既不会讲汉语也不会讲英语是不可能的。
4.设命题p:天下雨，q：我去打球，r:我有空。
用自然语言写出下列命题。
（1）如果我去打球，那么一定是我有空且天没下雨；我有空且天没下雨我就一定去打球。
(2)若天下雨或我有空我就去打球。
(3)(q→r)˄(r→q)(4)天下雨或我有空那是不可能的。
5.设命题p:这个材料很有趣；q:这些习题很难；r:学生喜欢这门课。
精选文库—1（1）p q ∧ （2）()p q r ∧⌝→ （3）p r ↔ （4）p q r ⌝∧⌝∧⌝ （5）p q ∀6. 构造下列各题的真值表，写出成真赋值和成假赋值。
（1） (p ∨⌝q )→ q 的真值表（2） p ∧q ∨⌝r 的真值表成假赋值为 001；011；101.（3） (p → q )∧(⌝p →q )的成真赋值精选文库—2（4） (p ↔ q )∧(⌝↔q )7. 设p 、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，求下列命题的真值。
第七讲命题的判定与自然推理
矛盾式
可满足式
指表示有时真有时假的真值函项的真值形式。 如，p∨q，p q
3、重言式
重言式是逻辑真理的表现形式；
现代命题逻辑中的一切正确推理形 式均表现为重言式；
凡是正确的推理形式都可以表现为 重言蕴涵式和重言等值式：
第二节 命题的真值判定方法
一、 真值表方法 二、 归谬赋值法
一 真 值 表 法
q
(pq)
pq
pq
T
T F F
T
F T F
F
F F T
T
T T F
T
F F F
第三步：根据“恰有一个为假”的给定条件， 找出对应的情况。
p
q
(pq)
pq
pq
T
T F F
T
F T F
F
F F T
T
T T F
T
F F F
因此，可得出答案为：甲乙都是作案者。
方法2
(pq) pq (pq) pq pq
T
T F T T F
F
T
注意：
规范性 完整性 矛盾的不可避免性 矛盾的可转嫁性
四 真 值 树 法
1、判定功能
2、构造规则(分解规则）
合取并列、析取分枝、多重转化
3、构造步骤及注意事项
多重转化、 合取先行、析取分枝
4、具体应用
※构造规则※
分解：
AB A B
分解：
AB A B
命题
①如果摩擦，则生热； ②如果2＋2＝5，那么雪是黑的；
3.1 重言式
形式结构：如果p，那么q。 真值形式：p→q
3.1 重言式
③明天或者不雨，或者不下雨； ④或者拉登已死，或者明天下雨；
简化真值表方法
简化真值表方法简化真值表方法是一种用于简化逻辑函数的方法。
逻辑函数可以用真值表来表示，真值表是根据逻辑变量的取值情况列出的函数的取值情况。
简化真值表方法通过对真值表中具有相同取值的项进行合并，从而得到简化后的逻辑函数。
本文将介绍10条关于简化真值表方法的方法，并展开详细描述。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地了解和应用简化真值表方法。
1. 真值表的排列：将逻辑函数的输入变量和输出变量的可能取值列出，并按照字典序的方式排列。
这个排列是为了后续的分组和合并做准备。
2. 真值表的展开：将逻辑函数的真值表完全展开，即将逻辑函数的所有输入变量的所有可能取值与对应的输出变量的取值都列出。
这样可以清楚地了解逻辑函数的取值情况，并对后续的分组和合并操作有所准备。
3. 相同取值项的合并：观察真值表中具有相同取值的项，将它们合并成一个项。
合并后的项的取值为相同的取值，合并后的项的对应输出取值为原始相同取值项的输出取值的共同取值。
4. 不变项的提取：观察真值表中取值始终不变的输入项，将它们提取出来作为不变项。
不变项的取值与输出变量的取值无关，可以直接确定其输出取值。
5. 组合合并：将合并后的项按照输入变量的排列方式进行组合合并。
将具有相同输入变量取值的项进行合并，合并后的项的输出变量取值为合并前的项中输出变量取值的共同取值。
6. 重复步骤4和步骤5：重复执行步骤4和步骤5，直到不能再进行合并为止。
每一次合并都会减少项的数量，使得逻辑函数得到更简化的形式。
7. 零项和全项的处理：观察真值表中的全0项和全1项，将它们提取出来作为零项和全项。
全0项的输出取值为0，全1项的输出取值为1。
8. Minterm的提取：观察真值表中输出变量为1的项，将它们提取出来作为Minterm。
Minterm的输出变量为1，其他输入变量的取值与Minterm一致。
9. Maxterm的提取：观察真值表中输出变量为0的项，将它们提取出来作为Maxterm。
数字电子技术复习题及参考答案
数字电子技术复习题一、单选题1、以下式子中不正确的是（ ）A. 1A A •=B. A A A +=C. B A B A +=+D. 11A +=2、在数字电路中，稳态时三极管一般工作在( )状态。
在图示电路中，若0i u <，则三极管T( ),此时uo =( )A ．放大，截止，5VB ．开关，截止，C ．开关，饱和，D ．开关，截止，5V3、N 个变量可以构成（ ）个最小项。
A. NB. 2N C 、 2ND 、 2N-1 TTL 门电路，为了使输出等于，4、图中电路为选择正确答案（ ）。
A ．正确，错误，错误B ．正确，错误，正确C ．正确，正确，正确D ．正确，正确，错误5、TTL 门电路输入端悬空时，应视为（ ）；(高电平，低电平，不定）。
此时如用万用表测量其电压，读数约为（ ）（，0V ，）。
A ．不定B ．高电平，C ．低电平，0VD ．高电平， 6、一个64选1的数据选择器有（ ）个选择控制信号输入端。
A ．6B ．16C ．32D ．64 7、设计计数器时应选用（ ）。
A ．锁存器B ．边沿触发器C ．同步触发器D ．施密特触发器8、欲将频率为f 的正弦波转换成为同频率的矩形脉冲，应选用（ ）。
A ．多谐振荡器B ．施密特触发器C ．单稳态触发器D ．'T 触发器 9、一片64k ×8存储容量的只读存储器（ROM ），有（ ）。
条地址线和8条数据线 条地址线和16条数据线 条地址线和8条数据线 条地址线和16条数据线10、ROM 必须在工作（ ）存入数据，断电（ ）数据；RAM 可以在工作中（ ）读写数据，断电（ ）数据。
A.中，不丢失；随时，将丢失B.前，不丢失；随时，将丢失C.前，不丢失；随时，不丢失D.前，丢失；随时，将丢失 11、若逻辑表达式F A B =+,则下列表达式中与F 相同的是( ) A.F AB = B.F AB = C. F A B =+ D.不确定 12、下列电路中，不属于组合电路的是：（ ） A.数字比较器； B.寄存器； C.译码器； D.全加器；13、不能用来描述组合逻辑电路的是：（ ）A.真值表；B.卡诺图；C.逻辑图：D.驱动方程；14、利用中规模集成计数器构成任意进制计数器的方法有( ) A.复位法 B.预置数法 C.级联复位法 D.以上都不是15、施密特“非”门和普通“非”门电路的阈值电压分别是（ ）个。
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
离散数学第1章习题答案
<><><>100;{[];;} ;( *S){>1;}( * x){(>1){("\n !"); 0;}>;>[>];1;}( *S){(>1);}( * *x){((S)){("\n !");0;}*>[>];>;1;}( N){e;*(*)(());(S); (N){(2);2;}((S)){();(" ");}}(){ n;("请输入待转换的值n：\n");("");(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
(2)李梅能歌善舞。
(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。
(5)只要我有时间，我就来看你。
(6)x＝５。
(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。
(8)太阳系外有宇宙人。
(9)小王和小张是同桌。
(10)不存在最大的素数。
解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。
(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。
其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。
其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。
2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P(P∨Q))。
(2)(P Q)(Q P)))。
(3)((P Q)(Q P))。
(4)(Q R∧S)。
(5)(P∨)S。
(6)((R(Q R)(P Q))。
解 (1)是命题公式。
(2)不是命题公式，因为括号不配对。
(3)是命题公式。
(4)是命题公式。
(5)不是命题公式，因为没有意义。
(6)不是命题公式，因为R(Q R)(P Q) 没有意义。
3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。
(2)我去新华书店，仅当我有时间。
离散数学
大家好
25
离散数学
区别：
真值表法是把所给前提一起使用；而直接证法则 是不断使用前提和前面推出的结论，构成推导序列， 是把前提一步一步拿来使用。
大家好
26
离散数学
证明：
(W∨R) →V ,V→C∨S, S→U, ┐C∧ ┐U ┐W
大家好
27
离散数学
二、证明方法
1. 真值表法 2. 直接证法 3. 间接证法
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn的真值均为F，则称公式H1，
H2，…，Hn是不相容大的家好。
29
离散数学
(2)证法
可以把不相容的概念应用于命题公式的证明。
设有一组前提H1，H2，…，Hn ，要推出结论C， 即证H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，记作S C，即 ┐C→ ┐S为永真，或C∨┐S为永真，故┐C ∧S为永 假 。因此要证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，只要证 明H1，H2，…，Hn与┐C是不相容的。类似于假定 ┐C为真，推出矛盾。
E19
E20
E21
大家好
E22
P→ (Q→R) (P∧Q) →R
P Q (P→Q) ∧(Q→P)
P Q (P∧Q) ∨(┐P∧ ┐Q)
19
┐(P Q) P ┐Q 离散数学
合取引入规则：任意两个命题公式A，B可以推出
A∧B
用直接推理法证明(p→q)∧(q→r)∧pr）
证明： ⑴ p→q
P
⑵p
P
⑶q
T⑴,⑵I（假言推理）
⑷ q→r
P
⑸r
T⑶,⑷I（假言推理）
大家好
20
离散数学
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R
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一個字母
若只有一種字母，則只 有兩種可能： T， F。
A T F
兩個字母
兩種字母則有四種可能 的組合。 先在A下面寫下： T T F F。 再在B下面寫下： T F T F。 A T T F F B T F T F
三個字母
三種字母則有八種可能 的組合。
先在A下面寫下： T T T T F F F F。 然後在B下面寫下： T T F F T T F F。 最後在C下面寫下： T F T F T F T F。
FF TF T T FF TF T F
Logically equivalent
A→B T T T T F F F T T F T F 〜B → 〜A FT T FT TF F FT FT T TF TF T TF
Contradictory
A→B T T T T F F F T T F T F A∧〜B TF FT TT TF FF FT FF TF
Contradiction (矛盾)
A compound (A∨B)≡(〜A∧〜B) statement is said to T T T F F T F F T be logically false or T T F F F T F T F self-contradictory if F T T F T F F F T it is false FFF F TFT TF regardless of the truth values of its components.
Note
As with testing argument, the objective is to avoid a contradiction. As soon as no contradiction is reached, we stop. The statements are consistent.
A T T T T F F F F
B T T F F T T F F
C T F T F T F T F
例子
(P∨〜Q) → Q
(P∧〜Q) → R
Tautology（重言句）
例子 A compound statement is said to be logically true or ((A → B)∧A) → B tautologous if it is T T T T T T T true regardless of T F F FT T F the truth values of its components. F T T FF T T F T F FF T F
Testing statements for consistency
1. Begin by writing the statements on a line, separating each with “ / ”. 2. Then assume that the statements are consistent. (Assign a T to the main operator of each.) 3. Compute the truth values of the components. If it leads to a contradiction, then the statements are inconsistent. Otherwise, they are consistent.
例1
〜P → (Q∨R) 〜Q R→P
將公式並列： 〜P → (Q∨R) / 〜Q // R → P
例2
A → (B∨C) B→D A 〜C → D A → (B∨C) / B → D / A // 〜C → D
例3
〜A → B B→A A→〜B A∧〜B
〜A → B / B → A / A→〜B // A∧〜B
真值表法
A truth table gives the truth value of a compound proposition for every possible truth value of its simple components.
真值表就是列出所有的真假的組合。 （當字母的種類是n時，真值表的行數L=2ⁿ）
例2
如果爆發流感 (P)，則學校停課 (Q)。 如果學校停課，則學生很高興 (R)。 所以，如果爆發流感，則學生很高興。
P→Q Q→R P→R
Indirect truth tables
步驟：
要檢驗一個argument是否valid，先假設它 是invalid，即假設前提皆真而結論假。
然後以倒溯的方法求各式的真值，過程中 若出現矛盾，則此argument是valid；若不 出現矛盾，則此argument是invalid.
Only if all three lines had led to a contradiction would these statements be inconsistent.
Contingency
(P∧〜Q) → R A compound statement is said to T F F T T T TF FT T F be contingent if its TT TF T T truth value varies TT TF F F depending on the FF FT T T truth values of its FF FT T F components.
Consistent
A∨B TTT TTF FTT FFF A∧B TTT TFF FFT FFF
Inconsistent
A≡B TTT TFF FFT FTF A∧〜B TFFT TTTF FFFT FFTFTruth tab来自es for argument
步驟：
1. 將論證用符號表達。 2. 將表達式並列，用 “ / ” 隔開前提，用 “ // ” 隔開結論。 3. 分別列出真值表。 4. 看看有沒有所有前提皆真而結論假的情形， 若有，則論證無效；若無，則有效。
策略
If an indirect truth table requires more than one line, the method to be followed is this. Either select one of the premises and compute all of the ways it can be made true, or select the conclusion and compute all of the ways it can be made false. This selection should be dictated by the requirement of simplicity.
例1
If John studies hard, he will pass the exam. John does not study hard. Therefore, he will not pass the exam.
J: John studies hard. P: John will pass the exam.
例1
P∨Q / Q → (R∨P) / R → 〜Q / 〜P FTT TT FFF F T FT TF Contradictory! So, the statements are inconsistent.
例2
P → (Q∧R) / R → 〜P / Q∨P / Q → R F T TTT TT TF TTF T T T F T T F T F No contradiction. So, the statements are consistent.