论掷骰子游戏中的概率计算问题

论掷骰子游戏中的概率计算问题

17世纪中叶，欧洲贵族盛行掷骰子游戏，当时法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族De Mere ，他在其过程中遇到了一个问题。

他认为掷一个骰子4次至少出现一次6点和掷一对骰子24次至少出现一次双6的概率是等可能的。

他这样推断：一颗骰子掷一次，出现6点的机会是

6

1，所以掷4次，我有32614=⨯的机会至少得到一次6点；掷一对骰子一次，我有361的机会得到双6，所以掷24次，一定有3236124=⨯的机会得到至少一次双6。

但是经验表明，第一个事件比第二个事件出现的可能性大一些，这个矛盾成为众所周知的Chevalier De Mere 悖论。

De Mere 向数学家Baise Pascal 请教这个问题，Pascal 与另一位法国数学家Fermat 通信讨论了这个问题，正是对这个问题的讨论开始了概率论和组合论的研究，以下是Pascal 与Fermat 之间谈话的部分历史记录。

Pascal ：首先我们看一种赌博。

Fermat ：好，赢得机会很难计算，让我们先计算对立事件：输的机会，于是赢的机会=1-输的机会。 Pascal ：同意，当掷了4次没有出现一个6点时，赌徒输了。不过你将如何计算这些机会呢？ Fermat ：看来很复杂。让我们从掷第一次开始，第一次没有出现6点的机会是多少呢？ Pascal ：必须出现1点到5点中的某一个，所以机会是6

5。 Fermat ：这是事实。现在头两次都没有出现6点的机会是多少？

Pascal ：毕竟每次掷骰子是相互独立的，所以是

65×65 Fermat ：掷3次呢？

Pascal ：65×65×6

5 Fermat ：掷4次呢？ Pascal ：

65×65×65×65 Fermat ：是的，大约是0.482，或者48.2%。

Pascal ：因此赢的机会是51.8%。

Fermat ：这样就解决了第一种赌博，赢的机会稍大。

Pascal ： 好的，在掷一对骰子时，出现双6的机会是361，而不出现双6的机会是36

35，由乘法原理，在一对掷骰子24次中，没有一次出现双6的机会必定是243635⎪⎭

⎫ ⎝⎛ Fermat ：这个数大约是50.9%，因此赢的机会是49.1%。

Pascal ：是的，这个数值略小于50%。这就是为什么在第二种赌博中你赢的机会常常比第一种赌博少一点的原因。但是必须大量的掷骰子才能看书这种差异。

后来这写通信被从荷兰来到巴黎学习的数学家Huygens 获悉，回到荷兰后，他独立研究了这些问题，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》时间是1657年。这是迄今为止被认为概率论中最早的论著，因此可以说概率论的真正创立者是Pascal 、Fermat 、Huygens 。