2019北京人大附中高一(上)期中数学
2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.设集合,,若,则实数a的值为()A.2 B.C.D.【答案】D【解析】由A,B,以及两集合的交集,确定出a的值即可.【详解】∵集合,,,∴a=2或a2=2,即a=2或,当a=2时,A={2,4,0},B={2,4},此时A∩B={2,4},不合题意;当a=时,A={,2,0},满足题意,当a=时,A={,2,0},满足题意故选:D.【点睛】本题考查了交集及其运算,考查了元素的三要素,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.计算的结果是()A.B.C.-D.-【答案】A【解析】先把化为,再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】,故选A .【点睛】对数有如下的运算规则:(1),;(2);(3);(4) .3.下列函数中,是偶函数的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.【详解】对于A,,所以为奇函数,不满足题意;对于B,的定义域为(0,+∞),为非奇非偶函数,不满足题意;对于C,,为奇函数,不满足题意;对于D,,为偶函数,满足题意.故选:D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,比较基础.4.函数的零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】B【解析】因为函数为上的增函数,故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数,为上的增函数,故为上的增函数.又,,由零点存在定理可知在存在零点,故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型,(1)计算函数的零点,比如二次函数的零点等,有时我们可以根据解析式猜出函数的零点,再结合单调性得到函数的零点,比如;(2)估算函数的零点,如等,我们无法计算此类函数的零点,只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5.已知,则函数的大致图像是()A.B.C.D.【答案】A【解析】利用平移变换即可得到函数的大致图像.【详解】∵∴函数的图象是由向右平移一个单位得到,故选:A【点睛】本题考查了函数的图象变换知识,属于基础题.6.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为()A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b【答案】B【解析】可利用为上的增函数得到的大小关系,再利用换底公式得到利用为上的增函数可得的大小关系,最后得到的大小关系.【详解】因为为上的增函数,故,故 .又由换底公式可知,因为上的增函数,故,故即,综上,,故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较,属于基础题.7.已知,恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】因,故原不等式等价于在上恒成立,故可得实数的取值范围.【详解】因为,故,故在上恒成立等价于在上恒成立,故即,故选D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题,可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论,也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题,特别地,如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解,则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8.设函数,其中表示不超过x的最大整数,若函数的图象与函数的图象恰有3个交点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】利用当时有,故函数在具有“局部周期性”,故可在平面直角坐标系中画出函数的图像,结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.【详解】,而,故当时,,故在上的图像如图所示:因为的图像与的图像有3个交点,故,故,故选D.【点睛】不同函数图像的交点问题,关键在于正确刻画函数的图像,可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等,也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像,再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题9.计算:=________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则可得计算结果.【详解】因为,故填.【点睛】对数有如下的运算规则:(1),;(2);(3);(4) .10.已知集合,,若,则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围,利用可得实数的取值范围.【详解】如图,在数轴表示,因为,故,填.【点睛】含参数的集合之间的包含关系,应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围,解决此类问题时,还应注意区间端点处的值是否可取.11.函数的定义域为__________.【答案】【解析】解不等式可得函数的定义域.【详解】由题设有即,因,故,故函数的定义域为,填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑:(1)分式的分母不为零;(2)偶次根号(,为偶数)中,;(3)零的零次方没有意义;(4)对数的真数大于零,底数大于零且不为1.12.已知=,则=_________;若,则________.【答案】-10或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可,分段讨论可得何时.【详解】,故,因为,故或者,解得或 .综上,填,或.【点睛】分段函数的求值问题,应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值,如果知道分段函数的函数值,则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值,也可以先刻画出分段函数的函数图像,结合图像求函数值或相应的自变量的值.13.已知函数在区间上不单调,则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】根据函数在不单调可得且,从而得到实数的取值范围.【详解】若,则,在为减函数,不符题意,舎;若,则为二次函数,对称轴为,因为在不单调,故,所以,填.【点睛】含参数的多项式函数,我们要首先确定最高次项的系数是否为零,因为它确定了函数种类(一次函数、二次函数、三次函数等).其中,一次函数的单调性取决于的正负,二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14.如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动,记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和,且是在映射作用下的象,则下列说法中:① 映射的值域是;② 映射不是一个函数;③ 映射是函数,且是偶函数;④ 映射是函数,且单增区间为,其中正确说法的序号是___________.说明:“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转,当顶点C落在x轴上时,再以顶点C为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动.【答案】③【解析】根据滚动的过程在坐标平面中画出的运动的轨迹后可得正确的选项.【详解】运动的轨迹如图所示:则映射是一个函数且为偶函数,的值域为,也是一个周期函数,周期为,其增区间为和,,故选③.【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题,应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹,再从轨迹中找出对应函数的性质(如值域、单调性、奇偶性、周期性等).此类问题忌凭空想象.15.已知函数,若0<<<,且满足,则下列说法一定正确的是______.① 有且只一个零点②的零点在内③ 的零点在内④的零点在内【答案】①②【解析】函数为上的增函数,结合,可知①、②正确,因,故的符号为两正一负或全负,从而③、④错误.【详解】因为,均为上的单调增函数,故为上的增函数.因为,,由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内,故①、②正确.因,故的符号为两正一负或全负,而,故或者,若,则零点在内;若,则零点在内.故③、④错误.综上,填①②.【点睛】本题考察函数的零点.一般地,函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论,其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数,减函数的和为减函数,增函数与减函数的差为增函数或同增异减(针对复合函数)等原则来判断,零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取.16.关于函数的性质描述,正确的是___① 的定义域为② 的值域为③ 在定义域上是增函数④的图象关于原点对称【答案】①②④【解析】函数的定义域为,故,所以为奇函数,故①④正确,又,故可判断②正确,③错误.【详解】由题设有,故或,故函数的定义域为,故①正确.当,,此时,为上的奇函数,故其图像关于原点对称,故④正确.又,当时,;当时,,故的值域为,故②正确.由可得不是定义域上增函数,故③错.综上,选①②④.【点睛】对函数的性质的研究,一般步骤是先研究函数的定义域,接下来看能否根据定义域简化函数解析式,使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性,因为一旦明确函数的奇偶性或周期性,我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质,最后通过研究函数的单调性得到函数的值域.17.在同一直角坐标系下,函数与(,)的大致图象如图所示,则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.【答案】②③【解析】根据图像,底数须满足,逐个检验可得正确的结果..【详解】由图像可知且,因为,故①错.,故②正确.,故③正确.,故④错误.综上,选②③.【点睛】本题为图像题,要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件,并能利用指数、对数知识进行数的大小比较.不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递.18.已知函数在R上是增函数,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】因为是分段函数且为增函数,故,故可得实数的取值范围.【详解】因为为上的增函数,故,所以,填.【点睛】如果一个分段函数在为增函数(或减函数),那么该函数除了在每个分段上都是增函数(或减函数),分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系,后者在解题中容易忽视.19.非空有限数集满足:若,则必有.请写出一个满足条件的二元数集S =________.【答案】{0,1}或{-1,1},【解析】因中有两个元素,故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素.【详解】设,根据题意有,所以必有两个相等元素.若,则,故,又或,所以(舎)或或,此时.若,则,此时,故,此时.若,则,此时,故,此时.综上,或,填或.【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外,还有若干运算的封闭性,比如整数集,对加法、减法和乘法运算封闭,但对除法运算不封闭(两个整数的商不一定是整数),又如有理数集,对加法、减法、乘法和除法运算封闭,但对开方运算不封闭.一般地,若知道集合对某种运算封闭,我们可利用该运算探究集合中的若干元素.20.已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上.请写出一个符合条件的实数a的值:________.【答案】只需满足或即可.【解析】的反函数为,故问题可以转化为与恰有一个公共点即可.【详解】的反函数为,故与的图像恰有一个公共点,当时,直线满足要求,当时,若与的图像恰有一个公共点,则(因为题设要求写出一个符合条件的实数,故可填一个负数即可,符合,待同学们学习了导数的相关知识后可求)【点睛】函数及其反函数的图像关于直线对称,因此与直线对称相关的函数问题可从反函数的角度去分析,一般地,函数的定义域就是反函数的值域,函数的值域就是反函数的定义域,而且单调函数必有反函数.三、解答题21.已知集合,.(1)求;(2)若,求实数m的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)求出不等式的解后可得.(2)因为,故对任意的恒成立,参变分离后可得实数的取值范围.【详解】(1)由得,故,所以.(2)由题知,当时,恒成立,即:当时,恒成立.在区间上的值域为,所以,即实数m的取值范围是.【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起,解一元二次不等式时注意二次项系数的符号.另外,集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题,此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围.22.已知函数是定义在R上的奇函数.(1)求的解析式及值域;(2)判断在R上的单调性,并用单调性定义予以证明.【答案】(1) , (2) 增【解析】(1)因为奇函数的定义域为,故可由得到的值及其函数解析式,结合指数函数的值域可得的值域.(2)利用单调性定义可证明为上的增函数.【详解】(1)由题知,,即:,故,.此时,为奇函数.因为,所以,,.(2)在上是增函数.证明:设,,则,,因为,,故,所以函数在上是增函数.【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数,可利用特殊值求参数的值(注意检验),也可以利用恒等式或来求参数的值.而对于函数单调性的证明,定义法是关键,其基本步骤是作差、定号和给出结论(也可以作商,此时商应与1比较大小且要注意函数值的符号).23.某公司共有60位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30人,则每人收取培训费1000元;若参加培训的员工人数超过30人,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x人,此次培训的总费用为y元.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)请你预算:公司此次培训的总费用最多需要多少元?【答案】(1) (2)50000【解析】(1)依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用.(2)依据(1)求出函数的最大值即可.【详解】(1)当时,;当时,,故(2)当时,元,此时x=30;当时,元,此时.综上所述,公司此次培训的总费用最多需要元.【点睛】本题考察函数的应用,要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值,注意建模时理顺各数据间的关系.24.若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点,则称函数为“0-1函数”.(1)判断下面两个函数是否是“0-1函数”,并简要说明理由:①;②.(2)若函数是“0-1函数”,求;(3)设,定义在R上的函数满足:① 对,R,均有;② 是“0-1函数”,求函数的解析式及实数a的值.【答案】(1) ①不是②是,详见详解;(2);(3),.【解析】(1)依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数.(2)由可得值从而求得函数.(3)分别令和从而得到,利用为“”可得,从而得到,由可得.【详解】(1)①不是,因为图象不过点;②是,因为图象恒过和两点.(2)由得,,故;由得,,故.所以,.(3)令得,,令得,,所以,.由②知,,故,从而,,由②又知,,于是,故.【点睛】本题为关于函数的新定义问题,此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数,求参数的值或范围.对于给出运算规则的抽象函数,我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式,赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定.。
2019-2020学年北京市人大附中高一(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
x
1
2
3
f (x) 2
1
3
x
1
2
3
g(x) 3
2
1
则方程 g[ f (x)] x 1 的解集为 ( )
A. {1}
B. {2}
C.{1 , 2}
D.{1 ,2, 3}
19.已知 f (x) 是定义在 (4, 4) 上的偶函数,且在 (4 , 0] 上是增函数, f (a) f (3),
5.已知函数 f (x) 的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则 f [ f (1)] (
)
3
A. 1 3
B. 1 3
C. 2 3
6.已知 a , b 是实数,则“ a b 0 且 c d 0 ”是“ a b ”的 ( dc
D. 2 3
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
2019-2020 学年北京市人大附中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)
1.设集合 M {m Z | 3 m 2} , N {n Z | 1n3} ,则 M N (
17.已知函数 f (x) x 4 . x
(1)判断函数 f (x) 的奇偶性; (2)指出该函数在区间 (0 , 2] 上的单调性,并用函数单调性定义证明;
f (x), x 0
(3)已知函数 g(x) 5, x 0
,当 x [1,t] 时 g(x) 的取值范围是[5 ,) ,求实数 t
6.已知 a , b 是实数,则“ a b 0 且 c d 0 ”是“ a b ”的 (
2019年人大附中高一数学期中考试
x 1 2
x 2
xR Nhomakorabea求f
x 的值域;
(3)若存在 m R 且 m Z ,使得 f m f m ,则称函数 f x 是 函数,若函数 f x x a 是
x 函数,求 a 的取值范围.
5
D.存在 x0 R ,使得 x02 0
5.己知函数
f
x 的图象是两条线段(如图,不含端点),则
f
f
1 3
=(
)
A. 1
1
B.
3
3
C. 2
2
D.
3
3
1
6.已知 a, b 是实数,则“ a b 0 且 c d 0 ”是“ a b ”的( ) dc
C. 3,3
D. (0, 5]
五、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)
21.已知函数 f x 1 x x 3 ,则函数 f x 的最大值为___ __,函数 f x 的最小值点为________.
22.关于 x 的方程 g x t(t R) 的实根个数记 f t .
A. 0,1
B.1, 0,1
2.下列各组函数是同一函数的是( )
A. y x 与 y 1 x
C.0,1, 2
D.1, 0,1, 2
B. y x 12 与 y x 1
C. y x2 与 y x x
D.
y
x3 x2
x 1
与
y
x
3.下列函数中,在区间 0, 2 是增函数的是( )
北京市人大附中2019年高一上学期期中考试数学试题
人大附中2018-2019学年度第一学期期中高一年级数学练习必修1模块考核试卷说明:本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷,Ⅰ卷17道题,共100分,作为模块成绩;Ⅱ卷7道题,共50分;Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题,合计150分,作为期中成绩;考试时间120分钟;请在答题卡上填写个人信息,并将条形码贴在答题卡的相应位置上.Ⅰ卷(共17题,满分100分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)1.设集合2,,0A a a ,2,4B,若2A B,则实数a 的值为()A .2B .2C .2D .22.计算32log 16的结果是()A .43B .34C .43D .343.下列函数中,是偶函数的是()A .1fxxB .lg f x xC .xxf xeeD .f x x4.函数4xf x ex的零点所在的区间是()A .0,1B .1,2C .D .5.已知1f x x ,则函数f x 的大致图像是()A .B .C .D .6.设2log 5a,3log 5b,3log 2c,则a ,b ,c 的大小关系为()A .acbB .a b cC .ba c D .c ab7.已知1,2x ,20xax恒成立,则实数a 的取值范围是()A .1,B .1,C .,1D .,18.设函数1f xx x ,其中x 表示不超过x 的最大整数,若函数log a yx 的图象与函数f x 的图象恰有3个交点,则实数a 的取值范围是()A .2,3B .2,3C .3,4D .3,4二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)9.计算:ln1e__________.10.已知集合1A x x ,Bx x a ,若AB ,则实数a 的取值范围是__________.11.函数log 01xa fxa a a的定义域为__________.12.已知21,11,1xx f xx x ,则1f f __________;若1f x ,则x__________.13.已知函数222f x axx 在区间1,上不单调,则实数a 的取值范围是__________.14.如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动,记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ,且y 是x 在放射f 作用下的象,则下列说法中:①映射f 的值域是0,3;②映射f 不是一个函数;③映射f 是函数,且是偶函数;④映射f 是函数,且单增区间为6,63k k k Z .其中正确说法的序号是__________.说明:“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是线以顶点B 为中心顺时针旋转,定顶点C 落在x 轴上时,再以顶点C 为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动.三、解答题(本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.)15.(本小题满分10分)已知集合20A x x x ,220B x xx m .(1)求R A e ;(2)若AB,求实数m 的取值范围.16.(本小题满分10分)已知函数212xf x a是定义在R 上奇函数.(1)求f x 的解析式及值域;(2)判断f x 在R 上的单调性,并用单调性定义予以证明.17.(本小题满分10分)某公司共有60名员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟招聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30人,则每人收取培训费1000元;若参加培训的员工人数超过30人,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x 人,此次培训的总费用为y 元.(1)求出y 与x 之间的函数关系式;(2)请你预算:公司此次培训的总费用最多需要多少元?Ⅱ卷(共7题,满分50分)一、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选择中,可能有一项或几项是符合题目要求的,请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)18.已知函数1212log f x xx ,若0a bc ,且满足0f a f b f c ,则下列。
北京市人民大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷2019年11月说明:本试卷分I 卷和II 卷,I 卷17道题,共100分;II 卷7道题,共50分;I 卷、II 卷共24题,合计150分,作为期中成绩。
考试时间120分钟;请在答题卡上填写个人信息,并将条形码贴在答题卡的相应位置上.I 卷(共17题,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤,则X Y ⋂=( )A. {}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2.下列各组函数是同一函数的是( )A.xy x=与1y = B.()21y x =-与1y x =-C.2x y x =与y x =D.321x x y x +=+与y x =3.下列函数中,在区间()0,2是增函数的是( )A.1y x =-+B.245y x x =-+C.y x =D.1y x= 4.命题“∀x R ∈,都有20x ≥”的否定为( )A. ∀x R ∈,都有20x <B.不存在x R ∈,使得20x <C. ∃0x R ∈,使得200x ≥ D. ∃0x R ∈,使得200x < 5.己知函数()f x 的图象是两条线段(如图,不含端点),则13f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=( )A.13-B.13C.23-D.236.已知,a b 是实数,则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.如下图,是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图 象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是( )8.已知集合{}523M x R x =∈--为正整数,则M 的所有非空真子集的个数是( ) A. 30 B.31 C. 510 D. 511二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)9.方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.10.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩,则方程()2f x x =的解集为__________.11.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值__________. 12.若函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间()1,4上不是单调函数,那么实数a 的取值范围是__________.13.几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论: ①函数()f x 的值域为()1,1-; ②若12x x ≠,则一定有()()12f x f x ≠; ③()f x 在()0,+∞是增函数;④若规定()()1f x f x =,且对任意正整数n 都有:()()()1n n f x f f x +=,则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为_______________.14.函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+,若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12f x g x =,则a 的取值范围是______________.三、解答题(本大题共3小题,每题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤, 请将答案写在答题纸上的相应位置.)15.设全集是实数集{}{}22,2730,0R A x x x B x x a =-+≤=+<.(1)当4a =-时,求A B ⋂和A B ⋃; (2)若()R C A B B ⋂=,求实数a 的取值范围.16.已知二次函数()()22,f x x bx c b c R =++∈.(1)已知()0f x ≤的解集为{}11x x -≤≤,求实数,b c 的值;(2)已知223c b b =++,设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根,且()()12118x x ++=,求实数b 的值;(3)已知()f x 满足()10f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两实数根分别在区间()()3,2,0,1--内,求实数b 的取值范围.17.已知函数()4f x x x=+,(1)判断函数()f x 的奇偶性; (2)指出该函数在区间(0,2]上的单调性,并用函数单调性定义证明;(3)已知函数()()(),05,0,0f x x g x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[5,)+∞,求实数t 取值范围.(只需写出答案)II 卷 (共7道题,满分50分)四、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)18.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3,其定义如下表:则方程()1g f x x =+⎡⎤⎣⎦的解集为( )A.{}1B.{}2C.{}1,2D.{}1,2,319.已知()f x 是定义在()4,4-上的偶函数,且在()4,0-上是增函数,()()3f a f <,则实a ( )A.()3,3-B.()(),33,-∞-⋃+∞C.()4,3--D.()()4,33,4--⋃ 20.已知函数()225f x x ax =-+在[]1,3x ∈上有零点,则正数a 的所有可取的值的集合为( )A.7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.)+∞C. ⎤⎦D.五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)21.已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为_______,函数()f x 的最小值为________.22.关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记()f t . (1)若()1g x x =+,则()f t =____________;(2)若()()2,0,2,0,x x g x a R x ax a x ≤⎧=∈⎨-++>⎩,存在t 使得()()2f t f t +>成立,则a 的取值范围是_____.23.对于区间[](),a b a b <,若函数()y f x =同时满足: ①()f x 在[],a b 上是单调函数;②函数()[],,y f x x a b =∈的值域是[],a b ,则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值,区间.(1)写出函数2y x =的一个“保值”区间为_____________;(2)若函数()()20f x x m m =+≠存在“保值区间,则实数m 的取值范围为_____________.六、解答题(本大题共1小题,满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.)24.已知x 为实数,用[]x 表示不超过x 的最大整数. (1)若函数()[]f x x =,求f(1.2),f(-1.2)的值;(2)若函数()()122x x f x x R +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求()f x 的值域; (3)若存在m R ∈且m Z ∉,使得()[]()f m fm =,则称函数()f x 是Ω函数,若函数()af x x x=+是Ω函数,求a 的取值范围.参考答案与解析I 卷(共17题,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.)1.答案:B解析:因为X={-2,-1,0,1},Y={-1,0,1,2,3}所以X ∩Y={-1,0,1},即选B 。
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.已知命题:“”,则是()A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:全称命题的否定是特称命题,所以命题是,故选D. 【考点】命题的否定.2.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】可求出集合B,然后进行交集的运算即可.【详解】,;.故选:D.【点睛】本题考查交集的运算,描述法、列举法的定义,绝对值不等式的解法是基础题3.下列图形是函数图象的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可.【详解】A当时,的对应值有两个,不满足函数对应的唯一性,不是函数B.满足函数的定义,则图象是函数图象C.当时,的对应值有两个,不满足函数对应的唯一性,不是函数D.当时,的对应值有两个,不满足函数对应的唯一性,不是函数故满足条件的图象是B,故选:B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数的定义是解决本题的关键.比较基础.4.函数的定义域为,则函数定义域为()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足:,从而得出的定义域.【详解】的定义域为;满足;;的定义域为.故选:B.【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法,已知的定义域求定义域的方法,是基础题5.“”是“”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性,结合充要条件推出结果即可.【详解】指数函数,是增函数,所以“”“”,“”“”,可得“”是“”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用,是基础题.6.已知集合,集合,若,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】集合代表不等式的解集,可求,再根据得到关于的不等式,即可得到的范围.【详解】因为集合,所以,又因为,故.故选:B.【点睛】本题考查集合的基本关系,解题时,要注意端点的取舍,本题属基础题.7.已知函数,函数在下列区间一定存在零点()A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得,,,,的值,再由函数零点的判定得答案.【详解】,,,,,,,由函数零点判定定理可知,在上一定存在零点.故选:A.【点睛】本题考查函数零点的判定,考查函数值的求法,熟记零点存在基本定理是关键,是基础题.8.年至年北京市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,将年份作为自变量,当年电影放映场次作为函数值,下列函数模型中,最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断.【详解】由图象可知在第一象限内,是关于的增函数,A、B、C均合题意当时,在第一象限内是减函数,当时,在第一象限内没有图象,故不适合.故选:D.【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断,熟记基本初等函数的基本性质是关键,属于中档题.二、填空题9.比较大小:__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小.【详解】是上的减函数;.故答案为:.【点睛】本题考查指数函数的单调性,根据函数单调性比较大小的方法,是基础题10.函数的值域为____________.【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知,,所以,故函数的值域为.故答案为:.【点睛】本题考查指数型函数的值域求法,熟记函数基本性质是关键,考查计算能力,属于基础题.11.函数的定义域为_______________.【答案】或【解析】可看出,要使得函数有意义,则需满足,解出的范围即可.【详解】要使有意义,则:;,或;的定义域为,或.故答案为:或.【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法,分式不等式的解法,考查计算能力,是基础题12.已知,(1)____________;(2)若函数有两个零点,则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】(1)直接由分段函数解析式求解的值(2)画出函数的图象,数形结合得答案.(1)由已知可得,;(2)作出函数的图象如图,由图可知,要使函数有两个零点,则实数的取值范围为.故答案为:(1);(2).【点睛】本题考查分段函数的应用,考查函数值的求法,考查函数零点的判定,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.13.已知,则____________;的解析式为____________.【答案】【解析】,由此利用,能求出;设,则,从而,由此能求出的解析式.【详解】,,设,则,,的解析式为.故答案为:,.【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,14.对于函数,下列说法正确的是____________.①函数的定义域为;②函数为奇函数;③函数的值域为;④函数在定义域上为增函数;⑤对于,均有.【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立,定义域为;②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数;③根据指数函数的图象与性质,求出函数的值域即可;④根据指数函数的性质,判断在定义域上为增函数;⑤根据为上的增函数,判断.【详解】对于①,函数,分母,定义域为,①正确;对于②,任意,有,函数为定义域上的奇函数,②正确;对于③,函数,,,,,的值域为,③错误;对于④,是增函数,是减函数,是增函数,函数在定义域上为增函数,④正确;对于⑤,对于,都有,且为上的增函数,所以,⑤正确.综上所述,正确的命题序号是①②④⑤.故答案为:①②④⑤.【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题,也考查了指数函数的性质与应用问题,是中档题.三、解答题15.(1)已知,求的值.(2)求值:.【答案】(1)6(2)1【解析】(1)将平方求解即可;(2)由对数运算性质求解即可【详解】(1),.(2)原式.【点睛】本题考查指数运算,对数运算,熟记运算法则及性质是关键,是基础题16.判别并证明函数的奇偶性.【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数,证明如下:的定义域为,且;;是奇函数.【点睛】本题考查奇函数的定义及判断,熟记定义,及判断方法是关键,是基础题17.已知命题:方程有实根:命题:方程有两个不相等的实根,若“且”为真,求实数的取值范围.【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围,再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根,则判别式,得或,方程有两个不相等的实根,则满足,得,即或,若“且”为真,则,同时为真命题,则得,即实数的取值范围是.【点睛】本题考查命题真假,二次方程根的情况,解决p,q命题为真命题时m的范围是关键,考查计算能力,是中档题18.已知函数是定义域为的奇函数,在上是减函数,且.(1)求与的值;(2)判别并证明函数在上的单调性;(3)若,求实数的取值范围.【答案】(1)0,0(2)在上是减函数(3)或【解析】(1)直接代入求值即可;(2)利用定义判断即可;(3)由奇函数与单调性转化求解即可【详解】(1)是上的奇函数;,且;;(2)在上是减函数,证明如下:设,则:;在上是减函数;;;;在上是减函数;(3)①,即时,满足;②,即时,由得:;;;;③,即时,由得:;;;综上得,实数的取值范围为或.【点睛】本题考查函数单调性判断,利用奇偶性解不等式,熟记基本性质是关键,考查计算能力,是中档题19.已知函数.(1)当时,求函数的零点;(2)若有两个零点,求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)【解析】(1)m=0代入解析式直接求解即可;(2)转化为方程在上有两解,利用二次函数根的分布求解即可【详解】(1)时,,令可得,即.的零点是.(2)令,显然,则.有两个零点,且为单调函数,方程在上有两解,,解得:.的取值范围是.【点睛】本题考查函数零点,二次函数零点问题,熟记二次函数的性质是关键,是中档题20.已知函数,表示函数的次迭代函数,,.(1)若,求,,,;(2)若存在正整数,使得对于任意的正整数,均有成立,则称函数是次迭代周期函数,正整数为函数的选代周期.①若,求的选代周期;②若,判别是否为选代周期函数.若是,求出选代周期:若不是,请说明理由.【答案】(1),,,(2)①3;②不是【解析】(1)利用先求,,即可得(2)①由成立,计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】(1),,则,,,……于是.(2)①,,则,,,故的选代周期为,②,,则.第 11 页共 12 页,……,若为次迭代周期函数,则,,与矛盾.不是迭代周期函数.【点睛】本题考查函数的综合应用,注意新定义的理解运用,考查推理计算能力,是难题第 12 页共 12 页。
北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
① 映射������的值域是[0, 3]; ② 映射������不是一个函数; ③ 映射������是函数,且是偶函数; ④ 映射������是函数,且单增区间为[6������,6������ + 3](������ ∈ ������), 其中正确说法的序号是___________. 说明:“正三角形 ABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动.沿 x 轴正方向滚动指的是 先以顶点 B 为中心顺时针旋转,当顶点 C 落在 x 轴上时,再以顶点 C 为中心顺时针旋转,如此继
A.
B.
C.
D.
6.设 a=������������������25,b=������������������35,c=������������������32,则 a,b,c 的大小关系为()
A. a>c>b B. a>b>c C. b>a>c D. c>a>b 7.已知������ ∈ [1,2],������2 ‒ ������������ > 0恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. [1, + ∞) B. (1, + ∞) C. ( ‒ ∞,1] D. ( ‒ ∞,1) 8.设函数������(������) = 1 + [������] ‒ ������,其中[������]表示不超过 x 的最大整数,若函数������ = ������������������������������的图象与函数������(������)的 图象恰有 3 个交点,则实数 a 的取值范围是()
故选:D.
【点睛】
本题考查了交集及其运算,考查了元素的三要素,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.A
【解析】
【分析】
北京人大附中2019-2020学年高一上学期期中数学试卷(含解析)
2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学满分150分 时间:120分钟第Ⅰ卷(共17题,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.(★)集合X={x ∈Z|-3<x<2},Y={y ∈Z|-1≤y ≤3},则X ∩Y=( ) A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}关键点 必修1第一章集合与函数的概念1.1集合. 考向 集合间的运算.分析 根据题意先分别化简集合X,Y,再由交集的定义求出X ∩Y.解析 ∵X={x ∈Z|-3<x<2}={-2,-1,0,1},Y={y ∈Z|-1≤y ≤3}={-1,0,1,2,3},∴X ∩Y={-1,0,1},故选B. 答案 B点评 本题考查集合的表示方法及集合的交集运算. 2.(★★)下列各组函数是同一函数的是( ) A.y=|x|x 与y=1 B.y=√(x -1)2与y=x-1 C.y=x 2x 与y=x D.y=x 3+xx 2+1与y=x关键点 必修1第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示. 考向 同一函数的判断.解析 A 中,y=|x|x ={1,x >0,-1,x <0与y=1的定义域和对应关系都不同,故A 不符合题意.B 中,y=√(x -1)2=|x-1|={x -1,x ≥1,1−x,x <1与y=x-1的对应关系不同,故B 不符合题意.C 中,y=x 2x 的定义域为{x|x ≠0},y=x 的定义域为R,两个函数的定义域不同,故C 不符合题意. D 中,y=x 3+xx 2+1的定义域为R,且y=x 3+x x 2+1=x(x 2+1)x 2+1=x,与y=x 的定义域和对应关系都相同,是同一函数,故D 符合题意.故选D. 答案 D点评判断两个函数是不是同一函数可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一函数,若定义域相同,再分析对应关系,若对应关系相同,则为同一函数,若对应关系不同,则不是同一函数.3.(★★)下列函数中,在区间(0,2)上是增函数的是( )A.y=-x+1B.y=x2-4x+5C.y=√xD.y=1x关键点必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.考向利用函数单调性的定义判断函数的单调性.解析A中,y=-x+1是一次函数,在(0,2)上为减函数;B中,y=x2-4x+5是二次函数,其图象的对称轴是x=2,所以在(0,2)上为减函数;C中,y=√x=x 12是幂函数,在(0,2)上是增函数;D中,y=1x是反比例函数,在(0,2)上为减函数.故选C.答案 C点评要熟练掌握基本初等函数的单调性,一次函数单调性的判断:y=kx+b(k≠0).当k>0时,函数在R上为增函数,当k<0时,函数在R上为减函数.二次函数单调性的判断:y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,函数在(-∞,-b2a )上递减,在(-b2a,+∞)上递增,当a<0时,函数在(-∞,-b2a)上递增,在(-b2a,+∞)上递减.幂函数y=x a,当a>0时,函数在(0,+∞)上是增函数,当a<0时,在(0,+∞)上为减函数.4.(★★)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )A.对任意x∈R,都有x2<0B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x∈R,使得x2≥0D.存在x∈R,使得x2<0关键点选修2-1,第一章常用逻辑用法1.4全称量词与存在量词.考向全称量词命题的否定.分析根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可.解析全称量词命题的否定是先改变量词,再对结论进行否定,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x∈R,使得x2<0”,故选D.答案 D5.(★★)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则f[f(13)]=( )A.-13B.13C.-23D.23关键点 必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示. 考向 分段函数的有关计算.分析 先根据函数的图象写出函数的解析式,再根据解析式由内向外求出函数值. 解析 由函数图象可得f(x)={x +1,−1<x <0,x -1,0<x <1,∴f (13)=13-1=-23,则f (-23)=-23+1=13,∴f [f (13)]=f (-23)=13.故选B. 答案 B点评 本题考查分段函数求值,首先通过图象求出函数解析式,再计算函数值. 6.(★★)已知a,b 是实数,则“a>b>0且c>d>0”是“a d >bc ”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件关键点 必修5第3章3.1不等式关系与不等式,选修2-1第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件.考向 考查不等式的性质和充分、必要条件的判断.解析 根据不等式的性质可知,由“a>b>0且c>d>0”可推出“a d >bc ”,但“ad >bc ”不能推出“a>b>0且c>d>0”,例如a=1,d=2,c=-3,b=4,满足“ad >bc ”,推不出“a>b>0且c>d>0”,所以是充分不必要条件,故选A. 答案 A7.(★★)下图是吴老师散步时离家距离y 与行走时间x 之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是( )关键点 必修1第一章集合与函数概念1.2函数表示法. 考向 本题考查了函数的概念及读图识图能力.分析 由所给图象可知,吴老师刚开始一段时间离家越来越远,然后有一段时间离家的距离不变,然后离家越来越近,结合图象逐项排除.解析 根据函数图象可知,吴老师离家越来越远,有一段时间离家距离不变,说明他走的是一段弧线,然后离家越来越近直至回家,分析四个选项可知只有D 符合,故选D. 答案 D点评 本题考查实际问题中对应函数图象问题,体现直观想象的数学素养.8.(★★)已知集合M={x ∈R|5-|2x-3|为正整数},则M 的所有非空真子集的个数是( ) A.30B.31C.510D.511关键点 必修1第一章集合与函数概念1.1集合. 考向 集合的表示方法以及真子集的概念.分析 根据5-|2x-3|为正整数可计算出集合M 中的元素,然后根据非空真子集个数的计算公式2n -2(n 是元素个数)计算出结果.解析 由5-|2x-3|为正整数可得|2x-3|的值为0,1,2,3,4,所以2x-3的值为0,±1,±2,±3,±4,共9个值,对应的x 为32,2,1,52,12,3,0,72,-12,共9个值.∴M={-12,0,12,1,32,2,52,3,72},有9个元素,所以M 的非空真子集的个数为29-2=510,故选C. 答案 C点评 本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数.一个集合中含有n 个元素,则集合的子集的个数为2n ;集合的真子集的个数为2n -1;非空真子集的个数为2n -2. 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请把结果填在答题纸上的相应位置) 9.(★)方程组{3x +y =2,2x -3y =27的解用列举法表示为 .关键点 必修1第一章集合与函数的概念1.1集合. 考向 二元一次方程组的解法及用列举法表示集合. 答案 {(3,-7)}解析 ∵{3x +y =2,2x -3y =27,∴{x =3,y =−7.∴用列举法表示为{(3,-7)}.10.(★★)已知函数f(x)={x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则方程f(x)=x 2的解为 .关键点 必修1第三章函数的应用3.1函数与方程. 考向 分段函数以及函数与方程的简单应用.分析 考虑x ≤0和x>0时f(x)=x 2的解,求出解后注意判断是否满足定义域的要求. 解析 当x ≤0时,f(x)=x+2,代入f(x)=x 2得x+2=x 2,即x 2-x-2=0,解得x=-1或x=2, ∵x=2不满足x ≤0,故舍去,此时方程的解为x=-1.当x>0时,f(x)=-x+2,代入f(x)=x 2得-x+2=x 2,即x 2+x-2=0,解得x=1或x=-2(舍).综上,原方程的解为{-1,1}. 答案 {-1,1}点评 本题考查函数与方程的简单应用,已知f(x)是分段函数,求方程f(x)=x 2的解时,可分段考虑,求出每一段符合要求的解,最后得出结果.11.(★★)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/吨,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总费用之和最小,则x 的值是 .关键点 必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用,必修5第三章不等式3.4基本不等式:√ab ≤a+b 2.考向 利用函数模型以及基本不等式解决实际问题并求出实际问题的最优解. 分析 列出一年的总费用与总存储费用之和的表达式,利用基本不等式即可得出. 解析 由题意可得,一年的总费用包括一年的总运费与总存储费用之和. ∴总费用=600x×6+4x=4(x +900x)≥4×2√900=240(万元),当且仅当x=900x,即x=30时等号成立,故答案为30.答案 30点评 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正,二定,三相等,否则会出现错误.12.(★★)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数,那么实数a 的取值范围是 .关键点 必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质. 考向 二次函数单调性的应用. 答案 (-3,0)解析 函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为x=1-a.∵函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数, ∴1<1-a<4,解得-3<a<0.故答案为(-3,0).点评 判断二次函数的单调性,可以通过二次函数图象的开口方向以及对称轴来进行分析:图象开口向上,在对称轴左侧单调递减,在对称轴右侧单调递增;图象开口向下,在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减.13.(★★★)几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)时给出了下面几个结论: ①函数f(x)的值域为(-1,1); ②若x 1≠x 2,则一定有f(x 1)≠f(x 2); ③f(x)在(0,+∞)上是增函数;④若规定f 1(x)=f(x),且对任意正整数n 都有:f n+1(x)=f(f n (x)),则f n (x)=x1+n|x|对任意n ∈N *成立.上述结论中正确结论的序号为 . 关键点 必修1集合与函数概念1.3函数的基本性质. 考向 函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用.分析 函数f(x)=x1+|x|满足f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,求当x ≥0时的值域,单调性即可判断出①②③是否正确,再利用归纳推理判断④是否正确. 解析 ∵f(x)=x 1+|x|满足f(-x)=-x 1+|−x|=-x1+|x|=-f(x), ∴函数f(x)=x1+|x|为奇函数.又∵x ≥0时,f(x)=x 1+x =1-11+x ∈[0,1), ∴函数f(x)的值域为(-1,1),故①正确.∵x ≥0,f(x)=x 1+x =1-11+x 在[0,+∞)上是单调递增函数,∴由奇函数的性质知,函数f(x)=x1+|x|在R 上是单调增函数,∴若x 1≠x 2则一定有f(x 1)≠f(x 2). f 2(x)=f(f 1(x))=x 1+|x|1+|x|1+|x|=x 1+2|x|,同理,可求得f 3(x)=x 1+3|x|,由归纳推理可得f n (x)=x1+n|x|对任意n∈N *成立,所以④正确.故答案为①②③④. 答案 ①②③④点评本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合应用,可以先判断函数的奇偶性,利用函数的奇偶性来简化有关求函数值域、单调性等问题.本题还考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.14.(★★★)函数f(x)=2x2-4x+1,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈[12,2],使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是.关键点必修1第三章函数的应用3.1函数与方程. 考向函数的值域、函数与方程的综合问题.答案[-5,0]解析因为f(x)=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,所以当x1∈[12,2]时,f(x1)∈[-1,1].因为g(x)=2x+a,所以当x2∈[12,2]时,g(x2)∈[a+1,a+4].当[-1,1]∩[a+1,a+4]=⌀时,有a+1>1或a+4<-1,得a>0或a<-5.故当[-1,2]∩[a+1,a+4]≠⌀时,-5≤a≤0,故答案为[-5,0].点评本题考查根据函数值域的关系求解参数的取值范围.当两个函数的值域的交集不为空集时,若从正面分析参数的取值范围较复杂,可考虑交集为空集时对应参数的取值范围,再求其补集,从而得到所求结果,体现了“正难则反”的数学思想方法的应用.三、解答题(本大题共3小题,每题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置)15.(★★)设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.关键点必修1第一章集合与函数概念1.1集合.考向集合的运算以及一元二次不等式的解法.分析(1)当a=-4时,求出集合B,然后根据交集、并集的定义即可求出.(2)由(∁R A)∩B=B,可得B⊆∁RA,即可求解.解析(1)由题意得A={x|12≤x≤3}.当a=-4时,B={x|-2<x<2},∴A∩B={x|12≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}.(2)由(1)得∁R A=x|x<12或x>3,由(∁RA)∩B=B,得B⊆∁RA.①当B=⌀,即a≥0时,满足B⊆∁RA.②当B≠⌀,即a<0时,B={x|-√-a<x<√-a},要使B⊆∁R A,需√-a≤12,解得-14≤a,又a<0,所以-14≤a<0.综上可得,实数a的取值范围是a|a≥−14.点评本题重点考查集合的交集、并集、补集的运算.需要注意的是在求解第(2)问时需分集合B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.体现了分类讨论数学思想的应用.16.(★★)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).(1)已知f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值;(2)已知c=b2+2b+3,设x1,x2是关于x的方程f(x)=0的两根,且(x1+1)(x2+1)=8,求实数b的值;(3)已知f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.关键点必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.考向一元二次方程根与系数关系的应用,三个“二次”关系在解题中的应用.解析(1)因为f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},所以-1和1是方程x2+2bx+c=0的两根,则{-2b=−1+1,c=(−1)×1,所以b=0,c=-1.(2)∵c=b2+2b+3,∴f(x)=x2+2bx+b2+2b+3.由题意得x2+2bx+b2+2b+3=0,∴x1+x2=-2b,x1x2=b2+2b+3.∵(x1+1)(x2+1)=8,∴x1x2+(x1+x2)+1=8,∴b2+2b+3-2b+1=8,∴b2=4,∴b=±2.当b=-2时,f(x)=x2-4x+3,符合题意.当b=2时,f(x)=x2+4x+11,此时f(x)=0无解,所以不符合题意. 综上,b=-2.(3)因为f(1)=0,所以1+2b+c=0,所以c=-1-2b.记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-(b+1).∵g(x)=0的两根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,∴{g(-3)=5-7b >0,g(-2)=1-5b <0,g(0)=-(1+b)<0,g(1)=b +1>0,解得b ∈(15,57),则b 的取值范围是(15,57).点评 本题考查由一元二次不等式的解集求参数以及二次函数的零点分布问题. (1)一元二次不等式的解集的端点值对应一元二次方程的根. (2)一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数零点分布问题.(3)利用根与系数关系解决与一元二次方程根有关问题时,要注意前提条件是一元二次方程必须有根,所以需要对结果进行检验. 17.(★★)已知函数f(x)=x+4x . (1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)指出该函数在区间(0,2]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;(3)已知函数g(x)={f(x),x >0,5,x =0,-f(x),x <0,当x ∈[-1,t]时,g(x)的取值范围是[5,+∞).求实数t 的取值范围.(只需写出答案)关键点 必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质. 考向 函数的奇偶性,函数的单调性,分段函数性质的应用.分析 (1)先求函数的定义域,然后根据奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性. (2)利用单调性的定义,证明f(x)在(0,2]上的单调性即可. (3)作出g(x)的图象,根据图象求t 的取值范围.解析 (1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ∵f(-x)=(-x)+4(-x)=-x-4x =-f(x), ∴f(x)是奇函数.(2)f(x)在(0,2]上单调递减. 证明:任取x 1,x 2∈(0,2]且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1+4x 1-(x 2+4x 2)=(x 1-x 2)+(4x 1-4x 2)=(x 1-x 2)+4(x 2-x 1)x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-4)x 1x 2. ∵0<x 1<x 2≤2,∴0<x 1x 2<4,x 1-x 2<0,∴x 1x 2-4<0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,2]上单调递减.(3)t∈[0,1].提示:∵f(x)=x+4x是“对勾函数”,∴作出g(x)的图象,如图.从图中可以得出当值域为[5,+∞)时,t∈[0,1].点评(1)判断函数的奇偶性时,首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则是非奇非偶函数,若对称,再判断f(x)与f(-x)的关系,由此得到函数的奇偶性,有时也会利用变式来判断:奇函数需满足f(-x)+f(x)=0,偶函数需满足f(-x)-f(x)=0.(2)用定义法证明函数单调性的一般步骤:取值,作差,变形,判断符号,得结论.(3)要掌握对勾函数f(x)=x+ax(a>0)的单调性,增区间为(-∞,-√a),(√a,+∞),减区间为(-√a,0),(0,√a).第Ⅱ卷(共7道题,满分50分)四、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)18.(★★)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:x 1 2 3f(x) 2 1 3x 1 2 3g(x) 3 2 1则方程g[f(x)]=x+1的解为( )A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}关键点必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示.考向函数的定义,复合函数的概念.分析把x=1、2、3分别代入方程g[f(x)]=x+1进行检验,若满足,则是方程的解,若不满足,则不是方程的解.解析当x=1时,g[f(1)]=g(2)=2=1+1,∴x=1是方程的解.当x=2时,g[f(2)]=g(1)=3=2+1,∴x=2是方程的解.当x=3时,g[f(3)]=g(3)=1≠3+1,∴x=3不是方程的解,故选C.答案 C点评本题考查根据函数的自变量与函数值的对应关系求方程的解,求形如f[g(x)]的复合函数值时,可先计算出内层函数g(x)的值,然后根据g(x)的值,计算外层函数f[g(x)]的值. 19.(★★)已知f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,且在(-4,0]上是增函数,若f(a)<f(3),则实数a的取值范围是( )A.(-3,3)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-4,-3)D.(-4,-3)∪(3,4)关键点必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.考向函数单调性,奇偶性的综合应用.分析由函数f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,可得f(-x)=f(x)=f(|x|),再结合f(x)的单调性,即可求得实数a的取值范围.解析∵f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),∴f(a)<f(3)可化为f(|a|)<f(3),又∵f(x)在(-4,0]上是增函数,∴{|a|>3,-4<a<4,解得-4<a<-3或3<a<4,∴a的取值范围是(-4,-3)∪(3,4).故选D.答案 D点评本题考查根据函数的单调性,奇偶性求解参数的范围,利用f(-x)=f(x)=f(|x|)的转化可避免对参数的讨论.20.(★★★)已知函数f(x)=x2-2ax+5在x∈[1,3]上有零点,则正数a的所有可能的值的集合为( )A.[73,3] B.[√5,+∞) D.[√5,3] D.(0,√5]关键点必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.考向与二次函数零点有关的分类讨论问题.分析考虑函数f(x)在区间[1,3]上有一个零点,有两个零点进行讨论.即可解出正数a的所有可能的值的集合.解析①当f(x)在R上仅有一个零点时,Δ=4a2-20=0(a>0),∴a=√5,此时零点x=√5∈[1,3],所以a=√5成立.②当f(x)在R上有两个零点时,其中有一个零点在[1,3]上,此时f(1)·f(3)≤0,即(6-2a)(14-6a)≤0,解得73≤a≤3.当f(x)在[1,3]上有两个零点时,需满足条件{Δ=4a2-20>0,1<a<3,f(1)=6-2a≥0,f(3)=14-6a≥0,解得√5<a≤73.综上所述,正数a的取值集合为[√5,3].故选C.答案 C点评二次函数零点分布的问题一般从判别式,图象的对称轴位置,区间端点函数值等方面来考虑.五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)21.(★★)已知函数f(x)=√1−x+√x+3,则函数f(x)的最大值为,函数f(x)的最小值为.关键点必修1第一章集合函数概念1.3函数的基本性质.考向求函数的最值.答案2√2;2解析[f(x)]2=(√1−x+√x+3)2=4+2√4−(x+1)2,x∈[-3,1].当x=-1时,[f(x)]2取得最大值8,所以f(x)max=2√2.当x=-3或1时,[f(x)]2取得最小值4,所以f(x)min=2.点评本题考查含根式函数的取值,一般有两种题型:若只有一个根式,则可考虑使用换元法求解函数的值域或最值;若是多个根式,则可考虑函数本身的特点,通过平方、配凑等方法处理、转化为易求出最值或值域的函数.22.(★★★)关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数为f(t).(1)若g(x)=x+1,则f(t)= ;(2)已知g(x)={x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R).若存在t,使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是.关键点必修1第三章函数的应用,3.1函数与方程.考向函数的定义,函数与方程的综合应用.答案1;(1,+∞)解析(1)因为g(x)=x+1,所以函数g(x)的值域为R,且函数g(x)为单调函数,故方程g(x)=t 有且只有一个根,故f(t)=1.(2)g(x)={x,x≤0,-x2+2ax+a(a∈R),x>0.当t≤0时,利用图象分析可知,f(t)=1.当a≤0时,g(x)的图象如图:此时f(t+2)≤f(t),∴不存在t,使得f(t+2)>f(t)成立. 当a>0时,g(x)的图象如图:此时存在t,使得f(t+2)>f(t)成立.则x>0时,函数的最大值大于2,即-4a-4a 2-4>2,解得a>1.当t>0时,若a≤0,则不存在t,使得f(t+2)>f(t)成立. 若a>0,g(x)的图象如图.若存在t,使得f(t+2)>f(t)成立,则x>0时,函数的最大值大于2,即-4a -4a 2-4>2,解得a>1.综上,a ∈(1,+∞).23.(★★★)对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在区间[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x ∈[a,b]的值域是[a,b].则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间.(1)写出函数y=x 2的一个“保值”区间: ;(2)若函数y=x 2+m(m ≠0)存在“保值”区间,则实数m 的取值范围为 . 关键点 必修1集合与函数的概念1.3函数的基本性质子.考向 函数的值域,单调性及新定义问题.答案 [0,1];[-1,-34)∪(0,14)分析 (1)由条件可知f(x)在区间[a,b]上是单调函数,根据y=x 2的值域是[0,+∞),可得[a,b]⊆[0,+∞),从而y=x 2在区间[a,b]上单调递增,由此得{f(a)=a,f(b)=b,从而解出a,b 的值,得出结果. (2)根据已知中“保值”区间的定义,分函数y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递增和函数y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递减两种情况讨论,即可得出m 的取值范围.解析 (1)∵函数y=x 2的值域是[0,+∞)且y=x 2在[a,b]的值域是[a,b],∴[a,b]⊆[0,+∞),∴a ≥0,从而函数y=x 2在区间[a,b]上单调递增,∴{a 2=a,b 2=b,解得{a =0,b =1,∴函数y=x 2的一个“保值”区间为[0,1].(2)若a<b ≤0,则y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递减.∴{a 2+m =b,b 2+m =a,消去m 得a 2-b 2=b-a,整理得(a-b)(a+b+1)=0. ∵a<b,∴a+b+1=0,即a=-b-1,∴{b ≤0,-b -1<b,解得-12<b ≤0.∴m=-b 2+a=-b 2-b-1=-(b +12)2-34∈[-1,-34). 若b>a ≥0,则函数y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递增,∴{a 2+m =a,b 2+m =b,消去m 得a 2-b 2=a-b,整理得(a-b)(a+b-1)=0. ∵a<b,∴a+b-1=0,即b=1-a,∴{a ≥0,1−a >a,解得0≤a<12, ∴m=-a 2+a=-(a -12)2+14∈[0,14).又∵m ≠0,∴m ∈(0,14). 综上,可知m 的取值范围是[-1,-34)∪(0,14).故答案为[0,1];[-1,-34)∪(0,14).点评 本题考查新定义背景下的二次函数的定义域,值域与单调性的综合问题.解决此题的关键是将新定义与已学知识产生联系,运用所学知识解决问题.本题中的“保值”区间实际就是定义域,值域以及函数单调性的结合.六、解答题(本大题共1小题,满分14分,解答应写出文字说明过程或演算步骤)24.(★★★)已知x 为实数,用[x]表示不超过x 的最大整数.(1)若函数f(x)=[x],求f(1.2),f(-1.2)的值;(2)若函数f(x)=[x+12]-[x 2](x ∈R),求f(x)的值域; (3)若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f(m)=f([m]),则称函数f(x)是Ω函数,若函数f(x)=x+a x 是Ω函数,求a 的取值范围.关键点 必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.考向 函数的值域,单调性等以及新定义的应用.解析 (1)∵[x]表示不超过x 的最大整数,f(x)=[x],∴f(1.2)=[1.2]=1,f(-1.2)=[-1.2]=-2.(2)∵[x+12]=[x 2]或[x+12]=x 2+1, ∴f(x)=[x+12]-[x2](x ∈R)的值域为{0,1}.(3)当a=0时,f(x)=x,显然f(x)不是Ω函数.当a<0时,f(x)=x+ax 是一个增函数,在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增.此时不存在m<0,使得f(m)=f([m]),同理不存在m>0,使得f(m)=f([m]).又∵m[m]≥0,即不会出现[m]<0<m 的情况,∴f(x)=x+ax不是Ω函数.当a>0时,假设f(m)=f([m]),∴m+am =[m]+a[m],∴a=m[m],其中[m]≠0.当m>0时,∵[m]<m<[m]+1,∴[m2]<m[m]<([m]+1)[m],∴[m]2<a<([m]+1)[m].当m<0时,[m]<0,∵[m]<m<[m]+1,∴[m2]>m[m]>([m]+1)[m],∴[m]2>a>([m]+1)[m].记k=[m].综上可以得到:a>0且对任意k∈N*,a≠k2且a≠k(k+1).点评本题考查新定义背景下的取整函数问题,主要考查学生的运算和推理能力,取整函数是一个比较常考的函数,实际上可以看作是一个分段函数,其图象的每一段都是平行于x轴的,本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.。
2019北京人大附中高一(上)期中数学
2019北京人大附中高一(上)期中数 学一.单项选择题1.设集合A ={a ,a 2,0},B ={2,4},若A ∩B ={2},则实数a 的值为( )A. 2B. ±2C. √2D. ±√22.下面关于集合的表示正确的个数是( )① {2,3}≠{3,2};② {(x ,y)x ⁄+y =1}={y x ⁄+y =1};③ {x x ⁄>1}={y y ⁄>1};A. 0B. 1C. 2D. 33.下列函数中,是偶函数的是( )A. f (x )=1xB. f (x )=x 3+xC. f (x )=xx 2−1 D. f (x )=|x |4.函数f (x )=x 3+x −4的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.已知f (x +1)=√x ,则函数f (x )的大致图象是( )6.已知a ,b ∈(0,+∞),且a +b +1a +1b =5,则a +b 的取值范围是( ) A. [1,4] B. [2,+∞) C. (2,4) D. (4,+∞)7.已知x ∈[1,2],x 2−ax >0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)8.设A ,B 是有限集,定义:d(A ,B)=card (A ∪B )−card(A ∩B),其中card (A )表示有限集A 中元素的个数 命题①:对任意有限集A ,B ,“A ≠B ”是d(A ,B)>0的充分必要条件;命题②:对任意有限集A ,B ,C , d(A ,C)≤d(A ,B)+d(B ,C)( )A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立,命题②不成立D. 命题①不成立,命题②成立二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请把结果填在答题纸上的相应位置.)9.函数y =x 2−x+4x (x >0)的最小值为 ,当且仅当x = 时取到此最小值10.已知集合A ={x x ⁄>1},B ={x x ⁄>a },若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .11.若函数f (x )=3x 2−5x +a 的一个零点在区间(−2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则a 的取值范围是 .12.已知f (x )={x 2−1,x ≤1−x +1,x >1,则f [f(−1)]= ;若f (x )=−1,则x = . 13.已知函数f (x )=ax 2−2x −2在[1,+∞)上不单调,则实数a 的取值范围是 .14.如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动,记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ,且y 是x 在映射f 作用下的象,则下列说法中:① 映射f 的值域是[0,√3];② 映射f 不是一个函数;③ 映射f 是函数,且是偶函数;④ 映射f 是函数,其单增区间为[6k ,6k +3](k ∈Z ),其中正确说法的序号是 .说明:“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动,沿x 轴正方向滚动值的是先以顶点B 为中心顺时针旋转,顶点C 落在x 轴上时,再以顶点C 为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动.三.解答题15.已知集合A ={x x 2⁄−x <0},B ={x x 2−2x −m ⁄<0}.(1)C R A ;(2)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.16.已知函数f(x)=x+ax2+1是定义在[−1,1]上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在区间[−1,1]上的单调性,并证明;(3)解不等式f(5x−1)<f(6x2)17.设函数f(x)的定义域为R,如果存在函数g(x),使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)(1)若a=1,b=2,写出函数f(x)的一个承托函数(结论不要求注明);(2)判断是否存在常数a,b,c,使得y=x为函数f(x)的一个承托函数,且f(x)为函y=12x2+12的一个承托函数?若存在,求出a,b,c的值,若不存在,说明理由.II 卷一.多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,可能有一项或几项是符合题目要求的,请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置)18.已知a >b ,且ab =1,则a 2+b 2a−b 的最小值是( )A. 3B. 2+√2C. 2D. 2√219.关于函数f (x )=√x 2−x 4|x−1|−1的性质描述,错误的是( )A. f (x )的定义域为[−1,0)∪(0,1)B. f (x )的值域为(−1,1)C. f (x )在定义域上是增函数D. f (x )的图象关于原点对称20.若集合P 具有以下性质:① 0∈P ,1∈P ;② 若x ,y ∈P ,则x −y ∈P ,且x ≠0时,1x ∈P 则称集合P 是“¬集”,则下列结论不正确的是( )A. 整数集Z 是“¬集”B. 有理数集Q 是“¬集”C. 对任意的一个“¬集”P ,如果x ,y ∈P ,则必有xy ∈PD. 对任意的一个“¬集”P ,如果x ,y ∈P ,且x ≠0,则必有y x ∈P 二.填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,请把结果填在答题纸上的相应位置.)21.已知函数f (x )={x 3+a ,x >0x +1,x ≤0,在R 上是增函数,则实数a 的取值范围是 22.非空有限集S 满足:若a ,b ∈S ,则必有ab ∈S .请写出一个满足条件的二元数集S =23.已知f(x)为R 上的偶函数,对任意x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f(3),且当x 1,x 2∈[0,3],x 1≠x 2时,有 f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立,给出四个命题:① f (3)=0;② 直线x =−6是函数y =f(x)的图象的一条对称轴;③ 函数y =f(x)在[−9,−6]上为增函数;④ 函数y =f(x)在[−9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为三.解答题(本大题共1小题,满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写出答题纸上的相应位置.)24.一般地,我们把函数ℎ(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0(n∈N)称为多项式函数,其中系数a0,a1,⋯,a n∈R.设f(x),g(x)为两个多项式函数,且对所有的实数x等式f[g(x)]=g[f(x)]恒成立.(1)若f(x)=x2+3,g(x)=kx+b(k≠0).①求g(x)的表达式;②解不等式f(x)−g(x)>5;(2)若方程f(x)=g(x)无实数根,证明方f[f(x)]=程g[g(x)]也无实数解.word下载地址。
2019北京人大附中高一(上)期中数学含答案
2019北京人大附中高一(上)期中数学一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)1.(5分)设集合M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N=( )A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}2.(5分)下列各组函数是同一函数的是( )A.与y=1 B.与y=x﹣1C.与y=x D.与y=x3.(5分)下列函数中,在区间(0,2)上是增函数的是( )A.y=﹣x+1 B.y=x2﹣4x+5 C.D.4.(5分)命题“对任意a∈R,都有a2≥0”的否定为( )A.对任意a∈R,都有a2<0 B.对任意a∈R,都有a2<0C.存在a∈R,使得a2≥0 D.存在a∉R,使得a2<05.(5分)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f[f()]=( )A.﹣B.C.﹣D.6.(5分)已知a,b是实数,则“a>b>0且c<d<0”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)如图是王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图,若用黑点表示王老师家的位置,则王老师行走的路线可能是( ).B.C.D.分)方程组的解集用列举法表示为 分)已知函数,则方程分)几位同学在研究函数(,则对任意,若存在,使得分)已知函数.)已知函数,当....数,)若()若函数,求函数,若函数是2019北京人大附中高一(上)期中数学参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)1.【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},然后根据交集的定义和运算法则进行计算.【解答】解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3},∴M∩N={﹣1,0,1},故选:B.【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题.2.【分析】直接利用同一函数的定义的应用求出结果.【解答】解:针对选项A:的定义域为{x|x≠0},函数y=1的定义域为x∈R,故错误.对于选项B:和函数y=x﹣1不相等,故错误.对于选项C:的定义域为{x|x≠0},函数y=x的定义域为x∈R,故错误.对于选项D:的定义域为x∈R,函数y=x的定义域为x∈R,故正确.故选:D.【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用,属于基础题.3.【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用求出结果.【解答】解:对于选项:A由于y=﹣x+1在实数范围内为减函数,故错误.对于选项:B由于函数y=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,该函数为开口方向向上,对称轴为x=2的抛物线,故函数的图象在(0,2)上单调递减,故错误.对于选项:C函数的图象为第一象限内的幂函数,由于,所以函数的图象单调递增,故正确.对于选项:D函数的图象为双曲线,所以函数y=在(0,2)上单调递减,故错误.故选:C.【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,主要考查函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.4.【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可.【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“对任意a∈R,都有a2≥0”的否定为:存在a0∈R,使得a02<0.故选:B.【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.5.【分析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式,再根据所求由内向外逐一去掉括号,从而求出函数值.【解答】解:由图象知f(x)=∴f=﹣1=﹣,∴==﹣+1=.故选:B.【点评】本题主要考查了函数的图象,以及分段函数的解析式和函数单调性的判断,属于基础题.6.【分析】直接利用不等式的性质和简易逻辑中的四个条件的应用求出结果.【解答】解:当c<d<0,所以,故,由于a>b>0,所以,故.但是,整理得,整理不出a>b>0且c<d<0.故“a>b>0且c<d<0”是“”的充分而不必要条件.故选:A.【点评】本题考查的知识要点:不等式的性质的应用,四个条件的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.7.【分析】由题意可得在中间一段时间里,他到家的距离为定值,故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧,结合所给的选项得出结论.【解答】解:根据王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图,可得在中间一段时间里,他到家的距离为定值,故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧,结合所给的选项,故选:C.【点评】本题主要函数的解析式表示的意义,函数的图象特征,属于中档题.8.【分析】直接利用集合的定义和真子集的关系式的关系式运算的应用求出结果.【解答】解:集合M={x∈R|5﹣|2x﹣3|为正整数},故5﹣|2x﹣3|>0,整理得|2x﹣3|<5,即﹣5<2x﹣3<5,解得﹣1<x<4,由于集合M为正整数,所以M={﹣,0,,1,,2,,3,},故集合M的所有非空真子集的个数是29﹣2=510.故选:C.【点评】本题考查的知识要点:集合元素在不等式的解法中的应用,主要考查学生对集合的定义的理解,属于基础题型.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)9.【分析】直接接二元一次方程组求出结果,再转换解集的形式.【解答】解:整理得,解得,转换为列举法为{(3,﹣7)}.故答案为:{(3,﹣7)}.【点评】本题考查的知识要点:二元一次方程组的解法和应用,针对性的考查了学生的运算能力和转换能力,属于基础题.10.【分析】直接利用分段函数的解析式,进一步解一元二次方程求出结果.【解答】解:根据函数的解析式,当x≤0时,x+2=x2,解得x=2或﹣1,(正值舍去),故x=﹣1.当x>0时,﹣x+2=x2,解得x=﹣2或1(负值舍去),故x=1.所以解集为{﹣1,1}.故答案为:{﹣1,1}.【点评】本题考查的知识要点:分段函数的解析式的应用,一元二次方程的解法的应用,针对性的考查学生对分类讨论思想问题的应用,属于基础题型.11.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.【分析】首先求出函数的对称轴,进一步利用对称轴和区间的关系求出a的范围.【解答】解:根据函数的图象,函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2的对称轴方程为x=1﹣a,由于函数在区间(1,4)上不是单调函数,所以1<1﹣a<4,解得:﹣3<a<0.故答案为:(﹣3,0).【点评】本题考查的知识要点:二次函数的性质的应用,函数的对称轴和区间的关系的应用,考查学生对函数的图象的理解问题和应用,属于基础题型.13.【分析】①因为|x|<1+|x|,所以由绝对值不等式得,函数值域(﹣1,1).②f(x)=是一个奇函数,当x≥0时,f(x)=,可得函数f(x)在(0,+∞)上是一个增函数,由奇函数的性质知,函数f(x)=是一个增函数,进而可得出正确.③理由同上.④由数学归纳法得证.【解答】解:①正确;∵|x|<1+|x|,∴,故函数值域(﹣1,1).②正确;f(x)=是一个奇函数,当x≥0时,f(x)=,可得函数f(x)在(0,+∞)上是一个增函数,由奇函数的性质知,函数f(x)=是一个增函数,∴x1≠x2,一定有f(x1)≠f(x2);③正确;由②可知f(x)在(0,+∞)是增函数.④正确;当n=1时,f1(x)=f(x)=,f2(x)=,当n=k时,f k(x)=成立,当n=k+1时,f k+1(x)=成立,由数学归纳法知,此命题正确.故答案为:①②③④.【点评】本题考查函数的性质以及恒成立问题,属于中档题.14.【分析】根据条件求出两个函数的值域,结合若存在,使得f(x1)=g(x2),等价为两个集合有公共元素,然后根据集合关系进行求解即可.【解答】解:∵函数f(x)=2x2﹣4x+1=2(x﹣1)2﹣1;∴当≤x≤2时,当x=1时,f(x)有最小值﹣1;当x=2时,f(x)有最大值1;即﹣1≤f(x)≤1,则f(x)的值域为[﹣1,1];当≤x≤2时,2×+a≤g(x)≤4+a,即1+a≤g(x)≤4+a,则g(x)的值域为[1+a,4+a],若存在,使得f(x1)=g(x2),则[1+a,4+a]∩[﹣1,1]≠∅,若[1+a,4+a]∩[﹣1,1]=∅,则1+a>1或4+a<﹣1,得a>0或a<﹣5,则当或[1+a,4+a]∩[﹣1,1]≠∅时,﹣5≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣5,0],故答案为:[﹣5,0].【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件求出两个函数的值域,结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键,属于中档题.三、解答题(本大题共3小题,每题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.)15.【分析】(1)推导出A={x|≤x≤3}.当a=﹣4时,B={x|﹣2<x<2},由此能求出A∩B,A∪B.(2)先求出∁R A,由(∁R A)∩B=B,得到B⊆∁R A,从而A∩B=∅,由B=∅,求出a≥0,由B≠∅,求出﹣≤a<0,由此能求出a的取值范围.【解答】解:(1)A={x|2x2﹣7x+3≤0}={x|≤x≤3}.当a=﹣4时,B={x|﹣2<x<2},∴A∩B={x|≤x<2},A∪B={x|﹣2<x≤3}.(2)∁R A={x|x<或x>3}.当(∁R A)∩B=B时,B⊆∁R A,即A∩B=∅.①当B=∅,即a≥0时,满足B⊆∁R A;②当B≠∅,即a<0时,B={x|﹣<x<},要使B⊆∁R A,需≤,解得﹣≤a<0.综上可得,a的取值范围为a≥﹣.【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意交集、补集、并集定义的合理运用.16.【分析】(1)﹣1,1为方程x2+2bx+c=0的两个根,由韦达定理或直接代入可得解;(2)将(x1+1)(x2+1)=8展开x1x2+x1+x2=7,将方程x2+2bx+b2+2b+3=0的韦达定理代入,可得解;(3)利用二次方程的根的分布条件可得解;【解答】解:(1)由题可知:﹣1,1为方程x2+2bx+c=0的两个根;所以,解之得:b=0,c=﹣1;(2)因为c=b2+2b+3,f(x)=x2+2bx+c=0,所以x2+2bx+b2+2b+3=0因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3=0的两根,所以△=4b2﹣4b2﹣8b﹣12≥0即;所以,因为(x1+1)(x2+1)=8,所以x1x2+x1+x2=7,所以﹣2b+b2+2b+3=7;所以b2=4,所以b=2或b=﹣2,因为,所以b=﹣2;(3)因为f(1)=0,所以c=﹣1﹣2b设g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x﹣b﹣1,则有解得,故b的取值范围为;【点评】本题考查三个二次之间的关系,利用韦达定理整体代入的处理方法,考查了二次方程根的分布问题,属于中档题.17.【分析】(1)利用奇偶函数判断方法判断;(2)利用减函数的定义判断即可;(3)根据分段函数写出结论.【解答】解:(1)因为函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),所以x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)时,﹣x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),函数的定义域关于原点对称,因为,所以f(x)是奇函数.(2)函数f(x)在区间(0,2]上是减函数,证明:任取x1,x2∈(0,2],且0<x1<x2≤2,,因为0<x1<x2≤2,所以2≥x2>0,2>x1>0,所以4>x1x2,所以x1x2﹣4<0,又因x1﹣x2<0,x1x2>0,所以,所以f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间(0,2]上是减函数.(3)实数t的取值范围为[0,1].【点评】考查判断函数的奇偶性,函数单调性的证明,和分段函数的应用,中档题.四、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)18.【分析】根据函数定义域和值域关系,分别进行讨论求解即可.【解答】解:若x=1,则g[f(1)]=g(2)=2,而x+1=1+1=2,即方程g[f(x)]=x+1成立.若x=2,则g[f(2)]=g(1)=3,而x+1=2+1=3,即方程g[f(x)]=x+1成立.若x=3,则g[f(3)]=g(3)=2,而x+1=3+1=4,即方程g[f(x)]=x+1不成立.即方程的解为{1,2},故选:C.【点评】本题主要考查方程的求解,结合函数的定义域和值域的关系,利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键,比较基础.19.【分析】根据题意,由函数的奇偶性与单调性可得f(a)<f(3)⇒|a|>3,解可得a的取值范围,结合函数的定义域即可得答案.【解答】解:根据题意,f(x)是定义在(﹣4,4)上的偶函数,且在(﹣4,0]上是增函数,则f(x)在区间[0,4)上为减函数,又由f(a)<f(3),则f(|a|)<f(3),则有|a|>3,解可得:a>3或a<﹣3;又由函数的定义域为(﹣4,4),即a的取值范围为(﹣4,﹣3)∪(3,4);故选:D.【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意函数的定义域,属于基础题.20.【分析】利用参数分离法分离出2a,求出y=x+的值域,即可得到解.【解答】解:x∈[1,3],x2﹣2ax+5=0得,当且仅当x=成立,又y=x+,y(1)=6,y(3)=,所以y∈[,6],要使函数f(x)=x2﹣2ax+5在x∈[1,3]上有零点,即2a∈[,6],a∈[,3],故选:C.【点评】考查函数的零点问题,用了参数分离法,对勾函数求值域,中档题.五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)21.【分析】先求出函数定义域,利用基本不等式求出最大值,因为f(x)≥0,f(x)=0为最小,求出即可.【解答】解:的定义域为[﹣3,1],由基本不等式,得,当1﹣x=x+3,即x=﹣1时,成立,当x=﹣3,1时f(x)=0,故答案为:;﹣3,1.【点评】考查求函数的定义域,函数最值,利用了基本不等式,中档题.22.【分析】(1)g(x)=x+1的值域为R且在R上为单调递增函数,直接求解可得;(2)存在t使得f(t+2)>f(t)成立,即方程的g(x)=t+2根的个数比方程g(x)=t的根的个数多,对第二段函数的对称轴进行讨论,结合函数图象得到答案【解答】解:(1)g(x)=x+1的值域为R且在R上为单调递增函数,则方程g(x)=t只有一个解,所以f(t)=1;(2)存在t使得f(t+2)>f(t)成立;即方程的g(x)=t+2根的个数比方程g(x)=t的根的个数多;当a≤0 时,作出函数g(x)的图象;显然不满足方程的g(x)=t+2根的个数比方程g(x)=t的根的个数多;当a>0时,作出函数g(x)的图象;要存在t,使得方程的g(x)=t+2根的个数比方程g(x)=t的根的个数多;则要求二次函数的最大值要大于2;即,解得a>1;故答案为:1,(1,+∞).【点评】本题考查对新定义的理解与等价转化,考查函数的单调性,方程的根的个数和数形结合的思想,属于中档题.23.【分析】(1)由“保值”区间的定义直接写出即可;(2)根据题意,按[a,b]⊆(0,+∞),[a,b]⊆(﹣∞,0),a=0及b=0四种情况讨论即可.【解答】解:(1)由“保值”区间的定义可得函数y=x2的一个“保值”区间为[0,1];(2)易知,函数f(x)=x2+m(m≠0)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(﹣∞,0),①当[a,b]⊆(0,+∞)时,则,即方程x2﹣x+m=0有两个不相等的正根,则,解得;②当[a,b]⊆(﹣∞,0)时,则,则a+b=﹣1,则,即方程x2+x+m+1=0有两个不相等的负根,则,解得;③当a=0时,此时f(0)=0,则m=0,与题设矛盾;④当b=0时,则,即m2+m=0,解得m=﹣1或m=0(舍去);综上,实数m的取值范围为.故答案为:[0,1];.【点评】本题考查函数中的新定义问题,解决本题的关键是把问题转化为一元二次方程中根与系数的关系问题,进而建立不等式组得解,本题属于中档题.六、解答题(本大题共1小题,满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.)24.【分析】(1)直接考察数据的取整问题,直接求出结果.(2)利用函数的取整问题的应用,进一步求出函数的值域.(2)利用函数f(x)是Ω函数和函数的取整,进一步进行讨论,最后求出参数的范围.【解答】解:(1)已知x为实数,用[x]表示不超过x的最大整数,所以f(1.2)=1,f(﹣1.2)=﹣2.(2)方法1:因为,所以,只可能有两种情况:(1)存在整数t,使得,此时,f(x)=0;(2)存在整数t,使得,此时,f(x)=1.综上,f(x)的值域为{0,1}.(3)当函数是Ω函数时,若a=0,则f(x)=x显然不是Ω函数,矛盾.若a<0,由于都在(0,+∞)单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,同理可证:f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,此时不存在m∈(﹣∞,0),使得f(m)=f([m]),同理不存在m∈(0,∞),使得f(m)=f([m]),又注意到m[m]≥0,即不会出现[m]<0<m的情形,所以此时不是Ω函数.当a>0时,设f(m)=f([m]),所以,所以有a=m[m],其中[m]≠0,当m>0时,因为[m]<m<[m]+1,所以[m]2<m[m]<[m]([m]+1),所以[m]2<a<[m]([m]+1).。
2018-2019学年度北京市中国人民大学附属中学高一上学期数学期中考试试卷(图片版)
,,
若 ,, 若 ,, 错误, 综上,填①②。 故答案为:①②。
,则零点在 ,则零点在
内, 内,故③、④
19解析: 【答案】 ①②④ 【解析】
由题设有
,故
或,
故函数的定义域为
,故①正确。
当
,
,
此时
,为
上的奇函数,
故其图像关于原点对称,故④正确。
又
,
当
时,
;
当
时,
,
故 的值域为 Leabharlann 故②正确。由可得 不是定义域上增函数,故③错。
______。
① 有且只一个零点;
② 的零点在 内;
③ 的零点在 内;
④ 的零点在
内。
19. 关于函数
的性质描述,正确的是______。
① 的定义域为
② 的值域为
③ 在定义域上是增函数
④ 的图象关于原点对称
20. 在同一直角坐标系下,函数 与
(,
)的大致图象如图所示,则实数a的可能值为
______。
若 ,则 ,故
,
又或
,
所以 (舍)或 或 ,
此时
,
若 ,则 ,此时 ,
故 ,此时
,
若 ,则 ,此时 ,
故 ,此时
,
综上,
或
。
故答案为: 或 。
23解析: 【答案】 只需满足 或 即可 【解析】
的反函数为 ,故 与 的图像恰有一个 公共点,当 时,直线 满足要求,当 时,若
与 的图像恰有一个公共点,则 (因为题设 要求写出一个符合条件的实数,故可填一个负数即 可, 符合,待同学们学习了导数的相关知识后可 求)。 故答案为:只需满足 或 即可。