高中数学概率大题(经典二)

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高中数学第十章概率典型例题(带答案)

高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”，则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率．甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______．答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13．所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人，用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。

部编版高中数学必修二第十章概率带答案经典知识题库

(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率带答案经典知识题库单选题1、下列命题中正确的是（）A ．事件A 发生的概率P (A )等于事件A 发生的频率f n (A )B ．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C ．掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则P (A )=2P (B )D ．对于两个事件A 、B ，若P (A ∪B )=P (A )+P (B )，则事件A 与事件B 互斥2、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D ．至少有一个黑球与都是红球3、从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为（）． A ．13B ．12C ．14D ．234、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6的概率为（） A ．19B ．536C ．16D ．7365、种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为（） A ．pq B ．p +qC ．p +q −pqD ．p +q −2pq6、若P(AB)=19，P(A )=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（） A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立 7、下列事件属于古典概型的是（）A ．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B ．篮球运动员投篮，观察他是否投中C ．测量一杯水分子的个数D ．在4个完全相同的小球中任取1个8、天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（） A ．0.40B ．0.30C ．0.25D ．0.20 多选题9、(多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是A ．至少有1个红球与都是红球B ．至少有1个红球与至少有1个白球C ．恰有1个红球与恰有2个红球D ．至多有1个红球与恰有2个红球10、某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（）A ．两人均获得满分的概率为12B ．两人至少一人获得满分的概率为712C ．两人恰好只有甲获得满分的概率为34D ．两人至多一人获得满分的概率为1112 11、已知事件A ，B ，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，则（） A ．如果B ⊆A ，那么P(A ∪B)=0.4,P(AB)=0.3 B ．如果A 与B 互斥，那么P(A ∪B)=0.7,P(AB)=0 C ．如果A 与B 相互独立，那么P(A ∪B)=0.7,P(AB)=0.12 D ．如果A 与B 相互独立，那么P(A ⋅B)=0.42,P(AB)=0.18 填空题12、甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的概率为_________.部编版高中数学必修二第十章概率带答案(二十七)参考答案1、答案：C解析：根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得P(A)=12×12×2=12，P(B)=12×12=14，故P(A)=2P(B)，故C选项正确；对于D选项，设x∈[−3,3]，A事件表示从[−3,3]中任取一个数x，使得x∈[1,3]的事件，则P(A)=13，B事件表示从[−3,3]中任取一个数x，使得x∈[−2,1]的事件，则P(A)=12，显然P(A∪B)=56=13+12=P(A)+P(B)，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.小提示：本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.2、答案：C分析：根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.故选：C．3、答案：B分析：一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数n和有利事件数m，代入古典概型的概率计算公式P=mn，即可得解.解：从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)、(4,6)、(6,8)共3种.故这两个元素相差2的概率为12.故选：B.4、答案：B分析：分别求得基本事件的总数和点数和为6的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为6的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5种，则点数和为6的概率为P=536．故选：B．5、答案：D分析：根据题意，结合独立事件和互斥事件概率计算公式，即可求解.由题意，两株不同的花卉的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为P=p(1−q)+(1−p)q=p+q−2pq.故选：D.6、答案：C分析：结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.∵P(A)=1−P(A)=1−23=13，∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0，∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立. 故选：C7、答案：D解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.8、答案：D分析：由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数=0.20∴所求概率为420故选：D9、答案：CD解析：根据互斥不对立事件的定义辨析即可.根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D符合题意.故选：CD小提示：本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.10、答案：BCD分析：利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定. ∵甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为M,N ，则P (M )=34,P (N )=23,M,N 独立. ∴两人均获得满分的概率为:P (MN )=P (M )P (N )= 34×23=12,故A 正确;两人至少一人获得满分的概率为:1−P (M̅N ̅)=1−(1−P (M ))(1−P (N ))=1−(1−34)(1−23)=1112，故B 错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为:P (MN ̅)=P (M )(1−P (N ))=34×(1−23)=14，故C 错误；两人至多一人获得满分的概率为: 1−P (MN )=1−12=12，故D 错误. 故选：BCD . 11、答案：ABD分析：根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可. 如果B ⊆A ，那么P (A ∪B )=P (A )=0.4，P (AB )=P (B )=0.3，故 A 正确；如果A 与B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.4+0.3=0.7，P (AB )=P (∅)=0，故 B 正确；如果A 与B 相互独立，那么P (AB )=P (A )P (B )=0.4×0.3=0.12，P (A ∪B )=P (A )+P (B )−P (AB )=0.4+0.3−0.4×0.3=0.58，故C 错误；如果A 与B 相互独立，那么P(A ⋅B)=(1−0.4)(1−0.3)=0.42， P(A ⋅B)=(1−0.4)×0.3=0.18，故 D 正确；故选：ABD 12、答案：1730分析：分别求出从甲、乙中摸出红球的概率，相加即可.掷到1或2的概率为26=13，再从甲中摸到红球的概率为510=12，故此情况下从甲中摸到红球的概率为P1=13×12=16，掷到3，4，5，6的概率为46=23，则再从乙中摸到红球的概率为610=35，故此情况下从乙中摸到红球的概率为P2=23×35=25综上所述摸到红球的概率为：P=P1+P2=16+25=1730.所以答案是：1730.。

2022年秋高中数学第四章概率与统计测评试题二新人教B版选择性必修第二册

第四章测评(二)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i,y i)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+b e xD.y=a+b ln x2.(2021安徽淮南田家庵校级月考)在建立两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,模型1的相关系数r为0.88,模型2的相关系数r为0.945,模型3的相关系数r为0.66,模型4的相关系数r为0.01,其中拟合效果最好的模型是()A.模型1B.模型2C.模型3D.模型43.设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态曲线如图所示,下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)4.(2021安徽宣城郎溪校级月考)甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49B.0.42C.0.7D.0.915.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷,则沙漠面积增加数y (单位: 万公顷)关于年数x (单位:年)的函数关系较为接近的是( ) A.y=0.2x B.y=0.1x 2+0.1x C.y=0.2+log 4xD.y=2x106.(2021江西抚州南城校级期中)设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y=X-2,则P (Y=2)等于( ) A.0.3B.0.4C.0.6D.0.77.(2021北京西城校级期中)在一段时间内,甲去博物馆的概率为0.8,乙去博物馆的概率为0.7,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( ) A.0.56B.0.24C.0.94D.0.848.(2021陕西榆林一模)设0<a<12,0<b<12,随机变量ξ的分布列为当a 在0,12内增大时,( ) A.E (ξ)增大,D (ξ)增大 B.E (ξ)增大,D (ξ)减小 C.E (ξ)减小,D (ξ)增大 D.E (ξ)减小,D (ξ)减小二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对某中学的高中女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)进行线性回归分析,根据样本数据(x i,y i)(i=1,2,3,…,12),计算得到相关系数r=0.996 2,用最小二乘法近似得到回归直线方程为y^=0.85x-85.71,则以下结论正确的是()A.y与x正相关B.x与y具有较强的线性相关关系,得到的回归直线方程有价值C.若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该中学某高中女生身高为160 cm,则可断定其体重为50.29 kg10.(2021福建福州一模)“一粥一饭,当思来之不易”,道理虽简单,但每年我国还是有2 000多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣,浪费可耻”的氛围,某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况,在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人,制成如下列联表,通过计算得到χ2的值为9.已知P(χ2≥6.635)=0.010,P(χ2≥10.828)=0.001,则下列判断正确的是()A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关11.(2021新高考Ⅰ)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则下列说法错误的是( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立12.小张从家到公司开车有两条线路,所需时间(单位:分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示,则下列说法正确的是( )A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021四川成都武侯校级模拟)已知某产品的销售额y (单位:万元)与广告费用x (单位:万元)之间的关系如表所示,若销售额与广告费用之间的回归直线方程为y ^=6.5x+a ^,预计当广告费用为6万元时的销售额约为万元.14.一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地任取两次,每次取一球,在第一次取到的是白球的条件下,第二次也取到白球的概率是 .15.(2021福建福州期中)已知随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B6,12,则E (2ξ+3)= ,D (2ξ+3)= .16.(2021浙江杭州期中)已知随机变量ξ的分布列如表所示,若P (ξ≤x )=34,则实数x 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021山东模拟)短视频已成为很多人生活中娱乐不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量(单位:万次)的数据并进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.其中t i =x i 2.某位同学分别用两种模型:①y ^=b ^x 2+a ^,②y ^=d ^x+c ^进行拟合. (1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01) (3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少.附:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y −b ^x .18.(12分)(2021陕西模拟)为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关,随机对该校100名性别不同的学生进行了调查,得到如下列联表.(1)请将上述列联表补充完整;(2)判断是否有99.9%的把握认为是否喜爱某种食品与性别有关?(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人,现从这6名学生中随机抽取2人,求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率.附:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.19.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X).附:√150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954.20.(12分)(2021四川自贡模拟)在一次产品质量抽查中,发现某箱5件产品中有2件次品.(1)从该箱产品中随机抽取1件产品,求抽到次品的概率;(2)从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品,求抽出的2件产品中有次品的概率P;(3)若重复进行(2)的试验10次,则出现次品次数的期望是10P,请问上述结论是否正确?请简要说明理由.21.(12分)(2021新高考Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.22.(12分)小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式.(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的频率分布直方图,其中当某天的派送量指标在m-15,m 5(m=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2m单,若将频率视为概率,回答下列问题:①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);②根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望.请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适?并说明你的理由.参考答案第四章测评(二)1.D 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+b ln x.2.B 在4个不同的回归模型中,模型2的相关系数r=0.945最大,所以拟合效果最好.故选B.3.D 由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P (Y ≥μ2)=12, P (Y ≥μ1)>12,故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1),故A 错误;因为σ1<σ2,所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1),故B 错误;对任意正数t ,P (X ≥t )<P (Y ≥t ),故C 错误;对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t ),故D 正确.故选D.4.B 甲、乙两人各进行1次射击,两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是C 21×0.7×0.3=0.42. 故选B.5.D 将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=0.2x ,当x=3时,y=0.6,和0.78相差较大;将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=0.1x 2+0.1x ,当x=2时,y=0.6,和0.39相差较大;将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=0.2+log 4x ,当x=2时,y=0.7,和0.39相差较大;将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=2x 10,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.4,与0.39相差0.01,当x=3时,y=0.8,和0.78相差0.02.综合以上分析,选用函数关系y=2x 10较为接近. 故选D.6.A 由离散型随机变量X 的分布列得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3,因为随机变量Y=X-2,所以P (Y=2)=P (X=4)=0.3.故选A.7.C 根据题意,设甲去博物馆为事件A ,乙去博物馆为事件B ,则P (A )=0.8,P (B )=0.7,则P (A )=0.2,P (B )=0.3,两人都不去博物馆的概率P (AB )=0.2×0.3=0.06,则甲乙两人至少有一个去博物馆的概率P=1-P (AB )=0.94.故选C.8.D 由题意可得E (ξ)=-12+b=-a ,D (ξ)=(-1+a )2×12+(0+a )2×a+(1+a )2×b=-a+122+54.当a 在0,12内增大时,E (ξ)减小,D (ξ)减小.故选D.9.ABC 由于回归直线方程中x 的系数为0.85>0,因此y 与x 正相关,故A 正确;根据相关系数r=0.9962接近1,故B 正确;由回归直线方程中系数的意义可得身高x 每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C 正确;当某女生的身高为160cm 时,其体重估计值是50.29kg,而不是确定值,故D 错误.故选ABC. 10.AC 因为χ2的值为9,且P (χ2≥6.635)=0.010,P (χ2≥10.828)=0.001,因为9>6.635,但9<10.828,所以有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关,或者说,在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关,所以选项C 正确,选项D 错误;由表可知认可“光盘行动”的人数为60人,所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例约为6090×100%≈66.7%,故选项A 正确,选项B 错误.故选AC.11.ACD 由已知得P (甲)=16,P (乙)=16, P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙),P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136≠P (乙)P (丙),P (丙丁)=0≠P (丙)P (丁).由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故B 正确,A,C,D 错误.12.BD “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A 错误; 线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39分钟,线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟,所以线路一比线路二更节省时间,B 正确;线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,故C 错误;所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况, 概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,故D 正确.故选BD.13.48 ∵x =15×(0+1+2+3+4)=2,y =15×(10+15+20+30+35)=22, ∴a ^=22-6.5×2=9,则y ^=6.5x+9,取x=6,得y ^=6.5×6+9=48.14.12 记事件A :第一次取得白球, 事件B :第二次取得白球.则P (B|A )=P(AB)P(A)=3×25×435=12.15.9 6 ∵随机变量ξ~B 6,12,∴E (ξ)=6×12=3,D (ξ)=6×12×12=32.则E (2ξ+3)=2E (ξ)+3=9,D (2ξ+3)=22D (ξ)=6.16.[2,3) 由随机变量ξ的分布列,结合P (ξ≤x )=34,得P (ξ≤x )=P (ξ=-2)+P (ξ=0)+P (ξ=2)=14+14+14=34,故实数x 的取值范围是[2,3). 17.解(1)由散点图可知,模型①效果更好.(2)∵t i =x i 2,∴y ^=b ^t+a ^,∵b ^=∑i=18(t i -t)(y i -y)∑i=18(t i-t)2=686.83570≈0.19,∴a ^=y −b ^t =5-0.19×25.5≈0.16,∴y ^=0.19x 2+0.16.(3)由(2)可知,令x=10,则y ^=0.19×100+0.16=19.16.预测该短视频发布后第10天的点击量是19.16万次.18.解(1)完成列联表如下:(2)由(1)得χ2=100×(20×10-30×40)250×50×60×40=503≈16.667>10.828,所以有99.9%的把握认为是否喜爱某种食品与性别有关.(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人,则其中男生有20×660=2(人),女生有4人.则从这6名学生中随机抽取2人有C 62=15(种)结果,其中恰好有1名男生喜爱某种食品有C 21C 41=8(种)结果,故所求的概率P=815.19.解(1)这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为 x =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s 2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N (200,150),因为σ=√150≈12.2,从而P (187.8≤Z ≤212.2)=P (200-12.2≤Z ≤200+12.2)≈0.683.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率约为0.683,依题意知X~B (100,0.683),所以E (X )=100×0.683=68.3.20.解(1)从该箱产品中随机抽取1件产品,抽到次品的概率为25.(2)从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品,抽出的2件产品中有次品的概率P=1-35×24=710.(3)正确.若重复进行(2)的试验10次,则出现次品的次数X~B 10,710,所以出现次品的次数E (X )=10×710=7=10P.21.解(1)X=0,20,100. P (X=0)=1-0.8=0.2=15,P (X=20)=0.8×(1-0.6)=45×25=825,P (X=100)=0.8×0.6=45×35=1225.所以X 的分布列为(2)若小明先回答A 类问题,期望为E (X ).则E (X )=0×15+20×825+100×1225=2725.若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分, Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=25,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=35×15=325,P(Y=100)=0.6×0.8=35×45=1225.E(Y)=0×25+80×325+100×1225=2885.因为E(X)<E(Y),所以小明应选择先回答B类问题.22.解(1)甲方案中派送员日薪y与送单数n的函数关系式为y=100+n,n∈N,乙方案中派送员日薪y与送单数n的函数关系式为y={140,n≤54,n∈N,20n-940,n≥55,n∈N.(2)①(0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5)×0.2=0.44.②X甲的分布列为所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4. X乙的分布列为所以E(X乙)=140×0.5+180×0.2+220×0.2+260×0.1=176.由以上的计算结果可以看出,E(X甲)<E(X乙),即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.。

人教A版高中数学必修三试卷概率练习题 (2)

概率练习题（2）一、选择题1、下列正确的说法是()（A）互斥事件是独立事件（B）独立事件是互斥事件（C）两个非不可能事件不能同时互斥与独立（D）若事件A与事件B互斥，则A与B独立2、一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是()（A）第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球（B）摸出后不放回.第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球（C）摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球（D）一次摸两个球，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球3、一个均匀的正四面体，第一面是红色，第二面是白色，第三面是黑色，而第四面同时有红、白、黑三种颜色，P、Q、R表示投掷一次四面体接触桌面为红、白、黑颜色事件.则下列结论正确的是()（A）P、Q、R不相互独立（B）P、Q、R两两独立（C）P、Q、R不会同时发生（D）P、Q、R的概率是314、甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p，乙能解出的概率为q，那么两人都能解出此题的概率是()（A）pq（B）p(1-q)（C）(1-p)(1-q)（D）1-(1-p)(1-q)5、推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了有95%的把握摧毁工事，需要发射炮弹的个数是()（A）6（B）5（C）4 （D）36、三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为15，31，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被译出的概率为（）（A）35（B）25（C）160（D）不确定7、有一道竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14，则甲、乙、丙三人独立解答此题，只有1人解出的概率为（）（A ）124（B ）1124（C ）1724（D ）1 8、10个正四面体的小木块表面上，每一个侧面都分别标有数字1，2，3，4，如果把这10个小木块全部掷出，则恰有3个小木块上标的4因贴在平面上看不见的概率计算式是（）（A ）3101C （B ）3371013()()44C （C ）3731013()()44C （D ）3101A 9、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为（）（A ）13（B ）14（C ）23（D ）2510、假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行.若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p 的取值范围是（）（A ）（1,13）（B ）（0，23）（C ）（23，1）（D ）（0，14）二、填空题11、两雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则有且仅有1名雷达发现飞行物的概率为 .12、甲、乙两人同时报考某一大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否录取互不影响，则甲、乙两人都被录取的概率是．13、今有三门高射炮，同时射击一架敌人的侦察机，若每一门高射炮的命中率都是0.60，则至少有一门高射炮击中敌机的概率是．14、盒中有7个白球和3个黑球，从中连取两次，每次取一球，且第一次取出球后又放回盒中，则两个球都是白球的概率为．15、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率；第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7，求在一小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为．三、解答题16、在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：（1）3个投保人都能活到75岁的概率；（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率．（结果精确到0.01）17、某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是21．从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是31，出现绿灯的概率是32；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是53，出现绿灯的概率是52．试问：（1）第二次闭合后出现红灯的概率是多少；（2）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少．18、证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同．19、有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?20、有甲、乙、丙三批罐头，每100个，其中各1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，计算：(1)3个中恰有一个不合格的概率； (2)3个中至少有1个不合格的概率.21、张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是1 5（假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）．（1）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率；（2）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2个交叉路口的概率．22、如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为2334 ,,, 3445．（1）求元件A不正常工作的概率；（2）求元件A、B、C都正常工作的概率；（3）求系统N正常工作的概率．参考答案11、0.2612、0.4213、0.93614、0.4915、0.496 三、解答题16、（1）22.0)6.0()3(33≈=P ；（2）29.016.06.03)6.01(6.0)1(2133≈⨯⨯=-⨯⨯=C P ；（3）94.0064.01)6.01(13≈-=--=P ．17、解（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是3121⨯；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为5321⨯.综上，第二次出现红灯的概率为3121⨯+1575321=⨯.（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：① 当出现绿、绿、红时的概率为535221⨯⨯；②当出现绿、红、绿时的概率为325321⨯⨯；③当出现红、绿、绿时的概率为523221⨯⨯；所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为535221⨯⨯+325321⨯⨯+523221⨯⨯=.753418、证明：将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k即得 P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21. 而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21.19、解：A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障多不超过2，则P(A )＝C 100(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 103(0.97)8(0.03)2＝0.9972， P(A)＝1-P(A )＝0.0028.20、解：(1)P 1＝P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C )＝P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)+P(A)·P(B)·P(C )＝3×(0.01×0.992)≈0.03或者P 1＝C 31×0.01×(1-0.01)2＝3×0.01×0.992≈0.03．(2)1-0.993≈0.03 21、（1）经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，所以恰好遇到3次红灯的概率为.62516)511()51()3(3344=-=C P（2）记“经过交叉路口遇到红灯”事件A ．张华在第1、2个交叉路口末遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为)()()()(A P A P A P A A A P P ⋅⋅=⋅⋅==.1251651)511()511(=⨯-⨯-22、（1）元件A 正常工作的概率P （A ）=32，它不正常工作的概率)(1)(A P A P -==;31（2）元件A 、B 、C 都正常工作的概率P(A ·B ·C)=P （A ）P （B ）P （C ）2333;3448=⋅⋅=（3）系统N 正常工作可分为A 、B 、C 都正常工作和A 、D 正常工作但B 、C 不都正常工作两种情况，前者概率83，后者的概率为=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅)()()(D C B A P D C B A P D C B A P544141325441433254434132⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅730=．所以系统N 正常工作的概率是3773830120+=．。

高中数学选修2-3第二章概率单元测试试题2

选修2-3第二章概率质量检测(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．若X的分布列为则D(X)等于(A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.23．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为()A.36125 B.54125 C.81125 D.271254．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，则c的值为()A．0 B．1 C．μ D.μ25．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A.6091，12B.12，6091C.518，6091D.91216，12 6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 7．已知X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．－1B ．－12C ．－13D ．－148．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x >2)＝0.6，则P (x >6)＝( )A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.19．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( )A.25B.34C.12D.1810．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210×⎝⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 B ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5610C ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568D ．以上都不对 11．已知随机变量X ～B (6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝( ) A ．－1.88 B ．－2.88 C ．5.76 D ．6.76 12．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理．据前5年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位：束)的统计如下表，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A.706D ．720元第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．14.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．15．如果一个随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，12，则使得P (ξ＝k )取得最大值的k 的值为________．16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ)．19.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．22.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．答案1．B ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ，∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4.2．B 由题意知0.5＋a ＝1，E (X )＝0×0.5＋a ＝a ＝0.5，所以D (X )＝0.25.3．C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫352×25＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125.4．C 因为P (X <c )＝P (X >c )，由正态曲线的对称性知μ＝c . 5．A 由题意得事件A 包含的基本事件个数为6×5×4＝120，事件B 包含的基本事件个数为63－53＝91，在B 发生的条件下A 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，在A 发生的条件下B 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，所以P (A |B )＝6091，P (B |A )＝60120＝12.故正确答案为A.6．B 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 26＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 34⎝⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 7．C E (X )＝1×16＋2×23＋3×16＝2，由Y ＝aX ＋3，得E (Y )＝aE (X )＋3. 所以73＝2a ＋3，解得a ＝－13.8．A 因为P (x >2)＝0.6，所以P (x <2)＝1－0.6＝0.4.因为N (4，σ2)，所以此正态曲线关于x ＝4对称，所以P (x >6)＝P (x <2)＝0.4.故选A.9．C 因为P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，所以P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.10．DP (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010×⎝⎛⎭⎪⎫160×⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568.11．C 由已知D (X )＝6×0.4×0.6＝1.44，则D (η)＝4D (X )＝4×1.44＝5.76.12．A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，则E (η)＝E (3.4ξ－450)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．13.370解析：加工出来的零件的合格品率为 ⎝⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 14．1解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.15．7,8解析：P (ξ＝k )＝C k 15⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，则只需C k 15最大即可，此时k ＝7,8. 16.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 17．解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3， p (ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p (ξ＝1)＝C 13(1－0.8)20.8＝0.096， p (ξ＝2)＝C 23(1－0.8)10.82＝0.384，p (ξ＝3)＝0.83＝0.512. 故ξ的分布列为ξ18．解：记事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3. 由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125. 整理得pq ＝625，p ＋q ＝1. 由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.所以E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19.解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.20．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B ，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21.解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.22．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C .P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。

高中数学概率大题(经典二)

高中数学概率大题（经典二）一．解答题（共10小题）1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．2．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）．5．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．7．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．8．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．9．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999104．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．10．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．12．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．13．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．14．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）15．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．16．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．17．设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2005•湖北）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．【解答】解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．p1﹣p2．其分布列为：（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p15，需要更换2只灯泡的概率为C52p13（1﹣p1）2；（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1﹣p1）2；②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1﹣p2．故所求的概率为p3=（1﹣p1）2+p1﹣p2．（III）由（II）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p3=（1﹣p1）2+p1（p1﹣p2）=0.54．在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：①换5只的概率为p35=0.545=0.046；②换4只的概率为C51p34（1﹣p3）=5×0.544（1﹣0.54）=0.196，故至少换4只灯泡的概率为：p4=0.046+0.196=0.242．即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242．2．（2004•安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．【解答】解：由题意知每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，∴ξ可以取2，3，4当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=××+××=；P（ξ=4）=1﹣﹣=．2 3 4Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=．3．（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P （）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k 因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=2k﹣[]4．（2007•安徽）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，6ξ0 1 2 3 4 6∴数学期望为Eξ=（1×6+2×5+3×4）=2．（II）所求的概率为P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥2）=．5．（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K==，故C班有学生8÷=40人，（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==；（Ⅲ）μ0＞μ1．6．（2016•东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．（元）．7．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==8．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴EX=0×+1×+2×=1．9．（2015•鄂州校级模拟）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999104．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【解答】解：由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，由题意知ξ～B（104，p）．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当ξ=0，=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，又P（A）=1﹣0.999104，故p=0.001．（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ+50000，盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），盈利的期望为Eη=10000a﹣10000Eξ﹣50000，由ξ～B（104，10﹣3）知，Eξ=10000×10﹣3，Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104．Eη≥0⇔104a﹣104×10﹣5×104≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15（元）．∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．10．（2015•新课标II）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．。

第10章概率专题2 古典概型-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习(教育机构专用)

则从五人中选出两人共有以下10 种情况：
a,b,a, x, a, y , a, z , b, x , b, y , b, z , x, y , x, z , y, z 两名组长分别选自 20, 40和 40,60的共有以下 6种情况： a, x,a, y , a, z , b, x , b, y , b, z
B.3
10
5
C.2
D.1
5
5
解析：选 C 若函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2,0,1,2,3}，故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是 2×2＝2. 5×2 5
2.从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
5
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
21
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人．（Ⅱ）（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B， F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}， {E，G}，{F，G}，共 21 种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，
A．
B．

高中数学人教A版必修二第十章《概率》知识点题目

高中数学人教A版必修二第十章《概率》知识点题目学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（）A．B．C．D．2．分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B=“两枚骰子的点数都是偶数”，事件C=“两枚骰子点数之和为奇数”，则事件与事件C（）A．不互斥B．互斥但不对立C．互为对立D．以上说法都不对3．下列事件中随机事件的个数为（）①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④一个三角形的大边对小角，小边对大角.A．1 B．2 C．3 D．44．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）.A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．5．九龙壁位于北京故宫紫禁城宁寿官区皇极门外，背倚宫墙而建的单面疏璃影壁，乾隆三十七年（1772年）改建宁寿宫时烧造.壁上9龙以高浮雕手法制成，纵贯壁心的山崖奇石将9条蟠龙分隔于5个空间，黄色正龙居中，左右两侧各有蓝白两龙，再向外两侧各有双龙，一紫一黄，现从三黄两蓝两白两紫九条龙中任选两条深入研究，则所选取的两条龙颜色不同的概率为（）A．B．C．1 D．6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH 这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是（）A．B．C．D．7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（）A．B．C．D．8．设，是两个事件，以下说法正确的是（）A．若，则事件与事件对立B．若，则事件与事件互斥C．若，则事件与事件互斥D．若，则事件与事件相互独立二、多选题9．从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.下列结论正确的有（）A．B．C．D．10．连掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别为m，n，记，则下列说法错误的是（）A．事件“”的概率为B．事件“是奇数”与“”互为对立事件C．事件“”与“”为互斥事件 D．事件“且”的概率为11．盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（）A．A与B互为对立事件B．A与C相互独立C．C与D互斥D．B与C相互独立12．袋中装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球，这6个球除颜色外完全相同.从袋中不放回的依次摸取3个，每次摸1个，则下列说法正确的是（）A．“取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件B．“取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件C．取到的3个球中有红球和蓝球的概率为0.8D．取到的3个球中没有红球的概率为0.2三、填空题13．现有语文､数学､英语､物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为___________.14．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.15．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，，，当且仅当，，中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．16．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，则所有数对中满足的概率为___________．17．抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为___________．18．把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起.如果你从这些小正方体中随意地取出个，则这个小正方体至少有一个面涂有红色的概率为_______.四、解答题19．抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.20．一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为，，，在一小时的过程中，试求：(1)三台机床都不需要照顾的概率；(2)恰有两台机床需要照顾的概率；(3)至少有一台机床需要照顾的概率.21．袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.(1)写出样本空间；(2)求取出两球颜色不同的概率；(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.22．某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、、三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．(1)生产一个元件，分别求该元件为一等品和二等品的概率；(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.23．奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.(1)每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？(2)每个学生不都取到自己作业的概率是多少？(3)每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？24．高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率。

2023年人教版高中数学第十章概率典型例题

(名师选题)2023年人教版高中数学第十章概率典型例题单选题1、接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（） A ．512625B ．256625C ．113625D ．1625答案：A分析：最多1人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.由题得最多1人被感染的概率为C 40(45)4+C 41(15)(45)3=256+256625=512625.故选：A小提示：方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.2、如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A ．0.999B ．0.981C ．0.980D ．0.729 答案：B解析：求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率P1=0.9×0.9=0.81，开关3正常工作的概率P2=0.9，故该系统正常工作的概率P=1−(1−P1)(1−P2)=1−(1−0.81)×(1−0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选：B.3、甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（）A．0.3B．0.63C．0.7D．0.9答案：B分析：结合相互独立事件直接求解即可.设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.9×0.7=0.63.故选：B4、天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（）A．0.40B．0.30C．0.25D．0.20答案：D分析：由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数∴所求概率为4=0.2020故选：D5、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a 、b 、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab =（）A ．320B ．110C ．115D ．15答案：B分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a ，b 的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab ⋅(1−14)+14a(1−b)+14b(1−a)=15，整理得ab +a +b =45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1−a)(1−b)(1−14)=310，整理得a +b −ab =35，联立ab +a +b =45与a +b −ab =35，解得ab =110，所以ab =110. 故选：B6、某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（）A ．0.68B ．0.625C ．0.587D ．0.615 答案：D分析：由频率和概率的关系求解.解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小．故选：D ．7、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（） A ．13B ．14C ．15D ．16 答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a ，b ，c ，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p =16. 故选：D8、下列概率模型中不是古典概型的为（）A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B ．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率答案：C分析：根据古典概型的特点，即可判断出结果.解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等. 显然A ､B ､D 符合古典概型的特征，所以A ､B ､D 是古典概型；C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：C.9、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100. 所以答案是：D10、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（） A ．0.09B ．0.96C ．0.97D ．0.98 答案：B分析：根据互斥事件概率公式即得.记事件A ={甲级品}，B ={乙级品}，C ={丙级品}，则A 与B +C 是对立事件，所以P(A)=1−P(B +C)=1−0.03−0.01=0.96．故选：B.11、如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（）A．0.96B．0.88C．1.6D．0.64答案：A分析：根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为1−(1−0.8)×(1−0.8)=0.96故选：A12、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”答案：A分析：根据互斥事件的概念判断即可.“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B不正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D不正确．故选:A.双空题13、若血色素化验的准确率为p，则在10次化验中，有两次不准确的概率为________，最多有一次不准确的概率是__________.答案： 45(1－p )2p 810p 9－9p 10分析：由题得不准确的概率为1－p ，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率公式求解. 由题意知，血色素化验的准确率为p ，则不准确的概率为1－p ，所以有两次不准确的概率为C (1－p )2p 8＝45(1－p )2p 8；最多一次不准确包括一次不准确和全部准确，则所求概率为C p 10＋C (1－p )p 9=10p 9－9p 10. 所以答案是：45(1－p )2p 8；10p 9－9p 10.14、已知事件A 与B 互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A)=_______，P (A ∪B )=________. 答案： 0.6##350.9##910分析：利用对立事件的概率之和为1进行求解P(A)；互斥事件A 与B 的概率加法公式P (A ∪B )=P (A )+P (B ) 因为事件A 与A 是对立事件，且P(A)=0.4，所以P(A)=1−P(A)=0.6；因为事件A 与B 互斥，所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.9 所以答案是：0.6，0.915、一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，则第一次取出的是黑球的概率为___________；第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为___________. 答案： 35 310分析：利用古典概型的概率求解.依题意，设事件A 表示“第一次取出的是黑球”，事件B 表示“第二次取出的是白球”. 黑球有3个，球的总数为5个，所以P(A)=35.第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P(AB)=3×25×4=310.16、在机动车驾驶证科目二考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.8，0.6，两人考试相互独立，则两人都通过的概率为__________.两人至少有一人通过的概率为__________.答案： 0.48 0.92分析：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．（2）先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可（1）因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，所以同时发生的概率为P =0.8×0.6=0.48.（2）两人都未通过的概率为P =(1−0.8)×(1−0.6)=0.08，故两人至少有一人通过的概率为1−0.08=0.92所以答案是：0.48；0.9217、甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是______；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______. 答案： 59 512分析：利用分步乘法计数原理求出所有结果；求出至少出现一个5点或6点的包含的结果；利用列举法求出甲取胜包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式求出事件的概率. 两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有6×6=36种，至少出现一个5点或6点的包含的结果有6×4−4=20种，由古典概型概率公式得至少出现一个5点或6点的概率是2036=59，甲获胜包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)、(5,3) (5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共15个，由古典概型概率公式可得：甲取胜的概率为1536=512，所以答案是：59；512小提示：本题只要考查了分步乘法计数原理以及古典概型概率公式，属于基础题. 解答题18、今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率. 答案：(1)P(C)=23,P(B)=38 (2)2132分析：（1）根据独立事件的概率公式计算；（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算．（1）设事件A =“甲学校回答正确这道题”，事件B =“乙学校回答正确这道题”，事件C =“丙学校回答正确这道题” ，则P(A)=34，P(AC)=12，P(BC)=14， ∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的. ∴事件A ，B ，C 相互独立.∴P(AC)=P(A)⋅P(C)=12,P(BC)=P(B)⋅P(C)=14， ∴P(C)=23,P(B)=38 ；（2）设事件M =“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”M =ABC ∪AB ̅C ∪A BC ∪ABC 且ABC ,AB̅C,ABC,ABC 两两互斥， P(M)=P(ABC ∪AB ̅C ∪A BC ∪ABC)=P(ABC )+P(ABC)+P(A BC)+P(ABC)；由于事件A ，B ，C 相互独立.所以P(ABC )=P(A)P(B)P(C )=34⋅38⋅13=332P(AB̅C)=P(A)P(B ̅)P(C)=34⋅58⋅23=516， P(A BC)=P(A )P(B)P(C)=14⋅38⋅23=116，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34⋅38⋅23=316，P(M)=332+516+116+316=213219、科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O ，17O ，18O ，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O 占99.759%，17O 占0.037%，18O 占0.204%．现有3个16O ，2个17O ，n 个18O ，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是17O 的概率为23．(1)求n ；(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．答案：(1)1； (2)415.分析：（1）求出随机选取1个氧元素是17O 的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.（2）对给定的16O ，17O ，18O 进行编号，列举出选取2个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作答.（1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是17O 的概率P 1=2n+5，则有1−2n+5=23，解得n =1，所以n =1. （2）记3个16O 分别为a ，b ，c ，2个17O 分别为x ，y ，1个18O 为m ，从中随机选取2个，所有的情况为：(a,b )，(a,c )，(a,x )，(a,y )，(a,m )，(b,c )，(b,x )，(b,y )，(b,m )，(c,x )，(c,y )，(c,m )，(x,y )，(x,m )，(y,m )，共15种，它们等可能，其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有(a,b )，(a,c )，(b,c )，(x,y )，共4种，其概率为P 2=415，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是415.20、甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.答案：(1)1327 (2)427 分析：（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可；（2）写出投篮结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解.(1)设Ak ，Bk 分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则P (A k )=13，P (B k )=12，（k =1，2，3），记“甲获胜”为事件C ，则P (C )=P (A 1)+P (A 1B̅1A 1)+P(A 1B ̅1A 2B ̅2A 3) =P (A 1)+P (A 1)P (B ̅1)P (A 2)+P (A 1)P (B ̅1)⋅P (A 2)P (B ̅2)P (A 3) =13+23×12×13+(23)2×(12)2×13=1327.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D .则P (D )=P (A 1B̅1A 2B 2)+P(A 1B ̅1A 2B ̅2A 3) =P (A 1)P(B 1)P (A 2)P (B 2)+P (A 1)P (B ̅1)⋅P (A 2)P (B ̅2)P(A 3) =(23)2×(12)2+(23)2×(12)2×13=427.。

高中数学概率试题及答案

高中数学概率试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个袋子里装有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？A. 1/2B. 3/8C. 5/8D. 1/82. 抛一枚硬币两次，出现两次正面的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/163. 一个班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。

随机选取一名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/54. 一个骰子连续抛掷两次，两次点数之和为7的概率是多少？A. 1/6B. 1/9C. 1/36D. 2/95. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，不放回地连续取出两个球，取出的都是白球的概率是多少？A. 1/10B. 1/5C. 3/10D. 1/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个事件的概率P(A) = _______，如果这个事件是必然事件。

7. 一个事件的概率P(B) = _______，如果这个事件是不可能事件。

8. 如果事件A和事件B是互斥事件，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B) = _______。

9. 一个事件的概率P(C) = 0.05，它的对立事件P(C') = _______。

10. 如果一个随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n = 10，p = 0.2，那么P(X=2) = _______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个袋子里有7个白球和3个黑球，不放回地随机取出两个球。

求第一个取出的是白球，第二个取出的是黑球的概率。

12. 在一个班级中，有40名学生，其中20名男生和20名女生。

随机选取两名学生，求至少有一名是女生的概率。

13. 一个工厂生产一批零件，其中有5%的次品率。

如果随机抽取5个零件进行检查，求至少有1个是次品的概率。

14. 一个骰子连续抛掷三次，求至少出现一次6点的概率。

四、综合题（每题10分，共10分）15. 一个盒子里有5个红球和5个蓝球，随机取出两个球。

人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试(包含答案解析)

一、选择题1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（） A ．2144B ．1223C ．1225D ．21112．斐波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，现从该数列的前10项中随机的抽取一项，则该数除以3余数为1的概率为（） A ．18B ．14C ．38D ．123．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A ．316B ．34C ．1316D ．144．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( ) A ．2pB ．2p C ．1p D ．12p 5．设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（） A ．Ⅰ和ⅡB ．Ⅱ和ⅢC ．Ⅲ和ⅣD ．Ⅳ和Ⅰ6．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥7．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为 ( )．A ．22213221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．22232233C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．21112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．下列说法正确的是（）A ．天气预报说明天下雨的概率为0900，则明天一定会下雨B ．不可能事件不是确定事件C ．统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强D ．某种彩票的中奖率是11000，则买1000张这种彩票一定能中奖 9．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 A ．13B ．532C ．732D ．71210．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（） A ．110B ．25C ．35D ．91011．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（） A ．1315B ．1115C ．23D ．3512．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（） A ．0.24B ．0.36C ．0.6D ．0.8413．今年“五一”小长假期间，某博物馆准备举办－次主题展览，为了引导游客有序参观，该博物馆每天分别在10时，13时，16时公布实时观展的人数．下表记录了5月1日至5日的实时观展人数：1日2日3日4日5日10时观展人数3256427245672737235513时观展人数5035653771494693370816时观展人数61006821658048663521通常用实时观展的人数与博物馆的最大承载量（同一时段观展人数的饱和量）之比来表示观展的舒适度，50%以下称为“舒适”，已知该博物馆的最大承载量是1万人．若从5月1日至5日中任选2天，则这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率为（）A．12B．25C．35D．34二、解答题14．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）记事件A为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求()P A；（2）记事件B为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件C为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：1()()()5P C P B P A-=.15．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…[]90,100分成5组，制成如图所示频率分布直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数；（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.16．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在A类科目：物理、化学、生物和B类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门．（1）求小明同学选A类科目数X的分布列．（2）求小明同学从A类和B类科目中均至少选择1门科目的概率．17．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.18．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．附：临界值表参考公式：22()=)()()()n ad bcKa b c d a c b d（-++++，+n a b c d=++．19．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？20．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在[50，100]内，按成绩分为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的a值；（2）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（3）用分层抽样的方法从成绩在[80，100]内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率.21．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．22．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：男居民女居民合计a 2560满意35（1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；（2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.23．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？24．某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同.每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球.（1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为X，求X分布列；（2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖.求一次游戏中，获奖的概率. 25．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在6090分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在7590之间的概率．26．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案. 【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C , 则()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=；则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.2．D解析：D 【分析】写出斐波那契数列的前10项，列举出被3除所得的余数，由概率公式可得答案. 【详解】数列{}n a 满足：121a a ==，()*21Nn n n a a a n ++=+∈，数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 该数列被3除所得的余数为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1 所以10项中共有5项满足除以3余数为1，故概率为51102P . 故选：D 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法的应用，属于基础题.3．C解析：C【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=，故选：C ．【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．4．C解析：C 【分析】利用A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，事件A 和B 同时不发生的概率是p ，建立方程，即可求得事件A 发生的概率．【详解】根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有(1)(1)(1)(1)a b p a b a b --=⎧⎨-=-⎩①②由②知a b =，代入①得1a =故选：C . 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；在A中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A中的两个事件不能相互为对立事件；在B中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B中的两个事件相互为对立事件；在C中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C中的两个事件不能相互为对立事件；在D中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D中的两个事件不能相互为对立事件．故选：B．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．B解析：B【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，C为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件；A与C是包含关系，不是互斥事件；B与C是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．7．C解析：C【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2121233C⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，若前两局都是甲赢，所求概率为223⎛⎫⎪⎝⎭，因此，甲获胜的概率为22112221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．8．C解析：C 【分析】运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可【详解】对于A ，天气预报说明天下雨的概率为90%，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误；对于B ，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；对于C ，统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强，故正确；对于D ，某种彩票的中奖率是11000，每一次买彩票的中奖是独立的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误故选C 【点睛】本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为基础．9．C解析：C 【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有44464⨯⨯=个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有3428C ⨯=种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有2416C ⨯=种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=1476432=. 故答案为：C 【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．D解析：D 【分析】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，从这5位同学中任取3人，所有的基本事件有：ABC 、ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共10种，其中，事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”包含的基本事件有：ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共9种，因此，所求概率为910P =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列、组合数的应用.11．D解析：D 【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项. 【详解】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=，故选：D. 【点睛】方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.12．D解析：D 【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．【详解】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=，∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=．故选：D．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．13．C解析：C【分析】5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，从5月1日至5日中任选2天，基本事件总数2510n C==，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是"舒适"包含的基本事件个数11236m C C==，由此能求出这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率.【详解】5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，分别为5月4日和5月5日，从5月1日至5日中任选2天，基本事件总数2510n C==，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”包含的基本事件个数11 236m C C==，所以这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率63105mPn===.故选：C【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.二、解答题14．（1）35；（2）证明见解析.【分析】（1）列举出从袋中一次摸出2个球的所有基本事件，找出其中满足事件A的基本事件有6个，即可求解()P A；（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件B的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件C的基本事件，即可计算出1()()()5P C P B P A-=.【详解】解：（1）记这3个红球为123,,a a a ，2个白球记为12,b b ，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b 共10个，其中满足事件A 的基本事件有6个，所以()63105P A ==. （2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()11,a a ，()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()22,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()33,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()11,b b ，()12,b b ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()21,b b ，()22,b b 共25个，满足事件B 的基本事件有12个，所以()1225P B =. 从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()12,b b ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()21,b b 共20个，满足事件C 的基本事件有12个，所以()123205P C ==. 因此：()()312352525P C P B -=-=，又()35P A =，所以()()()15P C P B P A -=. 【点晴】方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率. 15．（1）0.01；（2）77；（3）35. 【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出x 的值；（2）由平均数的公式直接求解即可；（3）先计算满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人，按比例男生3人女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可. 【详解】解：（1）由()0.0050.020.0350.030101x ++++⨯=，解得0.01x =；（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为12312,,,,A A A B B ，记“满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A ，从5人中抽取2人有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B ，所以总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，共6个，所以 ()63105P A ==. 【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1；②直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；③直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ④最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ⑤中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑥平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 16．（1）分布列见解析；（2）910. 【分析】（1）确定X 的所有取值为0，1，2，3，X 服从超几何分布，代入超几何分布的概率公式，计算每个X 的取值对应的概率，列出X 的分布列即可；（2）即两门A 类科目一门B 类科目或者一门A 类科目两门B 类科目的概率，则概率()()12P P X P X ==+=，从而计算可得；【详解】解：（1）小明同学选A 类科目数X 可能的取值为0，1，2，3，则X 服从超几何分布，()0333361020C C P X C ===， ()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===． X 的分布列为：（2）设“小明同学从A 类和B 类科目中均至少选择1门科目”为事件C ，()()()99912202010P C P X P X ==+==+= 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，考查了超几何分布，古典概型的概率计算，计数原理．属于中档题．17．（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98. 【分析】（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；（Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解. 【详解】设A =“甲投中”，B =“乙投中”，则A =“甲没投中”，B =“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，由己知可得()0.8P A =，()0.9P B =，则()0.2P A =，()0.1P B =；（Ⅰ）AB =“两人都投中”，则()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=；（Ⅱ）ABAB =“恰好有一人投中”，且AB 与AB 互斥，则()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=；（Ⅲ）AB ABAB =“至少有一人投中”，且AB 、AB 、AB 两两互斥，所以(()()())P ABABAB P AB P AB P AB =++ )0.720.260.9()(8P AB P ABAB =+==+.【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．（1）见解析；（2）0.4 【分析】(1)根据独立性检验求出()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．【详解】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名，不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故其概率为P（A）=60.4 15=【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.19．（1）0．05；（2）0．45；（3）1200.【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.【详解】把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.(1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）=120=0．05.(2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）=920=0．45.（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）=220=0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．则一天可赚，每月可赚1200元．考点：1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义20．（1）0.016；（2）约为74.1；（3）35．。

2023年人教版高中数学第十章概率必须掌握的典型题

(名师选题)2023年人教版高中数学第十章概率必须掌握的典型题单选题1、“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）.A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．答案：A分析：理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.“不怕一万，就怕万一”表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A2、素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p，p+2k).其中当k=1时，称(p，p+2)为“孪生素数”，k=2时，称(p，p+4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p､q(p<q)，令事件A={(p，q)为孪生素数}，B={(p，q)为表兄弟素数}，C={(p，q)|q−p≤4}，记事件A､B､C发生的概率分别为P(A)､P(B)､P(C)，则下列关系式成立的是（）A．P(A)P(B)=P(C)B．P(A)+P(B)=P(C)C．P(A)+P(B)>P(C)D．P(A)+P(B)<P(C)答案：D解析：根据素数的定义，一一列举出不超过30的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，从而可列举出事件A 、B 、C 的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出P(A),P(B)和P(C)，从而可得出结果.解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，事件A 发生的样本点为(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)共4个，事件B 发生的样本点为(3，7)、(7，11)、(13，17)、(19，23)共4个，事件C 发生的样本点为(2，3)、(2，5)、(3，5)、(3，7)、(5，7)、(7，11)、(11，13)、(13，17)、(17，19)、(19，23)，共10个，∴P(A)=P(B)=445，P(C)=1045=29，故P(A)+P(B)<P(C).故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.3、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”，则事件M发生与否和事件N有关，故事件M和事件N与不是相互独立事件；对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；故选：C.4、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.5、抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（）A ．A ∪B B ．A ∩BC ．A ⊆BD ．A =B答案：B解析：根据事件A 和事件B ，计算A ∪B ，A ∩B ，根据结果即可得到符合要求的答案.由题意可得：A ={1,2}，B ={3,4}，∴A ∪B ={1,2,3,4}，A ∩B ={2}.故选B.小提示：本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.6、接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A ．512625B ．256625C ．113625D ．1625答案：A分析：最多1人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.由题得最多1人被感染的概率为C 40(45)4+C 41(15)(45)3=256+256625=512625.故选：A小提示：方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.7、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.8、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A ．1320B ．25C ．14D ．15 答案：B解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以P (B )=45×34=35，故P (A )=1−P (B )=1−35=25．故选：B ．小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．9、袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（）A ．0.0324B ．0.0434C ．0.0528D ．0.0562答案：B解析：第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，∴第4次恰好取完所有红球的概率为：2 10×(910)2×110+810×210×910×110+(810)2×210×110=0.0434，故选：B10、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.11、甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩F C．E∩F D．E∩F答案：A分析：根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E∪F.故选：A.12、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（）A ．445B ．29C ．415D ．1345答案：D分析：由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：1 、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；2 、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；3 、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.设事件A ：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12， ∴麒麟部获胜的概率分别是：P(A)=13×35+13×(1−35)×12×13+(1−13)×(1−12)×35×13=1345，故选：D ．双空题13、如图所示，事件A ＝“甲元件正常”，B ＝“乙元件正常”，C ＝“丙元件正常”．则A ∪B ∪C 表示的含义为________，A ∩B ∩C 表示的含义为________．答案：电路工作正常电路工作不正常分析：结合事件的关系和运算即可.A ∪B ∪C 表示甲、乙、丙元件至少有一个正常，即电路工作正常；A ∩B ∩C 表示甲、乙、丙元件都不正常，即电路工作不正常.所以答案是：电路工作正常；电路工作不正常14、某厂生产的某批产品的优等品率为90%．现从该批产品中任意抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10次抽取的结果有________种，即________．答案： 2 抽出优等品，抽出非优等品分析：利用概率的意义直接求解.前面9次抽取的结果不影响第10次的抽取结果．而第10次抽取也只能是“抽出优等品”“抽出非优等品”中的一种．故答案为(1)2；(2)抽出优等品，抽出非优等品.小提示：本题考查了概率的意义，属于基础题.15、一个袋子中有5个红球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记事件A ={摸出黑球},事件B ={模出绿球},事件C ={摸出红球},则P(A)=______;P(B ∪C)=______.答案： 817 917解析：直接根据概率公式计算即可得出结果.由古典概型的算法可得P(A)=817， P(B ∪C)=P(B)+P(C)=417+517=917，所以答案是：817，917.小提示：本题主要考查了古典概率公式，属于基础题.16、某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打中．假设此人射击1次，则中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．答案： 0.9 0.2分析：根据射击10次的情况，来估算中靶概率和中10环概率.中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9，同理，中10环的概率约为0.2.所以答案是：0.9；0.2.17、在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设“反面向上”为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________.答案： 52 1325分析：直接利用频数和频率的公式求解即可.由题得事件A出现的频数为100−48=52；事件A出现的频率为52100=2650=1325.所以答案是：52；1325.解答题18、为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．答案：(1)16(2)118分析：（1）根据“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有2种，利用古典概型的概率求解；（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门，从地理、化学、生物中选2门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合2种，利用古典概型的概率求解.(1)解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，则共有2×6=12种，甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为p=212=16；(2)因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，，从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有2×3=6种；同理乙同学不选化学，共有2×3=6种；所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有6×6=36种；甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率p=236=118．19、2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.答案：（I）6人，9人，10人；.（II）（i）见解析；（ii）1115分析：（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.（I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种，.所以，事件M发生的概率P(M)=1115小提示：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.20、某企业从领导干部､员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A､B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：(1)在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；(2)从对B员工的评分在[50,70)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[60,70)范围内的概率；(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？答案：(1)27人；；(2)310(3)B员工.分析：（1）根据频率分布直方图求出a即可列式计算作答.（2）由频率分布表得评分在[50,60)、[60,70)内的人数，再利用列举法结合古典概率公式计算作答.（3）根据频率分布直方图及频率分布表求出二位员工评分的中位数即可判断作答.(1)由A员工评分的频率分布直方图得：a=0.1−0.004−0.006−0.024−0.036=0.03，所以对A员工的评分不低于80分的人数为：(0.03+0.024)×10×50=27（人）.(2)对B员工的评分在[50,70)内有5人，将评分在[50,60)内的2人记为C，D，评分在[60,70)内的3人记为E，F，G，从5 人中任选2人的情况有：CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共10种，它们等可能，2人评分均在[60,70)范围内的有：EF，EG，FG，共3种，所以2人评分均在[60,70)范围内的概率P=310.(3)由A员工评分的频率分布直方图得：(0.004+0.006+0.036)×10=0.46<0.5，(0.004+0.006+0.036+ 0.03)×10=0.76>0.5，则A员工评分的中位数m∈[80,90)，有(m−80)×0.03=0.5−0.46，解得m≈81.3<82，由B员工的频数分布表得：2+3+1250=0.34<0.5，2+3+12+1850=0.7>0.5，则B员工评分的中位数n∈[80,90)，有(n−80)×0.036=0.5−0.34，解得n≈84.4>82，所以评审团将推荐B员工作为后备干部人选.。

高中数学选修2-3第二章概率习题集及答案

第二章概率§2、1、1离散型随机变量一、预习检测1、一个口袋装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸出一个球，得到白球”这个现象是（）A、必然现象B、随机现象C、不可能发生D、不能确定是哪种现象2、以下四个随机变量中，是离散型随机变量的是（）⑴某电话亭内的一部电话使用的次数X；⑵黄河某水位监测站所测水位记为X；⑶一个数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置X⑷某人射击一次，击中目标的环数记为X；A、⑴⑵⑷ B ⑶⑷ C ⑴⑷ D ⑴⑶3、下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A、从n只编号（0号到n-1号）的球中任取一只，被抽出的球的号码X；B、量一批电阻的阻值在950欧~1050欧之间；C、掷5枚硬币，正面向上的硬币个数；D、电信局在某日内接到电话呼叫次数；4、6件产品在有2件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的是（）A、取到产品的个数B、取到正的品个数C、取到正品的概率D、取到次品的概率5、如果随机变量X的所有可能的则称X为离散型随机变量。

6、下列描述正确的是⑴用随机变量所表示的随机试验的结果一定是一个数；⑵用随机变量的取值只能有有限个⑶随机变量的取值只能是自然数⑷随机变量的取值可以是全体实数7、下列随机试验结果可以用离散型随机变量表示的是⑴某篮球运动员在某场比赛中的得分⑵某中学学生的体重⑶一名同学的高考分数8、50件产品中有3件次品，从中任取3件，次品件数的取值集合是二、双基落实1、抛掷的均匀硬币一次，随机变量为（）A、出现正面的次数B、出现正面或反面的次数C、掷硬币的次数D、出现正反面次数之和2、如果抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机实验结果是（）A、两颗都是4点B、1颗是1点，另一颗是3点C、两颗都是2点D、1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2点3、一个代中装有5个白球和3个红球，从中任取3个，则随机变量为（）A、所取球的个数B、其中含白球的个数C、所取白球和红球的总数D、袋中球的总数4、将一颗均匀骰子掷两次，随机变量为（）A、第一次出现的点数B、第二次出现的点数C、两次出现点数之和D、两次出现相同点的种数5、某人投篮4次，投中次数记为X，则X所有可能取值是6、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数。

新人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．法国的数学家费马（PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数2n >时，找不到满足n n n x y z +=的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，则等式n n n x y z +=成立的概率为（）A ．112B ．12625C ．14625D ．76252．下列命题正确的是（）A ．用事件A 发生的频率()n f A 估计概率()P A ，重复试验次数n 越大，估计的就越精确.B ．若事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立.C ．事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.D ．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大. 3．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为111,,236，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（）A ．536B ．56C ．512D ．124．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382435．从1,2,3,4这四个数字中依次取（不放回）两个数字,a b ，使得()()lg 3lg 4a b ≥成立的概率是（） A ．13B ．512C ．12D ．7126．已知{0,1,2}a ∈,{1,1,35}b ∈-，,则函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率是（） A ．512B ．13C ．14D ．167．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩，有实数解的概率为（）A ．29 B ．79 C ．736 D ．9368．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件9．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为（）A．59石B．60石C．61石D．62石10．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为12，则这周能进行决赛的概率为A．18B．38C．58D．7811．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．310B．25C．12D．35第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案12．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A．16B．13C．12D．2313．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X，已知16(1)45P X==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品数为（）A．2件B．4件C．6件D．8件二、解答题14．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．15．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：空气质量指数 050 51100 101150 151200 201300300>空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如下：甲 48 65 104 132 166 79乙80 67 10815020562（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（3）记甲城市这6天空气质量指数的方差为20S ．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a ，若99a =，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为21S ；若169a =，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为22S ，试比较20S 、21S 、22S 的大小．（结论不要求证明）16．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.18．2018年2月9~25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行，4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看奥运会开幕式进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生 60 20 女生2020（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与收看了开幕式的学生中，采用分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动. ①问男、女学生各选取多少人？②若从这8人中随机选取2人到校广播站宣传冬奥会，求恰好选到一名男生为主播一名女生为副播的概率P .附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥ 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87919．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在[50，100]内，按成绩分为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的a值；（2）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（3）用分层抽样的方法从成绩在[80，100]内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率.20．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军(决赛只赛一场).以八支战队的比赛为例(如图所示)，第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.双败流程示意图（以八支战队为例）（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.21．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．22．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.23．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？24．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．25．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在6090分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在7590之间的概率．26．某重点中学为了了解学生在期末市统考中的数学考试情况，抽取了100名学生的数学成绩．以[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150分组的频率分布直方图如下图所示：（1）求直方图中x 的值；（2）求数学成绩的中位数；（3）在数学成绩为[)120130,，[)130140,，[]140,150的三组学生中，用分层抽样的方法抽取6名学生，在这6名学生中选出2名学生参加数学竞赛，求至少有一名学生在[)130140,分组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，使得n n n x y z +=，共有5555625⨯⨯⨯=种不同的情形，当1n =时，可得x y z +=，可得112,123,134,145,213,224,235,314,325,415+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，共有10种情况，满足题意；当2n =时，可得222x y z +=，可得222222345,435+=+=，共有2种情况，满足题意；当3,4,5n =时，没有满足n n n x y z +=成立的情况，所以等式n n n x y z +=成立的概率为12625P =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B【分析】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．【详解】在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近. n越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说n越大，估计的精度越精确，A错；事件A与事件B相互独立，即A是否发生与B是否发生无关，∴事件A是否发生与事件B是否发生也无关，它们相互独立，B正确；抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件A，出现的点为不小于2记为事件B，则事件A与事件B同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为4263=，而事件A与B中恰有一个发生是指点为1或6，概率为212633=<．C错；抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．故选：B．【点睛】本题考查概率的定义，考查事件的独立性．掌握概念的定义是解题关键．3．C解析：C【分析】概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率，计算到答案.【详解】根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.即3331115 162312 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．C解析：C【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．5．C解析：C 【分析】列出样本空间Ω,以及事件A =“()()lg 3lg 4a b ≥”包含的基本事件，计算概率. 【详解】因为()()lg 3lg 4a b ≥，所以34a b ≥.从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,2,1,1,3,3,1 ,1,4,4,1,2,3,3,2,2,4,4,2,3,4,4,3Ω=，共12个样本点，符合条件34a b ≥的样本点有()()()()()()2,1,3,1,4,1,3,2,4,2,4,3，共6个，所以所求概率为12，故选C . 【点睛】本题考查了古典概型，考查了学生实际应用以及数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】利用枚举法分情况将所有满足条件的情况举出,再利用古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】{0,1,2}a ∈,{1,1,3,5}b ∈-,∴基本事件总数3412n =⨯=.用(,)a b 表示,a b 的取值.若函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数,则①当0a =时,()2f x bx =-,符合条件的只有(0,1)-,即0a =,1b =-;②当0a ≠时,则由题意0a >，只需满足1ba,符合条件的有(1,1)-,(1,1),(2,1)-,(2,1),共4种.∴函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率512P =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想以及古典概型求概率的方法,属于中等题型.7．B解析：B 【分析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得,a b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(),a b 个数，利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】因为方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩有解，故直线80ax by +-=与圆224x y +=有公共点，2≤即2216a b +≥，当1a =时，4,5,6b =，有3种情形；当2a =时，4,5,6b =，有3种情形；当3a =时，3,4,5,6b =，有4种情形；当4,5,6a =时，1,2,3,4,5,6b =，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(),a b 共有36种不同的情形，故所求的概率为287369=. 故选：B. 【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.8．C解析：C 【分析】对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断．【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．9．A解析：A 【分析】运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果【详解】由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：61549=，则这批米内夹谷为115325999⨯=，约为59石故选A 【点睛】本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单．10．D解析：D 【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解. 【详解】设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =⋃⋃，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有()()()()34511111171112222228P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D ．【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.11．D解析：D 【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．C解析：C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,A B C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162 p==.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.13．A解析：A【分析】设10件产品中存在n件次品，根据题意列出方程求出n的值．【详解】设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为X，由16(1)45P X==得，11102101645n nC CC-=，化简得210160n n -+=，解得2n =或8n =；又该产品的次品率不超过40%，4n ∴；应取2n =，故选：A 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．二、解答题14．（1）49；（2）分布列见解析，195()9E ξ=；（3）49. 【分析】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =，则这位参赛者仅回答正确两个问题的情况有123A A A ，123A A A ，123A A A ，然后利用互斥事件的概率和公式求解即可；（2）由题意可得30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望；（3）由（2）可得这位参赛者闯关成功的概率为(30)(50)(60)P P P P ξξξ==+=+= 【详解】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =， ∴()()()123123123P P A A A P A A A P A A A =++22121112143323323329=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=-- ()1231(30)18P P A A A ξ=-==，()1231(20)9P P A A A ξ=-==， ()1231(0)9P P A A A ξ===，()1232(10)9P P A A A ξ===，()1231(20)18P P A A A ξ===，()1231(30)9P P A A A ξ===， ()1231(50)9P P A A A ξ===，()1232(60)9P P A A A ξ===， ∴ξ的分布列为：()30200102030506018999189999E ξ=-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4(30)(50)(60)9P P P P ξξξ==+=+==．【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件和独立事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，正确利用互斥事件和独立事件的概率公式，属于中档题 15．（1）13；（2）19；（3）222102S S S <<．【分析】（1）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，利用频率估计概率的思想可求得结果；（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）根据题意可得出20S 、21S 、22S 的大小关系. 【详解】（1）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率为13；（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：()48,80、()48,67、()48,108、()48,150、()48,205、()48,62、()65,80、()65,67、()65,108、()65,150、()65,205、()65,62、()104,80、()104,67、()104,108、()104,150、()104,205、()104,62、()132,80、()132,67、()132,108、()132,150、()132,205、()132,62、()166,80、()166,67、()166,108、()166,150、()166,205、()166,62、()79,80、()79,67、()79,108、()79,150、()79,205、()79,62，共36个，用A 表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则事件A 包含的基本事件有：()104,108、()104,150、()132,108、()132,150，共4个基本事件，所以，()41369P A ==；（3）222102S S S <<．【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.16．（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）35. 【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以100可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6天，其中超过250元的有2天，记为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过250元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=，按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：10040%40⨯=（家），果蔬类商贩：10015%15⨯=（家）. （2）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为()0.0020.00150406+⨯⨯=天，其中超过250元的有400.001502⨯⨯=天，记日收入超过250元的2天为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，随机抽取两天的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()34,b b ，共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b ，()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b ，共9种.所以，这两天的日收入至少有一天超过250的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）树状图法；（2）列举法；（3）列表法；（4）排列组合数的应用.17．（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25. 【分析】（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i ii x x p ==∑（其中ix 表示第i 组的中间值，i p 表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；（2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 18．（1）有99%的把握；（2）①男生6人，女生2人；②37. 【分析】（1）列出22⨯列联表，求出2k 的值，根据附表可得答案；（2）①根据分层抽样的方法可得，男、女学生各选取的人数；②从这8人中随机选取2人，共有28C 种不同的选法，其中恰好选到一名男生为主播一名女生为副播共有1162C C 种不同的选法，根据古典概型的概率计算公式可得概率. 【详解】（1）22⨯列联表：()22120602020207.5 6.63580408040k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. （2）①根据分层抽样的方法可得，男生抽取：860=680⨯（人），女生抽取：820=280⨯（人）. ∴选取的8人中，男生6人，女生2人.②从这8人中随机选取2人，共有2828C =种不同的选法；其中恰好选到一名男生为主播一名女生为副播共有116212C C =种不同的选法.根据古典概型的概率计算公式可得，恰好选到一名男生为主播一名女生为副播的概率123287P ==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样和古典概型，属于中档题. 19．（1）0.016；（2）约为74.1；（3）35．【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得a ；（2）频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数；（3）根据频率分布直方图求出成绩在[80,90)和[90,100]上的人数，然后利用对立事件的概率公式计算．【详解】（1）由题意(0.0080.0240.0440.008)101a ++++⨯=，解得0.016a =；（2）在频率分布直方图中前两组频率和为(0.0080.024)100.32+⨯=，第三组频率为0.044100.44⨯=，中位数在第三组，设中位数为x ，则70100.50.320.44x -=-，解得74.1x ≈；（3）由频率分布直方图成绩在[80,90)和[90,100]和频率分别是0.16和0.08，共抽取6人，∴成绩在[80,90)上的有4人，成绩在[90,100]上的有2人，从6人中任意抽取2人共有2615C =种方法，2人成绩都在[80,90)上的方法有246C =种，∴月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率为631155P =-=．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算中位数，考查分层抽样与古典概型，，考查了学生的数据处理能力与运算求解能力，属于中档题．。

高中第二册(下A)数学等可能性事件概率习题选

等可能性事件概率习题选练习1：1．n 个同学随机地坐成一排，其中甲、乙坐在一起的概率为（）()A 1n()B 2n()C 11n - ()D 21n - 2．在电话号码中后四个数全不相同的概率为（） ()A 44410A()B 410410A()C 441A()D 44410A A3．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台参加展览，其中至少有原装与组装计算机各2台的概率为（）()A 32236565511C C C C C ⋅+⋅ ()B 3268511C C C ⋅ ()C 2258511C C C ⋅ ()D 221657511C C C C ⋅⋅ 4．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为． 5．在一次问题抢答的游戏中，要求找出对每个问题所列出的4个答案中唯一的答案，其抢答者随意说出了一个问题的答案，这个答案恰好是正确答案的概率为．6．从其中含有4个次品的1000个螺钉中任取1个，它是次品的概率为．7．从甲地到乙地有1A 、2A 、3A 共3条路线，从乙地到丙地有1B 、2B 共2条路线，其中21A B 是从甲地到丙地的最短路线，某人任选了1条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为． 8．有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算： ⑴取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？ ⑵取到卡片号是7的倍数的概率是多少？9．将一枚硬币连掷3次，出现“2个正面、1个反面”和“1个正面、2个反面”的概率各是多少？ 10．第1小组有足球票3张、篮球票2张，第2小组有足球票2张、篮球票3张，甲从第1小组的5张票和乙从第2小组的5张票中各任抽1张，两人都抽到足球票的概率是多少？ 11．将骰子先后抛掷2次，计算：出现“向上的数之和为5的倍数”其概率是多少？答案：1. B 2. B 3. A4.110 5. 146. 99.6%7. 168. ⑴14； ⑵14％.9. 38 10. 62511.由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，其中向上的数之和是5的倍数结果（记为事件A ）有4+3＝7种，因此，所求概率7()36P A = 练习2：1．10件产品有2件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止，则第5次查出最后一个次品的概率为（）()A 454()B 452()C 92()D 21 2．n 封信投入m 个信箱，其中n 封信恰好投入同一个信箱大概率是（）()A 1nm()B 1mn()C 11n m -()D 11m n -3．袋中装有标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只球，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）()A 14()B 38()C 1124()D 23244．有5种不同的作物，从中选出3种分别种在3种不同土纸的试验小区内，其中甲、乙两种作物不宜种在1号小区内的概率为（） ()A 110()B 12 ()C 35()D 15．3名旅客随机地住入旅馆的3间客房中，则每间客房恰好住1人的概率为． 6．4本不同的书分给3个人，每人至少分得1本的概率为．7．某火车站站台可同时停靠8列火车，则在某段时间内停靠在站台旁的3列列车任两列均不相邻的概率为．8．将3个球随机地放入4个盒子中，盒中球数最多为1的概率为，球数做多为2的概率为． 9．在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他（她）获得及格的概率是多少？10．在80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取3件，计算：（1）3件都是一等品的概率；（2）2件是一等品、1件是二等品的概率；（3）一等品、二等品、三等品各有一件的概率11．一套书共有上、中、下三册，将它们任意列到书架的同一层上去，各册自左至右或自右至左恰好成上、中、下的顺序的概率是多少？12．甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率13．下列命题：①任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率是16；②自然数中出现奇数的概率小于出现偶数的概率；③三张卡片的正、反面分别写着1、2；2、3；3、4，从中任取一张朝上一面为1的概率为16；④同时投掷三枚硬币，其中“两枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率为38，其中正确的有（请将正确的序号填写在横线上）．14．将骰子先后抛掷2次，（1）朝上一面数之和为6的概率是；（2）朝上一面数之和小于5的概率是答案：1． A 2． C 3． B 4． C5． 3323!9A = 6． 11234323343439C C C A A = 7． 3638514A A = 8． 343348A =,143151416C -= 9． 12346633101023C C C C C +=10． ⑴3503802451027C C =；⑵21502038012254108C C C =；⑶1115020103801251027C C C C = 11． 33213A = 12．解：基本事件：甲、乙、丙；甲、乙、丁；甲、丙、丁；乙、丙、丁分别选为代表，其中甲被选上的事件个数为3，所以，甲被选上的概率为34． 13． ①③④ 14．(1) 536 (2) 16练习3：1．从5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为()A 310()B 320()C 120()D 1102．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出1个白球的概率比口袋中原来取出一个白球的概率大0.1，则口袋中原来共装有球（） ()A 2个 ()B 4个 ()C 8个 ()D 10个3．3名老师从3男3女共6名学生中各带两名学生进行实验，其中每名老师各带一名男生和一名女生的概率为（）()A 25()B 35()C 45()D 以上都不对4．奥运会预选赛亚洲区决赛（俗称九强赛），中国队和韩国队都是九强赛中的队伍，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中韩两队分在同一组的概率是()A 14()B 19()C 16()D 295．一副52张的扑克牌，每次抽取3张，其中来自同一花色的概率为，来自不同花色不同号码的概率为．6．由2n 个运动队将其均匀分成两组，其中某两支强队被划分在不同组内的概率为，被划分在同一组内的概率为．7．有6个不同的小球，每个球都可能落入10个不同的盒子，假设盒子的容量为无限，则某指定盒子恰有两个球的概率是．（用式子表示）8．从装有10个红球和5个白球的口袋中，任意摸出4个球，则这4个球颜色相同的概率是． 9．甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生，今从甲、乙两组各抽1名同学参加拥军活动，两组都抽得男生的概率是多少？10．有8间房和6个人，每人可以进住任一房间，且进入各房间是等可能的，问满足下列条件的概率分别是多少？（只列式）（1）指定的6个房间各有1人；（2）恰有6个房间各有1人；（3）指定的某个房间中有3人；（4）第1号房间有1人，第2号房间有2人，第3号房间有3人． 11．（1）10人站成一排，则甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为；（2）将一枚均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面的概率为；（3）盒中有100个铁钉，其中90个合格，10个不合格，其中任意抽取10个，其中没有一个是不合格的铁钉的概率为；（4）若以连续抛掷两枚骰子分别得到的点数,m n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆2216x y +=内的概率为．（列举法）12．9支足球队参加足球预选赛，把9支队伍任意等分成3组，试求两支“冤家队”恰好相逢在同一组的概率答案：1． B 2． B 3．A4． A 5．313352622425C C =，33134352132425C A C =； 6． 21n n -，121n n --； 7． 2466910C ； 8． 4410541543273C C C += 9． 3265525=；10．⑴6668A ； ⑵668668C A ；⑶336678C ；⑷12365368C C C ；11． ⑴715 ，⑵38 ，⑶109010100C C ，⑷8369= 12．若分成有序的3组，则概率为1133376333396314C C C C C C C ⋅⋅⋅=⋅⋅；若分成无序的3组，则概率为113323763233329632/1/4C C C C A C C C A ⋅⋅⋅=⋅⋅．练习4：1．在100张奖券中，有4中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率是（）()A 150()B 125 ()C 1825()D 149502．从标有1，2，3，…，9的九张卡片中任取2张，这2张卡片上数字之和为偶数的概率是（）()A 1318()B 718()C 1118()D 493．一班级有50名学生，生日均不相同的概率为（）()A 5036450365A ()B 5036550365A ()C 50364()365()D 503654．从5个男生，4个女生中任意选两人，则至少有一个女生的概率是（）()A 1318()B 13 ()C 1736()D 145．设三位数abc ，若b a <，b c <（即十位数上的数字比百位数上的数字和个位数上的数字都小），则称此三位数为凹数，现从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取三个不同的数字，组成三位数，其中是凹数的概率．6．一个口袋内装有带标号的7个白球、3个黑球，事件A ：从袋中摸出1个黑球，放回后再摸出1个白球的概率是．7．10件产品中有6件一等品，4件二等品，从中任取4件，则抽不到二等品的概率是． 8．某人有6把钥匙其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率为． 9．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是多少？10．有十张标有1，2，3，…，10的卡片，从中任取三张，要求取出的三张卡片中，所标的数一个小于5，一个等于5，另一个大于5，求在下列两种抽取方式下的概率：（1）一次抽取三张；（2）连续抽取三张，每次一张．11．在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生能够答对20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得“及格和及格以上”的概率是多少？答案：1. C 2. D 3. B 4. A 5.256.211007.1148.129. P=23651365365=10.（1）114531016C CC=；（2）333104516AA⨯=11.（1）5168128620351938C C CC+=；（2）514268128128620133796951C C C C CC++==．。

高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)

高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)介绍本文档是针对高中数学必修二中的概率统计专题进行的训练，旨在帮助学生巩固和提高概率统计方面的知识和技能。

文档包含一系列经典必练题型，涵盖了该专题的重要内容。

题型一：排列组合1. 有5个不同的苹果和3个不同的橘子，从中任选3个水果，求共有几种选法。

2. 由字母A、B、C、D、E无重复组成的3位数共有多少种？题型二：事件与概率1. 一枚骰子被掷两次，求两次得到的点数之和为7的概率。

2. 从1至10的十个自然数中随机选择两个数，求两数之和为偶数的概率。

题型三：独立事件与复合事件1. 甲、乙、丙三个人独立地作一件事情成功的概率分别是1/2、1/3、1/4，求三人都成功的概率。

2. 一批零件共有100个，其中有5个次品。

从中连续取3个，求取出3个次品的概率。

题型四：条件概率1. 甲、乙两组各选一位同学参加足球比赛，甲组和乙组每组有5名同学，甲组中有两名女生和三名男生，乙组中有4名女生和一名男生。

从两组中各选出一位同学参加比赛，已知参赛者是女生，求该同学来自甲组的概率。

2. 甲、乙两个班级的数学成绩分别如下表所示，学生随机抽取一位，已知该学生是不及格的，求该学生来自乙班的概率。

题型五：概率分布1. 投掷一枚均匀硬币，正面向上为事件A，反面向上为事件B。

设事件A和事件B的概率分别为0.4和0.6，记为P(A)=0.4，P(B)=0.6。

求该硬币投掷一次出现事件A的概率。

2. 掷一个骰子，其点数的概率分布为：P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，P(X=3)=1/6，P(X=4)=1/6，P(X=5)=1/6，P(X=6)=1/6。

求投掷一次出现点数为奇数的概率。

以上为高中数学必修二概率统计专题训练的经典必练题型，希望能够帮助学生加深对该专题的理解和应用。

概率大题练习题及讲解高中

概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。

以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。

练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。

求取出红球的概率。

解答：总共有8个球，其中5个是红球。

取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。

现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。

解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。

从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。

因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。

现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。

解答：这是一个二项分布问题。

次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。

使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。

练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。

投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。

每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。

高中数学概率大题(经典)

高中数学概率大题(经典)高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，……6)。

求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率：(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。

2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫：若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

(1)求ξ的分布列:(2)求ξ的数学期望。

3、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球。

某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球(拿后放回)，记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分。

(1)求拿4次至少得2分的概率：(2)求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

4、质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。

将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率：(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ。

5、在2006年多哈娅运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决.已知比赛中，第一局日本女排先赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为35胜一局，在这个条件下，(1)求中国女排取胜的概率：(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ。

(两问均用分数作答)6、甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。

规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球：若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。

现甲进行第一次摸球。

(1)在前三次模球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况，(Ⅱ)在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。

部编版高中数学必修二第十章概率带答案考点大全笔记

(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率带答案考点大全笔记单选题1、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．122、若随机事件A,B 满足P (AB )=16，P (A )=23，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（）A ．互斥B ．相互独立C ．互为对立D ．互斥且独立3、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立4、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立 C ．P (A )=78D ．P (A ∪C )=345、《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（）． A ．13B ．23C ．16D ．126、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．38B ．58C ．316D ．5167、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（）A ．445B ．29C ．415D ．13458、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740 多选题9、从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A ．2个球都是红球的概率为16 B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23 D ．2个球中恰有1个红球的概率为1210、甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（） A ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件B ．事件A 1与事件B 相互独立 C ．P (B |A 2 )=311D ．P (B )=2511、掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（）A．事件A与B是独立事件B．事件B与C是互斥事件C．事件C与D是对立事件D．D⊆A∩B填空题12、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____．①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；③这枚骰子质地一定不均匀．部编版高中数学必修二第十章概率带答案(十六)参考答案1、答案：D解析：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．小提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 2、答案：B分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可解：因为P (A )=23， P (B )=14，又因为P (AB )=16≠0，所以有P (AB )=P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立，不互斥也不对立故选：B. 3、答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得： P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确；对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误；对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误；对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误；故选：A 4、答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P (A )=1−P (A )=78，故C 正确；对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误.故选：C 5、答案：C分析：根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a , b ，c ，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A ，B ，C ，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案.设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a ，b ，c ，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A ，B ，C ，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，所有的可能为:Aa ，Bb ，Cc ，田忌得0分; Aa ，Bc ，Cb ，田忌得1分 Ba ，Ab ，Cc ，田忌得1分 Ba ，Ac ，Cb ，田忌得1分; Ca ，Ab ，Bc ，田忌得2分， Ca ，Ac ，Bb ，田忌得1分田忌得2分概率为P =16，故选：C 6、答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58．故选：B 7、答案：D分析：由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有： 1 、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；2 、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；3 、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可. 设事件A ：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12，∴麒麟部获胜的概率分别是：P(A)=13×35+13×(1−35)×12×13+(1−13)×(1−12)×35×13=1345，故选：D ． 8、答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380. 故选：C. 9、答案：ACD分析：根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D. 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)=13，P (A 2)=12，对于A 选项，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12=16，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1−16=56，故B 选项错误，对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为1−P(A 1)P(A 2)=1−23×12=23，故C 选项正确，对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12，故D 选项正确．故选：ACD ． 10、答案：AC分析：根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 由题意得可知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故A 正确； ∵P(A 1)=310，P(A 2)=210=15，P(A 3)=12 ∴P (B |A 2 )=P(BA 2)P(A 2)=15×31115=311，故C 正确；由P (B |A 1 )=P(BA 1)P(A 1)=310×411310=411P(B)=P(BA 1)+P(BA 2)+P(BA 3)=411×310+15×311+12×311=310P (B |A 1 )≠P(B)事件A 1与事件B 不独立，故B 、D 错误；故选：AC 11、答案：AB分析：根据定义判断独立事件，互斥事件和对立事件即可.由题意知：P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16=P(A)⋅P(B)， ∴事件A 与B 是独立事件，A 正确；∵事件B 与C 不能同时发生，∴B 与C 是互斥事件，B 正确；点数为4时，既不属于事件C，也不属于事件D，∴事件C与D不是对立事件，C错误；∵事件A∩B是“点数为5点”，∴A∩B⊆D，D错误.故选：AB.12、答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.。

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