高中数学概率大题(经典一)

高中数学概率大题（经典一）

一．解答题（共10小题）

1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；

（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？

2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：

办理业务所需的时间

1 2 3 4 5

（分）

频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？

（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．

4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．

（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；

（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．

5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．

（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；

（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．

6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．

（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；

（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：

方案1：运走设备，此时需花费4000元；

方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；

方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．

（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；

（2）试比较哪一种方案好．

8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这

三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；

（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；

（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．

（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．

（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；

（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？

【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，

∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，

∴P（X=0）=；

P（X=1）=；

P（X=2）=；

P（X=3）=；

P（X=4）=；

P（X=5）=．

∴随机变量X的概率分布如下表：

E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×

=≈2.73

（2）由题意知

①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）

②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）

③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）

教练员组队方案共有144+45+2=191种．

2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：

1 2 3 4 5

办理业务所需的时间

（分）

频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5

P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1

（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：

①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．

所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22

（2）X所有可能的取值为：0，1，2．

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1

分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；

所以X的分布列为

X 0 1 2

P 0.5 0.49 0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？

（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．

【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，

设“海宝”卡n张，

则任一人获奖的概率，