高三复习专题3——数列练习

专题3——数列

数列通项公式的求法

一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}n a 的通项公式.

二、公式法

求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解。

特征：已知数列的前n 项和n S 与n a

的关系

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

三、由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为

)

(1n f a a n n +=+

对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

类型3 特征：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 对策：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

类型4 特征：递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 对策：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q

st p

t s ，再应用前面类型3

的方法求解。

例6. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a 。

类型4 特征：双数列型

对策：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例7. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，

)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3

1

11--+=n n n b a b ，求n a ,n b .

巩固：

例8. 数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

例9. 已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．

例11. 已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；

例12. 数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。

例13．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=++求n a ．

n 13(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．

2、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b

3、b

4、b 5. 求数列{b n }的通项公式；

3、已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13

3

.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π

6

处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．

4、已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. 若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；

5、已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n 2n －1的前n 项和．

6、设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .

7、等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n 的前n 项和．

8、已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1

a 1，1

a 2，1

a 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n 与1

a 1

的大小．

9、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1

＝a n ＋1S n (n ∈N *)．

(1)若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；